Persamaan Diferensial Biasa
|
|
- Hadi Gunardi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar PDB September / 37
2 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa Pengertian Banyak prinsip dan hukum yang mendasari berbagai fenomena di alam berbentuk pernyataan (statements) atau hubungan (relations) yang melibatkan laju perubahan (rates) antarvariabel. Dalam matematika, pernyataan atau hubungan dituliskan dalam bentuk fungsi atau persamaan (equations), sedangkan laju perubahan dituliskan dalam bentuk turunan (derivatives). Persamaan yang melibatkan fungsi dan turunannya disebut sebagai persamaan diferensial (differential equations). Persamaan diferensial yang menggambarkan proses fisik tertentu biasa disebut model matematika (mathematical models). Toni Bakhtiar PDB September / 37
3 Contoh: Gerak Jatuh Pendahuluan Konsep Dasar Hukum fisika yang mengatur gerak benda ialah Hukum Newton II yang menyatakan perkalian massa benda dan percepatannya sama dengan besarnya gaya yang bekerja: F = ma (1) dengan m massa benda (kg), a percepatan (m/s 2 ), dan F besarnya gaya (newton). Karena percepatan a berkaitan dengan kecepatan v, yaitu a = dv dt, maka persamaan (1) ditulis: F = m dv dt. (2) Dalam hal gerak jatuh, gravitasi g memberikan gaya sebesar mg pada benda. Dalam waktu bersamaan benda mengalami gaya gesek udara yang diasumsikan sebanding dengan kecepatan benda, yaitu sebesar γv, dengan γ merupakan koefisien gesek. Dengan demikian, F = mg γv. (3) Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
4 Contoh: Gerak Jatuh Pendahuluan Konsep Dasar Penggabungan (2) dan (3) memberikan: m dv dt = mg γv. (4) Persamaan (4) merupakan model matematika yang menggambarkan gerak jatuh benda di udara. Model melibatkan tiga konstanta: m, γ, dan g. Dua konstanta pertama (m dan γ) sangat bergantung pada benda yang jatuh, sedangkan konstanta g bernilai tetap (yaitu 9.8 m/s 2 ). Konstanta-konstanta m dan γ biasa disebut sebagai parameter model. Persamaan (4) juga melibatkan fungsi yang belum diketahui, yaitu v = v(t). Menyelesaikan persamaan (4) berarti mencari fungsi v = v(t) yang memenuhi (4). Jika m = 10 kg dan γ = 2 kg/s maka diperoleh persamaan diferensial dv dt = v. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
5 Definisi Pendahuluan Konsep Dasar Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang melibatkan fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Suatu PD disebut PD biasa (ordinary differential equations) jika fungsi yang tidak diketahui bergantung hanya pada satu variabel bebas. Contoh: dy dx = 5x + 3, ey d 2 ( ) y dy 2 dx = 1. dx Pada contoh di atas, fungsi yang tidak diketahui ialah y = y(x). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
6 Definisi Pendahuluan Konsep Dasar Suatu PD disebut PD parsial (partial differential equations) jika fungsi yang tidak diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Contoh: 2 y t 2 y 4 2 x 2 = 0. Pada contoh di atas, fungsi yang tidak diketahui ialah y = y(t, x). PD Biasa (PDB) merupakan bahan UTS dan PD Parsial (PDP) bahan UAS. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
7 Ordo Pendahuluan Konsep Dasar Ordo suatu PD adalah ordo dari turunan tertinggi yang terlibat dalam PD tersebut. Contoh: dy orde-1: = 5x + 3, dx orde-2: orde-3: Notasi-notasi turunan: e y d 2 y dx ( dy dx ) 3 = 1, 4 d 3 y dx 3 + sin x d 2 y 5xy = 0. dx2 y, y, y, y (4),..., y (n), dy dx, d 2 y dx 2, d 3 y dx 3,..., d n y dx n. Jika variabel bebas yang terlibat ialah waktu t maka digunakan notasi ẏ = dy dt, ÿ = d 2 y,... y = d 3 y, dst. dt 2 dt 3 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
8 Bentuk Umum Pendahuluan Konsep Dasar Bentuk umum PDB orde-n : ( F x, y, y, y,..., y (n)) = 0, (5) dengan x variabel bebas dan y variabel tak bebas, yaitu y = y(x). Jika hubungan antara y = y(x) dan turunan-turunannya bersifat linear maka PD (5) disebut PDB Linear, dan dapat ditulis sebagai a n (x) d n y dx n + a n 1(x) d n 1 y dx n a 1(x) dy dx + a 0(x)y = f (x), dengan a n (x) = 0, a n 1 (x),..., a 0 (x) merupakan koefisien-koefisien PD. Jika f (x) = 0 maka PD disebut homogen dan jika f (x) = 0 maka PD disebut takhomogen. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
9 Solusi Pendahuluan Konsep Dasar Solusi PD dalam bentuk fungsi tidak diketahui y dan variabel bebas x pada interval I adalah fungsi y = y(x) yang memenuhi PD tersebut secara identik untuk semua x di I. Examples 1 Apakah y(x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x, dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta-konstanta sembarang, merupakan solusi bagi PD y + 4y = 0? 2 Apakah y(x) = x 2 1 merupakan solusi bagi (y ) 4 + y 2 = 1? 3 Apakah x 2 + y 2 = 1 merupakan solusi bagi dy dx = x y, untuk x ( 1, 1)? Solusi berbentuk y = y(x) disebut solusi eksplisit dan solusi berbentuk g(x, y) = 0 disebut solusi implisit. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
10 Pendahuluan Konsep Dasar Solusi y(x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x merupakan solusi umum (general solution) bagi PD y + 4y = 0 dan y(x) = 5 sin 2x + 3 cos 2x, y(x) = sin 2x + 2 cos 2x, y(x) = 10 cos 2x, dsb merupakan solusi khusus (particular solutions). Solusi khusus merupakan sembarang solusi tunggal. Solusi umum merupakan himpunan semua solusi. Secara lebih umum, dy dx = f (x) dy = f (x) dx y(x) = F (x) + C, dengan F adalah sembarang antiturunan dari f dan C adalah konstanta pengintegralan. Persamaan y(x) = F (x) + C disebut sebagai solusi umum PD. Solusi khusus diperoleh dengan cara menentapkan nilai y pada x tertentu, misalnya y(x 0 ) = y 0, yang disebut sebagai nilai awal atau syarat awal. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
11 Pendahuluan Solusi Umum dan Nilai Awal Konsep Dasar Solusi khusus diperoleh dengan mengganti konstanta pengintegralan C dengan nilai tertentu sehingga menggeser kurva F ke atas atau ke bawah. Umumnya, solusi khusus diperoleh dengan menyelesaiakan syarat awal y(x 0 ) = y 0. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
12 Pendahuluan Solusi Umum dan Nilai Awal Konsep Dasar Nilai awal: y(x 0 ) = y 0 F (x 0 ) + C = y 0 C = y 0 F (x 0 ), sehingga diperoleh solusi khusus y(x) = y 0 + F (x) F (x 0 ), yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan integral: Examples y(x) = y 0 + x x 0 f (s) ds. 1 Untuk persamaan diferensial dy dx = x + 10 sin x, (a) tentukan solusi umum, (b) tentukan solusi khusus yang melewati titik (π, 0). 2 Sebuah kurva melalui titik (1, 0) memiliki kemiringan ln x. Tentukan persamaan kurva tersebut! Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
13 Pendahuluan Masalah Nilai Awal Masalah Nilai Awal (MNA), Initial Value Problem (IVP) Masalah nilai awal pada PD orde-n F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 adalah masalah mencari solusi PD pada interval I yang sekaligus memenuhi n buah nilai awal berikut: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, dengan x 0 I dan y 0, y 1,..., y n 1 konstanta-kontanta yang diberikan. Examples 1 Tunjukkan bahwa y(x) = e x + 1 merupakan solusi dari MNA y + y = 1, y(0) = 2. 2 Tunjukkan bahwa y(x) = sin x + cos x merupakan solusi dari MNA y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
14 Pendahuluan Keujudan dan Ketunggalan Solusi Masalah Nilai Awal Tinjau MNA berikut: x 2 + t 2 dx dt = 0, x(0) = k. Dengan pemisahan variabel diperoleh solusi umum PD x(t) = t 1+Ct.Namun, jika k = 0 maka MNA tidak memiliki solusi. Tinjau MNA berikut: dx dt = x, x(0) = 0. Metode pemisahan variabel memberikan solusi x(t) = 1 4 t2. Namun, MNA juga masih punya takhingga banyak solusi lain: { 0 ; t a x a (t) = 1 4 (t a)2 ; t > a, dengan a > 0. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
15 Pendahuluan Masalah Nilai Awal Teorema Picard Theorem Diberikan MNA Jika f dan f x dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0. merupakan fungsi-fungsi kontinu pada daerah R = {(t, x) a < t < b, c < x < d} yang memuat titik awal (t 0, x 0 ), maka MNA memiliki solusi tunggal x = x(t) pada interval (t 0 h, t 0 + h), dengan h bilangan positif. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
16 Teorema Picard Pendahuluan Masalah Nilai Awal Examples Apakah Teorema Picard menjamin keujudan dan ketunggalan solusi MNA berikut: 1 y = y + e 2x, y(0) = 1. 2 y = y 1/3, y(0) = 0. 3 ẋ = x, x(0) = 0. 4 Tinjau MNA: dx dt = x 2, x(0) = x 0. karena f (t, x) := x 2 dan f x (t, x) = 2x keduanya kontinu maka MNA memiliki solusi tunggal, yaitu x(t) = 1 1 x 0 t, x 0 = 0. Maximal interval of existence: (, 1 x 0 ) ataukah ( 1 x 0, ). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
17 Bentuk Umum PDB Orde-1 PD Homogen Bentuk umum PD linear orde-1: ẋ + a(t)x = b(t), (6) dengan a(t) dan b(t) adalah fungsi-fungsi sembarang. Dikatakan linear karena ruas kiri (6) merupakan fungsi linear dari x dan ẋ. Jika b(t) = 0 akan diperoleh PD homogen orde-1 ẋ + a(t)x = 0. (7) Bentuk-bentuk berikut ini merupakan PD orde-1: ẋ + 2x = t 2, ẋ + e t x = 4t, dan (t 2 + 1)ẋ + x sin t = t ln t. Persamaan pertama dan kedua sudah dalam bentuk baku (6). Persamaan terakhir dapat ditulis dalam bentuk yang ekuivalen ẋ + sin t t x = t ln t t Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
18 PDB Orde-1 PD Homogen Metode Pemisahan Variabel Sebuah fakta penting dari PD linear adalah bahwa solusi persamaan takhomogen selalu dapat dikonstruksi dari solusi persamaan homogennya. Oleh karena itu pembahasan tentang persamaan diferensial homogen akan diberikan dalam bahasan tersendiri didahului dengan metode pemisahan variabel (variables separation method) sebagai sebuah metode solusi. Tinjau PD berikut: ẋ = F (x, t). (8) Jika F (x, t) dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dua buah fungsi f (x) dan g(t), yaitu F (x, t) = f (x)g(t) maka persamaan diferensial (8) dapat dituliskan menjadi ẋ = f (x)g(t). (9) Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
19 PDB Orde-1 Metode Pemisahan Variabel PD Homogen Perhatikan bahwa PD (9) dapat ditulis menjadi dx dt = f (x)g(t). Dengan memisahkan variabel-variabel yang sama di satu ruas, persamaan di atas akan menjadi 1 dx = g(t) dt. f (x) Pengintegralan terhadap kedua ruas persamaan di atas akan membawa ke masalah integral berikut 1 f (x) dx = g(t) dt. Jika f (x) dan g(t) diketahui maka masalah integral di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik penggintegralan. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
20 PDB Orde-1 PD Linear Homogen Orde-1 PD Homogen Bentuk umum PD linear homogen orde-1: ẋ(t) + a(t)x(t) = 0, (10) dengan a(t) fungsi sembarang. Persamaan (10) terpisahkan karena dapat ditulis menjadi 1 x dx = a(t) dt. Dengan asumsi x > 0, pengintegralan kedua ruas persamaan di atas memberikan 1 x dx = a(t) dt ln x = a(t) dt + k 1 x = e k 1 e a(t) dt. Jika didefinisikan A(t) := a(t) dt maka diperoleh x(t) = ke A(t), dengan k = e k 1 dan A(t) tidak mengandung konstanta pengintegralan lain karena pada dasarnya konstanta tersebut dapat diserap dalam k. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
21 PDB Orde-1 PD Homogen PD Linear Homogen Orde-1 Theorem Solusi dari PD linear homogen orde-1 ẋ(t) + a(t)x(t) = 0 ialah x(t) = ke A(t), dengan k konstanta sembarang dan A(t) := a(t) dt tidak mengandung konstanta pengintegralan lain. Corollary Berdasarkan teorema di atas, jika a(t) merupakan fungsi konstan, yaitu a(t) = a, maka solusi dari PD linear homogen orde-1 ẋ + ax = 0 ialah x(t) = ke at. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
22 PDB Orde-1 PD Linear Homogen Orde-1 PD Homogen Example Misalkan y(t) menyatakan besarnya konsumsi energi nasional pada saat t dan tumbuh dengan laju konstan 2 persen. Tentukan dan selesaikan persamaan diferensial dari masalah tersebut. Jawab Laju pertumbuhan suatu peubah adalah rasio antara pertumbuhan variabel dengan level variabel, yaitu ẏ/y. Masalah di atas dapat ditulis dalam PD berikut: ẏ = 0.02 ẏ = 0.02y, y yang merupakan PDLH orde-1 dengan solusi y(t) = ke 0.02t, yang memberikan level konsumsi energi pada saat t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
23 PDB Orde-1 PD Takhomogen PD Linear Takhomogen Orde-1 PD ẋ + a(t)x = b(t), dengan b(t) = 0, disebut sebagai PD linear takhomogen orde-1. Untuk menentukan solusinya, kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan faktor pengintegralan e A(t), dengan A(t) := a(t)dt, sehingga menjadi ẋe A(t) + a(t)xe A(t) = b(t)e A(t). (11) Dengan mengingat bahwa d dt (xea(t) ) = ẋe A(t) + xȧ(t)e A(t) = ẋe A(t) + xa(t)e A(t),maka (11) ditulis menjadi d dt (xea(t) ) = b(t)e A(t) xe A(t) = b(t)e A(t) dt + k dengan k konstanta pengintegralan. x(t) = e A(t) ( b(t)e A(t) dt + k Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37 ),
24 PDB Orde-1 PD Linear Takhomogen Orde-1 PD Takhomogen Theorem Solusi dari PD linear takhomogen orde-1 ẋ(t) + a(t)x(t) = b(t) ialah ( x(t) = e A(t) ) b(t)e A(t) dt + k, dengan k konstanta sembarang dan A(t) := a(t) dt tidak mengandung konstanta pengintegralan lain. Corollary Berdasarkan teorema di atas: 1 jika b(t) = 0 maka x(t) = ke A(t) (kasus PD homogen), 2 jika a(t) = a dan b(t) = b maka x(t) = ke at + b a, 3 jika a(t) = a maka x(t) = e at ( b(t)e at dt + k ). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
25 PDB Orde-1 Model Penyesuaian Harga PD Takhomogen Misalkan fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu komoditas berharga p berturut-turut diberikan oleh D(p) = a bp dan S(p) = α + βp, dengan a, b, α, dan β adalah konstanta-konstanta positif. Asumsikan bahwa harga merupakan fungsi dari waktu, yaitu p = p(t), dan bahwa laju perubahan harga sebanding dengan kelebihan permintaan (excess demand), yaitu ṗ = λ[d(p) S(p)], dengan λ adalah konstanta positif yang menyatakan seberapa cepat harga menyesuaikan (speed of adjustment). Substitusikan ekspresi bagi D dan S memberikan PDLTH: ṗ + λ(b + β)p = λ(a α). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
26 PDB Orde-1 Model Penyesuaian Harga PD Takhomogen Model penyesuaian harga memiliki solusi: p(t) = ke λ(b+β)t + a α b + β. Perhatikan bahwa karena λ(b + β) > 0 diperoleh lim p(t) = a α t b + β, yang menunjukkan bahwa p konvergen ke harga kesetimbangan p = a α b+β, pada mana D(p) = S(p) dipenuhi. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
27 PDB Orde-1 PD Eksak PD Eksak PD eksak dapat digunakan untuk menyelesaikan PD taklinear tertentu. Misalkan fungsi dua peubah u = u(t, x) memiliki turunan-turunan parsial kedua, yaitu u tt, u xx, u tx, u xt, yang kontinu. Asumsi kekontinuan turunan menjadikan u xt = u tx (Teorema Young) dan diferensial total (total differential) dari u terdefinisi, yaitu Tinjau PDB dalam bentuk dx dt = M(t, x) N(t, x) du = u t dt + u x dx. (12) M(t, x) dt + N(t, x) dx = 0. (13) Persamaan diferensial (13) dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan tersebut merupakan diferensial total dari suatu fungsi u(x, t), yaitu berlaku du = M(t, x) dt + N(t, x) dx. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
28 PD Eksak PDB Orde-1 PD Eksak Atau dengan kata lain, PD M(t, x) dt + N(t, x) dx = 0 dikatakan eksak jika terdapat suatu fungsi u(x, t) sedemikian sehingga berlaku u t = M(t, x), u x = N(t, x). Jika M dan N terdefinisi dan memiliki turunan-turunan parsial pertama yang kontinu maka diperoleh u tx = M x (t, x), u xt = N t (t, x). Dengan asumsi kontinuitas turunan yang membuat u xt = u tx maka M x = N t merupakan syarat cukup dan syarat perlu agar M(t, x) dt + N(t, x) dx merupakan turunan total (dan M(t, x) dt + N(t, x) dx = 0 merupakan PD eksak). Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
29 PD Eksak PDB Orde-1 PD Eksak Example Persamaan diferensial (x + 4) dt + t dx = 0 adalah PD eksak karena dengan M = x + 4 dan N = t diperoleh M x = 1 = N t. Sedangkan x dt t dx = 0 adalah PD takeksak karena M = x dan N = t membuat M x = N t. Fungsi u(x, t) dapat ditentukan sebagai berikut. Karena u t = M(t, x) maka u(t, x) = M(t, x) dt + f (x). Dalam integral di atas x dianggap konstan, dan f (x) berperan sebagai konstanta pengintegralan yang dapat ditentukan kemudian. Atau, karena u x = N(t, x) maka u(t, x) = N(t, x) dx + g(t), dengan t dianggap konstan dan g(t) adalah konstanta pengintegralan. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
30 PDB Orde-1 PD Eksak PD Eksak Example Periksa PD berikut eksak dan tentukan solusinya: t 3 + x t + (x 2 + ln t)ẋ = 0. Example Tentukan fungsi u yang menjadikan persamaan diferensial berikut eksak: x t 2 dt + 1 t dx = 0. Cari solusi PD di atas dengan menentukan x(t) dari u(t, x) = k. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
31 PDB Orde-1 PD Eksak PD Eksak Example Di beberapa kasus, PD takterpisahkan dan mungkin juga taklinear dapat diselesaikan dengan membawanya ke bentuk eksak. PD berikut takterpisahkan dan taklinear: 1 + tx 2 + t 2 xẋ = 0 (1 + tx 2 ) dt + t 2 x dx = 0. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
32 PDB Orde-1 PD Eksak PD Eksak PD takeksak dapat dijadikan PD eksak dengan cara mengalikannya dengan faktor pengintegralan tertentu. Tinjau PD berikut: dx dt + a(t)x = 0 a(t)x dt + dx = 0. Jelas PD di atas takeksak karena dengan M := a(t)x dan N := 1 diperoleh M x = N t (asalkan a(t) = 0). Kalikan PD di atas dengan faktor pengintegralan e A(t), dengan A(t) = a(t) dt, diperoleh e A(t) dx + e A(t) a(t)x dt = 0. Jelas PD di atas eksak karena dengan M := e A(t) a(t)x dan N := e A(t) diperoleh M x = e A(t) a(t) = N t. Secara umum, faktor pengintegralan tidak mudah ditemukan. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
33 PD Eksak PDB Orde-1 PD Eksak Tinjau kasus PD takeksak yang lebih umum berikut: F (t, x) + G (t, x) dx dt = 0 F (t, x) dt + G (t, x) dx = 0. Kalikan PD di atas dengan faktor pengintegralan I (t, x) sehingga diperoleh Agar eksak, haruslah dipenuhi: I (t, x)f (t, x) dt + I (t, x)g (t, x) dx = 0. atau x [I (t, x)f (t, x)] = [I (t, x)g (t, x)], t I x F + IF x = I t G + IG t. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
34 PD Eksak PDB Orde-1 PD Eksak Dapat ditulis, (F x G t )I = I t G I x F. Persamaan di atas merupakan PDP yang secara umum sulit diselesaikan. Namun jika masalah disederhanakan, yaitu jika diasumsikan I = I (t), maka I x = 0, sehingga (F x G t )I = I t G di dt = 1 G PD (14) memiliki solusi, yaitu I = I (t), asalkan 1 G bergantung pada t. Example ( F x G t ( F x G t ) I. (14) ) hanya Carilah faktor pengintegralan I = I (t) yang membuat PD di bawah eksak lalu tentukan solusi PD tersebut: (t cos x + e 5t ) dx dt + 3 sin x + 5xe5t + 2xe5t = 0. t Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
35 Metode Substitusi PDB Orde-1 PD Eksak Pada beberapa kasus khusus, PD dapat disederhanakan dan diselesaikan dengan substitusi. Tinjau PD homogen berikut: dx dt = F ( x t ). Definisikan variabel baru u := x/t atau x = ut, maka dx dt = t du dt + u t du dt = dx dt u t du = F (u) u, dt yang merupakan PD yang terpisahkan. Example Dengan substitusi tertentu, selesaikan PD berikut: tx dx dt = 2t2 + 3x 2. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
36 PDB Orde-1 PD Eksak Persamaan Bernoulli PD lain yang dapat diselesaikan dengan substitusi ialah PD Bernoulli yang memiliki bentuk umum dx dt + p(t)x = q(t)x n. Jika n = 0 atau n = 1 maka PD adalah linear orde-1. Untuk n / {0, 1}, definisikan u = x 1 n sehingga diperoleh: du dt n dx = (1 n)x dt = (1 n)x n [q(t)x n p(t)x] = (1 n)[q(t) p(t)u]. Diperoleh du dt + (1 n)p(t)u = (1 n)q(t). (linear!) Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
37 PDB Orde-1 PD Eksak Persamaan Bernoulli Example Selesaikan PD Bernoulli berikut: dx dt 6tx = 2tx 2. Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September / 37
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciHendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciKuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.
Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Lebih terperinciKontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat
Lebih terperinciMasalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciMata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciAplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi
JURNAL FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, 113-123 ISSN 2252-763X Aplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi Annisa Eki Mulyati dan Sugiyanto Program Studi Matematika Fakultas
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Pertemuan I Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY September 8, 2016 Skydiver Figure: Penerjun Payung Skydiver Asumsi untuk pergerakan skydiver 1 gaya gravitasi 2 gaya hambat karena atmosfer Hukum Newton
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
Lebih terperinci4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah
Pilihlah jawaban yang benar dengan cara mencakra huruf didepan jawaban yang saudara anggap benar pada lembar jawaban 1. Dibawah ini bentuk persamaan diferensial biasa linier homogen adalah a. y + xy =
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciBERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU
BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam
Lebih terperinciHANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.
HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS DOSEN Efendi, M.Si BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.Si Daftar Isi 1 Pengantar Persamaan Diferensial 1 1.1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciBAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1.
BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menentukan solusi persamaan gerak jatuh bebas berdasarkan pendekatan
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2017
Kontrol Optimum MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2017 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 53 Outline MKO berkendala
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3
8 III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan.
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang didalamnya terdapat beberapa derivatif. Persamaan diferensial menyatakan hubungan antara derivatif dari satu variabel
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA
BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak
Lebih terperincidy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,
5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan
Lebih terperinciDIKTAT. Persamaan Diferensial
Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S email: dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciPersamaan Difusi. Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M. Jamhuri. April 7, UIN Malang. M. Jamhuri Persamaan Difusi
Persamaan Difusi Penurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF) M Jamhuri UIN Malang April 7, 2013 Penurunan Persamaan Difusi Misalkan u(x, t) menyatakan konsentrasi dari zat pada posisi
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciBAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN
BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi
Lebih terperinciBab II Model Lapisan Fluida Viskos Tipis Akibat Gaya Gravitasi
Bab II Model Lapisan Fluida Viskos Tipis Akibat Gaya Gravitasi II.1 Gambaran Umum Model Pada bab ini, kita akan merumuskan model matematika dari masalah ketidakstabilan lapisan fluida tipis yang bergerak
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3.1 Masalah Dalam Mekanik Misal 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama waktu 4t maka kecepatan
Lebih terperinciBAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan
Lebih terperinciSagita Charolina Sihombing 1, Agus Dahlia Pendahuluan
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 14, No. 1 (2018), pp. 51 60. p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v14.n1.15953.51-60 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dan Dua disertai
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini pemodelan matematika telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Dalam pengajaran mata kuliah pemodelan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi
Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciNOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ABSTRACT
NOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Heni Kusnani 1, Leli Deswita, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciPersamaan Differensial Biasa
Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014 Kuliah yang Lalu 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23 Outline MKO dengan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinci: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c
Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah
Lebih terperinciSenin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,
Lebih terperinciBAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba
BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Lebih terperinci