BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
|
|
- Herman Muljana
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu Persamaan Diferensial dengan satu peubah bebas Contoh Misal P adalah fungsi variabel bebas t yaitu P(t) memenuhi : dp kp P( t ) P () dengan k R (bilangan real) Persamaan () disebut persamaan differensial tingkat Dikatakan tingkat karena notasi diferensial adalah diferensial pertama P(t) terhadap t Ada juga yang menyebut tingkat sebagai orde Pada buku ini digunakan istilah tingkat Notasi diferensial P(t) yang kedua ditulis d 3 d P( t) diferensial P(t) yang ketiga/atau disebut tingkat 3 yang 3, Diferensial yang ada dalam persamaan () adalah persamaan () disebut persamaan diferensial tingkat satu dp sehingga PEMODELAN MATEMATIKA
2 Persamaan diferensial () dapat pula ditulis sebagai dp kp P( t ) P atau dp P k Keadaan / kondisi P(t=)=P disebut sebagai nilai awal P Variabel P sebagai variabel tak bebas dan t sebagai variabel bebas Fungsi P(t) yang memenuhi persamaan () disebut penyelesaian/solusi Bagaimana mendapatkan solusi tersebut? Jawab: Perhatikan terlebih dahulu persamaan diferensial dp k () P Ingat ruas kiri sebagai diferensial terhadap P saja dan ruas kanan adalah diferensial k terhadap t saja Pada kalkulus kita mengenal Jika kita integralkan x x diperoleh ln x c dengan c sebagai konstan sembarang Jadi x untuk mendapatkan solusi dari suatu persamaan diferensial kita perlu mengintegralkan persamaan () ruas kiri dan ruas kanan Yaitu : dp P k dp P dalam P saja k dalam t saja (3) Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
3 Penyelesaian ruas kiri adalah dp P P c (4) (ingat bahwa P sebenarnya fungsi t tetapi tidak dimunculkan agar tidak membingungkan) Sedangkan ruas kanan persamaan (3) adalah k k kt c (5) Ruas kiri dan ruas kanan sama pada persamaan (3) Jadi ln P c kt (6) c Atau karena c dan c masih konstanta bebas, persamaan (6) dapat ditulis ln P kt C, dengan C c c ln P ln P t Tampak bahwa kt c Nilai C dapat ditentukan dari nilai awal Umumnya, kita lebih menyukai bentuk bentuk eksponensial, akan tetapi tidak boleh berubah artinya Yaitu dapat ditulis sebagai Dari relasi ln ln P kt C kt e ln C ln P ln (7) x ln y ln xy Sehingga persamaan (7) menjadi Jadi P Ce ln P ln Ce kt atau kt kt Ce P t PEMODELAN MATEMATIKA 3
4 Jadi k P Ce C P t P t C P =C Sehingga Persamaan (8) menjadi t kt P P e (9) Pembelajaran dengan matakuliah kalkulus Sebagai pembelajaran terhadap mata kuliah kalkulus maka perlu diselidiki apa hubungan hasil tersebut dengan kalkulus Dalam kalkulus kita telah mengenal berbagai fungsi sebagai berikut a Fungsi polinomial, misalnya f konstan, misal y a f linear, misal y f(x) ax b f kuadratik, misal y f x ax bx c 3 f kubik, misal y f x ax bx cx d y e b Fungsi Eksponensial, ditulis x f x c Fungsi Trigonometri dalam bentuk umum : y = Asin(B x) atau y = Acos (Bx) Apa gunanya fungsi-fungsi tersebut? Kita dapat menyatakan data dalam fungsi-fungsi tersebut Dengan persamaan diferensial berarti kita mencari solusi dari persamaan diferensial sebagai fungsi yang kita harapkan Jadi kesulitan yang muncul adalah menyusun persamaan diferensial dengan solusi sebagai fungsi yang kita harapkan Pada tulisan ini lebih diutamakan cara menyelesaikan berbagai persamaan diferensial (bukan cara menyusun persamaan diferensial) 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
5 Cara penyusunan data dalam persamaan diferensial disajikan dalam kuliah pemodelan matematika Cara penyelesaian Tipe Hal ini dapat ditulis dp k dp k konstan Pada bagian ini kita telah menyatakan persamaan diferensial secara terpisah yaitu ruas kanan diferensial terhadap P saja dan diferensial terhadap t saja pada ruas kanan Oleh karena itu bentuk tersebut dapat diintegralkan Yaitu: dp k Diperoleh P = kt + c dengan dengan c adalah konstan sembarang Diperoleh fungsi P yaitu fungsi linear terhadap t PEMODELAN MATEMATIKA 5
6 Tipe dp kt yang mempunyai penyelesaiaan Pt Ce sebagaimana pada penjelasan di atas Bagaimana perilaku saat t? Perhatikan bahwa nilai P(t) tergantung dari parameter pada eksponen Hal ini dapat ditulis dalam bentuk simbol sebagai berikut, ketika t P( t), ketika t Tanda kp menunjukkan bahwa saat C dan k positif maka P(t) bernilai positif dan negatif ketika C negatif dan k positif Sedangkan P(t) bernilai P t ketika k negatif baik C positif maupun negatif Tipe 3 (persamaan diferensial logistik) dp kp P K K,k : parameter (i) Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial ini, marilah kita lakukan tahap demi tahap Tahap Dapatkah dipisahkan? Diselidiki sebagai berikut Ruas kanan : k merupakan diferensia l dalam t Ruas kiri : dp dp P P P P K K 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
7 Jadi persamaan diferensial logistik dapat dipisahkan yaitu ruas kiri diferensial dalam P dalam dan ruas kanan diferensial dalam t Jadi dapat diintegralkan masing-masing untuk mendapatkan fungsi P dari kiri dan mendapatkan fungsi t dari kanan Yaitu dp P P K k (*) Tahap Mengintegralkan masing-masing ruas Ruas kiri : dp? P P K Kita mengatakan bentuk ini merupakan bentuk tidak standard karena tidak mengikuti bentuk rumus baku yang biasa muncul Oleh karena itu perlu dicari bentuk standard yang mirip Bentuk standard yang dimaksud adalah du u du u ln u c (**) PEMODELAN MATEMATIKA 7
8 P A BP K P P P P K K P A BP K menyamakan penyebut A B A P K Dengan menyamakan ruas kiri dan ruas kanan diperoleh A A dan B K Karena A maka B Sehingga K Oleh karena itu K P P P P K K dp dp K P P P K P K dp Jadi bentuk (*) pada ruas kiri ditulis sebagai dp dp K dp (a) P P P P K K Suku pertama ruas kanan sudah standard (lihat **) yaitu dp ln P c (b) P 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
9 Jadi dp dp K dp P P P P K K (a) Suku pertama ruas kanan sudah standard (lihat *) yaitu Bentuk P K K P K dp dp (***) K P K disubstitusi yaitu U P K Cara memilih bentuk yang disubstitusi tidak ada aturan khusus Anda perlu banyak berlatih (jam terbang dalam menyelesaikan soal) Selanjutnya perlu semua ekspresi dalam integral terhadap variabel baru yang digunakan dalam substitusi Yaitu perlu du yaitu atau dp=-kdu Jadi persamaan (***) menjadi K P K dp ( K) K du U du U ln U C du dp K = -ln P C (c) K Kesimpulan: dari hasil (a)-(c) dapat diperoleh PEMODELAN MATEMATIKA 9
10 Kita tulis ulang yang sudah kita pelajari yaitu dp dp K P P P P K K Persamaan (**) menjadi ln P ln P K dp C C P ln C, dengan C C C P K P ln C kt c atau P K ln P kt C ~ dimana C ~ konstan sembarang dari c-c P K Hingga saat ini, P(t) belum dinyatakan secara eksplisit Umumnya, kita lebih menyukai bentuk eksponen, sehingga solusi ini masih disederhanakan yaitu P kt ~ kt ln ln e ln C ln Ce ~ sehingga P Ce ~ P P K K P ~ kt PK ~ kt Ce atau Ce K P K P K K ~ kt ~ kt ~ kt PK Ce K P CKe PCe ~ kt ~ P K Ce CKe Jadi kt kt Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
11 kt CKe ~ P ~ (s) kt K Ce Untuk mendapatkan skalar C ~ maka gunakan nilai awal yang biasanya harus diketahui atau sebagai input Sebutlah pada t= nilai P diketahui Jadi atau Sehingga Jadi P ~ P K C ~ CKe k () ~ CK ~ k () ~ K Ce K C C ~ K atau ~ ~ P K P C CK ~ ~ ~ P K CK P C C( K ) P ~ C KP K P (s) Jadi substitusikan persamaan (s) ke persamaan (s) diperoleh ~ kt ~ kt kt kt CKe / C Ke Ke Ke P ~ kt ~ K Ce / C K P kt K P A e kt K e e KP P K P dengan A= P kt Ke K P Jadi P( t) dengan (s3) kt A e P Solusi ini (bentuk persamaan (s3)) yang biasa digunakan dalam pemodelan (Stewart, Kalkulus II,998) Contoh 3 Perhatikan dy xy Apakah persamaan diferensial ini dapat disusun terpisah sebagaimana dimaksud pada penjelasan di atas? Jika ya lakukan pemisahan (tidak perlu diintegralkan), sebutkan manakah yang variabel bebas dan tak bebas kt PEMODELAN MATEMATIKA
12 Jawab: Disini y :variabel tak bebas ; x :variabel bebas Persamaan diferensial tersebu merupakan persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu dy y diferensial dalam y saja x diferensial dalam x saja du Perhatikan tu Jawab: Apakah dapat dipisahkan? Variabel u adalah variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas Persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu du t u atau ditulis du t Selesaikan ya u Latihan soal Tuliskan variabel bebas dan tak bebas untuk masing-masing soal berikut Selidiki apakah metode pemisahan variabel dapat digunakan? Jika ya selesaikan, dan jika tidak berikan penjelasan anda 3 3x dy y 4 3 dy e 5 yy x 4y Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
13 6 dy t te 7 y y y xy Iny du dz 8 u t tu 9 e t z Kesimpulan Selama ini kita telah belajar persamaan diferensial dapat dipisahkan Secara umum dapat ditulis dp f Pgt atau f P dp gt Jadi ruas kiri diferensial dalam P saja dan ruas kanan sebagai diferensial dalam t saja Akan tetapi tidak semua persamaan diferensial dapat disajikan dalam persamaan diferensial terpisah Oleh karena itu perlu dikembangkan teknik penyelesaian yang lain Faktor Integral Contoh 4 Perhatikan masalah nilai awal t y ty dengan y Disebut masalah nilai awal karena persamaan diferensial tersebut ditentukan nilai awal yaitu pada t maka Perhatikan t y ty y y yang ditulis PEMODELAN MATEMATIKA 3
14 Sebelum memperkenalkan teknik lain, apakah persamaan diferensial dapat diselesaikan dalam bentuk persamaan diferensial terpisah? Jika ya, ikuti cara penyelesaian Persamaan Diferensial terpisah t y ty Pada bentuk ini variabel bebas t dan yang tak bebas y Atau yang dicari adalah y(t) Selain itu dy y dy Bentuk t ty dicoba disajikan dalam bentuk U(P)dP=f(t) Ditulis t dy ty atau t dy ty memuat t dan y memuat t dan y Jadi tidak dapat diselesaikan secara terpisah Bagaimana cara menyelesaikannya? Penyelesaian Persamaan Diferensial yang tidak dapat terpisah diselesaikan dengan cara faktor integral (J Stewart, kalkulus, hal 48-49) Persamaan Diferensial sebagai bentuk umum Persamaan Diferensial yang dapat diselesaikan dengan faktor integral adalah sebagai berikut: du P t U Q t (a) disebut persamaan diferensial tingkat dengan P dan Q sebagai fungsi kontinu pada selang yang diberikan Variabel bebas adalah t dan variabel tak bebas adalah U Jadi kita perlu mencari U(t) Koefisien du harus Metode faktor integral diperkenalkan dengan menggunakan contoh 4 di atas yaitu selesaikan: 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
15 t t y ty, y (b) Perhatikan t y ty Tanda y ty dapat ditulis t y disini berarti dalam bentuk umum (persamaan a), yaitu : y dy Sehingga dy ty Bentuk tersebut harus disusun dy t ty (c) Kedua ruas dikalikan t persamaan (c) dapat ditulis sebagai karena koefisien dy t ty t t dy y t t dy belum Sehingga Dengan mengikuti notasi pada bentuk umum persamaan (a), maka diperoleh: P t t t dan Qt Oleh karena sudah standard maka metode faktor integral dapat digunakan Akan tetapi kita belum menyelesaikan persamaan diferensial tersebut sejauh ini Untuk itu metode faktor integral akan dijelaskan lebih lanjut Kesimpulan (metode faktor integral) Soal harus memiliki bentuk persamaan diferensial linear tingkat satu yang umum yaitu: PEMODELAN MATEMATIKA 5
16 du Faktor integral disimbolkan P t U Q t (7d) t e It yaitu Pt I (8) Kedua ruas persamaan (7d) dikalikan dengan du It yaitu Pt U It Qt I t (9) Kemudian selesaikan persamaan (9) dengan mengintegralkan Contoh 5 t y ty, y Kembali pada contoh 4 : y y, y t t Dapat ditulis sebagai Bentuk soal menjadi dy y t t (4) Mengikuti bentuk umum persamaan () maka diperoleh P t t t dan Qt Sehingga disusun I Jadi Bentuk t t dicari yaitu e t ln t c t 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
17 I t e t e Intc e Int K t e c K e Int c dan K e Untuk selanjutnya digunakan K Kalikan kedua ruas dengan faktor integral It pada persamaan (4) yaitu: dy t y t Integralkan kedua ruas dalam t Diperoleh menyusun t dy y (5) t Perhatikan bahwa sesungguhnya y = y(t) Oleh karena itu akan dy t y dalam bentuk sebagai d dan kita akan mencari yang harus termuat dalam tanda kurung akan tetapi tidak merubah makna Hal ini dilakukan dengan tujuan agar kita dapat menyusun persamaan (5) dalam bentuk umum sebagai berikut : d Kita mengetahui bahwa persamaan (5) menjadi kanan diperoleh : ty c ln t c t c (6) ty d ty y t d ty ln t K dengan K c c dy t y t dy Oleh karena itu Selesaikan ruas kiri dan PEMODELAN MATEMATIKA 7
18 Jadi penyelesaian umum untuk contoh 5 adalah ln t K y t t Agar memenuhi nilai awal y maka K harus ditentukan Untuk t maka y ln K ln K K Jadi K = Sehingga penyelesaian yang memenuhi nilai awal adalah ln t y atau ty ln t t t 3 Pengenalan MATLAB Kegiatan Inovasi Pada bagian ini anda akan belajar bagaimana menggambar kurva yang akan muncul pada berbagai kegiatan menggunakan MATLAB: clear close all v=[3 4] %tulis vektor dengan ukuran x A=[5 6;7 8] %perkalian matriks vektor w=a*v' %menggambar fungsi x=linspace(,*pi,); y=sin(x) figure plot(x,y) figure plot(x,y,'r*') 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
19 y=x*sin(x) %sering figure plot(x,y,'go') XMIN=-; XMAX=*pi; YMIN=-6; YMAX=5; axis([xmin XMAX YMIN YMAX]) Kegiatan Inovasi Carilah penyelesaian dan ilustrasikan penyelesaian dengan MATLAB Catatan: jika tidak ada domain, maka definisikan sendiri domain dari penyelesaian PDB tersebut Contoh 5 y y e x Jawab : Jawaban analitik dilakukan dengan Faktor integral, sebut faktor integral adalah I( x) e e e P( x) x x Kalikan soal dengan I(x) sebagai faktor integral diperoleh x x x x e y e y e (a) Kemudian nyatakan ruas kiri dalam bentuk diferensial yaitu e y e e d x dy y e x x Integralkan kedua ruas pada persamaan ditulis Oleh karena itu e x x x x e y e e d y e 3 e 3x x 3x y e K atau y e 3 3x K / e x PEMODELAN MATEMATIKA 9
20 Jadi x x y e Ke (b) 3 Perhatikan bahwa pada kegiatan rutin anda hanya berhenti pada jawaban tersebut Pada kegiatan inovasi anda diminta untuk mengekspresikan berbagai bentuk solusi akan tetapi belum ada nilai tertentu yang diberikan Program untuk menampilkan berbagai solusi ditunjukkan berikut ini: clear close all n=; %banyaknya titik x=linspace(,*pi,n); K=; y=/3*exp(x)+k*exp(*x) figure plot(x,y,'r*') Masalah dalam menggambar persamaan (b): Tidak ada batas domain x Oleh karena itu kita perlu memilih x agar tampilan gambar lebih bisa digambar dengan masuk akal Perhatikan Gambar Gambar Ilustrasi x x y e Ke dengan K= 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
21 Skala pada sumbu vertikal Gambar bisa jadi dianggap terlalu besar dibandingkan skala pada sumbu horizontal Selain itu evolusi solusi pada x= hingga x=4 kurang terbedakan secara signifikan Untuk itu pemilihan sumbu horizontal (domain x terlalu besar), misalkan diperkecil dari x= hinggax = maka luaran program ditunjukkan pada Gambar Gambar Ilustrasi y domain [,] x x e 3 Ke, K= dengan Dari Gambar tampilan lebih dapat memberikan ilustrasi lebih baik karena setiap perubahan x mulai dari x=, solusi terbedakan secara signifikan Jelas bahwa untuk x semakin besar maka solusi tetap semakin besar secara positif tanpa harus menggambarkan solusi untuk x yang cukup besar Secara matematis dapat ditulis : x x lim y e Ke x 3 PEMODELAN MATEMATIKA
22 Hal ini dikarenakan suku pertama menuju tak hingga sedangkan suku ke- justru semakin kecil Kegiatan Inovasi Dengan menggunakan dfield7m, kita tidak perlu menyelesaikan Soal * tetapi justru mendapatkan solusi lebih banyak untuk berbagai nilai K dimana tidak ada nilai pasangan (x,y) tertentu sehingga K perlu dihitung Latihan Inovasi 3 Kerjakan dengan cara untuk soal-soal di bawah ini yang sama seperti contoh di atas (selesaikan manual, gunakan MATLAB dan dfield7m untuk soal soal berikut dengan memperhatikan bahwa tampilan solusi haruslah pantas (good looking)/ jangan asal ada Perhatikan skala sumbu horizontal dan sumbu vertikal y x 5y y xy x 3 y xy x 4 xy y e x 5 y cos x y sin x sin x ; x 6 xy xy 7 dy xy x dy 8 x xy cos x Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
23 II Selesaikan masalah nilai awal berikut du u, u du u t, u du u t, u 3 Akan tetapi pada Contoh tersebut nilai K hanya macam Kita dapat menggambar solusi dengan berbagai nilai K Contoh : Solusi pada soal no akan berbentuk y( x) 5 5 5x x Ke Program MATLAB untuk menggambar perlu menginput nilai K, sebutlah K=, yaitu clear close all x=linspace(-,,); K=; y=-/5*x-/5+k*exp(5*x); figure plot(x,y) axis([- - 4]) Luaran program ditunjukkan pada Gambar berikut PEMODELAN MATEMATIKA 3
24 Gambar 3 Kurva y( x) x Ke 5 5 Perhatikan bahwa axis/sumbu diatur agar tampilan cukup bagus Kemudian kita akan menggambar untuk K lebih dari macam nilai yang ditulis pada vektor K K=[ ] %gambar untuk berbagai nilai K dalam layar for i=:6 y=-/5*x-/5+k(i)*exp(5*x); figure() plot(x,y) hold on end hold off 5x Gambar 4 Ilustrasi 5x y( x) x Ke untuk 5 5 berbagai nilai K yaitu -3, -, -,,, 3 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
25 Menentukan solusi dengan bantuan dfield7m Prosedur penggunaan dfield7m : dy (i) Soal perlu ditulis dalam bentuk f ( x, y) (ii) Kita tidak perlu menyelesaikan karena penyelesaian akan dibentuk oleh medan vector yang muncul pada layar Untuk menggunakan dfiled7m maka kita perlu mendefinisikan minimum dan maksimum x serta minimum dan maksimum y Tampilan dari dfield7m Contoh 5: Soal no sudah berbentuk standart untuk dfield7m yaitu: dy f ( x, y) x 5y Jendela dfield7m akan berbentuk menurut jendela pada Gambar 5 Gambar 5 Jendela dfield7m Tampilan ditunjukkan pada Gambar 6 PEMODELAN MATEMATIKA 5
26 Gambar 6 Tampilkan medan vektor dari dfield7m Untuk mendapatkan solusi maka kita tinggal klik kursor pada layar maka akan muncul kurva-kurva dimana kita menempatkan kursor sebagaimana contoh berikut Gambar 7 Beberapa kurva penyelesaian untuk dy/=x + 5y 6 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
27 Pada Gambar 7 tersebut ada berbagai solusi tanpa harus mengetahui nilai awal/nilai batas dari kasus tersebut Kurva-kurva yang muncul merupakan kurva solusi dimana gradient dari kurva tersebut diberikan oleh medan vektor yang terbentuk dari soal 4 Soal dan jawab Jawab : Ingat kenali bentuk umumnya soal terlebih dahulu dalam bentuk PD Biasa Terpisah atau PD Linear Orde dengan Faktor integral Jawaban II du u, u du Perhatikan u Dapat ditulis du u dapat sebagai PD terpisah (a) Solusi yang diinginkan adalah t u u (yang dicari) Ruas kiri : du f u du dengan f u Bagaimanakah u u menyelesaikan du? u PEMODELAN MATEMATIKA 7
28 Bentuk ini belum standard terhadap bentuk standard d ln c (b) du u Jadi perlu disusun dalam bentuk standard yaitu dengan dp substitusi Misal P u sehingga Jadi du Sehingga du u dp P dp du (c) Persamaan (c) sudah berbentuk standard seperti persamaan (b) Jadi du dp u ln P c ln u c (d) P Ruas kanan dari persamaan adalah sehingga t c Jadi ln u c t c Jadi ln u t K, dengan K c c Dengan kata lain ln u t C, dengan c =K (e) 8 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
29 Disini u tidak dinyatakan sebagai fungsi t secara eksponen Jika dikehendaki, ditunjukkan pada berikut ini Ingat ln e x Gunakan pada persamaan (e) diperoleh ln u u e t c tc e t e c x ab a b karena e e e Sehingga kita dapat menulis sebagai u Ae Atau t u Ae sehingga t Ae u, A e t c Untuk mendapatkan A perlu digunakan u A A A Diperoleh A = 9 Jadi Kesimpulan 9 t e u Persamaan Diferensial yang telah kita pelajari, persamaan diferensial tingkat satu sebagai PD Terpisah PD Linear Tingkat Satu dengan Faktor Integral Dapat diketahui penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) orde yang berbentuk dy P( x) y Q( x) secara umum adalah PEMODELAN MATEMATIKA 9
30 P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ) () 3 PD orde - (linear dan koefisien konstan) Kita akan mengembangkan penggunaan (9) pada penyelesaian PDB order linear tak homogen dengan contoh Bentuk umum PD linear orde- dengan koefisien konstan adalah d y dy a b cy d Contoh 6 Misal perlu diselesaikan (Holmes, 995 hal3) d y dy y dengan y() = y() = () Bentuk PDB adalah PDB tak homogen orde- linear dengan koefisien konstan Cara penyelesaian dengan metode ekspansi ditunjukkan pada (Parhusip, ) dan penyusunan penyelesaian dengan metode faktor integral Cara faktor integral akan kita bahas disini Kita susun bentuk PD yang difaktorkan dengan menggunakan notasi D = d/ maka () dapat ditulis sebagai ( D D ) y Persamaan karakteristik adalah m m Menggunakan rumus abc diperoleh : Sebut m dan 4 m () 4 Dengan () maka persamaan () dapat ditulis dalam bentuk ( D m )( D m ) y (3) 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
31 Ingat bahwa bentuk kuadrat ax bx c x x )( x x ) dimana ( x dan xadalah akar-akar dari persamaan ax bx c yang digunakan pada persamaan (3) Hal inilah Sebut u = D m ) y maka dapat disusun ( D m ) u atau ( Du ( m ) u Sehingga u m m x m m mx m x m x mx mx ( x) e e e e e Ce Ce m Untuk mendapatkan y(x) maka digunakan ( D m ) y = u atau Dy + (- e m )y = u y= mx Ce m Lagi, kita menggunakan persamaan faktor integral sehingga dapat diperoleh: y( x) e P( x) = m m Q( x) e P( x) + mx Ce m m e + C e m m x u( x) e m Jadi dengan menggunakan persamaan () dapat ditulis penyelesaian eksak yaitu y(x)= m m + m m C e mx + C e m x 4 mx mx = mx mx C3e Ce Ce Ce (3) dengan m dan m (Ingat bahwa m m 4 4 adalah perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat m m ) Syarat batas yaitu y() = y() = digunakan untuk mencari C 3 dan C PEMODELAN MATEMATIKA 3
32 Untuk y() = maka y() = C3 C = sehingga C 3 C Dengan menggunakan syarat batas y() = diperoleh m m C e C e (5) 3 Oleh karena itu mencari C3 dan C dapat dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear atau dengan substitusi Diperoleh m m C e 3 m m e e dan e C (5) m m e e Diperoleh penyelesaian eksak yaitu mx mx y( x) C3e Ce e m m ( m x x) e m m m m e e e e e e y m x dengan C 3 dan C dinyatakan pada persamaan (5) Pada Gambar 8 ditunjukkan penyelesaian eksak untuk berbagai Gambar 8 Penyelesaian eksak untuk soal contoh d y dy y dengan y() = y() = untuk nilai, dan 3 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
33 4 Studi stabilitas 4 Persamaan diferensial linear Persamaan diferensial linear untuk pertumbuhan/peluruhan ditulis secara umum dalam bentuk ( t) x( t) () Penyelesaian x(t) dapat menunjukkan sebarang objek yang dipelajari Persamaan diferensial () dikatakan linear karena x(t) muncul pada ruas kanan Persamaan () dikatakan homogen karena fungsi konstan x ( t) juga merupakan penyelesaian Secara elegan, penyelesaian masalah persamaan () ditulis dalam bentuk teorema berikut ini Teorema Terdapat penyelesaian yang tunggal untuk masalah nilai awal persamaan (6) dengan nilai awal x( ) x yaitu x( t) x e t () Sebagai konsekuensi dari Teorema tampak bahwa ada beda kualitatif penyelesaian pada persamaan () yang tergantung pada nilai atau Anggap bahwa x Hal ini berakibat lim lim t, x( t) xe t t, (3) Persamaan (3) menjelaskan bahwa ketika berarti penyelesaian tumbuh secara eksponensial Ketika berarti bahwa penyelesaian meluruh secara eksponensial (exponential decay) Disini menunjukkan laju pertumbuhan Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian menjadi PEMODELAN MATEMATIKA 33
34 takterbatas ketika pada t t atau penyelesaian menjadi untuk Persamaan diferensial linear tak-homogen Perhatikan persamaan diferensial x 6 (4) Tampak bahwa x(t) = bukan merupakan penyelesaian Oleh sebab itu, persamaan diferensial pada persamaan (9) disebut tak-homogen Dapat dibuktikan bahwa fungsi konstan x(t) = -3 Persamaan (9) dapat diselesaikan dengan menggunakan Teorema Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi y ( t) x( t) 3 (5) Persamaan diferensial harus dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial dengan peubah tak bebas y(t) Yaitu dy (6) x 6 y Dengan menggunakan Teorema dapat diperoleh bahwa penyelesaian persamaan (3) yaitu y( t) t ye (7) 34 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
35 Jadi penyelesaian persamaan diferensial (4) yaitu x( t) y( t) 3 y e t 3 (8) y untuk setiap konstan Tampak bahwa lim lim t x( t) y e 3 t t 3, yang berarti tidak nol ataupun tak hingga Kita dapat menyatakan dalam bentuk yang lebih umum sebagai berikut Sebarang bentuk persamaan diferensial dalam bentuk x(t) (9) juga dapat diselesaikan yang serupa seperti di atas yaitu dengan menggunakan transformasi y( t) x( t) (3) Dengan menggunakan persamaan (3) diperoleh dy x( t) y( t) y( t) Penyelesaian persamaan (3) menggunakan Teorema yaitu (3) y t ( t) y e untuk sebarang konstan y dan x t ( t) y e Tampak bahwa limit (t) t x ketika adalah / ketika PEMODELAN MATEMATIKA 35
36 4 Bidang fase dan solusi setimbang (titik ekuilibrium) Lemma Perhatikan persamaan diferensial Penyelesaian atau ( t) ( t) g( x( t)) x( t) x adalah solusi setimbang jika hanya jika g ( x ) Solusi setimbang x( t) x dikatakan stabil asimtotik jika semua penyelesaian x(t) dengan nilai awal yang didekat x ketika t Dengan simbol ditulis x mempunyai limit lim x( t) x t Solusi setimbang mulai didekat Catatan: x( t) x dikatakan tidak stabil jika trayektori x bergerak menjauh dari Perhatikan perbedaan nilai awal x() dan notasi solusi setimbang x( t) x mempunyai makna berbeda Nilai awal adalah nilai x(t) pada t = (awal pengamatan) sedangkan solusi setimbang ( t) nilai x(t) yang memenuhi x x( t) x adalah 36 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
37 Contoh 6 ketika Contoh 7 Perhatikan persamaan diferensial pada persamaan x g( x( t)) Solusi setimbang adalah x = Solusi setimbang ini asimtotik stabil dan tidak stabil ketika dengan suatu konstan Kita akan menggunakan notasi x g( x( t)) x (35) ' g ( x) dg untuk mempelajari solusi setimbang () Solusi setimbang dicari yaitu titik yang memenuhi Diperoleh persamaan Diperoleh x =, x( x ) x, dan x Kita mempunyai 3 titik ekuilibrium Ingat bahwa x = bukan nilai awal, akan tetapi merupakan titik setimbang Sifat solusi setimbang dapat dipelajari dengan memperhatikan keadaan/perubahan di sekitar solusi setimbang tersebut Gunakan pendekatan dengan persamaan garis antara titik dengan g( x ) = diperoleh dengan ' g( x) g ( x )( x x ), (36) x merupakan notasi untuk solusi setimbang PEMODELAN MATEMATIKA 37
38 Tampak bahwa ketika g' ( x ), maka g(x) negatif ketika x dan positif ketika x x Secara sama, jika g' ( x ), maka g(x) positif ketika x dan negatif ketika x x Jadi penyelesaian dekat x lebih cepat meninggalkan x ketika ' g x ) ( Keadaan-keadaan tersebut disajikan dalam bentuk Teorema berikut ini Teorema 3 Jika x adalah solusi setimbang untuk suatu persamaan diferensial maka ( t) g( x( t)) ' Jika g x ) maka solusi setimbang adalah stabil asimtotik, dan ( jika dg ( x ) maka solusi setimbang tidak stabil Contoh 8 Penyelesaian Contoh 7 ditunjukkan dalam bentuk grafik dengan menggunakan free software pplane7m yang ditunjukkan pada Gambar 9 Gambar 9 Penyelesaian dari masalah nilai awal x x g( x( t)) dengan 38 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
39 Sebagaimana telah ditunjukkan bahwa terdapat 3 solusi setimbang pada Gambar 9 yaitu x, x, x studi berikut ini ketika Beberapa analisa ditunjukkan pada (i) Studi solusi setimbang disekitar x Pada sekitar x, telah ditunjukkan bahwa g ( x ) x ( x ) Ketika x x dengan x maka dg g ' ( x) x Jadi menurut Lemma, titik x tidak stabil pada x x Secara ' sama ketika x dengan x, diperoleh g ( x) Menurut Teorema diperoleh bahwa solusi setimbang tidak stabil (ii) Studi solusi setimbang di sekitar x Pada sekitar x dengan x diperoleh < g '( x) Oleh karena itu menurut Teorema, solusi setimbang x adalah solusi setimbang tidak stabil (iii) Studi solusi setimbang di sekitar x Pada sekitar x dengan ' x diperoleh g ( x) x Oleh karena itu menurut Teorema, solusi setimbang x adalah solusi setimbang stabil asimtotik PEMODELAN MATEMATIKA 39
40 Kegiatan Inovasi 4 Pada soal Kegiatan Inovasi 3 anda sudah diminta untuk mencari penyelesaian baik yang umum maupun berdasarkan input yang diberikan Oleh karena itu tentukan : (i) Solusi setimbang tiap soal (ii) Sifat solusi setimbang masing-masing (ii) Tandai lokasi solusi setimbang pada ilustrasi penyelesaian yang anda punya Petunjuk: a Solusi yang digambar haruslah memuat solusi setimbang agar dapat menjelaskan solusi setimbang yang diperoleh b Contoh: Untuk solusi setimbang dari y x 5y f ( x, y) berarti perlu diselesaikan x +5y= yaitu y= -x/5 (ingat bahwa solusi setimbang adalah solusi sehingga dy/ =) Sifat solusi setimbang ditentukan oleh d d f ( x, y) ( x 5y) yang selalu positif untuk setiap sembarang x Jadi solusi setimbang y=-x/5 merupakan solusi setimbang tidak stabil 4 Dasar-Dasar Pemodelan Matematika
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciBab 16. Model Pemangsa-Mangsa
Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Lebih terperinciBab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)
Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi
Lebih terperinciBAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciKuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.
Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciDr. Hanna A Parhusip
Dr. Hanna A Parhusip Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 5 Katalog Dalam Terbitan 58.6 PAR Parhusip, Hanna A. m Modul metode numerik / Hanna A. Parhusip. -- Salatiga : Tisara Grafika, 5. viii, 9 hlm. ; 5
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciBAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba
BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciFakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program
Lebih terperinciBAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciPRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR
PRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR Dalam bab ini kita akan menggunakan Matlab untuk menyelesaikan persamaan aljabar. Kita akan mulai dengan menyelesaikan persamaan sederhana (persamaan dengan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
No. LSKD/EKO/DEL221/01 Revisi : 02 Tgl : - Hal 1 dari 12 1. Kompetensi Setelah melakukan praktik, mahasiswa diharapkan memiliki kompetensi: dapat memahami input, output dan grafik pada. 2. Sub Kompetensi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPersamaan Differensial Biasa
Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciTeori kendali. Oleh: Ari suparwanto
Teori kendali Oleh: Ari suparwanto Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciPD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono
PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciAsimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN
FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinci