PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1

2 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan Differensial dibagi menjadi yaitu : PD Biasa PD Parsial Persamaan Differensial Biasa mempunyai satu variabel bebas, sedangkan Persamaan Differensial Parsial mempunyai Variabel Bebas lebih dari satu y = cos x y + 4 y = 0 x y y + e x y = x + y PD Biasa T = k A T t x PD Parsial

3 Persamaan Differensial Biasa atau Parsial mempunyai orde dimana orde menunjukan elemen turunan yang paling tinggi dalam suatu Persamaan Differensial. Persamaan Differensial Biasa atau Parsial dapat mempunyai satu sifat yaitu Linier atau non linier. Persamaan Differensial dapat muncul dibanyak bidang teknik atau yang lain jika suatu populasi (mis : manusia, bakteri, hewan dll) tumbuh pada laju y = dy sama dengan jumlah populasi dt sekarang, maka model populasinya dapat dituliskan sebagai berikut : y = y Dan kalau diselesaikan model ini akan mendapatkan persamaan y = ce t 3

4 Beberapa penerapan Persamaan Differensial : Benda Jatuh Bebas : y = g = konstan. Aliran Fluida keluar tangki : h = k h. Rangkaian listrik LCR : LI + RI + 1 I = E C Vibrasi suatu masa pada pegas : my + ky = 0 Dalam materi ini, PD orde 1 mengandung hanya y dan mungkin mengandung y dan fungsi yang dibentuk oleh x, sehingga dapat dituliskan sbb : F x, y, y y = f(x,y) = 0 atau dapat dituliskan sbb: 4

5 Penyelesaian Persamaan Differensial 1. Penyelesaian secara analitik (exact). Penyelesaian secara Numerik (Iteratif). Penyelesaian Persamaan Differensial secara Analitik Konsep Penyelesaian : Penyelesaian PD orde 1 yang diberikan pada interval terbuka a < x < b adalah fungsi y = h(x) yang mempunyai turunan y = h (x) dan memenuhi definisi untuk semua x didalam interval. 5

6 Verifikasi bahwa y = x adalah solusi dari PD xy = y untuk semua x. y = x maka y = x Substitusi y = x dalam PD xy = y, x(x) = y x = y y = x Kadang-kadang suatu penyelesaian PD akan membentuk sebagai suatu fungsi implisit, secara implisit diberikan dalam bentuk : H x, y = 0. Fungsi y dari x secara implisit dituliskan sebagai x + y -1 = 0, (y > 0), yang merepresentasikan setengah lingkaran pada setengah bidang, adalah suatu penyelesaian implisit dari PD yy = -x, pada interval -1 < x < 1 6

7 Suatu PD mungkin akan mempunyai banyak solusi. Hal ini seharusnya tidak mengherankan karena kita mengetahui bahwa dari calculus bahwa integrasi memberikan konstanta sembarang. Persamaan y = cos x dapat diselesaikan dengan calculus. Integrasi memberikan kurva sinus : y = sin x + c dengan nilai c adalah sembarang. a. Metoda Pemisahan Variabel Banyak Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde 1 dengan manipulasi secara aljabar dapat disederhanakan bentuknya menjadi : g(y)y = f(x) Karena y = dy/dx, kita dapat menuliskan lebih sesuai dalam bentuk g(y) dy = f(x)dx Bentuk ini dikatakan sebagai bentuk persamaan yang sudah dipisahkan variabelnya. Bentuk penyelesaiannya : g y dy = f x dx + c 7

8 Selesaikan PD berikut : 9yy + 4x = 0 Dengan memisahkan variabel-variabelnya maka menjadi : 9y dy = -4x dx Dengan mengintegrasikan pada kedua sisinya kita mendapatkan : 9 y = x + c maka x 9 + y 4 = c Selesaikan PD berikut : y = 1 + y Dengan memisahkan variabel dan mengintegralkan kita mendapatkan : dy 1 + y = dx y = tan (x + c) arc tan y = x + c 8

9 dx x C n1 n x x dx n 1 cos ax sin axdx C a sin ax cos axdx C a sec xdx tan x C sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C csc xdx cot x C kx kx e e dx C k dx ln x C x dx arcsin x C 1 x dx arctan x C 1 x dx arcsec x C x x 1 permasalahan Nilai awal Selesaikan permasalahan PD dengan nilai awal sbb : y + 5x 4 y = 0 y(0) = 1 Penyelesaian : dy y = 5x4 dx - 1 y = x5 + c y = 1 x 5 c 9

10 Lanjutan Dari hasil ini dan nilai awal kita mendapatkan : y 0 = 1 c = 1, c = -1 maka y = 1 x 5 +1 Dengan melakukan pengujian : y + 5x 4 y 5x 4 = x x4 1 x + 1 = 0 Selesaikan PD berikut y = x y y(1) = 3 Penyelesaian dengan pemisahan dan integrasi dan penggunaan kondisi nilai awal memberikan : y dy = x dx ½ y = ½ x + c ½. 3 = ½. 1 + c dan c = 4 Maka y x = 8 10

11 b. Metoda Penyederhanaan pemisahan variabel. PD orde 1 tertentu tidak dapat dipisahkan tetapi dapat dibuat terpisah dengan suatu perubahan variabel yang sederhana. Membentuk PD orde 1 menjadi : y = g y x Dimana g adalah suatu fungsi dari y/x. (y/x) 3, sin (y/x) dll. Bentuk persamaan menyarankan kepada kita untuk menyusun persamaan sbb : y x = u Lanjutan Maka y = xu. Hasil penurunan total memberikan : y = u + xu dimana u = du/dx Dari persamaan ini disubtitusikan ke persamaan g menjadi u + xu = g(u), sekarang kita dapat memisahkan variabel u dan x, mendapatkan: du g u u = dx x 11

12 Integrasi pada kedua sisi dan dalam hasilnya menggantikan u dengan y/x, kita mendapatkan solusi umum Selesaikan xyy y +x = 0 Dengan membagi dg x, kita mendapatkan y x y, y x + 1 = 0 y x y, y x + 1 = 0 Jika mengatur u = y/x dan menggunakan nilai turunannya, persamaan tersebut menjadi : u u + u x u + 1 = 0 Maka xuu + u + 1 = 0 1

13 Dengan memisahkan variabel, kita mendapatkan : udu 1 + u = dx x Dengan pengintegrasian ln 1 + u = ln x + c Jadi 1 + u = c x Dengan menggantikan u dengan y/x, di dapatkan: x + y = cx, Selesaikan PDB dengan nilai awal Penyelesaian : y = y + x3 cosx dan y π = 0 x y Kita mengatur u = y/x. Maka y =ux, y = xu + u, dan persamaan menjadi : xu + u = u + x cosx u Kita menyederhanakan secara aljabar dan mengintegrasikan : uu = xcosx, 1 u = sinx + c 13

14 Lanjutan Karena u = y/x, inimemberikan y = ux = x sinx + c Karena sinπ = 0, kondisi awal menghasilkan c = 0. Maka jawabannya adalah y = x sinx Kadang-kadang dari suatu bentuk persamaan differensial menyarankan pensubtitusian sederhana yang lain, seperti contoh berikut mengilustrasikannya : 3 : x 4y + 5 y + x y + 3 = 0 Penyelesaian : Kita mengatur x y = v. Maka y = 1 1 v dan persamaan tersebut menjadi bentuk 14

15 v + 5 v = 4v + 11 Dengan memisahkan variabel dan dengan mengintegrasikan, kita mendapatkan : 1 1 dv = dx 4v + 11 dan v 1 4 ln 4v + 11 = x + c Karena v = x y, persamaan ini akan dituliskan 4x + 8y + ln 4x 8y + 11 = c 15