JURUSAN FISISKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "JURUSAN FISISKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG"

Hendri Setiabudi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Solusi Prsamaan Schrödingr onlinir Untuk Mndiskripsikan Soliton Dari Prambatan Pulsa Optik Dalam Mdium Disprsif onlinir Munawar Kholil JURUSA FISISKA UIVERSITAS EGERI MALAG ITISARI sbuah pulsa optik dapat brgrak di dalam sbuah mdium disprsif nonlinir tanpa brubah bntuk, solah-olah ia sdang brgrak di dalam sbuah mdium nondipsrsif linir. Hal ini tradi ktika disprsi kcpatan klompok diimbangi olh fk modulasi fas diri. Glombang stasionr sprti itu disbut glombang solitr. Soliton optis adalah glombang solitr khusus yang orthogonal, dalam arti bahwa ktika kdua glombang brpapasan atau brsilangan satu sama lain di dalam mdium profil intnsitasnya tidak brubah (hanya prgsran fas sbagian sbagai akibat intraksi), shingga masing-masing glombang mnruskan brgrak sbagai suatu ksatuan yang bbas (solitr). Prsamaan difrnsial yang mngatur gugus komplks dari sbuah pulsa optik yang mrambat dalam mdium disprsif nonlinir yang luas adalah prsamaan Schrödingr nonlinir. Kata kunci : disprsif, nonlirr, soliton optik, Schrödingr nonlinir. 1. PEDAHULUA Soliton disbut gundukan nrgi brhingga, stabil, mnmpati ruang trbatas dan tidak mnybar. Id fisika soliton brmula pada Agustus 1934 ktika John Scott Russl ( ), fisikawan Skotlandia, mngamati fnomna glombang air di kanal Edinburg-Glasgow. Russl mnybut fnomna ini sbagai "glombang bsar translasi". Glombang air trsbut mnalar dngan bntuk tak brubah, dalam rntang waktu rlatif lama spanang kanal. Dalam kata-kata alih bahasa bbas, Russl mnggambarkannya sbagai brikut : Saya yakin akan lbih baik mmprknalkan fnomna ini dngan mndskripsikan kadaan dari pngnalan prtama saya dngannya. Saya sdang mngamati grak kapal yang ditarik dngan cpat spanang kanal smpit olh spasang kuda, ktika kapalnya tiba-tiba brhnti - tidak dmikian halnya dngan massa air pada kanal yang tlah digrakkannya; glombang itu brakumulasi mnglilingi haluan kapal dalam kadaan golakan dahsyat, dan kmudian dngan tibatiba mninggalkan haluan kapal, mnalar k dpan dngan kcpatan bsar, dalam bntuk gundukan air yang mlanutkan pnalarannya spanang kanal tanpa mngalami prubahan bntuk atau pngurangan kcpatan. Saya mngikuti glombang itu di punggung kuda, dan stlah mnyusuli, glombang itu trus mnalar pada lau skitar dlapan atau smbilan mil pr am, dngan ttap mmprtahankan bntuk awalnya, panangnya skitar tiga puluh kaki dan tingginya skitar satu kaki stngah. Tingginya scara brangsur mnurun, dan stlah pngaran satu atau dua mil saya khilangannya pada blokan kanal. Russl uga mlakukan bbrapa prcobaan

2 laboratorium untuk mrproduksi glombang solitr atau glombang soliton ini, dalam suatu tangki glombang, dngan cara mnatuhkan sbuah bnda pada salah satu uung tangki. Ia mndduksi scara mpirik, volum air di glombang sama dngan volum air yang dipindahkan. Brdasarkan pnlitian Kortwg dan d Vris diktahui bahwa glombang bsar translasi adalah bntuk khusus glombang air prmukaan. Prsamaan yang mndskripsikan pnalaran glombang satu arah pada prmukaan kanal yang dangkal diturunkan olh Kortwg dan d Vris pada tahun 1895, yang diknal dngan prsamaan KDV. Stabilitas soliton brfungsi mnyimbangkan fk nonliniritas dan disprsi, sprti yang ditunukkan olh soliton air dangkal pada prsamaan KDV. onliniritas mmandu glombang soliton untuk trlokalisasi, sdangkan disprsi mnybarkan glombang trlokalisasi trsbut. Jika salah satu dari dua fk trsbut hilang, soliton mnadi tidak stabil dan scpatnya uga mnghilang. Prmasalahan yang muncul adalah Bagaimana fk dari sifat médium disprsiv nonlinir ika yang tinau adalah pulsa optik shingga trbntuk soliton?.. PERSAMAA DIFERESIAL UTUK FUGSI GUGUS DALAM MEDIUM DISPERSIF OLIIER Indks bias mdium disprsif brubah sbagai fungsi frkunsi dari glombang yang mlwatinya dan dirumuskan dngan: ck n () o. Sdangkan angka glombang dirumuskan dngan psamaan: k n c, dngan n n n E kofisin Krr yang mmbrikan, n adalah fk nonlir. Shingga angka glombang dalam mdium disprsif non linir mnadi: n n E k c (1) E( t GAMBAR 1. (a) modulasi glombang. Mninau mdan listrik dari glombang optik yang mrambat sarah z dngan frkunsi angular sntral dan angka glombang sntral k Jika amplitudo maksimum dari glombang cahaya scara lambat brubah trhadap waktu t dan ruang z, maka ksprsi mdan listriknya dalam gugus komplks dapat dirumuskan sbagai: i ( t kz E R E ) ( z, () R adalah notasi bagian ral sdangkan k dan ω brtturut-turut adalah angka glombang dan frkunsi sudut sbagai pmbawa glombang. Fungsi gugus E (z, mnunukkan fungsi yang brvariasi dngan lambat trhadap waktu dan arak yang mnginditifikasikan bahwa spktrum frkunsi dari mdan listrik E strukurnya trlokalisasi dibawah frkunsi cntral o, yang ditunukan gambar 1. dan pada gambar, ω mnunukkan lbar spktrum frkunsi fungsi gugus E. E(ω) ω ω ω GAMBAR. (a) spktrum frkunsi.

3 Pada mdium disprsif, dngan disprsif lmah konstanta angka glombang dapat didkati dngan tiga suku prtama dari drt taylor. Yaitu: k k n E k( ) k( ) 1! 3 1! (3) Fungsi gugus komplks E(z, dapat uga disaikan dalam bntuk E( k, ω) dngan mnggunakan tranformasi Fourir. Dngan ω=ω-ω yang mrprsntasikan prgsran kcil frkunsi gugus dari frkunsi cntral dan k=k-k yang mrprsntasikan prgsran angka glombang. E( k, ) E( z, i t kz dzdt (4) (.4) E k" E E E Dngan E( k, ω) adalah invrs transformasi i g Fourir dari E(z,: 1 E( z, E( k, ) it kz dk d (5) Dari prsamaan (4) dan (5) dapat dilihat bahwa (/E(z,=-i ω dan (/z)e(z,=i k diprolh ungkapan ω=i(/ dan k=-i(/z). Mnuliskan kmbali prsamaan (3) dngan mnganti nilai (ω- ω ) dan (k-k ) brturut-turut dngan ω dan k maka ksprsi prsamaan (3) mnadi sbuah oprator, yaitu: k" i ik' z t t dngan g n g E (6). Kmudian oprator trsbut diopasikan pada fungsi gugus E(z,, maka diprolh: k" E(z, i k' E(z, g E z t t E(z, Dngan k = k/ ω ωo, k = k/ ω ωo. Dan (7) kcpatan klompok v g dari modulasi glombang adalah v g k k' 1 k" v dan g vg. Eksprsi ini mnunukkan bahwa k dibrikan olh frkunsi yang trgantung pada kcpatan gugus glombang. Olh karna itu k mrprsntasikan sifat disprsi kcpatan klompok dari glombang. Jika k =, solusi prsamaan (7) dapat dinyatakan dalam fungsi yang brubah-ubah trhadap z-t/k =z-v g t, E(z-v g. rprsntasi ini mnunukkan bahwa prambatan gugus glombang cahaya brgrak dngan kcpatan klompok. Brdasarkan fakta ini, dapat digunakan sistm koordinat baru yang brgrak dngan kcpatan klompok yaitu: ( t k' z). Shingga dioprolh: z dan (8) ε adalah kuantitas kcil ω /ω yang mnandakan lbar rlatif dari spktrum. Jika prsamaan diatas dibandingkan dngan prsamaan Schrödingr dalam satuan SI yang tlah diktahui yaitu : i V t x dan mnggatikan V dngan E, t dngan ξ dan x dngan. Hal ini mnunukkan bahwa potnsial V dari prsamaan Schrödingr di rprsntasikan olh E, yang mnlaskan bahwa indks bias brvariasi bsarnya pada nilai E. Prsamaan (8) adalah prsamaan Schrödingr nonlinir satu dimnsi yang akan dicari solusinya. 3. FUGSI SOLITO OPTIK SEBAGAI SOLUSI PERSAMAA SCHRÖDIGER OLIIER Agar mudah mndapatkan solusinya prsamaan (8) prlu dinormalisasi dngan mmasukkan nilai-

4 nilai brikut: g E k" ; 1 ; Shingga prsamaan (8) mnadi: (9) 1, Sch Expi (15) Dimana (ρ ) 1/ diganti dngan η. i 1 (1) Prsamaan diatas dapat dislasaikan dngan mnggunakan mtod sparasi variabl, yaitu: i,,, Dan sarat batas yang harus dipnuhi untuk mndapatkan solusi yang stasionr slama prambatannya adalah: (11) Z=-5 Z=-3 Z=-4 Z=- a. dibatasi olh dua nilai yaitu ρ s dan ρ D b. Saat = ρ s, adalah nilai xtrim, yaitu pada saat = ρ s, / T = ttapi / T c. ρ D adalah nilai asimtot dari pada T ±, artinya saat = ρ D n / T n =. Kmudian mnsubtitusikan prsamaan (11) k prsamaan (1) shingga diprolh bagian ril dan imainr brturut-turut adalah: Z=-1 Z=- Z=1 Z= (1) 1 (13) Z=3 Z=4 Dari prsamaan (1) dan (13) yang dikondisikan dngan syarat batas diatas diprolh solusi soliton yaitu: osch o (14) Z=5 GAMBAR3: Plot 3 soliton pada nilai Z yang brdda, tinggi soliton (amplitud) sbagai fungsi T

5 Solusi glombang solitr (15) mmpunyai dua paramtr yaitu η yang mrprsntasikan amplitudo dan lbar pulsa glombang solitr, dan κ mrprsntasikan kcpatan transmisi pulsa. Dan solusi untuk soliton adalah: 1, Sch Expi 1 (17) glombang soliton smakin mndkat, mrka scara brangsur-angsur brubah bntuk, kmudian brgabung mnadi pakt glombang tunggal, lalu sgra brpisah mnadi dua glombang soliton dngan bntuk dan kcpatan yang sama dngan sblum tradinya supr posisi. Olh karna itu soliton uga disbut glombang solitr., Sch 1 (18) Gambar 3 mmprlihatkan plot suprposisi tiga soliton yang mmpunyai amplitudo dan kcpatan brdda. Tiga soliton trsbut di tmpat trpisah satu sama lain, masing-masing soliton brpindah dngan bntuk dan kcpatan konstan, kmudian brgabung mnadi pakt glombang tunggal, lalu sgra brpisah mnadi tiga glombang soliton lagi. Pada gambar 3 uga mmprlihatkan bahwa soliton di Z=-5 simtris dngan soliton di Z=5, bgitu stusnya soliton di Z=-n simtris dngan soliton di Z=n. kadaan itu mnunukkan bahwa bntuk dan kcpatan transmisi soliton sama antara sblum tradinya supr posisi dan stlah tradinya suprposi. Kadaan ini mnunukkan sifat partikl. 4. KESIMPULA Dari pnlasan diatas dapat simpulkan bahwa: a. Solulsi soliton dari prambatan pulsa optik pada mdium disprsif adalah: 1, Sch Expi 1 5. REFERESI [1] Arfkn, Gorg Mathmatical Mthod in Th Physical. Miami. Acadmic prss, IC. [] Boas, M.L.,1983. Mathmatical Mthod in Th Physical Scincs. w York. John Wily and Sons IC. [3] Hasgawa, Akira Optical Soliton in Fibr. w York. Springr-Vrlag. [4] Hidayat, Arif. 4. hand book optika modrn.. [5] Gunthr, Robrt D Modrn optik. w York. John Wily and Sons IC. [6] Salh, B. E. A. & Tich. M. C Fundamntal of Fotonics. w York. John. Wily and Sons IC. b. Surpr posisi dari bbrapa soliton mmprlihatkan sifat partikl, yaitu ktika soliton ditmpatkan trpisah satu sama lain, masingmasing soliton mnalar dngan bntuk dan kcpatan konstan. Sbagaimana dua atau lbih

dokumen-dokumen yang mirip

Pada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P.

Pada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P. nurunan Kcpatan Glombang dan Glombang S Glombang sismik mrupakan gtaran yang mrambat pada mdium batuan dan mnmbus lapisan bumi. njalaran mnybabkan dformasi batuan.strss atau tkanan didfinisikan gaya prsatuan