SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN

Transkripsi

1 PROSIDING ISBN : SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang Jln. Gajayana 50 Malang ABSTRA Misalkan,,, adalah nilai nilai eigen berbeda dari matrik adjacent graf G dan adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing masing, maka matrik berordo ( x n) yang memuat,,, pada baris pertama dan pada baris kedua disebut spectrum graf G dan dinotasikan dengan. Pada makalah ini akan dibahas spectrum graf star ( ) dan graf bipartisi komplit ( ) dengan m,n bilangan asli. ATA UNCI: spectrum, graf bipartisi komplit, graf star, nilai eigen, vektor eigen. Graf G adalah pasangan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek objek yang disebut titik, dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik titik berbeda di V yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika yang dibicarakan hanya satu graf, maka order dan ukuran dari graf tersebut masing masing ditulis p dan q. [] Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan u, v disebut ujung dari e. Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G v, adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Titik yang berderajat satu disebut titik ujung. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009

2 PROSIDING ISBN : Graf bipartisi (bipartite graph) adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing masing sisi dari graf tersebut menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi. Graf bipartisi komplit (complete bipartite graph) adalah graf bipartisi dengan himpunan partisi X dan Y sehingga masing masing titik di X dihubungkan dengan masing masing titik di Y oleh tepat satu sisi. Jika X = m dan Y = n, maka graf bipartisi tersebut dinyatakan dengan (m,n). Graf Star adalah graf bipartisi komplit yang berbentuk (,n) yang ditulis dengan S n.[] Misalkan A(G) adalah matrik n x n, A(G) dikatakan sebagai matrik adjacent dari graf G apabila elemennya terdiri dari a ij = jika v i dan v j adjacenct, 0 untuk yang lainya. [3,7] Berikut ini adalah beberapa contoh dari graf bipartisi komplit dan graf star beserta matrik adjacent dari graf tersebut. v v v v 3 v3 v v v 3 u u u u u u3 (a).3 (b) 3,3 (c) S 3 (d) S 4 nol x pada Misalkan A adalah sebuah matriks adjacent dari graf G, maka suatu vektor tak disebut vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah suatu kelipatan skalar dari x; yakni, untuk skalar sebarang. Skalar disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan kembali. Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matrik n x n, kita menuliskan dengan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009

3 PROSIDING ISBN : () Agar menjadi nilai eigen, harus terdapat satu solusi taknol dari persamaan (). Persamaan () akan memiliki solusi taknol jika dan hanya jika. () Persamaan () disebut persamaan karakteristik dari matrik A, skalar skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai nilai eigen dari A. [4,5] Misalkan,,, adalah nilai nilai eigen berbeda dari matrik adjacent graf G dan adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing masing, maka matrik berordo ( x n) yang memuat,,, pada baris pertama dan pada baris kedua disebut spectrum graf G dan dinotasikan dengan [6]. Jadi, spectrum graf G dapat ditulis Pada makalah ini dibahas bentuk umum spectrum graf star ( ) dan graf bipartisi komplit ( ) dengan. Bentuk umum spectrum dinyatakan sebagai teorema dan disertai buktinya. Dengan makalah ini, dapat diketahui pula penerapan konsep aljabar linier pada teori graf serta penemuan pola pola tertentu khususnya spectrum suatu graf. PEMBAHASAN Pembahasan bentuk umum spectrum dari graf bipartisi komplit ( ) dan graf star ( ) dengan disajikan dalam teorema berikut beserta buktinya. Teorema Misal adalah graf star dengan, maka spectrum adalah Bukti Misalkan adalah matrik adjacent dari graf star, maka Pertama akan ditentukan nilai eigen dari, dengan persamaan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 3

4 PROSIDING ISBN : Melalui operasi baris matrik diperoleh, direduksi menjadi matrik segitiga atas λ ( )( λ)( λ ) 0 λ λ λ λ λ λ M M M 0 O ( )( λ)( λ ) λ λ λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( )( λ)( λ 3) λ λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( )( λ)( λ 4) O M ( λ 3) ( λ ( n ) ) ( )( λ)( λ n) ( λ ( n ) ) tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matrik segitiga atas tersebut. Jadi Sehingga diperoleh nilai eigen atau. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuain dengan. Untuk diperoleh dengan Didapatkan persamaan persamaan, (i) (ii) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 4

5 PROSIDING ISBN : Sehingga vektor eigennya adalah Jadi basis pada matrik diatas adalah Untuk, vektor eigennya diperoleh dengan ; n x 0 n 0 0 x 0 0 n x3 0 O M = M M O O 0 M M 0 0 n x n 0 Didapatkan persamaan persamaan, untuk k =, 3,, n Sehingga vektor eigennya adalah Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 5

6 PROSIDING ISBN : dengan Jadi basis pada matrik diatas adalah. Dengan cara yang sama dapat diperoleh. Jadi, terbukti bahwa Berikut ini contoh spectrum dari graf dan dengan menggunakan teorema diatas. v 5 v 7 v 6 v 6 v 4 v 8 v 5 v 7 v v 3 v 9 v v 4 v 8 S 7 v v 0 v v 3 S 9 Teorema Misal adalah graf bipartisi komplit dengan, maka spectrum adalah Bukti Misalkan adalah matrik adjacent dari graf bipartisi komplit. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 6

7 PROSIDING ISBN : dimana = 0 dengan i =,, 3,, m dan j =,, 3,, m = dengan k =,, 3,, n dan l =,, 3,, n Akan ditentukan nilai eigen dengan persamaan. Melalui operasi baris matrik diperoleh, λ λ λ direduksi menjadi matrik segitiga atas O O M M M 0 O 0 M M M M M λ ( )( λ)( λ m) mλ mλ mλ λ λ λ λ ( )( λ)( λ m) mλ mλ ( λ m) ( λ m) ( λ m) ( )( λ)( λ 3m) O 0 O M ( λ m) mλ M M M M M M 0 O tersebut. ( λ m( n ) ) ( )( λ)( λ mn) ( λ m( n ) ) tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matrik segitiga atas Sehingga diperoleh nilai eigen atau. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 7

8 PROSIDING ISBN : Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuain dengan. Untuk diperoleh dengan Didapatkan persamaan persamaan, (i) (ii) Persamaan (i) dan (ii) dapat kita tulis dan Sehingga vektor eigennya adalah Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 8

9 PROSIDING ISBN : Jadi basis pada matrik diatas adalah Misalkan, vektor eigennya diperoleh dengan ; mn 0 0 x 0 0 mn 0 x 0 M M O M M M M O M mn xm 0 mn x m = 0 0 mn 0 0 y mn M y O M n M M M O M O O y 0 n mn L Didapatkan persamaan persamaan pertama, Dapat ditulis dengan Persamaan persamaan kedua, Dapat ditulis dengan Akhirnya didapatkan vektor eigennya adalah Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 9

10 PROSIDING ISBN : sehingga didapatkan dan dengan cara yang sama dapat diperoleh Berdasarkan pernyataan diatas, maka terbukti bahwa esimpulan Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa spectrum dari graf bipartisi komplit dengan adalah dan graf star dengan adalah Disarankan kepada pembaca untuk menentukan spectrum graf lainya misalnya graf roda, graf kipas, dan graf buku. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009 0

11 PROSIDING ISBN : DAFTAR PUSTAA [] Chartrand, G. & Lesniak, L Graf and Digraf nd Edition. California: Wadsworth, Inc. (4) [] Bondy, J.A. & Murty, U.S.R., 976. Graf Theory with Applications. London: The Macmillan Press Ltd. ( 4) [3] Evans, R, James. 99. Optimization Algorithms for Networks and Graphs. New York: Marcel Dekker, INC. (8) [4] Anton, Howard. & Rorres, Chris Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi Jilid. Jakarta: Erlangga. ( ) [5] Meyer, D, Carl Matrix Analysis and Applied Linier Algebra. Siam Organization. (490 49) [6] Biggs, Norman Algebraic Graph Theory. London: Cambridge University Press. (9,50) [7] Harary, Frank Graph Theory. Canada: Addison Wesley Publishing Company, Inc. (50)Theory. America: California State University at Fresno Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 009