METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR E. Yuliani, M. Imran, S. Putra Mahasiswa Program Studi S Matmatika Laboratorium Matmatika Trapan, Jurusan Matmatika Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Riau Kampus Binawidya Pkanbaru 89, Indonsia vi yuliani9@yahoo.com ABSTRACT This papr discusss fr drivativ itrativ mthods basd on a Taylor xpansion to solv a nonlinar quation. It is analytically shown that th mthods ar th third ordr. Numrical comparisons among th proposd itrativ mthods, Chbyshv mthod, Hally mthod, and Chbyshv-Hally mthod show that th proposd mthods ar bttr in prformanc, in trms of succding in obtaining th root. Kywords: Chbyshv mthod, Hally mthod, Chbyshv-Hally mthod, fr drivativ itrativ mthod, nonlinar quation. ABSTRAK Artikl ini mmbahas mtod itrasi tanpa turunan brdasarkan kspansi Taylor untuk mnylsaikan prsamaan nonlinar. Scara analitik ditunjukkan bahwa mtod ini mmpunyai kkonvrgnan ord tiga. Prbandingan numrik dari tiga mtod yang diprolh, yaitu modifikasi dari mtod Chbyshv, mtod Hally, dan mtod Chbyshv-Hally yang tidak mmuat turunan dngan mtod Chbyshv, mtod Hally, mtod Chbyshv-Hally mnunjukkan kunggulan mtod yang dibahas dalam aplikasinya. Kata kunci: mtod Chbyshv, mtod Hally, mtod Chbyshv-Hally, mtod itrasi tanpa turunan, prsamaan nonlinar.. PENDAHULUAN Brbagai masalah dibidang konomi, kimia, dan klistrikan sring brakhir dngan suatu modl yang brbntuk prsamaan nonlinar [5, h. 4 0] fx = 0.

2 Pnlitian dalam mnmukan brbagai mtod analitik untuk mnylsaikan prsamaan, sudah banyak dihasilkan. Akan ttapi ktrbatasan mtod analitik, sprti tidak trsdianya mtod analitik untuk mnmukan akar-akar polinomial brdrajat lbih bsar atau sama dngan lima, mnybabkan pnliti matmatika mncari altrnatif k mtod itrasi yang mmbrikan solusi aproksimasi sampai ktlitian trtntu. Smua mtod itrasi yang sudah dikmbangkan brtujuan mnghasilkan mtod itrasi yang konvrgn dngan cpat k akar. Namun, kbanyakan mtod trsbut masih mmuat bntuk turunan dalam formulanya, shingga jika trdapat nilai turunan cukup dkat k nol atau sama dngan nol, mtod yang ada mnghasilkan rounding rror yang bsar atau bahkan tidak dapat ditrapkan. Bbrapa mtod itrasi yang masih mmuat turunan dngan ord kkonvrgnan tiga yang cukup diknal adalah Mtod Chbyshv [] dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n f x n + L fx n n = 0,,,..., mtod Hally [] dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n f x n + L fx n L f x n n = 0,,,..., dan mtod Chbyshv-Hally [] dngan bntuk itrasi x n+ = x n fx n + L fx n f x n L fx n, α R = R {0}, 4 α dngan L f x n = f x n fx n f x n. 5 Bila diprhatikan formula mtod Chbyshv, mtod Hally, dan mtod Chbyshv-Hally 4, maka ktiga mtod ini dapat diprolh dari formula itrasi x n+ = x n fx n L f x n + f x n θl f x n +cl fx n, 6 dngan θ dan c adalah suatu paramtr dan L f x n dibrikan prsamaan 5. Salah satu tknik yang dapat digunakan untuk mnghindari munculnya turunan di formula itrasi adalah dngan mnaksir turunan mlalui bantuan kspansi Taylor, sbagaimana yang dikmukakan Haijun Wang dan Subi Li dalam A family of drivativ-fr mthods for nonlinar quations [6]. Inilah yang mrupakan topik yang dibahas dalam artikl ini. Stuktur pnyajian artikl ini adalah dibagian kdua dibahas bagaimana cara mndapatkan mtod itrasi tanpa turunan yang dilanjutkan dngan mlakukan analisis kkonvrgnannya. Pada bagian ktiga dilakukan prbandingan scara numrik untuk mmbandingkan mtod itrasi tanpa turunan dngan mtod itrasi

3 yang masih mmuat turunan sprti mtod Chbyshv, mtod Hally, dan mtod Chbyshv-Hally dngan mnggunakan tujuh prsamaan nonlinar.. METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR Taksiran Turunan Pross taksiran turunan dimulai dngan mlakukan kspansi Taylor dari fungsi fx n + v diskitar x n + v = x n, dngan fx n 0, dan mngabaikan suku yang mmuat v i, i shingga didapat fx n +v = fx n +vf x n, 7 dngan cara yang sama diprolh kspansi Taylor dari fungsi fx n u diskitar x n u = x n, dngan fx n 0, yaitu fx n u = fx n uf x n + u f x n. 8 Misalkan v = vx n = fx n, maka dari prsamaan 7, f x n dapat diaproksimasi dngan f x n fx n +fx n fx n. 9 fx n Misalkan u = ux n = fxn, maka dngan mnggunakan prsamaan 9 didapat f x ux n = f x n fx n +fx n fx n. 0 Kmudian dari prsamaan 8 dan prsamaan 9 diprolh fx n u n = fx n u n f x n + u n f x n, u n f x n = fx n u n, shingga diprolh taksiran turunan f x n dngan f x n = fx n ux n. u x n Pnurunan Mtod Itrasi Tanpa Turunan MITT Untuk mndapatkan mtod itrasi tanpa turunan diawali dngan pnsubstitusian taksiran turunan 9 dan k prsamaan 5, shingga stlah pnydrhanaan diprolh L f x n fx n ux n. fx n

4 Mngingat fxn f x n = ux n maka prsamaan 6 dapat ditulis mnjadi x n+ = x n ux n L f x n + θl f x n +cl fx n. Kmudian dngan mnsubstitusikan prsamaan k prsamaan, stlah pnydrhanaan diprolh fx n ux n x n ux n x n+ = x n ux n + fx n θfx n ux n +4cf. 4 f x n Slanjutnya, misalkan λ = θ dan τ = 4c, shingga prsamaan 4 dapat ditulis x n+ = x n ux n + dngan ux n dibrikan prsamaan 0 yaitu fx n ux n x n ux n fx n λfx n ux n +τf f x n ux n = f x n fx n +fx n fx n., 5 Prsamaan 5 disbut dngan bntuk umum dari mtod itrasi tanpa turunan brdasarkan kspansi Taylor untuk mnylsaikan prsamaan nonlinar. Jika dibrikan nilai brbda untuk λ dan τ pada prsamaan 5, maka ditmukan sbuah kluarga dari mtod itrasi tanpa turunan, yang tiga bntuk khususnya dibrikan olh:. Untuk λ = 0 dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Mtod Chbyshv Tanpa Turunan MMCTT. x n+ = x n ux n + fx n ux n. 6 fx n. Untuk λ = dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Mtod Hally Tanpa Turunan MMHTT. fx n ux n x n+ = x n ux n +. 7 fx n fx n ux n. Untuk λ = dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Mtod Chbyshv-Hally Tanpa Turunan MMCHTT. fx n ux n x n+ = x n ux n + fx n fx. 8 n ux n Analisis Kkonvrgnan Pada bagian ini akan dibahas mngnai analisis kkonvrgnan dari mtod itrasi tanpa turunan brdasarkan kspansi Taylor. 4

5 Torma [6] Asumsikan bahwa fungsi f : D R R untuk suatu intrval trbuka D yang mmpunyai akar sdrhana x D dan fungsi fx mmpunyai turunan prtama, kdua, dan ktiga yang kontinu di dalam intrval D. Jika x 0 cukup dkat k x maka ord konvrgnsi dari mtod itrasi pada prsamaan 5 adalah tiga dngan prsamaan tingkat rror n+ = c + c + c c λ c + c + c c τ + c + c +c c c n. Bukti. Prhatikan prsamaan 5 stlah disamakan pnybutnya mnjadi x n+ = x n ux n fx n ux n f x n +τf x n ux n fx n λfx n ux n +. fx n λfx n ux n f x n 9 Misalkan n = x n x, dngan x adalah akar sdrhana dari prsamaan fx = 0 maka fx = 0. Slanjutnya kspansi Taylor [, h ] dari fx n diskitar x n = x, dngan mngabaikan suku yang mmuat x n x i, dngan i 4 adalah Dngan mnyatakan dan c i = F i i! maka prsamaan 0 mnjadi fx n = f x n +! f x n +! f x n. 0 F j = f j x j, i =,,,..., fx n = n +c n +c n. Slanjutnya, hitung x n +fx n dan dngan mngingat x n = n +x, maka diprolh x n +fx n = n +x + n +c n +c n. 4 Slanjutnya dihitung kspansi Taylor dari fx n +fx n diskitar x n +fx n = x, dan mngingat prsamaan 0 dan diprolh fx n +fx n = +c n +c +c +c c n +4 c +c +c c +c c +c +c n. 5 Slanjutnya dngan mnggunakan prsamaaan dan prsamaan 5 dihitung slisih antara fx n +fx n fx n dan f x n, shingga diprolh brturut-turut fx n +fx n fx n = c n +c c +c n +c +c c +c +4 c +c c n 6 5

6 dan f x n = c n + c n + c +c 4 n. 7 Untuk mnghindari pmbagian dua polinomial maka digunakan drt gomtri +r = r +r r. 8 Dngan mmbagi prsamaan7 dan prsamaan6 stlah pnydrhanaan diprolh ux n, yaitu ux n = + c n + c n + c +c 4 n c + c n + c c. 9 + c + c + 4c +c n Misalkan r = c + c c n + +c c c + c n, maka dngan mngingat prsamaan 8, prsamaan 9 stlah pnydrhanaan dapat ditulis mnjadi ux n = n + c c c n + c + c c + c c c +c c n. 0 Slanjutnya dihitung slisih antara x n ux n dngan x n = n +x diprolh x n ux n = x + c + c c n + c c c c + c + c c n. Kmudian dngan mlakukan kspansi Taylor dari fx n ux n diskitar x n ux n = x, dan mngabaikan suku yang mmuat x n ux n x i, dngan i 4, dan dngan mnsubstitusikan prsamaan k prsamaan yang dihasilkan didapat fx n ux n = c +c n + c +c c + c c +c c c n. Slanjutnya dihitung B = fx n λfx n ux n f x n, dan A = fx n ux n f x n +τf x n ux n fx n λfx n ux n dngan mnggunakan prsamaan, 7 dan, shingga diprolh brturutturut B = c λc λc n + n, 6

7 dan A = λc λc c +c +c λc +λc +λc λ c + c n + λc λc n. 4 Untuk mnghindari pmbagi dua polinomial dalam mnghitung A/B maka digunakan drt gomtri sprti pada prsamaan 8. Untuk itu trlbih dahulu mnghitung B dan A didapat brturut-turut c n c n B c n = + λc λc + c n + λc λc + c λc c c λc dan A c n + c c n + λc + λc + λc λc c c c 8λc c + c 6λc c c c + 6c c c + c 4 n. 5 = c + c n + τc +τc c + τc +c c + c + c c n + τλc τλc c +c c τc c + 4τc c τc c c 6τc c τc λ c c +c c + 8c c c c 5τc +8τc c + 0τc c + 6c c c τc τλc c n. 6 Slanjutnya dihitung A c C = ux n n B c n, 7 dngan mnggunakan prsamaan 0, 6 dan 5 dan bantuan drt gomtri 8 didapat stlah pnydrhanaan C = n + λc +λc c c +τc + τc + λc c c + τc c n. 8 Bila prsamaan 8 disubstitusikan k prsamaan 9, dan mngingat x n = n +x dan n+ = x n+ x, maka diprolh stlah pnyusunan ulang c n+ = c + c c + c λ c c + c c + c τ + c c + c +c c n. 9 7

8 Dari Dfinisi ord kkonvrgnan [4, h.77] trlihat bahwa ord knvrgnsi dari mtod itrasi pada prsamaan 5 adalah tiga, maka Torma trsbut trbukti.. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dibahas simulasi numrik untuk mmbandingkan mtod-mtod yang dibahas pada artikl ini. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam mlakukan prbandingan knam mtod yang didiskusikan yaitu fx = x +cosx, x = , fx = x x +x, x = , fx = sinx+ x, x = , 4 fx = xp x+cosx, x = , 5 fx = x logx, x = , 6 fx = sinx x +, x = , 7 fx = cosx x, x = Dalam mnntukan solusi numrik dari k tujuh fungsi di atas, digunakan tbakan awal x 0 yang brbda, karna tbakan awal brpngaruh trhadap kbrhasilan dalam mnghampiri akar dan juga trhadap jumlah itrasi yang dihasilkan. Hasil solusi numrik dari contoh dngan mnggunakan mtod ChbyshvMC, mtod HallyMH, mtod Chbyshv-HallyMCH, dan modifikasi mtod itrasi tanpa turunan sprti modifikasi mtod Chbyshv tanpa turunan MMCTT, modifikasi mtod Hally tanpa turunan MMHTT, dan modifikasi mtod Chbyshv-Hally tanpa turunan MMCHTT. Prbandingan knam mtod untuk k tujuh fungsi di atas mnggunakan program komputr Matlab 7.6, dngan M-fil sprti Lampiran 4, 5, 6, dan 7. Hasil dari simulasi numrik untuk k tujuh fungsi di atas ditunjukkan pada Tabl.. Tabl. mrupakan tabl prbandingan dari mtod itrasi yang masih mmuat bntuk turunan yaitu MC, MH, dan MCH dngan modifikasi mtod tanpa turunan yaitu MMCTT, MMHTT, dan MMCHTT. Pada kolom prtama mrupakan fungsi, kolom kdua mrupakan tbakan awal yang dinotasikan dngan x 0, kolom ktiga sampai kdlapan mrupakan mtod yang dibandingkan, dan kolom trakhir mrupakan nilai dari akar hampiran yang dinotasikan dngan x. Tanda pada jumlah itrasi mnyatakan bahwa mtod konvrgn k akar lain tidak sama dngan nilai akar hampiran pada stiap fungsi yang dittapkan. Fail mnyatakan bahwa mtod tidak dapat ditrapkan, kmudian jumlah itrasi 00+ mrupakan jumlah itrasi dari mtod yang mlbihi maksimum itrasi sdangkan Div Divrgn mnyatakan bahwa itrasi yang dihasilkan tidak konvrgn. Scara ksluruhan untuk smua fungsi stlah mlakukan prbandingan trlihat bahwa mtod modifikasi tanpa turunan yang lbih unggul adalah mtod modifikasi tanpa turunan sprti MMCTT, MMHTT, dan MMCHTT lbih unggul daripada mtod itrasi yang masih mmuat turunan sprti MC, MH, dan MCH. Hal ini trlihat dari jumlah itrasi yang diprlukan dan ksukssan mtod tanpa turunan dalam mndapatkan akar dari prsamaan nonlinar yang dibrikan. 8

9 Tabl : Prbandingan Mtod Itrasi Yang Mmuat Turunan Dngan Modifikasi Mtod Itrasi Tanpa Turunan Jumlah itrasi mtod fx x 0 MC MMCTT MH MMHTT MCH MMCHTT f Fail 5 Fail 9 Fail 7. f Fail 4 Fail 6 Fail f π Div f f f f Div Div DAFTAR PUSTAKA [] Bartl, R.G. & D.R. Shbrt Introduction to Ral Analysis, rd Ed. John Wily & Sons, Inc, Nw Work. [] Gandr, W On Hally s Itration Mthod, Amrican Mathmatical Monthly. 9:-4. [] Hrnandz, M.A & M.A Salanova. 99. A Family of Chbyshv-Hally Typ Mthod, Intrnational Journal of Computr Mathmatics. 47:59-6. [4] Mathws, J.H. 99. Numrical Mthods for Mathmatics, Scinc, and Enginring, rd Ed. Prntic Hall. Englwood Cliffs, Nw Jrsy. [5] Wait, R Th Numrical Solution of Algbraic Equation. John Wily & Sons,Inc.,Chicstr. [6] Wang, H & S. Li. 0. A Family of Drivativ-Fr Mthods for Nonlinar Equation. 4: