Penerapan Metode Runge-Kutta Orde 4 dalam Analisis Rangkaian RLC

Transkripsi

1 Penerapan Metode Runge-Kutta Orde 4 dalam Analss Rangkaan RLC Rka Favora Gusa JurusanTeknk Elektro,Fakultas Teknk,Unverstas Bangka Beltung rka_favora@yahoo.com ABSTRACT The exstence of nductor and capactor n RLC crcut wthout source, at least, creates system that has characterstc of second order dfferental equaton. Dfferental equaton can be solved usng 4th order Runge- Kutta method. RLC crcuts wthout source that have same confguraton yet dfferent elements value wll gve dfferent responses. It makes RLC crcut analyss become dffcult. The solvng steps of the equaton of RLC crcut wthout source that s a second order dfferental equaton begun wth makng 2 frst order dfferental equatons based on the RLC crcut equaton. The next step s typng solvng steps usng 4th order Runge-Kutta method based on 2 frst order dfferental equatonsn Matlab to get the natural response graphc of seres RLC crcut and parallel RLC crcut n a short tme. By solvng the equaton of seres RLC crcut wthout source and parallel RLC crcut wthout source, known that the usng of the 4th order Runge-Kutta method n RLC crcut analyss gve results (natural response) wth hgh accuracy compared wth the exact values of natural response. For the parallel RLC crcut dscussed, the hghest error s 0,0023 (0,23%). For the seres RLC crcut dscussed, there s no error. Keywords : RLC ser crcut, RLC paralel crcut, Runge-Kutta orde 4 INTISARI Terdapatnya nduktor dan kapastor dalam rangkaan RLC tanpa sumber setdak-tdaknya menghaslkan sstem yang bercrkan sebuah persamaan dferensal orde kedua.penyelesaan persamaan dferensal dapat dlakukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Rangkaan-rangkaan RLC tanpa sumber yang mempunya konfguras sama tetap memlk harga elemen yang berbeda akan menghaslkan tanggapan yang berbeda. Hal n membuat analss rangkaan RLC menjad sukar. Langkah-langkah penyelesaan persamaan rangkaan RLC tanpa sumber yang merupakan persamaan dferensal orde kedua dawal dengan membuat dua persamaan dferensal orde pertama berdasarkan persamaan rangkaan RLC tersebut. Selanjutnya, dlakukan penyelesaan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dengan bantuan program Matlab sehngga dapat dketahu jens dan grafk tanggapan alam dar rangkaan RLC ser maupun rangkaan RLC paralel tersebutdalam waktu yang sngkat. Dengan melakukan penyelesaan terhadap beberapa persamaan rangkaan RLC ser maupun rangkaan RLC paralel tanpa sumber, dperoleh bahwa penerapan metode Runge-Kutta orde 4 dapat memberkan hasl (nla tanggapan alam) dengan tngkat keteltan yang tngg jka dbandngkan dengan nla penyelesaan eksaknya. Untuk rangkaan RLC paralel tanpa sumber yang dbahas, selsh (error) terbesar bernla 0,0023 (0,23%).Untuk rangkaan RLC ser tanpa sumber yang dbahas, tdak terdapat selsh (error) terhadap nla eksaknya. Kata kunc: Rangkaan RLC ser, Rangkaan RLC paralel, Runge-Kutta orde 4 I. PENDAHULUAN Banyak permasalahan d duna nyata harus dmodelkan untuk dapat danalss dan dtentukan solusnya. Model yang dbuat menjadkan analss masalah lebh mudah serta dapat menghemat waktu, baya dan mengurang resko. Selan model fsk, terdapat model matemats yang dapat dselesakan bak dengan analss maupun smulas [1]. Model matemats umumnya mengandung persamaan dferensal yang derajat kesultannya menngkat sebandng dengan komplekstas masalah yang dmodelkan. Kesultan menyelesakan persamaan dferensal dapat datas dengan menggunakan metode numerk, salah satunya adalah metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta memberkan hasl keteltan yang tngg dan tdak memerlukan turunan fungs. Persamaan pendulum msalnya, yang merupakan 47

2 persamaan dferensal nonlner orde dua, dapat dselesakan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dengan keteltan yang tngg [2]. Persamaan lan yang merupakan persamaan dferensal orde dua alah persamaan rangkaan RLC. Rangkaan RLC banyak dgunakan antara lan sebaga model yang sesua untuk bagan-bagan jarngan komunkas dan desan flter. Rangkaanrangkaan RLC yang mempunya konfguras sama tetap memlk harga elemen yang berbeda akan menghaslkan tanggapan yang berbeda. Hal n membuat analss rangkaan RLC menjad sukar. Untuk mempermudah analss, dapat dgunakan perhtungan berbass komputer menggunakan metode Runge Kutta orde 4 [3]. Dengan cara n, juga dapat dperoleh grafk waktu terhadap tanggapan alamnya. Dar data dan grafk tanggapan alam, dapat dketahu hubungan R dan α yang menentukan jens redaman rangkaan karena jens redaman akan berubah sesua dengan perbandngan α dan ω 0. Dalam peneltan yang dlakukan n,juga dterapkan metode Runge-Kutta orde 4 dalam analss rangkaan RLC. Tujuannya adalah untuk mengetahu tanggapan alam dar rangkaan RLC ser maupunrangkaan RLC paralel dengan nla komponen yang bervaras. Dengan bantuan program Matlab, dapat dketahu jens tanggapan dan grafk tanggapannya dalam waktu yang sngkat sehngga analss menjad lebh mudah. II. LANDASAN TEORI A. Metode Runge-Kutta Orde 4 Penyelesaan persamaan dferensal adalah suatu fungs yang memenuh persamaan dferensal dan juga memenuh konds awal yang dberkan pada persamaan tersebut. D dalam penyelesaan persamaan dferensal secara analts, basanya dcar penyelesaan umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudan mengevaluas konstanta tersebut sedemkan sehngga haslnya sesua dengan konds awal. Metode penyelesaan persamaan dferensal secara analts terbatas pada persamaan-persamaan dengan bentuk tertentu dan basanya hanya untuk menyelesakan persamaan lner dengan koefsen konstan sedangkan metode penyelesaan numerk tdak ada batasan mengena bentuk persamaan dferensal. Penyelesaan persamaan dferensal dengan metode numerk dlakukan pada ttk-ttk yang dtentukan secara berurutan. Untuk mendapatkan hasl yang lebh telt maka jarak (nterval) antara ttkttk yang berurutan tersebut dbuat semakn kecl. Salah satu metode penyelesaan persamaan dferensal secara numerk alah Metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta memberkan hasl keteltan yang tngg dan tdak memerlukan turunan dar fungs. Bentuk umum dar metode Runge-Kutta adalah: 1 Φ (x,, Δx) Δx (1) dengan (x,y, x) adalah fungs pertambahan yang merupakan kemrngan rerata pada nterval. Metode Runge-Kutta orde 4 banyak dgunakan karena mempunya keteltan lebh tngg dbandngkan dengan metode Runge- Kutta orde yang lebh rendah. Metode n mempunya bentuk: (2) 1 1 (k1 2k 2 2k 3 k ) Δx 6 4 dengan: k 1 f (x, y ) 1 1 f (x Δx, k f (x Δx, k 2 2 f (x Δx, y k x) k 2 1 Δ k 3 2 Δ k4 3 Δ B. Penyelesaan Persamaan Dferensal Orde Dua Secara Numerk Asumskan persamaan dferensal orde dua sebaga = (,, ) (3) x) x) 48

3 dengan konds awal ( ) = dan ( ) =. Untuk menyelesakannya, dperkenalkan varabel baru = ( )sehngga =, maka persamaan dferensal orde dua dapat dtuls sebaga pasangan persamaan dferensal orde satu, yatu: = (4) = (,, ) (5) dengan batasan konds awal ( ) = dan ( ) =. C. Rangkaan RLC Tanggapan alam suatu rangkaan dtentukan seluruhnya oleh jens elemen pasf d dalam rangkaan, oleh cara-cara bagamana elemen rangkaan salng dhubungkan dan oleh syarat awal yang dhaslkan oleh energ yang dsmpan [4]. Terdapat tga jens tanggapan alam rangkaan RLC yatu: 1. Terlalu redam, terjad jka frekuens neper α lebh besar dar frekuens resonan ω Redaman krts, terjad jka frekuens neper α sama dengan frekuens resonan ω Kurang redam, terjad jka frekuens neper α lebh kecl dar frekuens resonan ω 0. Jens tanggapan alam rangkaan RLC tergantung dar nla elemen resstor, nduktor dan kapastor d dalamnya. D. Rangkaan Paralel Tanpa Sumber Persamaan rangkaan RLC paralel tanpa sumber dapat dtulskan sebaga berkut : + + = 0 (6) dengan : tegangan yang melntas rangkaan R : nla resstor dalam rangkaan L : nla nduktor dalam rangkaan C : nla kapastor dalam rangkaan E. Rangkaan Ser Tanpa Sumber Persamaan rangkaan RLC ser tanpa sumber dapat dtulskan sebaga berkut : + + = 0 (7) dengan adalah arus yang mengalr dalam rangkaan. III. METODE PENELITIAN Peneltan n dawal dengan stud lteratur mengena metode Runge-Kutta orde 4 untuk menyelesakan persamaan dferensal orde dua, dlanjutkan dengan penyelesaan beberapa rangkaan RLC (ser dan paralel) tanpa sumber bak secara analtk maupun numerk untuk mengetahu tanggapan alamnya. Kemudan, dlakukan perancangan program dan uj coba program tersebut untuk beberapa rangkaan RLC sehngga dapat dketahu tanggapan alam dar masng-masng rangkaan. IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Rangkaan RLC Paralel Tanpa Sumber Berdasarkan persamaan (4), persamaan (5) dan persamaan (6), dperoleh persamaan dan = = 1 = 1 1 Dmsalkan nla R = 6 Ω, L = 7 H dan C = 1/42 F serta dketahu nla tegangan awal rangkaan = 0 dan arus awal nduktor = 10 A [4]. Dapat dketahu bahwa jens tanggapan alam rangkaan n adalah terlalu redam karena nla = lebh besar dar =. Gambar 1 memperlhatkan grafk tanggapan alam rangkaan RLC paralel n. Berdasarkan nla-nla d atas, maka = = 1 = 420 / sehngga dapat dbuat langkah penyelesaan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 sebaga berkut (dengan h=0,1) : 49

4 1. untuk k=0 = = 1 1 = 1 + h h 2 = 1 + h h 2 = + h = 1 ( + h ) 1 ( + h ) 2. untuk k = 1 dst, ulang langkah a. Dengan menulskan persamaanpersamaan d atas dalam M-fle program Matlab, maka dapat dperoleh nla tegangan rangkaan (tanggapan alam) dalam rentang waktu tertentu. Penyelesaan eksak untuk tanggapan alam rangkaan RLC paralel d atas adalah ( ) = 84( ) volt Tabel 1 menunjukkan perbandngan nla tanggapan alam ( )yang dhtung dengan metode Runge-Kutta orde 4 terhadap penyelesaan eksaknya.terlhat bahwa hasl penyelesaan menggunakan metode Runge- Kutta orde 4 memlk selsh (error) terbesar bernla 0,0023 (0,23%) terhadap nla penyelesaan eksaknya. Hal n menunjukkan bahwa hasl penyelesaan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 memlk tngkat keteltan yang tngg. Tabel 1. Tanggapan alam rangkaan RLC paralel Waktu Tegangan ( ) (volt) Selsh (detk) Runge-Kutta Orde 4 Nla eksak (error) , ,6937-0, , ,3676 0, ,1821 4, ,5385 1, ,5660 0, ,2082 0, ,0766 0, ,0282 0, ,0104 0, ,0038 0, Gambar 1. Grafk tanggapan alam rangkaan RLC paralel 50

5 B. Rangkaan RLC Ser Tanpa Sumber Berdasarkan persamaan (7), dtulskan dua persamaan dferensal orde satu sebaga berkut : = = = + h 2 = + h h h 2 dan = 1 Dmsalkan nla R = 2kΩ, L = 1 H dan C = 1/401µF serta dketahu nla arus awal rangkaan = 2mA dan tegangan awal kapastor = 2V [4]. Dapat dketahu bahwa jens tanggapan alam rangkaan n adalah kurang redam karena nla = lebh kecl dar =. Gambar 2 memperlhatkan grafk tanggapan alam rangkaan RLC ser n. Berdasarkan nla-nla d atas, maka : = = = = 2 / sehngga dapat dbuat langkah penyelesaan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 sebaga berkut (dengan h=0,00001) : 1. untuk k = 0 = = 1 = + h = ( + h ) 1 ( + h ) 2. untuk k = 1 dst, ulang langkah a. Dengan menulskan persamaanpersamaan d atas dalam M-fle program Matlab, maka dapat dperoleh nla arus rangkaan (tanggapan alam) dalam rentang waktu tertentu. Penyelesaan eksak untuk tanggapan alam rangkaan RLC ser d atas adalah : ( ) = 2 cos ma Tabel 2 menunjukkan perbandngan nla tanggapan alam ( )yang dhtung dengan metode Runge-Kutta orde 4 terhadap penyelesaan eksaknya. Terlhat bahwa hasl penyelesaan menggunakan metode Runge- Kutta orde 4 memlk nla yang sama perss dengan nla penyelesaan eksaknya (tdak ada selsh/error). Tabel 2. Tanggapan alam rangkaan RLC ser Waktu Arus ( ) (ma) Selsh (ms) Runge-Kutta Orde 4 Nla eksak (error) ,1-0,8-0,8 0 0,2-1,1-1,1 0 0,3 1,4 1,4 0 0,4-0,2-0,2 0 0, ,6 0,9 0,9 0 0,7 0,1 0,1 0 0,8-0,9-0,9 0 0,9 0,5 0, ,3 0,3 0 51

6 Gambar 2. Grafk tanggapan alam rangkaan RLC ser V. PENUTUP Berdasarkan peneltan yang telah dlakukan, dapat dsmpulkan bahwa metode Runge-Kutta orde 4 dapat dterapkan dalam analss rangkaan RLC paralel tanpa sumber maupun rangkaan RLC ser tanpa sumber. Dengan menulskan langkah-langkah penyelesaan menggunakan metode Runge- Kutta orde 4 dalam program Matlab, dapat dketahu jens dan grafk tanggapan alam dar rangkaan-rangkaan tersebut d atas dalam waktu yang sngkat sehngga analss menjad lebh mudah. Metode Runge-Kutta orde 4 memberkan hasl keteltan yang tngg. Hal n dbuktkan dengan selsh hasl penyelesaan dengan metode Runge-Kutta orde 4 terhadap nla eksaknya yang sangat kecl yatu sama dengan atau lebh kecl dar 0,0023 (0,23%) untuk rangkaan RLC paralel yang dbahas dan nol untuk rangkaan RLC ser yang dbahas. Inovas Fska Indonesa Unverstas Neger Surabaya. [4] Hayt, W. H., dkk., 2006, Rangkaan Lstrk, jld 1 eds 4, Penerbt Erlangga, Jakarta. REFERENSI [1] Subakt, I., 2006, Metode Numerk, Teknk Informatka Insttut Teknolog Sepuluh November, Surabaya [2] Utam, R. P., 2005, Metode Runge-Kutta untuk Solus Persamaan Pendulum, Prod Matematka FMIPA Unverstas Neger Semarang. [3] Murjannah, W.S.S., Prhanto, A., 2013, Implementas Rangkaan RLC dengan Metode Runge-Kutta Orde 4, Jurnal 52