Ringkasan Materi Kuliah METODE-METODE DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

Transkripsi

1 Ringkasan atri Kuliah ETODE-ETODE DASAR PERSAAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Pndahuluan Prsamaan dirnsial adalah prsamaan ang mmuat turunan satu atau bbrapa) ungsi ang takdiktahui skipun prsamaan sprti itu harusna disbut prsamaan turunan, namu istilah prsamaan dirnsial (aquatio dirntialis) ang diprknalkan olh Libniz dalam tahun 676 sudah umum digunakan Sbagai ontoh, () 5 6 os () () u t u () adalah prsamaan-prsamaan dirnsial Dalam prs () () ungsi ang takdiktahui dinatakan dngan dan dianggap sbagai ungsi satu pubah bbas, aitu = () Argumn dalam () (dan turunan-turunanna) biasana dihilangkan untuk pndrhanaan notasi Lambang dan dalam Prs () () brturut-turut mnatakan turunan prtama dan kdua dari ungsi () trhadap Dalam Prs () ungsi ang takdiktahui u dianggap sbagai ungsi dua pubah bbas t dan, aitu u = u (t,), u t dan u brturut-turut adalah turunan parsial kdua dari ungsi u (t,) trhadap t dan Prsamaan () mmuat turunan-turunan parsial dan disbut prsamaan dirnsial parsial Prsamaan-prsamaan () () mmuat turunan biasa dan disbut prsamaan dirnsial biasa Di dalam buku ini kita lbih mngutamakan mmplajari prsamaan dirnsial biasa

2 Dinisi Suatu prsamaan dirnsial biasa ord n adalah suatu prsamaan ang dapat ditulis dalam bntuk n n F,,,, (5) Dimana,, n, smua ditntukan nilaina olh Pubah bbas trltak dalam suatu slang I (I bolh brhingga atau tak trhingga), ungsi F dibrikan, dan ungsi = () takdiktahui Pada umumna ungsi F dan akan brnilai ral Jadi, Prs () adalah suatu prsamaan dirnsial biasa ord dan Prs () dan () adalah prsamaan dirnsial ord Dinisi Suatu pnlsaian prsamaan dirnsial biasa (5) adalah suatu ungsi () ang ditntukan pada suatu slang bagian J I ang sara idntik mmnuhi Prs (5) pada sluruh slang J Jlaslah, stiap pnlsaian () dari Prs (5) mmpunai siat-siat brikut : harus mmpunai turunan paling sdikit sampai dngan turunan k n dalam slang J Untuk stiap di dalam J titik,, n,, akan trltak di dalam darah dinisi (asal) ungsi F, aitu F akan ditntukan pada titik ini n F,, n,, untuk stiap di dalam J Sbagai gambaran kita prhatikan baha ungsi adalah suatu pnlsaian prsamaan dirnsial biasa ord dua Natakanlah baha, Jlaslah, untuk dalam slang ral, adalah suatu pnlsaian dari Sbagai ontoh lain, ungsi () = os adalah suatu pnlsaian dari di sluruh slang, mang bnar

3 os os os os Dalam tiap-tiap ontoh, pnlsaian itu brlaku spanjang garis ral, Sbalikna adalah suatu pnlsaian prsamaan dirnsial biasa ord satu = ½ ang brlaku hana dalam slang, dan adalah suatu pnlsaian prsamaan dirnsial biasa ord satu ang brlaku hana dalam slang (, ) Sprti tlah kita ktahui, = adalah suatu pnlsaian prsamaan dirnsial biasa Kita lihat lbih lanjut baha = - juga suatu pnlsaian dan slain itu adalah suatu pnlsaian prsamaan ini untuk sbarang nilai konstanta dan Akan diprlihatkan di Bab baha adalah pnlsaian umum prsamaan dirnsial biasa Yang dimaksud dngan pnlsaian umum adalah pnlsaian ang ang brsiat baha stiap pnlsaian dari dapat diprolh dari ungsi untuk nilai-nilai trtntu konstanta dan Dalam bab juga akan diprlihatkan, baha pnlsaian umum prsamaan dirnsial biasa brbntuk os sin, untuk sbarang nilai konstanta dan Dalam bab ini kami sajikan mtod-mtod dasar untuk mnari pnlsaian bbrapa prsamaan dirnsial biasa ord satu, aitu, prsamaan ang brbntuk F,, (6) dan bbrapa pnrapanna ang mnarik Dirnsial ungsi = () mnurut dinisi adalah d d Dngan ktntuan ini, prsamaan dirnsial (6) kadang-kadang akan ditulis dalam bntuk dirnsial prsamaan dirnsial d F, d atau dalam bntuk padanan aljabar Sbagai ontoh,

4 dapat ditulis dalam bntuk d d atau Ada bbrapa tip prsamaan dirnsial biasa ord satu ang pnlsaianna dapat diari sara ksplisit atau implisit dngan pngintgralan Dari smua tip prsamaan dirnsial biasa ord satu ang mudah dislsaikan, dua prlu mndapat prhatian : prsamaan dirnsial pubah trpisah, aitu, prsamaan ang dapat ditulis dalam bntuk P atau P d Q d, Q dan prsamaan linar, aitu, prsamaan ang dapat ditulis dalam bntuk a b Kduana sring munul dalam pnrapan, dan banak tip-tip prsamaan dirnsial lain ang dapat dirduksi/mnjadi salah satu dari kdua tip ini, dngan mnggunakan pmtaan sdrhana Torma Prhatikan NA : F,, isalkan ungsi-ungsi F dan F kontinu di dalam darah prsgi panjang, : A R, A, B B Yang mlingkungi titik (, ), maka ada bilangan positi h A dmikian shingga NA mmpunai satu dan hana satu pnlsaian dalam slang h Jadi, dalam notasi dinisi dari bagian I : A danj : o h

5 Bbrapa ontoh brikut mlukiskan pnggunaan torma di atas Contoh Buktikan baha NA () () = () mmpunai pnlsaian tunggal dalam slang h h Bukti Disini F, dan F kontinu di dalam prsi panjang ang mlingkungi (,) nurut torma, ada bilangan positi h dmikian shingga NA 9) () mmpunai pnlsaian tunggal di dalam slang hatau h atau h h Contoh Jika koisin-koisin a (i) dan b () dari prsamaan dirnsial a b (5) Kontinu di suatu slang buka I, buktikan baha Prs 95) mmpunai tunggal mlalui sbarang titik (, ) dimana I Pnlsaian Pilih suatu bilangan A dmikian shingga A trltak pada slang I, maka F, b a dan F, a kontinu di nurut Torma,Prs (5) mmpunai pnlsaian tunggal ang mmpunai sarat aal ( ) = R, : A dngan prkataan lain, mlalui titik (, ), untuk sbarang bilangan ral Prsamaan Dirnsial Linar Ord Satu Suatu prsamaan dirnsial linar ord satu adalah suatu prsamaan ang brbntuk a a Kita slalu mmisalkan baha koisin-koisin a a, dan ungsi, adalah ungsi-ungsi ang kontinu pada satu slang I dan baha koisin

6 a untuk smua di dalam I Jika kita bagi kdua ruas olh a dan mntapkan a a a dan b a, kita prolh prsamaan dirnsial ang spadan a b, () Dimana a() dan b() ungsi-ungsi ang kontinu pada slang I Pnlsaian umum Prs () dapat diari sara ksplisit dngan mmprhatikan baha pubahan pubah a d () mtakan Prs () k dalam prsamaan dirnsial trpisah Jadi, (dngan mngingat d d a d a ), a d a a d a a d b a d Ini adalah prsamaan dirnsial trpisah dngan pnlsaian umum b a d d a d b a d d a d b a d d Kita sarikan hasil kita dalam suatu torma Torma Jika a() dan b() adalah ungsi-ungsi kontinu pada slang I, maka pnlsaian umum prsamaan dirnsial a b akan brbntuk a d b a d d ()

7 Prsamaan Dirnsial Eksak Suatu prsamaan dirnsial dngan bntuk, d N, d () Disbut prsamaan dirnsial ksak, jika ada suatu ungsi (,) ang dirnsial totalna sama dngan, d N, d, (dngan mniadakan lambang dan ) d d N d () (Ingat kmbali baha dirnsial total adalah d d d, asalkan turunan-turunan parsial mnurut dan ada) Jika Prsamaan () ksak, maka karna () dan (), prsamaan ini spadan dngan D = Jadi, ungsi (,) adalah konstan dan pnlsaian umum Prsamaan () dibrikan olh (,) = () sbagai ontoh, prsamaan dirnsial d d ( ) Adalah ksak, sbab d d d d d Jadi pnlsaian umum Prsamaan () brbntuk (sara implisit) (5) Brikut ini ada dua prtanaan di bnak kita Prtanaan Adakah suatu ara sistmatik untuk mmriksa apakah prsamaan dirnsial () ksak? Prtanaan Jika kita tahu baha prsamaan dirnsial () ksak, apakah ada suatu ara sistmatik untuk mnlsaikanna? Jaab Prsamaan dirnsial () adalah ksak jika hana jika N (6)

8 Yaitu, jika turunan parsial mnurut sama dngan tutunan parsial N mnurut, maka Prsamaan () adalah ksak; sbalikna, jika Prsamaan () kask, maka (6) brlaku Jaab Pilih sbarang titik (, ) pada darah dimana ungsi-ungsi, N dan turunan-turunan parsialna dan N kontinu, maka,, d N, d (7) nghasilkan (sara implisit) pnlsaian umum prsamaan dirnsial () Untuk mmastikan jaab di atas, ukup kita buktkan baha brarti baha d d Nd, N Di mana adalah jumlah kdua intgral dalam (7) dan sbalikna jika Prsamaan () ksak, maka (6) brlaku Jlas dari Prsamaan (7) kita dapatkan, N, d,, d,,, dan dngan ara srupa N, Karna itu, d d d d Nd, ang mmbuktikan bagian jika dari jaab Untuk mmbuktikan kbalikanna, prhatikan baha, karna Prsamaan () ksak, maka ada suatu ungsi sdmikian shingga d d Nd N dan, dan karna, kita dapatkan N N Catatan Titik (, ) dalam Prsamaan (7) dapat dipilih sara bijaksana dngan maksud mndrhakan (, ) dalam intgral prtama dari (7) dan prhitungan kdua intgral itu pada batas baah pngintgralan Catatan Bntuk Prsamaan (7) ang tpat adalah, t, dt N, s ds, (7`)

9 dan pmisalanna harus dibuat shngga sgmn (, ) k (, ) dan dari (, ) k (,) trltak pada darah kujudan dan kkontinuan ungsi-ungsi, N, dan, N Catatan Sprti trlihat, Prsamaan (7) brguna untuk mnntukan kujudan ungsi dan juga untuk mmbuktikan kksakan, aitu, Prsamaan (6) Kadangkadang sisa mndapatkan adana titik (, ) ang sbarang dan pilihan nilainilai dan sara bijaksana, ini mmbingungkan Brikut ini ada pilihan mtod ang sistmatik untuk mnntukan ang dibrikan dalam ontoh dan Contoh Slsaikan prsamaan dirnsial d d Pnlsaian Disini, dan N, 8 dan N 8 N Jadi, prsamaan dirnsial itu adalah ksak dan dari Prsamaan (7) dngan (, ) = (,) pnlsaian umum dibrikan sara implisit olh d d Contoh Slsaikan NA sin os ln 8 d d (8) 9 () Pnlsaian Di sini sin, os ln 8 dan N, os 8 os dan N os

10 N Jadi, prsamaan dirnsial ini ksask dan dari Prsamaan (7) pnlsaian dibrikan olh, sin os ln 8 d d, 9 Di mana sbarang bilangan dan? Kita ambil pilihan = dan sara bijaksana, maka, ln sin ln( ) sin ln Dngan mnggunakan sarat aal (9), kita dapatkan baha = o Jadi, pnlsaian NA dibrikan sara implisit olh ln sin ln Dngan mnlsaikan, kita dapatkan ln sin Catatan Dalam prsamaan dirnsial di atas, slang trbsar untuk kujudan 9 pnlsaian ang mlalui, adalah, (mnurut torma kujudan dan ktunggalan, Torma dari Bagian ), dan dngan dmikian kita misalkan baha > Catatan 5 Kadang-kadang lbih mudah mnlsaikan prsamaan dirnsial ksak dngan mnglompokkan suku-suku mnjadi dua klompok suku-suku satu klompok suku-suku dari bntuk p()dk dan q()d dan lainna adalah sukusuku sisana dan mngtahui baha masing-masing klompok (mnurut knataan) adalah suatu dirnsial total dari suatu ungsi Contoh Slsaikan prsamaan dirnsial d d Pnlsaian Dari ontoh kita tahu baha prsamaan ini adalah ksak Dngan mnglompokkan suku-sukuna ssuai dngan Catatan 5, kita prolh d d d d

11 d d d d Contoh Slsaikan prsamaan drnsial d d Pnlsaian Dari ontoh kita tahu baha prsamaan dirnsial ini adalah ksak, dan karna itu ada suatu ungsi sdmikian shingga = dan = N Prhatikan Dngan mngintgralkan mnurut, kita prolh ) ( h Dngan mmbuat ini sama dngan, N N kita dapatkan h h Jadi,, Prlu diatat baha pnlsaian untuk h() tanpa konstanta pngintgralan ang biasana munul Plnapan ini dimungkinkan karna sbnarna konstanta ini sudah trgabung dngan konstanta pada aktu mmbuat = Sbagai pilihan pmbuatan pnlsaian, kita dapat mlakukan pngintgralan prnataan = N mnurut Dalam hal ini konstanta pngintgralanna adalah ungsi, katakan g() dan g() akan ditntukan dngan mmbuat = Prsamaan Homogn Suatu prsamaan dirnsial homogn adalah suatu prsamaan dari bntuk,,, h g ()

12 di mana ungsi g dan h adalah ungsi-ungsi homogn dngan drajat ang sama Ingat kmbali baha suatu ungsi g(,) disbut homogn brdrajat n jika n g, g, Sbagai ontoh, ungsi-ungsi, sin,,,, adalah homogn Brturut-turut dngan drajat nol,,,, dan Brikut ini adalah ontoh-ontoh prsamaan dirnsial homogn:,, sin, Untuk mnlsaikan prsamaan dirnsial (), ambil = dan amatilah baha substitusi ini mrduksi Prsamaan () mnjadi prsamaan dirnsial trpisah Natalah, g h,, n g, n h,, di mana n adalah drajat ungsi homogn g dan h Jadi, g,, h, ang dapat dngan mudah diknali sbagai suatu prsamaan dirnsial trpisah Contoh Slsaikan prsamaan dirnsial () Pnlsaian Di sini g, dan h, adalah homogn brdrajat [log, g,, dan h, h, ] Jadi, prsamaan () adalah suatu prsamaan dirnsial homogn Ambil =, maka dari prsamaan ()

13 d d (trpisah) ln ln Jadi, ln Contoh Slsaikan NA d d () () = - () pnlsaian Prsamaan dirnsial () dapat ditulis dalam bntuk, (5) ang jlas homogn Pmbaa dapat mmriksa baha sarat-sarat torma kujudan Torma Bagian, dipnuhi olh NA () () Juga, kita sdang mnari suatu pnlsaian mlalui titik (,-), dan dngan dmikian pmbagian olh dalam prsamaan (5) dapat dilakukan sbuah prsgi prsgi panjang kil ang mlingkupi titik (, -) Ambil = dalam prsamaan (5), kita prolh d d ln ln ln ln Dari sarat aal (), kita dapatkan baha =

14 Jlaslah, salah satu tanda itu tidak brlaku Dalam ontoh ini ang bnar adalah tanda ang ngati, karna () = - Jadi pnlsaianna brbntuk 5 Prsamaan Dirnsial ang Trduksi k Ord Satu Dalam bagian ini kita mmplajari tip prsamaan dirnsial biasa ord lbih tinggi ang dapat dirduksi mnjadi prsamaan ord satu dngan mnggunakan pmtaan sdrhana A Prsamaan brbntuk n n F,, () ang hana mmuat dua turunan ang brurutan (n) dan (n-) dapat dirduksi mnjadi prsamaan ord satu dngan mnggunakan pmtaan = (n-) () Natalah, dngan mnurunkan kdua ruas Prsamaan () mnurut, kita dapatkan n, dan dngan mnggunakan () kita prolh F, Contoh Cari pnlsaian umum prsamaan dirnsial () Pnlsaian Ambil, prsamaan () mnjadi () Prsamaan () adalah trpisah )dan linar) dngan pnlsaian umum Jadi, () = Dngan mngintgralkan mnurut, kita prolh Pngintgralan brikutna mnghasilkan Karna konstanta sbarang, pnlsaian umum prsamaan () mnjadi (5) 6

15 Catatan Pnlsaian umum suatu prsamaan dirnsial biasa ord n mmuat n konstanta sbarang Sbagai ontoh, Prsamaan () brord, dan sprti tlah kita lihat, pnlsaian umum (5) mmuat tiga konstanta sbarang,, dan 6 Prsamaan dirnsial ord dua ang brbntuk F, (6) (tidak mmuat ) dapat dirduksi mnjadi ord satu dngan mnggunakan pmtaan (7) Natalah, dari (7) kita prolh (dngan mnggunakan aturan rantai) d d d d d d d d Jadi, Prsamaan (6) mnjadi d d F,, ang brord satu dngan pubah bbas dan ungsi akdiktahui Kadangkadang prsamaan trakhir ini dapat dislsaikan dngan salah satu mtod trdahulu Contoh Slsaikan NA (8) () = Pnlsaian Di sini prsamaan dirnsial (8) tidak mmuat dan karna itu dapat dirduksi mnjadi prsamaan dirnsial ord satu dngan mnggunakan pmtaan Natalah, Prs (8) mnjadi d d, (9)

16 ang linar Dngan mngalikan kdua ruas (9) dngan - kita prolh (d/d) ( -) Dngan mngintgralkan mnurut, kita dapatkan, dan dngan dmikian Dngan mnggunakan sarat aal, kita dapatkan baha = Jadi, dan Dngan mnggunakan sarat aal, kita dapatkan =, dan pnlsaian umum Prsamaan (8) brbntuk Sumbr Baaan: Santoso, Widiarti (998) Prsamaan Dirnsial Biasa Dngan Pnrapan odrn disi Jakarta: Erlangga