Simulasi Persamaan Gelombang

Transkripsi

1 December 15, 213

2 Soal 1 Perhatikan persamaan gelombang u tt = u xx, untuk x 1, dengan syarat batas u x (,t) = dan u (1,t) =, dan syarat awal u t (x,) = dan { 2 u (x,) = 16 (x 3) 2 (x 7) 2, 3 x 7, untuk x lainnya Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksir u (x, t), juga untuk syarat batas kiri. Jika dipilih x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut u (x,) = Hitung u (x,t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih t = 1. Apa yang anda lihat pada batas? Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah! Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal { 1, x 5 1 u t (x,) =, x lainnya

3 Jawaban Soal 1.a Skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang diatas adalah u n+1 j = S ( uj+1 n + ) un j 1 dengan + 2(1 S)u n j u n 1 j (1) S = t2 x 2 Hampiran orde-2 untuk syarat awal u t (x,) = adalah uj 1 u 1 j = t uj 1 = uj 1 (2) Hampiran orde-2 untuk syarat batas kiri u x (,t) = adalah u1 n un 1 = 2 t u( 1) n = un 1 (3) Jawaban Soal 1.b untuk x = t = 1, maka S = 1 dan persamaan (1), menjadi u n+1 j = uj+1 n + un j 1 un 1 j (4) untuk j =, dan n = maka u ( 1) = u 1 dan u 1 = u 1 (5) substitusikan (5) ke persamaan (4) untuk n =, dan j = diperoleh u 1 = u 1 (6) untuk n =, dan j = 1 (M x 1), berlaku u 1 j = u j+1 + u j 1 u 1 j dengan mensubstitusikan (2) pada persamaan diatas diperoleh u 1 j = u j+1 + u j 1 2 (7)

4 Jawaban soal 1.b untuk n = 1 N t dan j =, berlaku u n+1 = u1 n + u 1 n u n 1 dan dengan mensubstitusikan (3) pada persamaan diatas diperoleh u n+1 = 2u n 1 u n 1 (8) Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas (6), (7), dan (8) diperoleh hasil sebagai berikut: t/x

5 Jawaban Soal 1.c Persamaan beda untuk persamaan gelombang u tt = u xx adalah u n+1 j = S ( uj+1 n + ) un j 1 + 2(1 S)u n j uj n 1, S = t2 x 2 (9) untuk j =, dan n =, maka persamaan (9) menjadi u 1 = S ( u1 + u 1 ) + 2(1 S)u u 1 (1) substitusikan persamaan (2) untuk j =, dan persamaan (3) untuk n = pada persamaan (1), diperoleh atau u 1 = S ( u 1 + u 1) + 2(1 S)u u 1 2u 1 = 2Su 1 + 2(1 S)u u 1 = Su 1 + (1 S)u (11) untuk n = dan j = 1 (M x 1) persamaan (9) menjadi uj 1 = S ( uj+1 + ) u j 1 + 2(1 S)u j uj 1 (12) dengan menggunakan (2), persamaan (12) menjadi u 1 j = S 2 ( u j+1 + uj 1 ) + (1 S)u j (13) untuk j = dan n = 2 N t persamaan (9) menjadi u n+1 = S ( u1 n + u 1 n ) +2(1 S)u n u n 1 (14) dengan menggunakan (3), persamaan (14) menjadi u n+1 = 2Su n 1 + 2(1 S)u n u n 1 (15)

6 Simulasi Soal 1.c Hasil Simulai

7 Simulasi Soal 1.d Hasil Simulasi

8 Soal 2: Strauss subbab 2.3 No. 2 Soal 2 Consider a solution of the diffusion equation u t = u xx in { x l, t < }. 1 Let M (T ) = the maximum of u (x,t) in the closed rectangle { x l, t T }. Does M (T ) increase or decrease as a function of T? 2 Let m (T ) = the minimum of u (x,t) in the close rectangle { x l, t T }. Does m (T ) increase or decrease as a function of T? Jawaban Soal 2 1 Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai maksimum terdapat pada x =, atau x = l, atau t =. Andaikan nilai maksimum tersebut terdapat pada sisi-sisi persegi panjang { x l, t T } untuk t = S > T, maka M (T ) M (S) sehingga M (T ) tidak akan turun. Jadi M (T ) naik dalam fungsi waktu. 2 Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai minimum terdapat pada x =, atau x = l, atau pada t =. Andaikan nilai minimum tersebut terdapat pada sisi-sisi persegi panjang { x l, t T } untuk t = S > T, maka m (T ) > m (S). Sehingga m (T ) tidak akan naik. Jadi m (T ) turun dalam fungsi waktu.

9 Soal No. 7 (Strauss Subbab 2.3) Soal 3 1 More generally, if u t ku xx = f, v t kv xx = g, f g, and u v at x =, x = l and t =, prove that u v for x l, t <. 2 If v t v xx sinx for x π, < t <, and if v (,t), v (π,t) and v (x,) sinx, use part (1) to show that v (x,t) (1 e t )sinx. Jawaban Soal 3 Misalkan w = u v dan dengan menggunakan prinsip maksimum, jika w t w xx in R = [,l] [,T ], maka maxw (x,t) = max w (x,t) R x=,x=l,t=

10 Soal No 8 (Strauss Subbab 2.3) Soal 4 Consider the diffusion equation on (, l) with the Robin boundary conditions u x (,t) a u (,t) = dan u x (l,t) + a l u (l,t) =. If a > and a l >, use the energy method to show that the endpoints contribute to the decrease of l u2 (x,t)dx. (This is interpreted to mean that part of the energy is lost at the boundary, so we call the boundary conditions radiating or dissipative. )

11 Jawaban Soal 4 Dengan menngunakan metode energy dan u x (,t) a u (,t) = u x (l,t) + a l u (l,t) =. = u t u xx = (u t u xx )u = uu t uu xx = 1 ( u 2 ) 2 t (uu x ) x + (u x ) 2 = 1 ˆ l ( u 2 ) ˆ l 2 t dx (uu x ) x dx ˆ l + (u x ) 2 dx = 1 ˆ l u 2 dx uu x l 2 t ˆ l + (u x ) 2 dx uu x l = u (l,t)u x (l,t) u (,t)u x (l,t) = u (l,t)( a l u (l,t)) u (,t)a u (,t) = a l u 2 (l,t) a u 2 (,t) = 1 ˆ l u 2 dx + a 2 t l u 2 (l,t) + a u 2 (,t) ˆ l + (u x ) 2 dx t ˆ l ˆ l u 2 dx = 2 (u x ) 2 2a l u 2 (l,t) 2a u 2 (,t) Karena a l, dan a positif, maka ruas kanan dari persamaan diatas selalu negatif, sehingga dapat disimpulkan bahwa energinya selalu turun.

12 Kode Program Figure:

13 Figure: