BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
|
|
- Yuliana Tan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh Juanes (008), dalam tulisannya yang berjudul Nonequilibrium effects in models of three-phase flow in porous media. Pada tulisan tersebut dilakukan simulasi waterflooding dengan melakukan pendekatan diskritisasi menggunakan cell-centered finite volume yaitu solusi disimpan pada pusat setiap grid yang dibentuk, sedangkan pada skripsi ini, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakan vertex centered finite volume yaitu solusi yang disimpan pada simpul (vertex) dari mesh dimana setiap vertex i harus dibangun cell (Praveen, 013). Juanes menyatakan bahwa model aliran dua fase dengan efek nonekuilibrium pada media berpori telah diajukan sebelumnya oleh Barenblatt dengan bebas kapilaritas. Kemudian dipasangkan dengan model Buckley-Leverett dengan bebas kapilaritas dimana fluks merupakaan fungsi saturasi efektif yang direpresentasikan dengan persamaan t S + x vf(σ) = 0 (.1) dan persamaan evolusi σ S = τ t S (.) Sistem ini harus dilengkapi denngan kondisi batas fluks pada batas kiri x = 0 dalam bentuk f(σ) = f(t). Selain itu juga diberikan kondisi awal pada t = 0 dalam bentuk S = S 0 (x) (.3) σ 0 + τ x f(σ 0 ) = S 0 (x) dimana S adalah saturasi aktual (saturasi saat ini) dan τ adalah saturasi efektif (saturasi yang akan datang). Persamaan Buckley-Leverett merupakan persamaan transportasi pada fluida yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori. 11
2 1 Sedangkan model Barenblatt menggambarkan dua fase aliran pada media berpori dengan efek dinamik (nonekuilibrium) pada relatif permeabilitas. Pada kasus ini, water flooding yang ditunjukkan oleh persamaan (.1) yang dipasangkan dengan persamaan (.) akan diselesaikan melalui analisis numerik, yang akan dijelaskan pada Bab selanjutnya. Deret Taylor Biasanya metode numerik diturunkan berdasarkan hampiran fungsi terhadap bentuk polinomial sehingga fungsi akan menjadi lebih sederhana. Deret Taylor dapat digunakan pada hampir setiap pendekatan numerik yang didefinisikan sebagai berikut Definisi Andaikan terdapat f dan semua turunannya f, f,... dalam selang [a, b], dan misalkan x 0 [a, b]. Untuk nilai x disekitar x 0, maka f(x) dapat diperluas kedalam deret Taylor f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 )! j Jika h = x x 0, maka (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (t x ) n! (n + 1)! (x x 0) n+1. (.4) f(x + h) = f(x) + f (x)h + f (x)! h + f (x) 3! h f (n) (x) h n n! + f (n+1) (t x ) (n + 1)! hn+1 (.5) dimana f (n+1) (t x) (n+1)! h n+1 merupakan galat dengan lim n f (n+1) (t x) (n+1)! h n+1 = 0.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar Metode iterasi Newton merupakan suatu metode yang berfungsi untuk mencari nilai akar dari suatu persamaan, yaitu mencari r R yang memenuhi f(r) = 0. Penurunan metode ini dapat diperoleh dari deret Taylor yang direpresentasikan oleh persamaan (.5). Untuk n = 1, persamaan (.5) menjadi f(x + h) = f(x) + f (x)h + f (t x ) h!
3 13 dimana f (t x)! h merupakan galat. Jika dimisalkan x + h merupakan pendekatan untuk r, maka dengan mengabaikan galat tersebut diperoleh sehingga 0 = f(x) + f (x)h, h = f(x) f (x). Jika diberikan nilai duga (initial guess) x 0, maka untuk n = 0, 1,,... dibentuk yang diharapkan lim n x n x n+1 = x n f(x n) f (x n ), = r. Penurunan diatas dapat dipakai untuk mendapatkan metode iterasi yang mencari r R n yang memenuhi F (r) = 0, dimana F : R n R n. Dalam hal ini, 0 = F (x) + F (x)h dimana F (x) merupakan matrix Jacobian dengan ordo n n F 1 (x) F 1 (x) F 1 (x)... x 1 x x n F (x) F (x) F (x)... F (x) = x 1 x x n F n (x) F n (x) F n (x)... x 1 x x n Sehingga dapat ditunjukkan bahwa h = [F (x)] 1 F (x). Jika terdapat nilai duga x 0 maka secara umum metode iterasi Newton untuk system aljabar dapat ditulis sebagai berikut x n+1 = x n [F (x n )] 1 F (x n ).4 Integrasi Numerik Integral merupakan suatu pokok pembahasan mendasar yang berfungsi untuk mencari luas suatu daerah kurva f(x). Dalam kalkulus, dipelajari bahwa integral dapat diselesaikan secara analitik pada persamaan yang sederhana. Namun pada bidang aplikasi sains dan teknik akan ditemui suatu permasalahan yang tidak dapat
4 14 diselesaikan dengan cara analitik. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode numerik dimana penyelesaian integrasi dapat diselesaikan dengan bantuan perhitungan komputer (integrasi numerik) dengan batas integral tertentu yang direpresentasikan oleh I = b a f(x)dx. Rinaldi Munir (003) dalam bukunya Integrasi Numerik menjelaskan bahwa terdapat 3 cara dalam melakukan pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi numerik yaitu metode pias, metode Newton-Codes dan Kuadratur Gauss. Penulis akan membatasi pembahasan hanya pada integrasi numerik dengan metode pias. Perhatikan Gambar.1, andaikan [a, b] merupakan interval pada luas kurva f(x), maka dibentuk n partisi sepanjang interval [a, b], dimana lebar setiap pias adalah h = b a n. Dengan demikian, titik pias dinyatakan x i = a + ih dimana i = 0, 1,..., n Gambar.1: Metode Pias Terdapat beberapa metode yang dapat dikembangkan pada metode ini yaitu aturan titik tengah (mid point rule), aturan titik kanan (rigth end point rule), aturan titik kiri (left end point rule), dan aturan trapesium (trapezoidal rule).
5 Aturan Trapesium Pada pendekatan trapesium dapat digunakan rumus luas trapesium pada setiap pias. Perhatikan Gambar.. Secara umum, luas dibawah kurva pada pias (x i, x i+1 Gambar.: Trapezoidal didekati oleh xi+1 x i f(x)dx dimana i = 0, 1,,..., n 1. Dengan demikian, b a i=0 ( ) h f(x i ) + f(x i+1 ) n 1 ( h f(x)dx f(x i ) + f(x i+1 ))..4. Aturan Titik Tengah Luas daerah pias dapat digambarkan sebagai luas persegi panjang dimana h sebagai lebar dan f(x i+ 1 ) sebagai panjang yang dapat ditunjukkan oleh Gambar.3, Secara Gambar.3: Aturan Titik Tengah
6 16 umum, pendekatan ini dapat ditulis sebagai xi+1 dimana i = 0, 1,,..., n 1, sehingga x i b a f(x)dx f( x i+1 + x i )h n 1 f(x)dx f( x i+1 + x i )h. i=0.4.3 Aturan Titik Kanan Pada pendekatan aturan titik kanan dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f(x i+1 ) sebagai panjang. perhatikan Gambar.4, Secara umum, pendekatan ini dapat ditulis Gambar.4: Aturan Titik Kanan sebagai xi+1 x i dimana i = 0, 1,,..., n 1, sehingga b f(x)dx f(x i+1 )h, n 1 f(x)dx f(x i+1 )h. a i=0.4.4 Aturan Titik Kiri Pada pendekatan aturan titik kiri dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f(x i ) sebagai panjang. perhatikan Gambar.5, Secara umum dapat ditulis sebagai xi+1 dimana i = 0, 1,,..., n 1, sehingga x i b f(x)dx f(x i )h, n 1 f(x)dx f(x i )h, a i=0
7 17 Gambar.5: Aturan Titik Kiri.5 Galat Penyelesaian numerik akan selalu memiliki nilai galat, karena metode numerik merupakan suatu pendekatan terhadap nilai eksak. Jika nilai galat mendekati nol, maka penyelesaian numerik akan mendekati nilai eksak. Hal itu akan terjadi jika jarak pias ( x dan t) diperkecil, namun perhitungan yang dilakukan akan semakin banyak. Kita tahu bahwa nilai eksak merupakan jumlahan dari nilai hampiran dan galat, yang berarti galat adalah selisih antara nilai eksak dan hampiran yang dinyatakan oleh ε = r x dimana x adalah nilai hampiran dan r adalah nilai eksak. Besar galat tidak memperhatikan nilai positif atau negatif, sehingga ditulis dalam harga mutlak yang ditunjukkan oleh ε = r x. Untuk mengetahui sebarapa besar pengaruh nilai galat terhadap nilai eksak, maka nilai galat dapat dinormalkan terhadap nilai eksak yang disebut dengan galat relatif yang representasikan oleh ε R = r x x. Rinaldi Munir (003) dalam bukunya Integrasi Numerik juga menjelaskan tentang galat dari iterasi Newton dan integrasi numerik dengan pendekatan aturan trapesium dan aturan titik tengah yang dijelaskan berikut.
8 Galat Iterasi Newton Dalam menentukan nilai akar, iterasi Newton merupakan salah satu metode yang sering digunakan karena konvergensinya lebih cepat (jika nilai iterasi konvergen) dari pada metode yang lain. Pada kasus tertentu, metode Newton bisa bersifat divergen sehingga tidak selamanya metode Newton dapat digunakan untuk mencari nilai suatu akar. Metode ini dikatakan konvergen jika f(x)f (x) [f (x)] < 1 dengan f (x) 0. Adapun pada orde konvergensi dinyatakan ε r+1 = f (x r )ε r f (x r ) dengan x r merupakan nilai hampiran terhadap akar. Dalam perhitungan menggunakan komputer, perlu bagi kita untuk membatasi jumlah perhitungan agar komputer dapat menghentikan perhitungan. Sehingga dapat ditentukan bahwa iterasi akan berhenti pada saat x n+1 x n < ε adapun untuk menghitung galat relatif dinyatakan oleh x n+1 x n x n+1 dimana ε, δ merupakan toleransi galat yang diinginkan. Adapun pada sistem aljabar, galat dapat direpresentasikan ε i = r x (i) dan norm Euclidean galat adalah n ɛ i = (r j x i j ) j=1 < δ.5. Galat Aturan Trapesium Integrasi numerik menggunakan pendekatan trapesium memiliki galat yang ditunjukkan sebagai berikut G = h 0 f(x)dx h ( ) f(x 0 ) + f(x 1 ) Andaikan terdapat dua titik yaitu x 0 = 0 dan h = x, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) +...
9 19 sehingga Andaikan f(x 1 ) = f(h), f(x) = f(x 0 ) + xf (x 0 ) + x f (x 0 ) + x3 6 f (x 0 ) +... f(h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) +... maka diperoleh h ] G = [f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h 0 f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) +... dx [ h ] (f(x 0) + f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) +...) ] = [hf(x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) + h4 1 f (x 0 ) +... ] [hf(x 0 ) + h f (x 0 ) + h3 4 f (x 0 ) + h4 1 f (x 0 ) +... = h3 1 f (x 0 ) h3 1 f (x), 0 < x < h O(h 3 ) jadi, nilai eksak diperoleh h 0 f(x)dx = h (f(x 0) + f(x 1 )) + O(h 3 ) Uraian diatas, merupakan galat trapesium untuk batas interval [0, h] dengan satu pias. Adapun untuk jumlah pias lebih dari satu (n > 1), dapat diperoleh galat total sebagai berikut G total = h3 1 (f (x 0 ) + f (x 1 ) + f (x ) +...f (x n 1 )) diketahui bahwa h = b a, sehingga untuk n pias h = b a n. Sehingga G total = h3 n 1 f i (x) 1 = h 1 i=0 (b a) nf i (x) n = (b a) h 1 f i (x) O(h )
10 0 Dapat disimpulkan bahwa galat total dari pendekatan trapesium berbanding lurus dengan kuadrat lebar pias (h). semakin kecil lebar pias, maka ukuran galat akan semakin kecil..5.3 Galat Aturan Titik Tengah Pendekatan titik tengah diperoleh galat untuk satu pias G = h 0 f(x)dx hf(x 1 ) Dengan metode yang sama pada aturan trapesium diperoleh G total = h3 4 (f (x 0 ) + f (x 1 ) + f (x ) +...f (x n 1 )) Adapun untuk beberapa pias, diperoleh G total = h3 n 1 f i (x) 4 = h 4 i=0 (b a) nf i (x) n = (b a) h 4 f i (x) O(h ) dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa galat yang dihasilkan pada pendekatan aturan titik tengah dua kali lebih kecil dari pada aturan trapesium, sehingga dietahui bahwa metode in lebih efisien dari aturan trapesium. Adapun galat untuk pendekatan aturan titik kanan dan titik kiri telah dijelaskan oleh Jiwen He (008) yang iuraikan sebagai berikut.5.4 Galat Aturan Titik Kanan Telah dijelaskan pendekatan integrasi numerik pada aturan titik kanan pada pembahasan sebelumnya, maka untuk galat yang dihasilkan dapat ditunjukkan sebagai berikut G = h 0 f(x)dx hf(x i+1 )
11 1 dimana i = 0, 1,..., n 1. Sehingga diperoleh galat untuk satu pias Adapun pias sebanyak n diperoleh G = h f (x 1 ) G total = 1 (b a)f (x i ) O(h).5.5 Galat Aturan Titik Kiri Dapat ditunjukkan galat dari aturan titik kiri sebagai berikut G = h 0 f(x)dx hf(x i ) dimana i = 0, 1,..., n sehingga diperoleh galat untuk satu pias Adapun pias sebanyak n diperoleh G = h f (x 0 ) G total = 1 (b a)f (x i ) O(h) Dapat dilihat bahwa pendekatan aturan titik kanan dan aturan titik kiri memiliki besar galat yang sama, namun berbeda pada pendekatan trapesium dan titik tengah. Diketahui bahwa pendekatan yang memiliki galat yang paling kecil diantara keempat pendekatan diatas adalah aturan titik tengah. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pendekatan aturan titik tengah yang memiliki efisiensi yang cukup cepat dari jumlah diskritisasi yang dilakukan. Namun ada beberapa kondisi yang menyebabkan pendekatan yang dilakukan harus disesuaikan dengan permasalahan yang sedang dijalankan. Oleh karenanya perlu bagi kita untuk mempelajari lebih mendalam tentang pendekatan numerik. Contoh Selesaikan persamaan berikut menggunakan metode Newton-Raphson:
12 x y = y, x + y = x dengan inisial guess x 0 = 0.8 dan y 0 = 0.4. Penyelesaian Karena f(x, y) = 0 dan g(x, y) = 0 maka persamaan tersebut dapat ditulis f(x, y) = x y y = 0, g(x, y) = x + y x = 0. dan diketahui inisial guess x 0 = 0.8 dan y 0 = 0.4 maka kita ketahui matriks Jacobi [ ] x y 1 F (x) =. x 1 y [ ] f(x 0, y 0 ) = 0.08 dan g(x 0, y 0 ) = 0, F (x 0, y 0 ) = dan [F (x , y 0 )] 1 = [ ] maka solusi pada iterasi pertama yaitu: [ x1 y 1 ] = [ ] [ ] [ ] 0.08 = 0 [ ] Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan MATLAB dimana code dapat dilihat pada lampiran 1. Jika dilakukan iterasi sebanyak 5 kali, maka akan didapat hasil yang ditunjukkan oleh tabel berikut i x i y i error e e Dari penyelesaian diatas dapat kita ketahui bahwa pada iterasi ke-5 nilai galat telah mencapai 0, sehingga diketahui nilai akar dari x = dan y = Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial Shaw (199) menjelaskan bahwa persamaan yang mengatur pergerakan fluida adalah persamaaan diferensial parsial. Persamaan ini terdiri dari kombinasi variable aliran seperti kecepatan, tekanan dan turunan dari variabel tersebut. Komputer tidak dapat menghasilkan solusi persamaan diferensial secara langsung karena komputer hanya dapat memanipulasi data dalam bentuk 0 dan 1 atau data biner. Selain itu
13 3 komputer diprogram untuk melakukan perhitungan operasi sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perulangan. Oleh karena itu persamaan diferensial harus ditransformasikan kedalam persamaan yang hanya terdiri dari bilangan, kombinasi dari bilangan tersebut dapat digambarkan oleh operasi yang sederhana. Untuk melakukan transformasi pada persamaan tersebut maka dapat dilakukan suatu cara yang disebut diskritisasi yaitu setiap suku dalam persamaan diferensial harus diterjemahkan kedalam sebuah bentuk numerik yang dapat diprogram oleh komputer untuk dihitung. Berbagai teknik dapat dilakukan diantaranya metode beda hingga, metode elemen hingga, dan metode volume hingga. Metode beda hingga merupakan suatu teknik yang didasari pada deret Taylor yang menggambarkan turunan dari variabel sebagai selisih antara nilai-nilai dari variabel dari berbagai titik dalam ruang dan waktu. Teknik kedua yaitu metode elemen hingga, dalam metode ini domain dari persamaan diferensial parsial yang berlaku dibagi menjadi sejumlah elemen berhingga. Namun pada metode ini, proses diskritisasi yang dilakukan lebih sulit dibandingkan dengan metode beda hingga. Teknik yang ketiga adalah metode volume hingga, teknik ini cukup popular digunakan untuk persoalan komputasi fluida dinamik. Menurut Apsley (005) metode volume hingga sesuai diterapkan pada masalah aliran fluida dan aerodinamika. Pada metode volume hingga harus diketahui domainnya dengan jelas, dari domain tersebut dibagi menjadi grid-grid baik terstruktur maupun tidak (unstrustured), pada masing-masing grid memenuhi persamaan matematika yang terbentuk. Oleh referensi diatas, maka dapat diputuskan bahwa metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah dengan menggunakan metode volume hingga. Karena telah dijelaskan sebelumnya bahwa waterflooding meruapakan suatu permasalahan aliran fluida pada media berpori. Oleh karena itu, maka metode volume hingga dapat dijelaskan pada pembahasan berikut.
14 4.6.1 Metode Volume Hingga Metode Volume Hingga (MVH) merupakan salah satu teknik diskritisasi pada persamaan diferensial parsial, dan biasanya diimplementasikan pada hukum konservasi. Pada dasarnya metode ini mengatur persamaan diferensial agar dikonversi kedalam bentuk numerik yaitu dengan membagi domain Ω menjadi himpunan dari volume berhingga yang saling lepas. Domain yang dipartisi sebanyak i yang disebut grid atau mesh. Tulus, Ariffin, Abdullah dan Norhamidi (005) telah melakukan penelitian mengenai aplikasi Computational Fluid Dinamic (CFD) dengan menggunakan metode volume hingga dalam tulisannya yang berjudul Numerical Simulation of In- Cylinder Gas Dynamic of Two-Stroke Linear Engines using Finite Volume Method. Thomas J.W (013) dalam bukunya Numerical Partial Differential Equation Conservation Law and Elliptic Equation mengemukakan suatu formulasi umum dari hukum konservasi berikut u t + f(u) x = 0 in R (0, T ) persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunaka metode volume hingga, dimana akan dicari solusi U(x i, t n ) atau dapat dinotasikan sebagai U n i yang kemudian dibentuk suatu grid terhadap domain x dan waktu t. Andaikan terdapat suatu interval [a, b], maka untuk mencari solusinya dapat dipartisi sebanyak n, dimana n N, sehingga x = (b a). Maka untuk x n i = a + i x dan kemudian terdapat t sehingga t n = n t. Dalam hal ini, dibentuk control volume pada diskritisasi yaitu suatu bidang dengan batas x yaitu x i 1 dan x i+ 1 sedangkan batas terhadap t yaitu t n 1 dan t n yang dapat ditunjukkan oleh Gambar.6 sehingga dapat direpresentasikan oleh xi+ 1 tn x i 1 hal diatas akan sama dengan t n 1 ( u t + f(u) ) dtdx = 0 x xi+ 1 x i 1 tn t n 1 u t dtdx + xi+ 1 x i 1 tn t n 1 f(u) x dtdx = 0
15 5 Gambar.6: Control Volume pada suku pertama integralkan terhadap batas t, pada suku kedua integralkan terhadap batas x sehingga diperoleh xi+ 1 x i 1 ( ) tn ( u(x, t n ) u(x, t n 1 ) dx + t n 1 f(u(x i+ 1 ), t)) f(u(x i 1, t)) dt = 0 dengan mengaplikasikan pendekatan mid point dapat ditunjukkan bahwa xi+ 1 ( ) u(x, t n ) u(x, t n 1 ) dx u(x i, t n ) x i u(x i, t n 1 ) x i x i 1 sedangkan pada fungsi flux dilakukan pendekatan left point dapat diperlihatkan bahwa tn t n 1 ( f(u(x i+ 1 ), t)) f(u(x i 1, t)) dt f(u(x i+ 1, t n 1 )) t i sehingga diperoleh f(u(x i 1, t n 1 )) t i u(x i, t n ) x i u(x i, t n 1 ) x i + f(u(x i+ 1, t n 1 )) t i f(u(x i 1, t n 1 )) t i + Galat 1 = 0. Lakukan pendekatan upwind yang diilustrasikan oleh Gambar.7, dimana pendekatan upwind dapat direpresentasikan oleh f(u(x i+ 1, t n 1 )) f(u(x i, t n 1 )) f(u(x i 1, t n 1 )) f(u(x i 1, t n 1 ))
16 6 Gambar.7: Upwinding Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, terdapat galat pada setiap pendekatan numerik sehingga u(x i, t n ) x i u(x i, t n 1 ) x i + f(u(x i, t n 1 )) t i f(u(x i 1, t n 1 )) t i + Galat 1 + Galat = 0 (.6) dengan Galat 1 = galat integrasi numerik dan Galat =galat upwinding. Dalam hal ini x i dan t i merupakan pias yang dapat ditentukan besarnya, jika x i dan t i menuju nol, maka galatnya pun akan menuju nol sehingga solusi numerik akan mendekati solusi eksak. Oleh karenanya dapat kita lakukan pendekatan u(x i, t n ) U(x i, t n ) sehingga persamaan (.6) dapat ditulis U(x i, t n ) x i U(x i, t n 1 ) x i + f(u(x i, t n 1 )) t i f(u(x i 1, t n 1 )) t i = 0 jadi, U(x i, t n ) = U(x i, t n 1 ) t ( ) i f(u(x i, t n 1 )) f(u(x i 1, t n 1 )) x i (.7) Contoh Terdapat suatu persamaan yang direpresentasikan oleh persamaan berikut u t + 1 u x = 0 in R (0, T ) (.8) dengan kondisi batas u(x, 0) = 1 x, tentukan solusi numerik dari persamaan tersebut
17 7 Penyelesaian Persamaan (.8) merupakan persamaan transport yang dikenal dengan sebutan persamaan Burger inviscid yang merupakan bentuk sederhana dari persamaan diferensial parsial nonlinier. Persamaaan Burger terkenal dengan solusinya berupa gelombang kejut dan merupakan bentuk khusus dari model Buckley-Leverett. Permasalahan ini dapat diselesaikan oleh beberapa metode, namun dalam hal tulisan ini penulis akan menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggunakan metode volume hingga yang telah dijelaskan sebelumnya dengan melakukan langkah-langkah yang dijelaskan sebelumnya yaitu dengan melakukan integrasi seperti persamaan (.6.1) xi+ 1 x i 1 tn t n 1 u t dtdx + 1 xi+ 1 x i 1 tn t n 1 u x dxdt = 0 pada suku pertama integralkan terhadap t dan pada suku kedua integralkan terhadap x xi+ 1 x i 1 [u(x, t n ) u(x, t n 1 )]dx + 1 tn [u (x i+ 1, t n ) u (x i 1, t n )]dt = 0 t n 1 pada suku pertama digunakan pendekatan mid point dan pada suku kedua digunakan pendekatan left point sehingga diperoleh u(x i, t n ) x i u(x i, t n 1 ) x i + 1 [u (x i+ 1, t n 1 ) t i u (x i 1, t n 1 ) t i ] dengan menggunakan upwinding diperoleh x i [u(x i, t n ) u(x i, t n 1 )] + 1 t i[u (x i, t n 1 ) u (x i 1, t n 1 )] = 0 dengan melakukan perhitungan al-jabar diperoleh u(x i, t n ) = u(x i, t n 1 ) t i x i [u (x i, t n 1 ) u (x i 1, t n 1 )] Solusi numerik diatas dapat direpresentasikan oleh Gambar.8 yang diperoleh melalui perhitungan menggunakan MATLAB dengan code yang tertera pada Lampiran. Gambar tersebut menunjukkan bahwa terdapat dua grafik dimana perhitungan dilakukan dengan waktu yang berbeda. Solusi ini menunjukkan bahwa
18 8 persamaan (.8) dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode volume hingga yang menjadi rujukan pada penelitian ini. 1 explicit method u(x,t) X Gambar.8: Persamaan Burger dengan batas 1 x, t = 0.5 dan x = 0.3
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA SKRIPSI NUR AISYAH 110803010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kebutuhan terhadap Bahan Bakar Minyak (BBM) pertama kali muncul pada tahun 1858 ketika minyak mentah ditemukan oleh Edwin L. Drake di Titusville (IATMI SM STT MIGAS
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Non Linear Definisi 2.1 (Munir, 2006) : Sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan-persamaan non linear. Bentuk umum sistem persamaan
Lebih terperinci1.1 Latar Belakang dan Identifikasi Masalah
BAB I PENDAHULUAN Seiring dengan pertumbuhan kebutuhan dan intensifikasi penggunaan air, masalah kualitas air menjadi faktor yang penting dalam pengembangan sumberdaya air di berbagai belahan bumi. Walaupun
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciBAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK
BAB I ARTI PENTING ANALISIS NUMERIK Pendahuluan Di dalam proses penyelesaian masalah yang berhubungan dengan bidang sains, teknik, ekonomi dan bidang lainnya, sebuah gejala fisis pertama-tama harus digambarkan
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal (SWE)
Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dibahas mengenai Persamaan Air Dangkal dan dasar-dasar teori mengenai metode beda hingga untuk menghampiri solusi dari persamaan diferensial parsial. 2.1 Persamaan
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit
Vol. 11, No. 2, 105-114, Januari 2015 Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit Rezki Setiawan Bachrun *,Khaeruddin **,Andi Galsan Mahie *** Abstrak
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciPERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciSEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT ABSTRACT
SEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT Vera Alvionita Harahap 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciImplementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer
Implementasi Metode Jumlah Riemann untuk Mendekati Luas Daerah di Bawah Kurva Suatu Fungsi Polinom dengan Divide and Conquer Dewita Sonya Tarabunga - 13515021 Program Studi Tenik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciMETODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh: Juliani
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan. Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Parsial Persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE JARRAT DENGAN VARIAN METODE NEWTON DAN RATA-RATA KONTRA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : KHARISMA JAKA ARFALD
MODIFIKASI METODE JARRAT DENGAN VARIAN METODE NEWTON DAN RATA-RATA KONTRA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : KHARISMA
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara analitik dan secara numerik. Perhitungan secara analitik dilakukan untuk menyelesaikan integral pada fungsi
Lebih terperinciAnalisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg
Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg Numerical Analysis of Double Integral of Trigonometric Function Using Romberg Method ABSTRAK Umumnya penyelesaian integral
Lebih terperinciPERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO
PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO Ermawati i, Puji Rahayu ii,, Faihatus Zuhairoh iii i Dosen Jurusan Matematika FST UIN Alauddin
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciMETODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT
METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT Agusman Sahari. 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Dalam paper ini mendeskripsikan tentang solusi masalah transport polutan
Lebih terperinciISBN. PT SINAR BARU ALGENSINDO
Drs. HERI SUTARNO, M. T. DEWI RACHMATIN, S. Si., M. Si. METODE NUMERIK DENGAN PENDEKATAN ALGORITMIK ISBN. PT SINAR BARU ALGENSINDO PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT yang
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciTriyana Muliawati, S.Si., M.Si.
SI 2201 - METODE NUMERIK Triyana Muliawati, S.Si., M.Si. Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan 35365 Hp. +6282260066546, Email. triyana.muliawati@ma.itera.ac.id 1. Pengenalan Metode
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciDIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK
DIKTAT PRAKTIKUM METODE NUMERIK LABORATORIUM KOMPUTER PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2014 KATA PENGANTAR Diktat ini disusun untuk pedoman dalam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP
METODE NUMERIK Disusun oleh Ir. Sudiadi, M.M.A.E. Ir. Rizani Teguh, MT SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 2015 Metode Numerik i KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik
Pendahuluan PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik Permasalahan
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang September 27, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik September 27, 2013 1 / 12 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciPAM 573 Persamaan Diferensial Parsial Topik: Metode Beda Hingga pada Turunan Fungsi
PAM 573 Persamaan Diferensial Parsial Topik: Metode Beda Hingga pada Turunan Fungsi Mahdhivan Syafwan Program Magister Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan
Lebih terperinciMATA KULIAH ANALISIS NUMERIK
BAHAN AJAR MATA KULIAH ANALISIS NUMERIK Oleh: M. Muhaemin Muhammad Saukat JURUSAN TEKNIK DAN MANAJEMEN INDUSTRI PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN UNIVERSITAS PADJADJARAN 2009 Bahan Ajar Analisis
Lebih terperinciPenggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu
Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu Fendi Al Fauzi 15 Desember 1 1 Pengantar Persoalan yang melibatkan integral dalam kalkulus ada
Lebih terperinciUJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I
PETUNJUK UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. KAMIS, 8 JUNI 017 OPEN BOOK 150 MENIT 1. Saudara tidak boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian ini.. Tuliskan urutan/cara/formula
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal Linier (Linier Shallow Water Equation)
Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Persamaan Air Dangkal linier (Linear Shallow Water Equation), metode beda hingga, metode ekspansi asimtotik biasa, dan metode ekspansi asimtotik
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin
Lebih terperinciGalat & Analisisnya. FTI-Universitas Yarsi
BAB II Galat & Analisisnya Galat - error Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar dari penyelesaian analitis. Penyelesaian
Lebih terperinciPendahuluan
Pendahuluan Pendahuluan Numerik dengan Matlab KOMPUTASI NUMERIK dengan MATLAB Oleh : Ardi Pujiyanta Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2007 Hak Cipta 2007 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3
8 III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan.
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMETODA NUMERIK (3 SKS)
METODA NUMERIK (3 SKS) Dosen Dr. Julan HERNADI Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Masa Perkuliahan Semester Ganjil 2013/2014 Deskripsi dan Tujuan Perkuliahan Mata kuliah ini berisi
Lebih terperinciMETODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciMetode Numerik. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik. By : Muhtadin
Metode Numerik Muhtadin, ST. MT. Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat 2 Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro 3 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciPerhitungan Nilai Golden Ratio dengan Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar
Perhitungan Nilai Golden Ratio dengan Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar Danang Tri Massandy (13508051) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciPENENTUAN FAKTOR KUADRAT DENGAN METODE BAIRSTOW
PENENTUAN FAKTOR KUADRAT DENGAN METODE BAIRSTOW Susilo Nugroho (M0105068) 1. Latar Belakang Masalah Polinomial real berderajat n 0 adalah fungsi yang mempunyai bentuk p n (x) = n a i x i = a 0 x 0 + a
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 68 75 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA ELSA JUMIASRI, SUSILA BAHRI, BUKTI GINTING
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3.
BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Lebih terperinciMETODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 4 Hal. 9 17 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI RAHIMA
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciPERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN
E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.2, Mei 2013, 11-17 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN NANDA NINGTYAS RAMADHANI UTAMI 1,
Lebih terperinciMetode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial
Metode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Ikhsan Maulidi Jurusan Matematika,Universitas Syiah Kuala, ikhsanmaulidi@rocketmail.com Abstract Artikel ini membahas tentang salah satu
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS
PRESENTASI TUGAS AKHIR KI091391 SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS (Kata kunci:persamaan burgers,
Lebih terperinciKonsep Deret & Jenis-jenis Galat
Metode Numerik (IT 402) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 2 Konsep Deret & Jenis-jenis Galat ALZ DANNY WOWOR 1. Pengatar Dalam Kalkulus, deret sering digunakan untuk
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciPOKOK BAHASAN. Matematika Lanjut 2 Sistem Informasi
Matematika Lanjut 2 Sistem Informasi POKOK BAHASAN Pendahuluan Metode Numerik Solusi Persamaan Non Linier o Metode Bisection o Metode False Position o Metode Newton Raphson o Metode Secant o Metode Fixed
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. analitik, misalnya persamaan berikut sin x 7. = 0, akan tetapi dapat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sistem persamaan dapat dipandang F(x) = 0 [5], merupakan kumpulan dari beberapa persamaan nonlinear dengan fungsi tujuannya saja atau bersama fungsi kendala berbentuk
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT
MODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Handico Z Desri 1, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1
Lebih terperinciAkar-Akar Persamaan. Definisi akar :
Akar-Akar Persamaan Definisi akar : Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x) X 1
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT
Teknikom : Vol. No. (27) E-ISSN : 2598-2958 PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya Utama,
Lebih terperinciEFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER EFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI Kushartantya dan Awalina Kurniastuti Jurusan Matematika
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient
Teknikom : Vol. No. (27) ISSN : 2598-2958 (online) Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya
Lebih terperinciBab V Prosedur Numerik
Bab V Prosedur Numerik Pada bab ini, metode numerik digunakan untuk menghitung medan kecepatan, yakni dengan menghitung batas dan domain integral. Tensor tegangan tak Newton melalui persamaan Maxwell Linear
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR. Yeni Cahyati 1, Agusni 2 ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Yeni Cahyati 1, Agusni 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciOleh : Anna Nur Nazilah Chamim
Oleh : Anna Nur Nazilah Chamim 1. Silabus 2. Referensi 3. Kriteria Penilaian 4. Tata Tertib Perkuliahan 5. Pembentukan Kelompok 6. Materi 1 : pengantar Analisa Numerik Setelah mengikuti mata kuliah metode
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciPENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 93 98 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Lebih terperinciPerhitungan Waktu Pemutus Kritis Menggunakan Metode Simpson pada Sebuah Generator yang Terhubung pada Bus Infinite
JURNAL TEKNIK ELEKTRO Vol., No., (03) -6 Perhitungan Waktu Pemutus Kritis Menggunakan Metode Simpson pada Sebuah Generator yang Terhubung pada Bus Infinite Argitya Risgiananda ), Dimas Anton Asfani ),
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI- INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS
SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI- INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS Nafanisya Mulia 1, Yudhi Purwananto 2, Rully Soelaiman 3
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk
4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Masalah Taklinear (Urroz, 2001) Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk persamaan taklinear. Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk fungsi
Lebih terperinciPerbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral
Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA) Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Lukman Hakim 1, Azwar Riza Habibi 2 STMIK
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciREKONSTRUKSI KONDISI AWAL MASALAH HUKUM KEKEKALAN HIPERBOLIK PADA PERSAMAAN BURGERS
REKONSTRUKSI KONDISI AWAL MASALAH HUKUM KEKEKALAN HIPERBOLIK PADA PERSAMAAN BURGERS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fioretta
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciMetode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Numerik & Lab Muhtadin, ST. MT. Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat Metode Numerik & Lab - Intro 3 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN POLINOMIAL LEGENDRE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 148 153 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciSolusi Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson. (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method)
Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November 2014 320 Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method) Titis
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah
II. LANDASAN TEORI Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinci1 Penyelesaian Persamaan Nonlinear
1 Penyelesaian Persamaan Nonlinear Diberikan fungsi kontinu f (x). Setiap bilangan c pada domain f yang memenuhi f (c) = 0 disebut akar persamaan f (x) = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f. Dalam
Lebih terperinciMETODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 50 57 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI ILHAM FEBRI RAMADHAN Program Studi Matematika
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciKonsep Metode Numerik. Workshop Metode Numerik Ahmad Zainudin, S.ST
Konsep Metode Numerik Workshop Metode Numerik Ahmad Zainudin, S.ST 2014 Metode Numerik Secara Umum 1. Tentukan akar-akar persamaan polinomial 2. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan : 3. Selesaikan
Lebih terperinci