Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

Transkripsi

1 . RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS Mata Kliah: Aljabar Linier Dosen Pengamp: Darmadi S. Si M. Pd Dissn oleh: Kelompok Pendidikan Matematika VA. Abdl Fajar Sidiq (8.). Lilies Prwanti (8.76). Ristinawati (8.) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN

2 KATA PENGANTAR Dengan mengcapkan pji sykr kehadirat Allah SWT yang telah memberikan tafik dan hidayahnya kepada kami sehingga kami dapat menysn makalah ini. Tentnya didalam menysn makalah ini masih banyak terdapat kekranganya hal ini disebabkan oleh terbatasnya kemampan dan referensi yang kami peroleh. Tak lpa pla kami capkan terima kasih kepada :. Darmadi S. Si M. Pd selak dosen pembimbing. Teman-teman yang telah membant kelancaran dalam pembatan makalah ini Kami menyadari bahwa makalah ini sangat jah dari kesemprnaan oleh sebab it segala kritik dan saran dari teman-teman sema sangat membant kami. Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami dan kita sema. Madin Noember Penysn

3 BAB I PENDAHULUAN Pada saat pertama kali ilm ektor dikembangkan sekitar abad ke-7 hanya dikenal ektor-ektor di R dan R saja tetapi dalam perkembangannya yakni menjelang akhir abad ke-9 tenyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan ektor-ektor di rang berdimensi ata secara mm merpakan ektor-ektor di R n. Pada saat it dikenal bahwa kadrpel bilangan (a a a a ) dapat ditinja sebagai titik pada rang berdimensi kintpel (a a a a a ) sebagai titik di rang berdimensi dan setersnya. Secara geometris memang kita hanya dapat menggambarkan ektorektor di R. Untk ektor-ektor di R dan seternya belm bisa digambarkan secara geometris tetapi dasar yang dignakan seperti operasi-operasi ektor masih sama seperti operasi-operasi pada ektor-ektor di R dan R. Orang yang pertama kali mempelajari di R n adalah eclidis sehingga ektor-ektor yang berada di R n dikenal sebagai ektor Eclidis sedangkan rang ektornya disebt rang-n Eclidis.

4 BAB II PEMBAHASAN (Rang-n Eclidis) II.. Definisi Jika n adalah sebah bilangan bkat positif maka tpel-n-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan real (a a a... a n ). Himpnan sema tpel-n-terorde dinamakan rang-n dan dinyatakan R n. Rang ektor R n dinamakan rang berdimensi n Eclidis ( Eclidis n- space) II.. Operasi-operasi Bak pada R n Misalkan = (... n ) dan = (... n ) pada R n maka:. dan dikatakan sama jika = =... n = n.. Penjmlahan dan didefinisikan oleh: + = ( n + n ). Perkalian skalar yakni perkalian dengan sembarang skalar k didefinisikan oleh: k = (k k... k n ) Contoh: Misalkan = ( - ) dan = ( - - ) ektor-ektor di R yang memenhi persamaan + = w. Tentkan ektor w! Jawab: w = ( - ) + ( - - ) = ( - -) Sifat-sifat operasi ektor pada rang berdimensi n Jika = (... n ) = (... n ) dan w = (w w... w n ) adalah ektor-ektor pada R n k dan l adalah skalar maka: a. + = + b. + ( + w) = ( + ) + w c. + = + = d. + (-) = yait =

5 e. k(l) = (kl) f. k( + ) = k + k g. (k + l) = k + l h. = Bkti: (sifat b) + ( + w) = (... n ) + [(... n ) + (w w... w n )] = (... n ) + [( + w + w... n + w n )] = ( + [ + w ] + [ + w ]... n + [ n + w n ]) = ([ + ] + w [ + ]+ w... [ n + ] n + w n ) = ( n + n ) + (w w... w n ) = ( + ) + w II.. Hasil Kali Eclidis (eclidis Inner Prodct) Jika = (... n ) = (... n ) dan w = (w w... w n ) adalah sembarang ektor pada R n maka hasil kali dalam Eclidis didefinisikan sebagai: = n n Contoh: Misalkan = ( ) dan = (- -) ektor-ektor di R. Tentkan! Jawab: = ()(-) + ()() + ()() + ()() + ()(-) = 9 Sifat-sifat hasil kali dalam Eclidis a. = b. ( + ) w = w + w c. (k) = k ( ) d. = = Bkti: (sifat a) Misalkan = (... n ) dan = (... n ) maka: = n n = n n =

6 Contoh: ( + ) ( + ) = ( + ) + () ( + ) (bagian b) = + + () () + () (bagian b) = ( ) + + 6( ) + ( ) (bagian c) = ( ) + 7( ) + ( ) (bagian a) II.. Panjang dan Jarak pada R n Panjang ata norma (Eclidean Norm ata Eclidean Length) dari ektor = (... n ) pada R n : ( )... n Sifat-sifat panjang pada R n : Jika dan adalah ektor-ektor pada R n dan k adalah sat skalar sembarang maka: a) b) jika dan hanya jika = c) k k d) Bkti (c) Jika = (... n ) maka k = (k k k...k n ) Sehingga k k k k... n k... n = k Jarak antara da titik = (... n ) dan = (... n ) pada R n : d ( ) ( ) ( )... ( n n ) Sifat-sifat Jarak pada R n Jika dan w adalah ektor-ektor pada R n dan k adalah sat skalar sembarang maka: 6

7 a) d() b) d() = jika dan hanya jika = c) d() = d() d) d() d(w) + d(w) Contoh: Misalkan = ( - - ) dan = (- -) ektor-ektor di R maka: () ( ) ( ) () () Dan d ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 8 II.. Ortogonalitas (Ketegaklrsan) Jika dan adalah ektor-ektor ortogonal pada R n dengan hasil kali dalam Eclidean maka Bkti : ( ) II. 6. Notasi Alternatif ntk Vektor pada R n Penlisan sat ektor = (... n ) pada R n dalam notasi matriks sebagai sat matriks baris ata sat matriks kolom seringkali bergna : : n ata =... Untk ektor-ektor dengan notasi matriks kolom kita memiliki rms berikt ntk menghitng hasil kali eclidiean: T n 7

8 8 Jika A adalah sat matriks n n maka rms rms yang dihasilkan : A A T A A T Contoh : Misalkan bahwa A = = Maka A = = A T = = 7 Dan kita memperoleh A 7(-) + () +() = A T (-)(-7) + () + (-) = Secara khss sat sistem linear A = b dapat dinyatakan dalam bentk hasil kali titik sebagai Sistem + = 7 = = Bentk Hasil kali titik 8 7 =

9 PERTANYAAN DAN PEMBAHASAN. Mengapa.? Penyelesaian :. karena berapapn nilai (positif ata negatif) jika dikalikan hasilnya selal positif. Positif positif = positif Negatif negatif = positif Oleh karena it.. Mengapa. = T.? Penyelesaian : Karena ektor bisa ditliskan dalam bentk matriks baik matriks baris mapn matriks kolom. Sedangkan dalam perkalian matriks hars memenhi syarat Baris Kolom. Bkti: Jika ektor =... n dan =... n maka bisa ditlis dalam notasi matriks kolom: : n Maka: dan : T... n jadi. = T. n : n =... n n. 9

10 BAB III PENUTUP Jika n adalah sebah bilangan bkat positif maka tpel-n-terorde (ordered-ntple) adalah sebah rtan n bilangan real (a a a... a n ). Himpnan sema tpel-n-terorde dinamakan rang-n dan dinyatakan R n. Rang ektor R n dinamakan rang berdimensi n Eclidis ( Eclidis n-space). Vektor ektor yang berada pada R n ektor Eclidis dan rang ektor yang berada di R n rang n Eclidis.

11 DAFTAR PUSTAKA AntonHoward.99.Aljabar Linear Elementer Edisi ke Lima.Jakarta:erlangga. AntonHoward..Aljabar Linear Elementer Jilid Edisi ke Delapan.Jakarta:erlangga. PrwantoHeri..Aljabar Linear.Jakarta:PT Ercontara Rajawali