BAB III PERSAMAAN DIFUSI, PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI, DAN METODE PEMISAHAN VARIABEL

Transkripsi

1 BAB III PERSAMAAN DIFUSI, PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI, DAN METODE PEMISAHAN VARIABEL Dalam menyelesaikan persamaan pada tugas akhir ini terdapat beberapa teori dasar yang digunakan. Oleh karena itu, pada bab ini akan dijelaskan teoriteori tersbut, yaitu Persamaan Konveksi Difusi, Persamaan Difusi, dan Metode Pemisahan Variabel. 3.1 Persamaan Difusi Misalkan sebuah tabung atau pipa berisi cairan yang tidak bergerak dan sebuah substansi kimia yang berdifusi di dalam cairan. Substansi kimia tersebut begerak dari daerah yang memiliki konsentrasi tinggi ke daerah yang memiliki konsentrasi lebih rendah. Kecepatan gerak dari substansi kimia tesebut proporsional terhadap gradien konsentrasi. Misalkan u( x, t ) adalah konsentrasi (massa per satuan panjang) dari substansi kimia tersebut pada posisi-x dari pipa pada saat-t. Pada bagian pipa dari x 0 sampai x 1 (lihat gambar 5), massa dari substansi kimia tersebut adalah x1 dm x1 M () t = u( x, t) dx, sehingga = ut ( x, t) dx. (3.2) x0 dt x 0 x 0 x 1 Gambar-5 Difusi substansi kimia dalam pipa 13

2 Massa pada bagian ini tidak dapat berubah kecuali oleh adanya perubahan pada aliran masuk (flowing in) atau aliran keluar (flowing out). Dengan menggunakan Fick s Law, dm dt = aliran masuk - aliran keluar = kux x0, t kux x1, t. 3.3 dengan k adalah konstanta. Dengan demikian, Persamaan (3.2) dan (3.3) sama dengan: x1 x0 = u x, t dx ku x, t ku x, t. t x 1 x 0 (3.4) ruas kanan pada Persamaan (3.4) sama dengan (, ) Persamaan (3.4) dapat dituliskan menjadi x1 xx sehingga x0 k u x t dx u. 3.5 t = kuxx Persamaan di atas merupakan Persamaan Difusi untuk kasus ruang dimensi 1. Persamaan difusi atau bisa disebut juga persamaan panas adalah contoh lain dari persamaan diferensial parsial. Gambar-6 Daerah dalam reservoir Konduksi panas diilustrasikan dalam persamaan difusi dengan uxt (, ) didefinisikan sebagai temperatur pada posisi-x dan waktu-t. Jika daerah D adalah daerah yang dilalui panas yang terinsulasi, maka tidak ada panas yang mengalir melalui batas dan kondisi ini biasanya digambarkan dengan kondisi Neumann, 14

3 u yaitu = 0, dengan n adalah vektor normal satuan dari daerah D. Namun, jika n daerah D terdapat dalam satu daerah dalam reservoir yang besar dengan temperatur g( t ) dan terjadi konduksi panas secara sempurna, maka diperoleh kondisi Dirichlet, yaitu u( x, t) g( t) sepanj ang D. = untuk x yang berada di daerah batas di 3.2 Persamaan Konveksi Difusi Misalkan pada reservoir dengan panjang x dan ketebalan y kemudian dilakukan injeksi uap dengan temperatur tertentu dan dengan kecepatan V. Pada saat injeksi uap dilakukan, terjadi konveksi di dalam reservoir sehingga panas yang yang dihasilkan oleh uap tersebut akan berpindah ke minyak. Panas tersebut akan mengurangi viskositas dari minyak tersebut agar mudah terangkat. Bersamaan dengan itu, uap tersebut akan kehilangan panas yang disebut juga konduksi. Dengan demikian, temperatur dari uap yang diinjeksikan tersebut akan semakin menurun hingga pada nantinya akan sama dengan temperatur reservoir. Ilustrasi dari distribusi temperatur uap pada reservoir dapat dilihat pada Gambar-4. Garis berwarna biru menyatakan distribusi temperatur sebenarnya sedangkan garis berwarna merah menyatakan aproksimasi dari disribusi temperatur yang diperoleh dari pendekatan model matematika oleh Marx dan Langenheim [2]. 15

4 Injection Well T Satu Fasa (Minyak) Arah Radial dari Sumur Injeksi Gambar-7 Ilustrasi Distribusi Temperatur pada Reservoir Setelah Injeksi Uap. Pada reservoir ini, konduksi panas yang bisa diilustrasikan dalam persamaan difusi yang dijelaskan pada subbab sebelumnya sedangkan konveksi yang merupakan perpindahan dari minyak, air, dan uap dari reservoir ke arah u sumur produksi diilustrasikan dengan persamaan V sehingga persamaan x konveksi dan konduksi panas yang terjadi pada saat injeksi uap tersebut dapat diilustrasikan dalam persamaan: 2 u u u + V = D, 0 < x< t x x dengan u(x,t) mendefinisikan temperature pada posisi-x dan waktu-t. Persamaan diatas adalah persamaan konveksi difusi (Convection Diffusion Equation-CD Equation) atau bisa juga disebut advection diffusion equation atau transport equation. Persamaan konveksi difusi ini juga merupakan salah satu contoh persamaan diferensial parsial yang memiliki banyak aplikasi. Persamaan diferensial parsial adalah suatu bentuk persamaan matematika yang mengandung 16

5 satau atau lebih operator diferensial parsial pada suatu variabel bebas dari suatu fungsi peubah banyak. 3.3 Metode Pemisahan Peubah Persamaan difusi atau persamaan panas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan peubah (Separation of Variable). Misalkan persamaan difusi u, 0,0, t = kuxx < x< l < t < 3.6 dengan kondisi batas dan kondisi awal ( 0, ) = (, ) = 0, φ ( x) ( u t u l t u x,0 =. 3.7) Untuk menyelesaikan persamaan difusi di atas, pisahkan peubah-peubahnya (, ) T( t) X ( x), ( u x t = 3.8) diferensialkan persamaan (3.8) terhadap t dan x lalu substitusi ke persamaan difusi T t ", dengan T adalah turunan fungsi sehingga diperoleh () X ( x) = kt( t) X ( x) T terhadap t dan X " adalah turunan fungsi X terhadap x. kemudian bagi dengan kt K didapat T' X" = = λ, 3.9 kt X dimana λ = konstan. Nilai λ konstan karena masing-masing ruas pada Persamaan (3.9) hanya bergantung pada nilai t atau x saja. Dengan menggunakan metode pemisahan peubah ini, akan diperoleh nilai λ yang konstan. Setelah itu aplikasikan kondisi batasnya maka akan didapat 17

6 beberapa nilai λ. Nilai λ yang memenuhi adalah nilai λ yang menghasilkan solusi tak trivial dari Y, dimana Y adalah fungsi eigen dan λ adalah nilai eigennya. Substitusi nilai λ tersebut ke dalam Persamaan (3.9) sehingga akan diperoleh persamaan T( t) dan ( X x). Lalu gunakan lagi kondisi batas dan kondisi awal dari persamaan difusinya (Persamaan (3.7)) sehingga akan diperoleh solusi dari persamaan difusi pada Persamaan (3.6). 18