PENENTUAN MATCHING MAKSIMUM PADA GRAF BIPARTIT BERBOBOT MENGGUNAKAN METODE HUNGARIAN

Transkripsi

1 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN PENENTUAN MATCHING MAKSIMUM PADA GRAF BIPARTIT BERBOBOT MENGGUNAKAN METODE HUNGARIAN Mchammad Abrori dan Rina Wahyningsih Abstrak: Matching is a part of graph theory that discss to make a pair that can be sed to soe many probems; one of them is the assignment probem. The assignment probem is to make a pair probem for n as the empoyees and for n as the dties therefore each empoyee gets one dty and each dty is gien exacty for each empoyee. The assignment probem can be soed by determining the matching in weighted bipartite graph throgh Hngarian Method. It can be determined from the aternating tree of a formed edge. If there is agmenting path that agmenting path is sed to form the more nmber of matching. If the formed path is aternating path therefore the process is abeing the new node nti finding the agmenting ertices. This matching is caed as the perfect matching with the nmber of maximm weighed side in weighted bipartite graphs. The rest matching is the sotion for the assignment probem by giing an empoyee with a dty. Keywords: matching graph assignment probem Hngarian method. PENDAHULUAN Sebah matching merpakan masaah mengenai mengawankan eemeneemen daam sebah himpnan dengan eemen-eemen daam himpnan yang ain. Sebah matching merpakan sbset M dari himpnan edge E sedemikian hingga tidak ada da edge yang incident ke sat erteks yang sama (Magn: ). Matching dapat diapiksikan daam banyak ha misanya identifikasi keasian tanda tangan penentan jadwa sosi marriage probem ata pemasangan antara aki-aki dengan perempan dan penyeesaian dari masaah pengasan (assignment probem). Penempatan awa task-task ke daam prosessor-prosessor dimana biaya dari sat pengasan merpakan fngsi tota wakt ekseksi dan tota wakt komnikasi sehingga diperoeh pengasan yang optima yait pengasan yang meminimmkan fngsi keda biaya tersebt (Venkateswaran: 99) merpakan contoh ain apikasi dari matching. Masaah pengasan merpakan permasaahan memasangkan n pegawai dan n tgas sedemikian sehingga setiap pegawai mendapatkan sat tgas dan tiap tgas diberikan tepat pada sat pegawai. Masaah pengasan dapat direpresentasikan daam bentk graf bipartit. Graf bipartit merpakan graf yang tidak memiiki cyce ganji oop dan dapat dipartisi menjadi da bagian himpnan simp yait V dan V dengan V mennjkkan himpnan pegawai sedangkan himpnan tgas ditnjkkan Jrsan Matematika Uniersitas Isam Negeri Snan Kaijaga Jn. Adi Scipto no. Jakarta E-mai : borymch@yahoo.com Jrsan Matematika Uniersitas Isam Negeri Snan Kaijaga Jn. Adi Scipto no. Jakarta Naskah diterima: Desember direisi: Maret disetji: Mei 9

2 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-) dengan V. Sebah sisi graf menghbngkan sebah pegawai dengan tgas dapat diberi sebah bobot yang mennjkkan bobot ata niai pegawai terhadap tgas. Masaah pengasan dapat dicari hasi optimanya dengan cara menentkan matching maksimm pada graf bipartit berbobot. Matching maksimm pada sat graf bipartit berbobot adaah matching yang memiiki jmah bobot yang maksimm sehingga penentan matching maksimm pada graf bipartit berbobot bkan hanya sekedar mencari matching dengan kardinaitas terbanyak tetapi jga memperhatikan bobot yang termat pada sisi graf bipartit tersebt. Cara menentkan matching maksimm pada graf bipartit berbobot ini dapat diseesaikan menggnakan metode Hngarian. Sehingga tjan dari peneitian ini adaah ntk mendapatkan matching maksimm pada graf bipartit berbobot menggnakan metode Hngarian Metode Hngarian merpakan saah sat metode yang dignakan ntk menyeesaikan masaah pengasan. Ada da macam intrepretasi dari metode ini yait dengan menggnakan matrik dan graf bipartit berbobot. METODE PENELITIAN Peneitian dimai dengan mempeajari konsep dasar yang berkaitan dengan matching pada graf bipartit berbobot metode Hngarian dan masaah pengasan. Seanjtnya mermskan masaah pengasan daam bentk graf bipartit berbobot sehingga dapat diseesaikan menggnakan metode Hngarian. Sebah matrik kran x disajikan sebagai contoh kass peneitian (Howard Anton 987: 8). Matrik tersebt dibawa menjadi matrik pengasan dan direpresentasikan ke daam bentk graf bipartit berbobot kemdian dicari matching berbobot maksimmnya menggnakan metode Hngarian. MATCHING Definisi : Matching (Kocay dan Kreher : 9) Matching M adaah himpnan sisi sedemikian sehingga tidak terdapat da sisi pada M yang bertem pada simp yang sama. Banyaknya matching yang terdapat pada sat graf disebt kardinaitas matching dan diambangkan dengan M. Contoh: Sisi matching M pada graf G adaah sisi ( ) ( ) dan ( ) Terdapat da istiah simp pada matching:. Simp Satrated. Simp satrated adaah simp yang incident dengan sisi pada matching M. (Gondran dan Minox 98: 8) Contoh : simp 6. Simp Unsatrated. Simp nsatrated adaah simp yang tidak incident dengan setiap sisi pada matching M. (Gondran dan Minox 98: 8) Contoh : simp 8 dan

3 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN Seain simp terdapat da istiah intasan pada matching yakni:. Lintasan Aternating. Lintasan aternating adaah intasan pada graf G yang sisisisinya bergantian antara matching dan bkan matching. (Gondran dan Minox 98: 8). Contoh: intasan Lintasan Agmenting. Lintasan agmenting adaah intasan aternating yang simp pangka dan simp jngnya adaah simp nsatrated (Gondran dan Minox 98: 8). Contoh : intasan Matching Maksimm M disebt matching maksimm jika G tidak memat matching M yang ain dengan M > M. (Bondy dan Mrty 976: 7) Contoh: Graf dengan matching yang bem maksimm Graf dengan matching yang maksimm Pohon Aternating Pohon adaah sebah graf terhbng yang mempnyai n bah simp (n-) sisi dan tidak mempnyai cyce (Same 8: 9). Sedangkan pohon aternating T merpakan pohon berakar di simp jika setiap intasan yang berawa di adaah intasan aternating-m (Chartrand dan Oeerman 99:69). Terdapat bentk pohon aternating dengan akar yakni:. Sema simp pada T kecai adaah simp satrated-m.. Pohon T memat sebah simp nsatrated-m seain simp Masaah Pengasan Masaah pengasan dapat dikeompokkan menjadi da yait :. Masaah minimisasi yait masaah pengasan yang mencari tota kergian minimm.. Masaah maksimasi yait masaah pengasan yang mencari tota kentngan maksimm.

4 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-) Penyeesaian masaah pengasan sama artinya dengan menentkan -regar sbgraf pada graf bipartit G dengan kardinaitas maksimm. (Chatrand dan Oeerman 99: 6) Pada kondisi dimana peniaian menjadi pertimbangan maka ha ini dapat diseesaikan dengan menentkan sebah -regar sbgraf H pada graf berbobot G dengan penjmahan bobot sisi-sisi pada H sehingga G jga maksimm. (Chatrand dan Oeerman 99: 6) Penyeesaian Matching Maksimm dengan Metode Hngarian Teorema-teorema yang menjadi dasar daam penentan matching maksimm pada graf bipartit berbobot menggnakan metode Hngarian. (Berge 98: ) Misa M dan M adaah matching di graf G. Jika H adaah sbgraf perentang dari G dengan himpnan sisi E( H ) = M M = ( M M ) ( M M ) maka setiap komponen dari H akan mengikti saah sat dari tipe berikt:. Sebah simp terasing.. Sebah cyce genap dengan sisi bergantian antara M dan M. Sebah intasan dengan sisi saing bergantian antara M dan M sedemikian sehingga setiap simp terakhir dari intasan adaah simp nsatrated di M dan M tetapi bkan di kedanya. Istrasinya sebagai berikt: G : 6 e 7 e e e e 7 H : 6 e e 7 e e 7 H : 6 e e 7 e e 7 e e6 e e 6 e e6 Teorema: (Bondy dan Mrty 976: 7) H dan H adaah sbgraf perentang G Matching M di G adaah matching maksimm jika dan hanya jika G tidak memat intasan agmenting. Sebagai istrasi dari teorema ini diberikan graf G pada M = e e e adaah matching di G dan Gambar di bawah ini. Misakan { } 6 P : merpakan intasan agmenting-m maka M = { e e e e 7 } adaah matching yang diperoeh dengan agmenting-m sepanjang P dengan M = = M + Contoh : Agmenting-M sepanjang P e (a) e e e e e6 e (b) e e e e e e6 e

5 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN Matching Maksimm pada Graf Bipartit Matching maksimm pada graf bipartit adaah banyaknya matching yang termat pada sat graf bipartit dengan kardinaitas yang maksimm. Misakan G merpakan graf bipartit dengan partisi ( X Y ). Jika S X maka persekitaran S adaah N ( S) yait simp-simp yang adjacent dengan simp di S. Teorema (Kocay dan Kreher : ) Misakan G adaah graf bipartit dengan partisi ( X Y ) maka G memat sebah matching yang memenhi setiap simp X jika dan hanya jika N( S) ntk setiap S X. Teorema ini membant daam penysnan pohon aternating. Chartrand dan Oeermann (99: 6) memberikan cara menysn pohon aternating yang berakar pada yait dengan menempatkan pada tingkatan dan sema simp K k yang adjacent dengan di G ditempatkan pada tingkatan dan simp dihbngkan pada simp i ( i k ). Misa i ntk i k. Simp K k ditempatkan pada tingkatan dan simp dihbngkan pada simp i ( i k ). Jika pohon aternating sdah terssn pada tingkatan genap (m genap) maka setiap simp ada tingkat m dignakan ntk mengji simp y adjacent. Simp y adaah simp di Y T yang adjacent pada sebah simp x di S. Jika y adaah simp satrated dengan yz M dimana z bkan termask pohon aternating sehingga simp y ditempatkan pada tingkatan m + dan z ditempatkan pada m + dengan demikian adjacent dengan y dan y adjacent dengan z dan akan terbentk pohon aternating seperti gambar (a) di bawah ini. Jika y adaah simp nsatrated maka pohon aternating dibangn dengan menambahkan simp y dan sisi xy sehingga didapat intasan agmenting dari simp ke simp y seperti gambar (b) di bawah ini. Dengan intasan agmenting ini dapat dibentk matching bar yang ebih besar. Contoh proses membangn pohon aternating (a) Tingkatan (b) M L L x L L m M L L x y m + y z m + S Ssnan pohon aternating berhenti jika tidak bisa menambah tingkatan pohon aternating ata intasan agmenting teah ditemkan. L

6 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-) Setiap k-regar graf bipartit mempnyai matching semprna jika k >. Matching semprna pada graf bipartit menghasikan kardinaitasnya sebanyak V ( G) (Kocay dan Kreher : ) Matching Maksimm pada Graf Berbobot Matching maksimm pada graf berbobot merpakan matching yang memiiki jmah bobot sisi yang maksimm. (Chartrand dan Oeermann 99: 6). Matching dengan bobot maksimm bem tent memiiki kardinaitas maksimm. Contoh Matching berbobot maksimm dan matching maksimm: Matching Maksimm pada Graf Bipartit Berbobot Matching maksimm pada graf bipartit berbobot merpakan matching semprna dengan jmah bobot sisi yang maksimm pada graf bipartit berbobot. Misakan G adaah graf bipartit berbobot dengan partisi himpnan V dan V. Graf G adaah graf bipartit engkap berbobot yang memat G sebagai sbgraf. Misakan G memiiki partisi himpnan U dan U dengan U = U = maksimm { V V } dan V i termat di U i ntk i =. Misa x U dan y U jika wg ( xy) = wg ( xy) maka xy E( G) dan jika w G ( xy) = maka xy E( G). Jika M adaah matching semprna dengan jmah bobot maksimm di G V ( G) M E G adaah matching maksimm di G dengan kardinaitas. maka ( ) Peabean simp ata ( x) adaah fngsi niai rea dari himpnan simp V V ntk setiap V dan V ; ( ) + ( ) w( ) dimisakan ( ) = max w( ) ntk setiap V V ( ) = ntk setiap V maka adaah peabean simp di G dengan { E( G ) V V ( ) + ( ) w( ) } E = dan dan =

7 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN Teorema (Chartrand dan Oeermann 99: 7) Jika adaah peabean simp pada graf bipartit engkap berbobot G. Misa H adaah sbgraf perentang dari G. Jika E memat matching semprna M maka M merpakan matching berbobot maksimm di G Metode Hngarian Berikt adaah metode hngarian ntk menentkan matching maksimm pada graf biparti berbobot. Misakan G adaah graf bipartit berbobot dengan partisi himpnan simp V dan V.. Langkah pertama adaah meakkan peabean simp.. Untk V ( ) = max w( ) V misa.. Untk V misa ( ) =.. H adaah sbgraf perentang dari G dengan himpnan sisi E... Misa G adaah graf dasar dari H.. Piih sembarang matching M di G. Jika mendapatkan matching maksimm di G dicari apakah G merpakan matching semprna maka menrt teorema di atas matching semprna tersebt adaah matching maksimm di G. Jika matching maksimm di G tersebt bkan matching semprna maka ssn sebah pohon aternating T yang berakar di simp nsatrated ntk menentkan peabean simp bar. Berikt merpakan angkah-angkah ntk menentkan sebah peabean simp bar... Jika setiap simp di V merpakan simp satrated di M maka M adaah matching maksimm di G dan proses berhenti. Jika tidak maka anjtkan... Misa x adaah simp nsatrated di V... Ssn pohon aternating dari M yang berakar di x. G Jika terdapat intasan agmenting-p di maka gantikan M dengan M = M E( P) ntk mendapatkan matching bar. Jika tidak memat intasan agmenting P dan T adaah pohon aternating dari M dengan akar x yang tidak dapat diperas agi di G maka peabean simp diganti dengan sebah peabean simp bar dengan sifat bahwa M dan T termat di graf dasar G dari H.. Menghitng peabean simp bar Misakan: m = minima { ( ) +( ) w( ) V ( T) dan V V ( )} Maka berak ntk : ( ) ( ) ( ) m ntk = + m ntk V ( T ) ( ) yang ainnya V ( T ) T

8 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-). Jika peabean simp yang bar bem memat sema simp di V maka ang ke angkah.. Contoh Kass Misa seorang manager sebah persahaan meakkan seeksi terdapat caon pegawai i ( i = K) ntk posisi jabatan ( i = K i ). Seeksi diakkan ntk mengetahi kemampan setiap peamar ntk setiap posisi. Kemampan peamar kerja merpakan bobot sisi yang menghbngkan peamar kerja dengan m = w jabatan. Bentk matrik M = [ ] dengan ( ) M = m ij 9 6 G adaah graf bipartit berbobot dengan partisi himpnan simp dengan partisi himpnan V = ( ) dan V = ( ) dengan mengikti angkah-angkah pada metode Hngarian diperoeh hasi sebagai berikt: Langkah.a Untk V misa ( ) = max w( ) ij V Sehingga diperoeh ( ) = ( 96) misa ( ) = maka niai peabean ( ) = ( ) Untk V G :.b Misa H adaah sbgraf perentang dari G dengan himpnan sisi E.c Misa G adaah graf dasar dari H i j Langkah. Piih sembarang matching M di G M = Misa dipiih ( ) ( ) ( ) 6

9 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN Langkah.a Terdapat simp pada V yang merpakan simp nsatrated di M maka anjtkan..b adaah simp nsatrated di V sehingga dignakan sebagai simp akar..c Ssn pohon aternating dari M yang berakar di. Diperoeh pohon aternating T dengan V ( T ) = { } karena tidak ditemkan intasan agmenting dan pohon aternating T tidak dapat diperas agi di G maka peabean simp diganti dengan sebah peabean simp bar. Pohon aternating pertama Langkah. Menghitng peabean bar m = minima { ( ) +( ) w( ) V ( T) dan V V ( )} V ( T ) = { } V dan V ( T ) = { } diperoeh m = yakni pada sisi ( ) bar ( ) yang terbentk adaah: ( ) m = { 86} ntk V ( ) = ( ) + m = { } ntk V ( ) ntk yang T sehingga peabean simp ( T ) ( T ) ainnya Matching M dan sisi m Langkah. Karena peabean simp yang bar bem memat sema simp maka ang ke angkah.c Langkah.c Ssn pohon aternating dari M yang berakar di. Diperoeh pohon aternating T dengan V ( T ) = { } karena ditemkan P = maka intasan agmenting-m yakni {( ) ( ) ( )} intasan agmenting P dignakan ntk membentk matching bar dan kembai ke angkah.a. 7

10 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-) M = {( ) ( ) ( )} P = {( ) ( ) ( )} Pohon aternating keda maka M = M P = {( ) ( )( ) ( )} Matching M Langkah.a Terdapat simp pada V yang merpakan simp nsatrated di M maka anjtkan. Langkah.b adaah simp nsatrated di V sehingga dignakan sebagai simp akar. Langkah.c Ssn pohon aternating dari M yang berakar di. Diperoeh pohon aternating T dengan V ( T ) = { } karena tidak ditemkan intasan agmenting dan pohon aternating T tidak dapat diperas agi di G maka peabean simp diganti dengan sebah peabean simp bar Pohon aternating ketiga Langkah. Menghitng peabean bar m = minima { ( ) +( ) w( ) V ( T) dan V V ( )} V ( T) = { } dan V V ( T ) = { } dari perhitngan diperoeh m = yakni pada sisi ( ) ( ) peabean bar yang terbentk adaah : T dan sisi 8

11 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN ( ) m = { 7 } ( ) + m = { } ( ) ntk V ( T) ( ) = ntk V ( T) ntk yang ainnya Langkah. Karena peabean simp yang bar bem memat sema simp maka ang ke angkah.c. Matching M dan sisi m Langkah.c Ssn pohon aternating dari M yang berakar di. Diperoeh pohon aternating T dengan V ( T ) = { } karena diperoeh intasan agmentingi P = maka intasan {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} agmenting P dignakan ntk membentk matching bar dan kembai pada angkah.a Pohon aternating keempat M = {( ) ( )( ) ( )} P = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} maka M = M P = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Matching M 9

12 Abrori & Wahyningsih/Penentan Matching Maksimm../ JITI ()Jni pp.(9-) M = ( ) i 9 6 ( ) i 7 Langkah.a Setiap simp di V merpakan simp satrated di M maka matching adaah matching maksimm di G dan proses berhenti. Jadi M E( G) = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} adaah matching maksimm di G. Dari angkah-angkah di atas diperoeh matching semprna dengan bobot maksimm sebesar. dan kardinaitas matching M adaah. Jadi penempatan caon pegawai pada posisi jabatan adaah sebagai berikt: caon pegawai pada jabatan caon pegawai pada jabatan caon pegawai pada jabatan caon pegawai pada jabatan dan caon pegawai pada jabatan. E. Kesimpan Sosi penempatan pegawai Matching maksimm pada graf bipartit berbobot dapat ditentkan menggnakan metode Hngarian. Matching tersebt merpakan matching semprna dengan dengan kardinaitas dan jmah bobot sisi yang maksimm pada graf bipartit berbobot. Matching maksimm yang diperoeh pada graf bipartit berbobot merpakan sosi optima dari masaah pengasan yakni memasangkan seorang pegawai dengan sebah tgas. Metode Hngarian dapat membant persahaan ata institsi daam mengambi keptsan tertama menyangkt pemberian pekerjaan penempatan posisi pegawai pembatan jadwa dan ain sebagainya.

13 Jrna Imiah Teknik Indstri Vo. No. Jni ISSN Daftar Pstaka Anton Howard 987 Ajabar Linear Eementer: Jakarta. Berge Code 97 Graph and Hypergraph Dnod: Netherands. Bondy J.A dan Mrty U.S.R. 976 Graph Theory with Appications Mac Mian Press: New York. Chartrand Gary dan Oeermann Ortrd 99 Appied and Agoritmic Graph Theory Mc Graw Hi Internationa Edition: New York. Gondran M. dan Minox M. 98 Graphs and Agorithms. John Wiey & Sons Ltd.: Chichester Inggris. Kocay Wiiam dan Kreher Donad Graph Theory and Optimization Chapman & Ha / CRC. Magn J.. Greedy Matching Agorithms an Experimenta Stdy. Schweizerischer Nationafond Grant NF -.9. Zűrich Switzerand. Venkateswaran R. Obraniic Z. Raghaendra C.S. 99. Cooperatie Genetic for Optimization Probem in Distribted Compter System. Technica report TR-EECS-9-8. Schoo of EECS. Washington State Uniersity. Wibisono Same 8 Matematika Diskrit. Edisi Keda Graha Im: Yogyakarta.