BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan."

Transkripsi

1 BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. Kriteria apa saa yang dapat digunakan untuk menentukan properti apa saa dari suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan. Dalam mekanika kuantum ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat secara simultan, sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti pengukurannya tidak dapat secara simultan. Ada uga pasangan-pasangan properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai hasil pengukuran yang pasti. Jika fungsi adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A.

2 Contoh ika adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik T dengan nilai eigen t, maka t adalah nilai energi kinetik T. Jika secara simultan merupakan fungsi eigen dari dua buah operator yaitu A dan B dengan nilai eigen a dan b, (ditulis: A = a dan B = b, maka secara simultan dapat diketahui secara pasti nilai properti A dan B, yaitu a dan b. Kapankah teradi kemungkinan bahwa menadi fungsi eigen dari dua buah operator berbeda? Fungsi akan secara simultan merupakan fungsi eigen dari dua buah operator A dan B ika kedua operator tersebut adalah pasangan operator yang commute atau ika [ A,B ] = 0. Jika dua buah operator A dan B adalah commute, maka dapat menadi fungsi eigen bagi A maupun B.! Ingat! Commutator A dan B adalah [ A,B ] = A B B A.

3 Beberapa commutator identitas yang sangat membantu dalam mengevaluasi commutator. [ A, B ] = [B, A ] (5-1) [ A, A n ] = 0 (5-) [k A, B ] = [ A, kb ] = k[ A, B ] (5-3) [ A, A +C ] = [ A,B ] + [ A,C ]; [ A +B,C ] = [ A, C ] + [B,C ] (5-4) [ A, B C ] = [ A,B ]C + B [ A,C ] ; [ A B,C ] = [ A,C ]B + A [B,C ] (5-5) Contoh: Buktikanlah bahwa x dan p x tidak dapat diukur secara simultan! Jawab: Uilah bahwa [ x, p x] 0 [ x, p x] = [ x p x p xx ] Jika dioperasikan pada sembarang fungsi :

4 [ x, p x] = [ x p x p xx ] = x p x p xx Karena p x = i, maka: x [ x, p x] = x ( i i ( x i { x i { x i { x i { x ) ( i )x x x x ) x x ( x + x ) } x x x ( + x ) } x x x } x x x } x x

5 i { } i Jadi: [ x, p x] = i Karena [x, p x] 0, maka tidak mungkin merupakan fungsi eigen simultan terhadap x dan p x sehingga pengukuran x dan p x harus secara simultan dan mengikuti prinsip ketidakpastian. 5. Momentum Angular Sistem Partikel Tunggal Momentum Angular Dalam Mekanika Klasik Jika sebuah partikel bermassa m melintas dan dalam sistem koordinat Cartessius dengan r adalah vektor dari titik acuan ke posisi partikel pada saat itu, maka hubungan antara vektor r dengan komponen-komponennya adalah r = x i + y + z k (5-6)

6 dengan x, y dan z adalah koordinat partikel sedang i,, k adalah unit vektor berarah x, y dan x.

7 Jika vektor momentum linear adalah p maka hubungan antara vektor p dengan komponen-komponennya adalah: p = p x i + p y + p z k (5-7) dengan p x = m v x ; p y = m v y dan p z = m v z

8 Menurut mekanika klasik, vektor momentum angular L didefinisikan sebagai : i k L = r x p = x p = y. p z. p z x y y p y z p i xp zp z z + xp yp x y k (5-8) Karena hubungan antara vektor L dan komponen-komponennya adalah: L = L x i + L y + L z k (5-9) Maka kita peroleh: Lx y. pz z. py Ly z. px x. pz (5-10) L x. p y. p z y x x

9 Hubungan antara harga L dengan L x, l y dan L z adalah: L = L L L (5-11) x y z Operator Momentum Angular Operator momentum angular diperoleh dari persamaan klasik (5-11) dan (-10) setelah mengganti p x, p y dan p z dengan operator p x, p y dan p z yaitu: p x = i x p y = i (5-1) y p z = i z

10 sehingga: L x = i y z z y L y = i z x (5-13) x z L z = i x y y x Selanutnya kita tahu bahwa besarnya harga skalar L adalah: L = L L L x Jadi operator y L = L x + z L + y L z (5-14)

11 Commutator antara Momentum Angular dengan Komponenkomponennya Selanutnya karena pasangan commutator sangat penting untuk mengetahui apakah dua buah properti dapat diukur secara simultan atau tidak, maka sekarang kita akan melihat bagaimana harga pasangan-pasangan commutator antar komponen momentum angular, yaitu [ L x, L y]; [ L x, L z]; [ L y, L z] dan uga pasangan commutator antara operator momentum angular L dengan komponen-komponennya yaitu commutator [ L, L x]; [ L, L y] dan [ L, L z]. Pertama kita akan mengevaluasi commutator [ L x, L y]. Kita tahu bahwa: [ L x, L y] = Lx L y Ly L x Jika dioperasikan pada sembarang fungsi F maka: [ L x, L y] F = Lx L y F Ly L x F

12 = { y z z y z x x z F z x x z y z z y F} y z F yx F z F zx F zy F z F xy F x z F z x z yx yz xz xy z z y y z F zx F zy F x z F z x yz xz z y F F y x x y y x F x y = i L F z Jadi: [ L x, L y] = i L z (5-15)

13 Analog dengan cara diatas maka diperoleh (Buktikan): [ L y, L z] = i L x (5-16) [ L z, L x] = i L y (5-17) Dari (-11) tampak bahwa pasangan commutator antar komponen momentum angular adalah non-commute. Sekarang akan kita selidiki pasangan commutator antara operator momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu: [ L, L x] ; [ L, L y] dan [ L, L z]. Pertama akan kita selidiki dulu: [ L, L x] dengan memanfaatkan sifat commutator identitas pada awal bab ini. Karena: [ L, x L = Lx L ] = [ = [ Lx + Ly + Lz Lx + Ly + Lz, x, L x] + [ Ly, x maka: L ] L ] + [ L ] Lz, x

14 Menurut sifat (5-), [ L, L x] = 0, adi: [ L, L x] = [ L, L x] + [ L, L x] atau: [ L, L x] = [ Ly L y, L x] + [ L z L z, L x] Dengan menggunakan sifat (5-5) yaitu [ A B,C ] = [ A,C ] B + A [ B, C ], maka: [ L, L x] = [ L y, L x] L y+ L y [ L y, L x] + [ L z, L x] L z + L z [ L z, L x] = i Lz L y i Ly L z + i Ly L z + i Lz L y = 0 Jadi: [ L, L x] = 0 (5-18) Analog dengan cara di atas maka diperoleh: [ L, L y] = 0 (5-19) [ L, L z] = 0 (5-0)

15 Dari persamaan (5-18) sampai dengan (5-0) tampak bahwa operator momentum angular L dan salah satu komponenkomponen bersifat commute, adi antara L dengan salah satu L x atau L atau y Lzmempunyai fungsi eigen yang sama. Operator Momentum Angular dalam Koordinat Spherik Persamaan (5-13) dan (5-14) itu adalah operator untuk menghitung L x, L y dan L z dengan menggunakan koordinat Cartessius. Mengingat momentum angular teradi pada partikel yang bergerak melengkung, maka penggunaan operator kuantum angular dalam koordinat bola, ternyata lebih menguntungkan, oleh karena itu, kita perlu mengetahui, bagaimana pernyataan operator tersebut dalam koordinat bola. Buku ini tidak akan membahas bagaimana penurunan operator tersebut dalam koordinat bola, tetapi bagi yang ingin mengetahui

16 penurunannya dianurkan untuk membaca literatur mekanika kuantum. Adapun dalam koordinat bola (Hanna, 1969: 137): L x= i sin cot cos L y = i cos cot sin (5-14) L z= i Telah kita ketahui, bahwa hubungan antara suatu vektor dengan komponen-komponennya adalah kuadrat vektor = umlah kuadrat komponen-komponennya, adi: L Lx Ly Lz Dengan demikian diperoleh: L = 1 1 sin sin sin (5-18)

17 atau: L = 1 sin cot (5-19) Fungsi Eigen Dan Nilai Eigen Momentum Angular Orbital Partikel Tunggal Sekarang kita akan menurunkan fungsi eigen dari operator L dan L z. Dengan memperhatikan bahwa operator tersebut melibatkan dan, maka fungsi tersebut kita sebut fungsi (,) yang merupakan fungsi dan fungsi dalam relasi: (,) = f(). f() (5-0) Jika agar praktis f() ditulis T dan fungsi f() ditulis, maka: (,) = T. (5-1)

18 Jika b adalah nilai eigen untuk Lzdan c adalah nilai eigen untuk L, maka persamaan eigennya dapat ditulis: Lz = b (5-) L = c (5-3) Kita selesaikan dulu (5-). Dengan menggunakan operator L z dan fungsi ditulis T. maka (5-) dapat ditulis: i T. = b T. atau i T d = b T.atau d T d = (b/ i d ) T.atau d ib =.atau d 1 dib d atau

19 ln = ib C atau ib / C = e C ib / = e e ib / = A e (5-4) dengan A adalah tetapan sembarang. Apakah setiap (5-4) dapat menadi fungsi eigen? Jawabnya tidak. Karena tidak semua bentuk (5-4) adalah bernilai tunggal (singled valued). Agar (5-4) singled valued maka ika ditambah harga tidak berubah. Jadi (5-4) adalah fungsi eigen ika: ib / e A sehingga ib / = A ib( )/ e = A ib / e e ib / e = 1 (5-5) ib / e adalah cos b/ + i sin b/. Jadi cos b/ + i sin b/ = 1 (5-6) Untuk memenuhi (5-6) maka b/ harus = m dengan m = 0, 1,,

20 sehingga b = m m = 0, 1,, 3, 4, (5-7) Karena b adalah nilai eigen dari operator L z maka harga L z pasti = b, atau: L z = m m = 0, 1,, 3, 4, (5-8) Jika harga b dimasukkan ke dalam (5-4) maka fungsi eigen diperoleh, yaitu: = A e i m (5-9) Dengan normalisasi, harga A diperoleh, yaitu A = sehingga: 1 1/ = 1 1/ e i m (5-30)

21 dengan m adalah bilangan kuantum magnetik. Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (5-3) yaitu = c yang dapat ditulis: 1 cot sin = c atau 1 cot sin = c atau 1 1/ 1 e i m 1/ = c 1 e i m atau cot sin d T c cot dt m T d d sin (Buktikan!) (5-31) Untuk menyelesaikan (5-31) kita lakukan dengan melakukan manipulasi matematika, pertama diadakan perubahan variabel bebas, dengan cara mensubstitusi: cos = x (5-3) L

22 Jika cos = x maka: sin = (1 x ) 1/ (5-33) icot = x / (1 x ) 1/ Akibat perubahan variabel ini, maka teradi transformasi fungsi T yang semula fungsi menadi fungsi x. Kita misalkan fungsi baru sebagai akibat transformasi itu adalah G (x) Jadi: T = G (x) (5-34) sehingga, dengan aturan berantai yaitu: dt d dg. dx dx d = dg d cos. = sin dg dx d dx = (1 x ) 1/ dg dx (5-35) Untuk mengevaluasi d d = (1 x ) 1/ dt d d dx kita gunakan operator alabar:

23 Jadi dt d = (1 x ) 1/ d [(1 x ) 1/ dg ] dx dx = (1 x ) 1/ d [ (1 x ) 1/ dg ] dx dx = (1 x ) 1/ d { (1 x dx ) 1/ dg. + (1 x dx ) 1/ d G ] dx = (1 x ) 1/ { (1/) (1 x ) 1/ dg (x). + (1 x dx ) 1/ = (1 x ) 1/ { (1/) (1 x ) 1/ dg (x). + (1 x dx ) 1/ = (1 x ) 1/ { x) (1 x ) 1/ dg. + (1 x dx ) 1/ dg = x + (1 x d G dx ) dx Jadi: dt d = (1 x d G dg ) x dx dx (5-36) d G ] dx d G ] dx d G ] dx Dengan menggunakan (5-3) s/d (5-36), maka (5-31) dapat ditulis: (1 x d G dg ) x + c m dx dx G = 0 (5-37) 1 x

24 dengan x adalah 1 < x < +1 (Mengapa?) atau: (1 x c m ) G'' x G'+ G = 0 (5-38) 1 x Agar penyelesaiannya tidak rumit ketika kita melakukan penyelesaian dengan menggunakan metode deret penyelesaian, maka kita nyata G kedalam fungsi x yang lain yaitu H (x) dengan relasi: G = 1 x m / H (5-39) Dari (5-39) kita cari G' dan G'' untuk disubstitusikan ke (5-38) dan setelah dibagi dengan 1 x m / (1 x ) H'' m 1 x H' + [ c, maka (5-38) menadi: m 1 m H = 0 (5-40)

25 Sekarang akan kita selesaikan (5-40) dengan metode deret, yaitu dengan memisalkan: H = ax (5-41) 0 Turunannya adalah: H' = H'' = ax (5-4) 0 ( 1).. a x = ( 1).. a x (5-43) 0 0 Substitusi (5-41) s/d (5-43) ke dalam (5-40) menghasilkan:: ( 1). ( ). a m c/ m m a x = 0 0 Karena x pasti tidak nol maka koefisiennya yang nol adi: ( 1). ( ). a m c/ m m a x = 0 0 dan diperoleh:

26 a = m m 1 c/ 1 a (5-44) Sebagaimana dalam osilator harmonis, bentuk umum penyelesaian (5-40) adalah kombinasi linear dari fungsi berpangkat genap (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a 0 ) dan fungsi berpangkat ganil (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a 1 ). Kedua fungsi penyelesaian ini tampak merupakan fungsi berbentuk deret pangkat sampai tak terhingga, sehingga tidak merupakan well behaved eigenfunctions. Namun seperti halnya yang sudah kita kenal pada osilator harmonis, kita dapat membuat salah satu deret penyelesaian itu berhenti pada suku berpangkat tertentu, yaitu dengan membuat koefisien pada suku tersebut berharga nol. Jika kita misalkan deret penyelesaian berhenti pada suku berpangkat k, artinya ika kita mengganti dengan k, maka koefisiennya suku itu, yang dapat

27 dihitung dari (5-38) menadi berharga nol, sehingga kita akan memperoleh: c = k m k m 1 (5-45) dan karena k adalah, sedang berharga 0, 1,,...., maka k uga berharga 0, 1,,..... Selanutnya karena m uga berharga 0, 1,,.... maka k m uga berharga 0, 1,, 3... yang untuk selanutnya k m disebut bilangan kuantum azymuth atau bilangan kuantum angular translasi dan diberi notasi adi: = k m (5-46) dan dengan demikian maka (5-45) menadi: c = ( +1) (5-47) Karena menurut (5-3), c adalah nilai eigen dari operator momentum L, maka dapat disimpulkan bahwa harga skalar L adalah:

28 L = atau: L = 1 ( +1) (5-48) (5-49) Marilah kita amati lagi persamaan (5-46). Hal penting yang diperhatikan dari persamaan (5-45) itu adalah bahwa harga m tidak melebihi, sebab ika m melebihi maka k akan negatif. Padahal harus diingat bahwa k adalah sedang adalah pangkat x dari deret penyelesaian persamaan diferensial orde dua, dengan harga paling kecil nol. Karena paling kecil nol, maka k paling kecil nol. Kalau k paling kecil nol, maka m paling besar = atau kita biasa menulis: m < (5-50) atau: m = 0, + 1, +, +3, (5-51)

29 Penurunan Fungsi Menurut (5-34) fungsi nya adalah T = G (x) dengan G = 1 x m / T = m / H (menurut -31) sehingga: 1 x H (5-5) Karena x adalah cos, maka: m T = (sin ) H (5-53) Menurut (5-41), H = T = (sin ) m ax, sehingga: 0 ax (5-54) 0 Karena fungsi dikehendaki hanya sampai suku k dengan k = m, maka (5-54) dapat ditulis: T = (sin ) m. m ax (5-55) 0

30 Karena penyelesaian ax pada dasarnya adalah salah satu 0 kemungkinan genap, atau ganil, maka (5-55) dapat dipecah bentuknya menadi: = T = (sin ) m m (sin ). ax ika m 0,, 4.. m m. ax ika m 1, 3,.... genap (5-56) T ganil (5-57) Jika x kita kembalikan ke asalnya yaitu cos, maka: ika T = T = (sin ) m. m 0,, m genap (5-58) (sin ) m. m 1, 3,.... ika ganil (5-59) a cos a cos

31 Koefisien a, mengikuti (5-44), yang setelah harga nilai eigen c, dimasukkan menadi: a = ( m ) ( m 1) ( 1) a (5-60) 1 Setelah T diperoleh, maka (,) uga diperoleh, yaitu: 1/ 1 e i m (5-61) dengan T adalah salah satu dari (-49). Karena (,) ditentukan oleh dan m, maka fungsi eigen momentum angular uga sering ditulis (, m), sehingga: 1/ 1 (, m) = e i m (5-6)

32 Contoh: Sebuah partikel yang diperikan oleh bilangan kuantum = 3 dan m = 1, tentukan: a) Komponen momentum L z b) Momentum angular L c) Fungsi gelombang eigennya Jawab: a) L z = m = b) L = ( 1) = 6 c) karena = 3 dan m = 1, maka m =, adi fungsi genap, dan untuk menentukan fungsi T kita gunakan (5-58): T = (sin ) m. 0,. a cos = sin ( a 0 + a cos ) a kita cari dari relasi:

33 a = ( m ) ( m 1) ( 1) 1 a = ( m ) ( m 1) ( 1) 1 (0 1) (0 11) 3(31) a = a 0 = a 0 (0 ) (0 1) Jadi: : T = sin ( a0 a 0 cos ) = a 0 sin (1 5cos ) = a 0 sin (5cos 1) Harga a 0 dicari dengan normalisasi: * T T d = 1 0 d = r dr sin d d a a

34 Karena T hanya fungsi, maka : * T T sin d = 1 atau: 0 * T T sin d = 1 atau: 0 a0 sin (5cos 1) sin d = sin (5cos 10cos 1) d = 1/a cos 4 sin 3 d cos sin 3 d + sin 3 d = 1/a 0 5 (1/105) 10 (4/15) +4/3 = 1/a 0 160/105 = 1/a a 0 = + = + 40 =

35 Kita pilih a 0 = 1 4, supaya fungsi T 8 Jadi: T = sin (5cos ) Karena T sudah diperoleh maka orbital momentum angularnya adalah: 1/ 1 (, m) = e i m (3, 1) = 1 1/ 1 4 sin (5cos ) e i 8 Cara lain menentukan fungsi T (fungsi ) Persamaan (5-38) sangat dikenal dalam matematika, dan disebut Persamaan Legendre terasosiasi, Yang penyelesaiannya adalah:

36 m P = 1.! (1 - cos m / ) d m d(cos ) (cos m - 1) (5-63) Penyelesaian (5-6) di atas disebut Polinomial Legendre m m terasosiasi, P. Setelah P diperoleh, fungsi tetha T diperoleh dengan cara sebagai berikut: 1/ +1 - m! P m (5-64). + m! Jika T sudah diperoleh maka (,m) segera diketahui. Contoh: Sekarang kita akan mencoba menghitung 3,1) tetapi menggunakan Polinomial Legendre. Jawab: Kita hitung dulu m P = m P : 1.! (1 - cos m / ) d m d(cos ) (cos m - 1)

37 4 1 = 3. 3! (1 - cos d ) 1 / = sin d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 Kita selesaikan dulu sederhana cos kita ganti x sehingga: 4 d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 4 d = 4 dx (x 1) 3 4 d = 4 dx (x6 3x 4 + 3x 1) 3 d = 3 dx (6x5 1x 3 + 6x) d = dx (30x4 36x + 6) d 4 4 d(cos ) (cos - 1) 3 4 d(cos ) (cos - 1) 3 dan supaya tampak

38 d = dx (10x3 7x) = (360x 7) = (360 cos 7) = 7 (5 cos 1) Jadi: m P = sin d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 = 1 48 sin { 7 (5 cos 1) } = 3 sin (5 cos 1) Setelah itu, T dapat ditentukan: 1/ +1 - m! m P. + m! 1/ 7! 3. 4! sin (5 cos 1)

39 / 3 sin (5 cos 1) sin (5 cos 1) Akhirnya ( 3, 1) diperoleh, yaitu: 1/ 1 (, m) = e i m ( 3, 1) = 1 1/ 1 4 sin (5cos ) e i 8

40 Soal-soal Bab 5 1. Buktikan commutator identitas berikut: (a)[ A, B ] = = [ B, A ] (5-1) (b)[ A, A n ] = 0 (5-) (c)[k A, B ] = [ A, k B ] = k[ A, B ] (5-3) (d)[ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ]; [ A + B,C ] = [ A,C ] + [ B,C ] (5-4) (e)[ A, B C ] = [ A, B ] C + B [ A,C ]; [ A B,C ] = [ A,C ] B + A [ B,C ] (5-5). Buktikan [ p x p x, H ] = i V x 3. Buktikan [ x, p x ] = i 4. Dengan menggunakan [ x, p x] = i dan commutator identitas, tentukan [ x, p x ] 5. Diketahui vektor A mempunyai komponen (3,, 6) dan vektor B komponennya (1,4, 4). Tentukan (a) harga skalar A dan B; (b) A + B ; (c) A B; (d) A. B (e) A x B; (f) sudut antara A dan B.

41 6. Buktikan bahwa: Jika f dan g masing-masing adalah fungsi koordinat, buktikan bahwa: f. g = g f + f. g + f g 7. Jika f = x 5 xyz + z 1, maka tentukan (a) gradien f ; (b) f 8. Buktikan bahwa cross vektor L x L = i L 9. Tentukan [ L, L y ] 10. Tentukan koordinat polar dari titik-titik yang koordinat rektangularnya adalah: (a) ( 1,, 0 ) ; (b) ( 1, 0, 3 ) ; (c) ( 3, 1, ) ; (d) ( 1, 1, 1 ) Tentukan koordinat rektangular dari titik-titik yang koordinat polarnya adalah: (a) ( 1,, ) ; (b) (, 4 ; 0 )

42 1. Tentukan kemungkinan-kemungkinan sudut antara L dengan z, ika =. 13. (a) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang bilangan kuantum momentum angularnya adalah =, ada berapakah kemungkinan hasilnya? (b) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang momentum angularnya adalah 1, ada berapakah kemungkinan hasilnya? 14. Pada saat tertentu, sebuah partikel mempunyai fungsi = N. ar e 1 (, (a) Tentukan berapa momentum angular L nya? (b) berapa Lz nya? (c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z? 15. Fungsi orbital momentum angular sebuah partikel adalah: = A sin i cos e (a) Tentukan berapa momentum angular L nya? (b) berapa Lz nya?

43 (c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z? 16. Jika = 3 dan m = 3, tentukan fungsi gelombang orbital momentum angularnya. ===000===

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya 1 BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya Perhatikan persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu yaitu: d + V (x) ( x) E( x) m dx d ( x) m + (E V(x) ) ( x) 0 dx (3-1) (-4) Suku-suku

Lebih terperinci

BAB IV OSILATOR HARMONIS

BAB IV OSILATOR HARMONIS Tinjauan Secara Mekanika Klasik BAB IV OSILATOR HARMONIS Osilator harmonis terjadi manakala sebuah partikel ditarik oleh gaya yang besarnya sebanding dengan perpindahan posisi partikel tersebut. F () =

Lebih terperinci

MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI

MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI MEKANIKA KUANTUM DALAM TIGA DIMENSI Sebelumnya telah dibahas mengenai penerapan Persamaan Schrödinger dalam meninjau sistem kuantum satu dimensi untuk memperoleh fungsi gelombang serta energi dari sistem.

Lebih terperinci

PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D

PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial dalam persamaan

Lebih terperinci

LAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:

LAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: LAMPIRAN A.TRANSFORMASI KOORDINAT 1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: Vector kedudukan adalah Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: Maka: Misalkan

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Potensial Coulomb untuk Partikel yang Bergerak Dalam bab ini, akan dikemukakan teori-teori yang mendukung penyelesaian pembahasan pengaruh koreksi relativistik potensial Coulomb

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

Lebih terperinci

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2008

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2008 1. Ingkaran dari pernyataan, "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap." adalah... Semua bilangan prima adalah bilangan genap Semua bilangan prima bukan bilangan genap Beberapa bilangan prima bukan

Lebih terperinci

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran

Lebih terperinci

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5 Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

PARTIKEL DALAM BOX. Bentuk umum persamaan orde dua adalah: ay" + b Y' + cy = 0

PARTIKEL DALAM BOX. Bentuk umum persamaan orde dua adalah: ay + b Y' + cy = 0 1 PARTIKEL DALAM BOX Elektron dalam atom dan molekul dapat dibayangkan mirip partikel dalam box. daerah di dalam box tempat partikel tersebut bergerak berpotensial nol, sedang daerah diluar box berpotensial

Lebih terperinci

2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.

2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama. A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant

Lebih terperinci

PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI

PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI Atom terdiri dari inti atom yang dikelilingi oleh elektron-elektron, di mana elektron valensinya bebas bergerak di antara pusat-pusat ion. Elektron valensi geraknya

Lebih terperinci

2. Deskripsi Statistik Sistem Partikel

2. Deskripsi Statistik Sistem Partikel . Deskripsi Statistik Sistem Partikel Formulasi statistik Interaksi antara sistem makroskopis.1. Formulasi Statistik Dalam menganalisis suatu sistem, kombinasikan: ide tentang statistik pengetahuan hukum-hukum

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Atom Pion Atom pion sama seperti atom hidrogen hanya elektron nya diganti menjadi sebuah pion negatif. Partikel ini telah diteliti sekitar empat puluh tahun yang lalu, tetapi

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN

BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA

RENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA RENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA A. Sistem koordinat (SK) Secara umum, sistem koordinat merupakan cara menyatakan posisi dalam ruang, dinyatakan dalam variabel ruang. Dalam ruang D-2,

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/ a 16. definit positif adalah...

SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/ a 16. definit positif adalah... SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN /. Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f x a x ax a a a a a a Solusi: [Jawaban D] a a a. () D a a a a a

Lebih terperinci

Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2

Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2 Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang

Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang Tulisan ini diadaptasi dari buku PDP yang disusun oleh Dr. Sri Redeki Pudaprasetia M. Jamhuri UIN Malang July 2, 2013 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga

Lebih terperinci

= (2) Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah () =sin+cos (3)

= (2) Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah () =sin+cos (3) 2. Osilator Harmonik Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k.

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

Lebih terperinci

Transformasi Geometri Sederhana

Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut dengan manipulasi. Perubahan gambar dengan mengubah koordinat

Lebih terperinci

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,

Lebih terperinci

Matematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN

Matematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +

Lebih terperinci

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang

Lebih terperinci

HAND OUT FISIKA KUANTUM MEKANISME TRANSISI DAN KAIDAH SELEKSI

HAND OUT FISIKA KUANTUM MEKANISME TRANSISI DAN KAIDAH SELEKSI HAND OUT FISIKA KUANTUM MEKANISME TRANSISI DAN KAIDAH SELEKSI Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Kuantum Dosen Pengampu: Drs. Ngurah Made Darma Putra, M.Si., PhD Disusun oleh kelompok 8:.

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( ) II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

D. 90 meter E. 95 meter

D. 90 meter E. 95 meter 1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah... A. x² + 7x + 10 = 0 B. x² - 7x + 10 = 0 C. x² + 3x + 10 = 0 Kunci : E Rumus : (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 dimana x 1 = 5, dan x 2 = -2 (x - 5) (x

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -

Lebih terperinci

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) Kalkulus Vektor Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521

SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521 SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521 SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521 Sistem Koordinat Parameter SistemKoordinat Koordinat Kartesian Koordinat Polar Sistem Koordinat

Lebih terperinci

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C.

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C. 1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 Kunci : C Persamaan fungsi : F(x)

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT VEKTOR. Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

SISTEM KOORDINAT VEKTOR. Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM SISTEM KOORDINAT VEKTOR Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat memahami koordinat vektor Mahasiswa dapat menggunakan sistem koordinat vektor untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis

2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis 2. Tiga Dimensi (R3) Ø Persamaan Garis Titik A (xa,ya,za) dan titik B (xb,yb,zb) terletak pada satu garis. Jika titik P (xp,yp,zp) terletak di tengah titik A dan B, secara vektor dituliskan : Jadi persamaan

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN. 39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa

SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN. 39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN 39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa diobservasi analog dengan foton. Panjang gelombang khas dari kebanyakan partikel

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

III. KINEMATIKA PARTIKEL. 1. PERGESERAN, KECEPATAN dan PERCEPATAN

III. KINEMATIKA PARTIKEL. 1. PERGESERAN, KECEPATAN dan PERCEPATAN III. KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut. Bila gaya penggerak ikut diperhatikan maka

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =

Lebih terperinci

Silabus dan Rencana Perkuliahan

Silabus dan Rencana Perkuliahan Silabus dan Rencana Perkuliahan Mata kuliah : PEND.FISIKA KUANTUM Kode : FI 363 SKS : 3 Nama Dosen : Team Dosen Pend fisika Kuantum Yuyu R.T, Parlindungan S. dan Asep S Standar Kompetensi : Setelah mengikuti

Lebih terperinci

model atom mekanika kuantum

model atom mekanika kuantum 06/05/014 FISIKA MODERN Pertemuan ke-11 NURUN NAYIROH, M.Si Werner heinsberg (1901-1976), Louis de Broglie (189-1987), dan Erwin Schrödinger (1887-1961) merupakan para ilmuwan yang menyumbang berkembangnya

Lebih terperinci

Teori Dasar Gelombang Gravitasi

Teori Dasar Gelombang Gravitasi Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

III. SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata kuliah : FISIKA KUANTUM Kode : FI 363 SKS : 3 Nama Dosen : Yuyu R.T, Parlindungan S. dan Asep S

III. SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata kuliah : FISIKA KUANTUM Kode : FI 363 SKS : 3 Nama Dosen : Yuyu R.T, Parlindungan S. dan Asep S III. SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata kuliah : FISIKA KUANTUM Kode : FI 363 SKS : 3 Nama Dosen : Yuyu R.T, Parlindungan S. dan Asep S Standar : Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan memiliki

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein BAB II DASAR TEORI Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang bergerak relatif satu dengan yang

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,

Lebih terperinci

BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN

BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan vektor, vektor apapun, merupakan tensor

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

INDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y

INDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y INDIKATOR : Menyelesaikan masalah program linear. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y 8 8 X x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

PENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT

PENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT PENJUMAHAN MOMENTUM SUDUT A. Penjulahan Moentu Sudut = + Gabar.9. Penjulahan oentu angular secara klasik. Dua vektor oentu angular dan dijulahkan enghasilkan Jika oentu angular elektron pertaa adalah dan

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN/SNMPTN 2008

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN/SNMPTN 2008 Soal-Soal dan Pebahasan Mateatika IPA SBMPTN/SNMPTN 008. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) g(x) x - x untuk setiap bilangan real x. Jika g(), f ' () f(), dan g ' () f(), aka g ' () A. C. 0 E.

Lebih terperinci

Department of Mathematics FMIPAUNS

Department of Mathematics FMIPAUNS Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan

Lebih terperinci

Keunggulan Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika melalui Lagrangian dan atau Hamiltonian dibanding Melalui Pengkajian Newton

Keunggulan Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika melalui Lagrangian dan atau Hamiltonian dibanding Melalui Pengkajian Newton Keunggulan Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika melalui Lagrangian dan atau Hamiltonian dibanding Melalui Pengkajian Newton Nugroho Adi P January 19, 2010 1 Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika 1.1

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

PENDAHULUAN FISIKA KUANTUM. Asep Sutiadi (1974)/( )

PENDAHULUAN FISIKA KUANTUM. Asep Sutiadi (1974)/( ) PENDAHULUAN FISIKA KUANTUM FI363 / 3 sks Asep Sutiadi (1974)/(0008097002) TUJUAN PERKULIAHAN Selesai mengikuti mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pada kondisi seperti apa suatu permasalahan

Lebih terperinci

MOMENTUM DAN IMPULS FISIKA 2 SKS PERTEMUAN KE-3

MOMENTUM DAN IMPULS FISIKA 2 SKS PERTEMUAN KE-3 MOMENTUM DAN IMPULS FISIKA 2 SKS PERTEMUAN KE-3 By: Ira Puspasari BESARAN-BESARAN PADA BENDA BERGERAK: Posisi Jarak Kecepatan Percepatan Waktu tempuh Energi kinetik Perpindahan Laju Gaya total besaran

Lebih terperinci

GAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1

GAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1 GAMBARAN UMUM Pada ujian nasional tahun pelajaran 006/007, bentuk tes Matematika tingkat berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 0 soal dengan alokasi waktu 0 menit. Acuan yang digunakan

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 2003

Matematika EBTANAS Tahun 2003 Matematika EBTANAS Tahun EBT-SMA-- Persamaan kuadrat (k + )x (k ) x + k = mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah EBT-SMA-- Jika akar-akar persamaan kuadrat x +

Lebih terperinci

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto

Lebih terperinci

HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS.

HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS. 15, 20, 23, 25 HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS. Dst. KESIMPULAN : (hubungkan dengan SIKAP yang harus Anda miliki untuk memilih dan memberikan alasan) PROBLEM

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konsep ruang metrik merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika analisis. Selama bertahun-tahun, para peneliti mencoba mengembangkan konsep ruang metrik.

Lebih terperinci