I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Permasalahan seperti jaringan komnikasi, transportasi, penjadalan, dan pencarian rte kini semakin banak ditemi di tengah-tengah masarakat. Masalah tersebt dimlai dari menemkan jarak ang paling optimal, hingga mencari biaa minimm perjalanan. Dengan menggnakan metode dan teori ang berkembang saat ini, berbagai masalah tersebt bisa dicari solsina. Salah sat teori ang terkenal adalah teori graf. Aplikasi dalam teori graf sangat las karena dalam teori graf banak sekali metode ang bisa dignakan dengan kondisi ang bermacammacam. Salah sat permasalahan graf ang terkenal adalah Chinese Postman Problem (CPP). Masalah CPP pertama kali dikemkakan oleh Meig Gan, seorang pakar matematika dari Uniersitas Shangtn, Cina, ang sehariharina menggnakan sebagian dari akt langna ntk bekerja di kantor pos pada akt reolsi kebdaaan Cina. Tkang pos hars meleati sema sektor ang ditgaskan kepadana sebelm kembali ke kantor pos. Permasalahanna adalah bagaimana menentkan jarak terpendek ntk tkang pos tersebt Gan (9) di dalam Eiselt et al. (99). Dalam kass ini, permasalahan ang mncl adalah bagaimana menentkan jarak minimm dengan kondisi setiap ras jalan hars dileati paling tidak sat kali. Pada dasarna CPP memiliki banak jenis ait ndirected CPP (CPP ang tidak berarah), directed CPP (CPP ang berarah), dan mied CPP (CPP gabngan antara tidak berarah dan berarah). Dalam perkembanganna ternata masalah CPP ini bisa diaplikasikan tidak hana dalam pengiriman pos saja, tetapi dalam hal lainna seperti pengmplan sampah berdasarkan rte terpendekna, pemindahan salj dengan biaa ang minimm, penentan rte tercepat ntk bis sekolah, dll. CPP dapat dipandang sebagai masalah penentan sirkit Eler pada digraf ang balance. Sirkit Eler dijamin ada jika digrafna adalah digraf balance. Dalam kara ilmiah ini akan dibahas prosedr ntk mencari sirkit Eler pada digraf ang tidak balance, dengan terlebih dahl menjadikan digraf tersebt menjadi digraf balance dan kemdian menelesaikanna dengan menggnakan da macam algoritme.. Tjan Penlisan Tjan dari penlisan kara ilmiah ini melipti:. mempelajari penelesaian masalah penentan sirkit Eler pada graf berarah dengan menggnakan algoritme Fler dan algoritme an Aardenne-Ehrenfest - de Brijn.. mengaplikasikan masalah pencarian sirkit Eler ke dalam masalah penentan rte pengambilan sampah.. Metode Penlisan Metode ang dignakan dalam penlisan kara ilmiah ini adalah stdi literatr. Materi dari kara ilmiah ini diambil dari jrnal ang berjdl Arc Roting Problem, part I: The Chinese Postman Problem ang dissn oleh H. A. Eiselt, G. Michel dan L. Gilbert pada tahn 99. Di samping it dalam pembatan kara ilmiah ini, penlis menggnakan beberapa bahan pennjang dari bk dan sits internet ang terkait dengan topik kara ilmiah ini. II LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan dibahas tentang teoriteori ang berkaitan dengan bahasan kara ilmiah ini.. Graf dan Digraf Teori graf pertama kali dikenal sejak Eler () meneliti tentang masalah jembatan Königsberg. Da abad kemdian 900-an, bar ntk pertama kalina dibat bk tentang teori graf. Dalam periode ang sangat singkat, teori graf kini mengalami perkembangan ang sangat pesat. Definisi (Graf) Sat graf G adalah pasangan terrt (V,E) dengan V ata biasa disebt V(G) adalah himpnan berhingga dan takkosong dari elemen graf ang disebt erteks (node, point), sedangkan E ata biasa disebt E(G)

2 adalah himpnan pasangan ang menghbngkan da elemen sbset dari V ang disebt sisi (edge, line). Setiap sisi {,} pada V biasana dinotasikan dengan ata. Banakna erteks dari sat graf disebt order dan banakna sisi pada sat graf disebt sie. (Chartrand & Zhang 009) Pada Gambar diperlihatkan baha V = {,,,, } dan E = {{,},{,},{,},{,}}. Definisi (Graf berarah/digraf) Graf berarah (digraph) D adalah pasangan terrt (V,A) dengan V himpnan takkosong ang hingga, dan A himpnan pasangan terrt ang menghbngkan elemen-elemen di V. Elemen-elemen dari A disebt sisi berarah (arc). Sisi berarah (,) dinatakan dengan garis berarah dari ke. (Chartrand & Zhang 009) Gambar Graf berarah D = (V, A). Pada Gambar diperlihatkan baha V = {,,, } dan A = {(,),(,),(,)}. Gambar Graf G = (V, E). Definisi (Graf/digraf berbobot) Sat graf G = (V,E) ata digraf D = (V,A) dikatakan berbobot jika terdapat sebah fngsi : E R ata : A R (dengan R adalah himpnan bilangan real) ang memberikan sebah bilangan real pada setiap sisi di E ata sisi berarah di A, disebt bobot. Setiap bobot ( ) dengan E ata A dinotasikan dengan. (Folds 99) Bobot tiap sisi ntk graf pada Gambar adalah: =, =9, =, =89. Definisi (Mltigraf/mltidigraf) Sat graf (digraf) dikatakan mltigraf (mltidigraf) bila graf (digraf) tersebt memiliki lebih dari sat sisi (sisi berarah) ang incident dengan sat pasang erteks. (Folds 99) Ilstrasi mltigraf dapat dilihat pada Gambar berikt. Gambar Mltigraf. Gambar merpakan contoh mltigraf karena erteks dan dihbngkan oleh lebih dari sat sisi. Ilstrasi mltidigraf bisa dilihat pada Gambar berikt. t 9 Definisi (Adjacent dan incident) Misalkan dan erteks pada graf G. Verteks dikatakan tetangga (adjacent) dari jika ada sisi e ang menghbngkan erteks dan, ait e =. Himpnan sema tetangga dari erteks dinotasikan dengan N(). Jika e = adalah sisi pada graf G maka e dikatakan incident dengan erteks dan. (Chartrand & Zhang 009) Gambar Mltidigraf. 89 Gambar Graf berbobot.

3 e e e e Definisi 9 (Unicrsal) Sat graf tidak berarah dikatakan nicrsal jika setiap erteks pada graf tersebt memiliki derajat ang genap. (Diestel 99) e Gambar Adjacent dan incident. Ilstrasi adjacent dan incident diperlihatkan pada Gambar. Verteks adjacent dengan erteks dan tetapi erteks tidak adjacent dengan erteks. Verteks incident dengan sisi e, tetapi erteks tidak incident dengan sisi e. Definisi (Derajat /degree) Derajat sat erteks adalah banakna sisi ang incident dengan erteks, dan dinotasikan dengan deg G () ata deg ata d(). Gambar Ilstrasi derajat pada graf. Pada Gambar terlihat baha d() = = d(), d() = =d(), d() = =d(). Definisi (Derajat mask/in-degree) Pada graf berarah, in-degree sat erteks i, ang dinotasikan dengan d ( i ), adalah banakna sisi berarah ang berakhir di erteks i. Pada Gambar diperlihatkan derajat mask tiap erteksna d () = 0, d () = 0, d () =, d () = Definisi 8 (Derajat kelar/ot-degree) Pada graf berarah, ot-degree sat erteks i, ang dinotasikan dengan d + ( i ), adalah banakna sisi berarah ang dimlai dari erteks i. Pada Gambar diperlihatkan derajat kelar tiap erteksna d + () = 0, d + () = = d + () = d + (). Gambar 8 Ilstrasi graf nicrsal. Pada Gambar 8 diperlihatkan grafna nicrsal karena tiap erteks memiliki derajat ang genap. Definisi 0 (Balance) Sat digraf D dikatakan balance jika digraf tersebt pada setiap erteksna memiliki δ( i ) = 0, dengan δ( i ) adalah selisih dari derajat mask dengan derajat kelar dari erteks i. (Diestel 99) Gambar 9 Ilstrasi digraf balance. Pada Gambar 9 diperlihatkan grafna balance karena setiap erteks i memiliki δ( i ) = 0. Definisi (Underling graph) Jika sat graf G didapat dengan cara menghaps sema arah dari sisi berarah pada digraf D, maka graf G tersebt adalah nderling graph dari digraf D. Ilstrasi nderling graph bisa dilihat dari Gambar 8 dan Gambar 9. Graf pada Gambar 8 merpakan nderling graph dari digraf pada Gambar 9. Definisi (Jalan /alk) Walk W pada sat graf G adalah barisan berhingga, W = i e j i+ e j+...e k m ata W = i - i m ang dimlai dari sat erteks dan berakhir pada sat erteks jga, sehingga setiap sisi di dalam barisan hars incident dengan erteks sebelm dan sesdahna. (Chartrand & Zhang 009)

4 Ilstrasi alk pada sat graf bisa dilihat pada Gambar, W = e e e e adalah alk pada graf G. Definisi (Walk berarah) Walk berarah pada sat digraf D adalah alk ang sesai dengan arah sisina ata tidak berlaanan arah. e e e e Gambar 0 Graf berarah. Ilstrasi alk berarah pada sat digraf D bisa dilihat pada Gambar 0. W = e e adalah alk berarah. Definisi (Lintasan) Lintasan (trail) pada sat graf adalah alk dengan sema sisi dalam barisanna tidak berlang. (Chartrand & Zhang 009) Ilstrasi trail bisa dilihat pada Gambar, T = e e e adalah trail. Definisi (Trail berarah) Trail berarah pada sat digraf adalah alk berarah dengan sema sisi dalam barisanna tidak berlang. Ilstrasi trail berarah bisa dilihat pada Gambar 0, T = e e e adalah trail berarah. Definisi (Jalr) Jalr (path) pada sat graf adalah alk ang setiap erteks pada barisanna, hana mncl sat kali. Ilstrasi path bisa dilihat pada Gambar, P = e e e adalah path pada graf G. Definisi (Path berarah) Path berarah pada sat digraf adalah alk berarah dengan sema erteks dalam barisanna tidak berlang. e Ilstrasi path berarah bisa dilihat pada Gambar 0, P = e e e adalah path berarah. Definisi 8 (Terttp) Walk pada sat graf G dikatakan terttp (closed) jika alk tersebt dimlai dan diakhiri pada erteks ang sama. (Chartrand & Zhang 009) Definisi 9 (Sirkit) Pada graf tidak berarah, sirkit (circit) adalah trail terttp ang takkosong. (Chartrand & Oellermann 99) Ilstrasi sirkit bisa dilihat pada Gambar. C = e e e merpakan sirkit pada graf G. Definisi 0 (Sirkit berarah) Pada sat digraf, sirkit berarah adalah alk berarah ang terttp di mana barisanna dimlai dan diakhiri pada erteks ang sama dengan tidak ada sisi ang dilang. Ilstrasi sirkit berarah bisa dilihat pada Gambar 0. C = e e e merpakan sirkit berarah pada digraf D. Definisi (Semi-sirkit) Pada sat digraf, semi-sirkit adalah sirkit pada nderling graph D, tetapi bkan merpakan sirkit berarah pada digraf D tersebt. Ilstrasi semi-sirkit bisa dilihat pada Gambar 0. C = e e e merpakan semi-sirkit pada digraf D. Definisi (Ccle) Pada graf tidak berarah, ccle adalah path terttp ang takkosong. (Chartrand & Oellermann 99) Ilstrasi ccle bisa dilihat pada Gambar. Graf pada Gambar memiliki ccle C = ---. Definisi (Ccle berarah) Pada graf berarah, ccle adalah path berarah ang terttp dan takkosong. (Chartrand & Oellermann 99)

5 Ilstrasi ccle berarah bisa dilihat pada Gambar 0. Digraf pada Gambar 0 memiliki ccle C = e e e. Definisi (Terhbng/connected) Sat graf G disebt terhbng (connected) jika ntk setiap erteks dari G terhbng. Verteks dengan dikatakan terhbng jika ada setidakna sat path dari erteks ke. Definisi (Bridge) Sat sisi e di graf G ang terhbng disebt bridge jika sisi e tersebt menebabkan graf menjadi tidak terhbng pada saat sisi e dihilangkan. Pada Gambar sisi e={,} merpakan bridge, karena jika sisi tersebt dihilangkan maka graf G menjadi tidak terhbng. Definisi (Sbgraf) Sat graf H dikatakan sbgraf dari graf G jika V(H) V(G) dan E(H) E(G). (Chartrand & Oellermann 99) Graf pada Gambar merpakan sbgraf dari graf pada Gambar. Definisi (Spanning sbgraph) Sat sbgraf G dikatakan spanning sbgraph jika sbgraf tersebt mengandng sema erteks pada graf G. Graf pada Gambar merpakan spanning sbgraph dari graf pada Gambar 8. Definisi 8 (Tree pada graf) Sat graf terhbng ang tidak memiliki ccle disebt tree. (Chartrand & Zhang 009) Graf pada Gambar merpakan tree karena tidak memiliki ccle. Definisi 9 (Tree pada digraf) Sat digraf terhbng ang tidak memiliki ccle disebt tree pada digraf. (Chartrand & Zhang 009) Ilstrasi tree ntk digraf dapat dilihat pada Gambar. Definisi 0 (Spanning tree) Sat spanning tree adalah spanning sbgraph ang merpakan tree. e e Gambar Spanning tree. Digraf pada Gambar adalah spanning tree dari digraf pada Gambar 0. Definisi (Arborescence) Graf berarah D disebt arborescence jika i. D tidak memiliki sirkit mapn semisirkit, ii. pada D terdapat tepat sat erteks r ang memiliki d ( r ) = 0. Verteks r disebt akar arborescence. Gambar Arborescence. Digraf pada Gambar adalah sat arborescence dengan erteks sebagai akar arborescence. Definisi (Spanning arborescence) Spanning arborescence pada digraf D adalah spanning tree ang bersifat arborescence. t Ilstrasi spanning arborescence bisa dilihat pada Gambar. Digraf pada Gambar merpakan spanning arborescence dari digraf pada Gambar, dengan akar arborescencena di. e Gambar Spanning arborescence.

6 . Graf Eler Leonhard Eler (0-8) adalah seorang peneliti ang lahir di Siss. Ia dipandang sebagai salah sat matematikaan terbesar sepanjang masa. Eler menmbangkan berbagai peneman penting di bidang ang beragam seperti kalkls dan teori graf. Dalam penelitianna di bidang teori graf, Eler mengenalkan peneman ang paling terkenal ait graf Eler. Berikt ini akan dijelaskan beberapa definisi ang berkaitan dengan graf Eler ang dignakan dalam kara ilmiah ini. Definisi (Lintasan Eler) Lintasan (trail) Eler adalah lintasan ang meleati sema sisi pada graf G tepat sat kali. Pada Gambar T = e e e e e merpakan lintasan Eler. Definisi (Sirkit Eler) Sirkit Eler adalah lintasan Eler ang terttp. Ilstrasi sirkit Eler bisa dilihat pada Gambar. Sirkit Eler dari graf G salah satna adalah C = e e e e e e. e e e e e e Gambar Graf Eler. Definisi (Graf/digraf Eler) Graf ata digraf ang memiliki sirkit Eler disebt graf ata digraf Eler. Ilstrasi graf Eler bisa dilihat pada Gambar. Graf G pada Gambar merpakan graf Eler, karena graf tersebt memiliki sirkit Eler. Selanjtna akan diberikan teoremateorema ang dignakan sebagai dasar pengerjaan kara ilmiah ini. Teorema Sat graf G merpakan graf Eler jika dan hana jika setiap erteks pada graf G berderajat genap. (Chartrand & Zhang 009) Pembktian Teorema bisa dilihat pada Lampiran. Teorema Misalkan D sat digraf terhbng ang takkosong, maka D adalah digraf Eler jika dan hana jika d + ( i ) = d ( i ) ntk setiap erteks pada digraf D (digraf balance). (Chartrand & Zhang 009). Undirected Chinese Postman Problem (UCPP) Masalah CPP pertama kali dikemkakan oleh Meig Gan ata Kan Meiko, seorang pakar matematika dari Uniersitas Shangtn, Cina, maka tidak heran baha permasalahan ini dinamakan Chinese Postman Problem karena memang berasal dari Cina. Permasalahan CPP adalah masalah mencari lintasan pada sat graf berbobot ang terhbng dan meleati sema sisi minimal sat kali dengan jmlah bobot minimm di mana erteks aal dan akhirna hars sama (terttp). Pada graf ang memiliki sirkit Eler, maka lintasan manapn ang diambil hasilna akan sama, karena tiap sisi pasti dileati sat kali sehingga bobot minimm adalah jmlah bobot dari sema sisi ang ada, sedangkan ntk graf ang tidak memiliki sirkit Eler, perl dileati sat sisi sebanak da kali bahkan lebih (Thimbleb 00). Berdasarkan jenis grafna masalah CPP dibagi menjadi da jenis ait berarah (directed) ang dikenal sebagai DCPP dan tidak berarah (ndirected) ang dikenal sebagai UCPP. UCPP adalah sebah masalah ang tjanna adalah mencari rte terpendek pada sebah graf ang tidak berarah. Masalah UCPP dapat diselesaikan antara lain dengan menggnakan algoritme Fler.

7 . Algoritme Fler Misalkan G = (V, E) adalah graf terhbng ang sema erteksna berderajat genap. LANGKAH. Inisialisasikan i = 0. Dimlai dari erteks 0 dan didefinisikan trail T 0 : 0. LANGKAH. Kemdian dimisalkan T i = 0 e e e... e i i sebagai trail di antara 0 dan i pada iterasi ke-i, lal dipilih sebah sisi e i+ ang menghbngkan i dengan i+ ang bkan merpakan bridge dari himpnan sisi E i = E {e,e,..,e i }. Jika e i+ adalah bridge pada sbgraf ang didapat dari G setelah menghaps sisi ang dimiliki E i dari E, dan tidak ada pilihan lain ang bisa diambil, maka sisi tersebt dimaskkan ke dalam trail T i = 0 e e e... e i i e i+. Jika tidak ada sisi lagi ang bisa dipilih maka proses berhenti. LANGKAH. Kemdian i diganti menjadi i+, lal kembali ke Langkah. Trail ang terbentk dari rtan sisi ang diambil merpakan sirkit Eler pada graf G. (Balakrishnan 99) Aplikasi Algoritme Fler Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar. Gambar Graf Eler balance ntk contoh algoritme Fler. Untk mencari sirkit Eler pada graf tersebt dengan algoritme Fler, dilakkan prosedr sebagai berikt:. dipilih sembarang erteks, misalkan erteks () ang dilabeli sebagai 0, 0 Gambar Iterasi pertama : inisialisasi 0.. dipilih sisi ang incident dengan 0 dan bkan merpakan bridge pada graf. Misalkan sisi {,} dipilih, lal sisi tersebt dihaps dan didefinisikan erteks sebagai erteks, sehingga graf menjadi seperti pada Gambar. 0. dipilih sisi {,} ang bkan bridge pada sbgraf G, sehingga graf menjadi seperti pada Gambar 8. 0 Gambar Iterasi keda : sisi {,} dihaps. Gambar 8 Iterasi ketiga : sisi {,} dihaps. Iterasi selanjtna diberikan secara lengkap pada Lampiran. Setelah sema sisi dihaps, sehingga dihasilkan graf seperti pada Gambar 9, maka sirkit Eler sdah bisa ditemkan.

8 Gambar 9 Solsi sirkit Eler dengan algoritme Fler. Dari rtan erteks ang dipilih dan sisi ang dihaps akan diperoleh solsi sirkit Elerna, ait C = ata bisa ditliskan dengan C = Meskipn dimlai dari erteks ang sama, sirkit Eler ang dihasilkan tidak selal sama, bergantng pada rtan pengambilan ata penghapsan sisi. Contohna C = Selain dignakan ntk mencari sirkit Eler pada graf ang tidak berarah, algoritme ini jga bisa dignakan ntk mencari sirkit Eler pada graf berarah.. Algoritme Dijkstra Algoritme ini bisa dignakan ntk mencari path terpendek ata jarak terpendek pada graf ata digraf ang tidak berbobot mapn ang berbobot. Misalkan diberikan D = (V,E) dengan V = {,,...,n} adalah digraf berbobot dengan bobot pada tiap erteksna taknegatif. Misalkan a(i,j) adalah bobot pada arc dari i ke j. Jika tidak ada arc dari i ke j maka a(i,j) bernilai +. Setiap erteks i dilabeli dengan L(i) ang menatakan jarak terpendek dari erteks aal ke erteks i ang sifatna permanen artina pasti dipilih, sedangkan label L (i) memiliki makna sama dengan L(i) namn sifatna masih sementara artina mngkin dipilih atpn tidak. Di setiap iterasi dibat P ang menatakan himpnan erteks dengan label L(i) dan T ang menatakan himpnan erteks dengan label L (i). Misalkan erteks aalna di, maka diinisialisasikan, P = {} dengan L() = 0 dan L (j) = a(, j) ntk sema j. Prosedr selesai ketika P = V. Setiap iterasi mempnai da langkah ait: LANGKAH. Dicari erteks k pada T dengan L (k) berhingga dan minimm. Kemdian k dijadikan anggota P, Jika tidak ada k ang dimaksd maka proses berhenti, karena tidak ada path dari ke erteks lain 8 ang belm dilabeli. Iterasi jga berhenti jika P = V. Arc (i,k) dilabeli dengan i, ait erteks ang memiliki L (k) ang minimm. LANGKAH. L (j) diganti oleh nilai terkecil antara L (j) dan L(k) + a(k,j) ntk setiap j pada T, kembali ke Langkah. Contoh Algoritme Dijkstra Diberikan digraf berbobot berikt: D: (Balakrishnan 99) Akan ditentkan jarak terpendek dari erteks ke erteks lainna. Maka dengan mengaplikasikan algoritme Dijkstra akan diperoleh path terpendek dari erteks menj erteks lain seperti pada Gambar (detail penghitnganna dapat dilihat pada Lampiran ). D: Gambar 0 Digraf contoh algoritme Dijkstra. Gambar Solsi path terpendek algoritme Dijkstra dengan erteks aal. Misalkan dicari jarak terdekat dari erteks ke erteks pada digraf Gambar, maka pathna adalah P = -- dengan jarak 9. Contoh lainna misalkan dicari jarak terdekat dari erteks ke erteks, maka path-na adalah P = -- dengan jarak.