BAB 3 PENYELESAIAN NUMERIK MODEL ADVEKSI-DISPERSI DENGAN IMPLEMENTASI SPREADSHEET

Transkripsi

1 BAB PENYELESAIAN NUMERIK MODEL ADVEKSI-DISPERSI DENGAN IMPLEMENTASI SPREADSHEET MENGENAI METODE NUMERIK Persoalan yang melbaan model maemaa banya munul dalam berbaga lmu pengeahuan seper halnya dalam asus pemodelan ualas ar Serngal model maemaa ersebu munul dalam benu dengan nga eruman ngg Model maemaa yang rum n adangala da dapa dselesaan dengan meode anal yang sudah umum unu mendapaan solus esanya Yang dmasud dengan meode anal adalah meode penyelesaan model maemaa dengan rumus-rumus alabar yang sudah bau Meode anal hanya unggul unu seumlah persoalan yang erbaas yau persoalan yang meml asran geomer sederhana dan berorder rendah order yang dmasud adalah urunan palng ngg dalam model maemas yang bersanguan Padahal pemodelan yang munul dalam duna nyaa seper msalnya dalam pemodelan ualas ar serngal bersa non-lner sera melbaan benu dan proses penyelesaan yang rum Abanya nla pras penyelesaan meode anals adangala menad erbaas hanya pada pemodelan maemas yang sederhana Dalam asus dmana meode anal da dapa lag derapan maa solus pemodelan mash dapa deahu dengan menggunaan meode numer Meode numer adalah en yang dgunaan unu memormulasan persoalan maemas sehngga dapa dpeahan dengan operas armaa basa seper penambahan pengurangan peralan dan pembagan Meode berar ara sedangan numer 9 Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

2 berar anga sehngga meode numer seara harah dapa daran sebaga perhungan dengan menggunaan anga-anga Gambar Conoh oslas pada pemodelan maemas dengan penyelesaan menggunaan meode numer Perbedaan uama anara meode numer dengan meode anal erlea pada dua hal Perama solus dengan menggunaan meode numer selalu berbenu anga Bandngan dengan solus anal yang umumnya menghaslan solus dalam benu ungs maemas yang selanunya ungs ersebu dapa devaluas unu menghaslan nla dalam benu anga Kedua dengan meode numer pemodel hanya hanya memperoleh solus yang menghampr aau mendea solus esa sehngga solus numer dnamaan pula solus hampran appromaon aau solus pendeaan Hanya saa solus numer dapa dbua seel yang dngnan oleh pemodel Solus hampran elas da memberan hasl yang epa sama dengan solus esa sehngga erdapa selsh danara eduanya Selsh n dsebu gala aau error Pemodel dapa memperel besar gala dengan beragam ara anara lan dengan menggunaan ens meode numer yang lebh omples dan memanaaan parameer ompuas yang lebh el seper msalnya parameer berupa nerval ara dan nerval wau Rnald Munr Meode Numer Eds Revs Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

3 Meode Runge-Kua 4 h order Meode Runge-Kua adalah alerna solus lan dar meode dere Taylor yang da membuuhan perhungan urunan Meode n mengusahaan deraa eelan yang lebh ngg dan sealgus menghndaran ebuuhan menar urunan yang lebh ngg dengan alan mengevaluas ungs y Dalam ugas ahr n lebh amlar dengan suau benu pada erplh dalam seap selang langah aau sep sze Meode Runge-Kua adalah meode numer yang uup popular arena banya dpergunaan dalam prae Berdasaran enggan order meode Runge-Kua dapa dbag menad : Runge-Kua order Runge-Kua order Runge-Kua order 4 Runge-Kua order 4 5 Runge-Kua order n Yang ermasu edalam meode Runge-Kua order sau adalah meode Euler Sedangan salah sau onoh meode Runge-Kua order dua adalah meode Heun Meode Runge-Kua yang umum dan banya dpaa adalah meode Runge-Kua order ga dan meode Runge-Kua order empa Kedua meode ersebu banya dpaa arena nga eelan dar solusnya ngg bla dbandngan dengan meode Runge-Kua order sebelumnya mudah dprogram dan memberan hasl yang rela sabl Meode Runge-Kua dengan order e-n yang lebh ngg enu memberan hasl yang seman el hanya saa eelan n harus duar dengan umlah ompuas yang seman banya Maa u meode Runge-Kua order empa elah danggap uup ba dan memada unu menyelesaan suau masalah pemodelan dalam benu persamaan derensal era Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

4 Gambar Graphal depon o Runge-Kua 4 h order Unu suau ungs yang meml nla awal dan erdens pada suau selang eruup perumusan yang bau dalam meode Runge-Kua order empa dapa despresan sebaga beru: [ ] 6 4 Dengan : 4 Keerangan : nla pada saa yang e yau pada saa nla pada saa yang e yau pada saa Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

5 Dar persamaan daas dapa erlha bahwa denas nla awal berupa pada saa aan dmasuan edalam alulas unu menghung nla pada saa Δ Selanunya dlauan perhungan e-empa nla unu emudan dhung nla raa-raa dar eempa nla ersebu Nla raa-raa dar semua aan dadan npu edalam alulas rumus daas unu mendapaan nla yang dar yau nla pada saa Δ aau yang lebh umum dnamaan Meode Fne Derene Meode beda hngga merupaan meode las yang dpergunaan sebaga pendeaan dalam menghung urunan numer dalam ranga menyelesaan suau pemodelan yang meml benu persamaan derensal Meode beda hngga dapa durunan dengan dua ara yau dengan dere Taylor dan dengan hampran polnom nerpolas Kedua ara ersebu menghaslan rumus beda hngga yang sama Pada penulsan ugas ahr n penurunan rumus meode beda hngga da dbahas arena yang menad ous permasalahan adalah aplas meode ersebu pada model adves-dspers yang proses dsresasnya aan duraan lebh lanu pada sub-bab beru Unu suau ungs y yang erdens pada suau selang eruup [ab] erdapa ga pendeaan meode beda hngga dalam menghung urunan numer yang anara lan dapa dlasasan sebaga beru : Hampran selsh-mau orward derene appromaon a Benu urunan perama ' b Benu urunan edua " Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

6 Hampran selsh-mundur baward derene appromaon a Benu urunan perama ' b Benu urunan edua " Hampran selsh-pusa ener derene appromaon a Benu urunan perama ' b Benu urunan edua " APLIKASI METODE NUMERIK PADA MODEL ADVEKSI-DISPERSI Model yang elah dembangan seara eors dapa dselesaan melalu pendeaan ormulas numer Unu membua ormulas numer erlebh dahulu harus dlauan proses dsresas ruas sunga yang dbag menad beberapa ruas yang lebh el dan sama panang seper pada Gambar Loadng W X 0 X X X X 4 X 5 X 6 Gambar Sema dsresas ara pada ruas sunga 4 Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

7 Ruas sunga ddsresas dalam nerval ara dan nerval wau seper pada Gambar 4 yang memperlhaan bahwa onsenras BOD ddalam alran sunga aan bervaras erhadap ara dan wau Dlauan beberapa senaro yang beragam unu mendsresas sunga dalam ara dan wau dmana nla nerval ara dan nla nerval wau dvarasan unu melha sensvas model erhadap edua parameer ersebu Gambar 4 memperlhaan sumbu ara yang membag sumbu as menad 7 dan sumbu wau yang membag sumbu ordna menad 8 eap hanya 4 pada ordna yang dperlhaan dalam benu oupu smulas pada bab mengena pembahasan lebh lanu Wau Konds Konds Baas Baas Δ Δ Deahu Tda deahu Konds Awal Jara Gambar 4 Dsresas berdasaran nerval ara Δ dan nerval wau Δ 5 Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

8 6 Pengembangan Model Formulas Numer Seara umum model maemas yang dembangan seara eors dan berlau unu BOD maupun onsuen lan yang erandung dalam alran ruas sunga dengan mengabaan nga peluruhan meansme selng maupun reas maw dapa dulsan sebaga beru : D u V W 8 Persamaan daas merupaan persamaan dasar governng equaon dmana parameer-parameer pada persamaan ersebu merupaan daa hpoe Persamaan derensal parsal daas dapa dselesaan dengan meode beda hngga ne derene unu menguraan ap suu dar persamaan ersebu lalu menggunaan meode Runge-Kua order 4 unu menar nla ahr yang berupa onsenras suau pada saa d Dengan pendeaan beda hngga persamaan unu seap urunan pada governng equaon dapa duls sebaga beru : 9 0 Bla persamaan 9 persamaan 0 persamaan dsubsusan edalam persamaan 8 maa dperoleh persamaan sebaga beru : D u V W Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

9 7 Dengan menggunaan pemsalan V W α u β dan D γ dengan nla α β dan γ merupaan daa hpoe yang berbenu onsana sembarang dmana senaro smulas unu pembebanan dapa berupa asus beban dengan nla nononsan dmana nla W merupaan ungs dar maupun beban onsan sehngga persamaan dapa dulsan ulang menad : γ β α Dengan memndahan Δ e ruas anan unu mempermudah perhungan maa persamaan dapa despresan sebaga : ] [ γ β α 4 Agar blangan unnown berbenu menad sau-saunya suu yang erdapa pada ruas r dar persamaan maa pndahan suu e ruas anan sehngga maa persamaan 4 dapa dulsan ulang dalam benu : ] [ γ β α 5 Persamaan 5 daas dapa dselesaan menggunaan meode Runge- Kua order e-empa dengan pernan rumus sebaga beru : ] 6 [ ] [ 4 γ β α 6 Keerangan : 4 Unu menar besar onsenras pada dan pada saa maa persamaan 5 dapa dselesaan dengan menar besar nla dan 4 pada Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008

10 yang bersanguan unu emudan menulsan ulang persamaan ersebu dalam benu sebaga beru : ] 6 [ 4 7 Persamaan n yang aan daplasan pada seap blangan unnown berupa onsenras yang merupaan ungs dar suau ara dan wau erenu [] dan deman seerusnya ompuas dulang sesua dengan umlah yang dbuuhan seumlah - blangan unnown yang belum deahu Implemenas Spreadshee Model maemaa yang elah dormulasan seara numer emudan dselesaan dengan penggunaan ala banu berupa spreadshee Tuuan mplemenas ormulas numer edalam spreadshee eleron adalah unu memudahan pemodel dalam melauan perhungan yang bersa era unu emudan haslnya dapa dsaan dalam benu aau orma berupa gra yang dngnan Gambar 5 Implemenas spreadshee pada ormulas numer model adves-dspers 8 Pengembangan model adves Nla Yudha FT UI 008