Dalam sistem pengendalian berhirarki 2 level, maka optimasi dapat. dilakukan pada level pertama yaitu pengambil keputusan level pertama yang

Transkripsi

1 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty BAB V OPIMASI SISEM Dalam sstem pengendalan berhrark level, maka optmas dapat dlakukan pada level pertama yatu pengambl keputusan level pertama yang langsung berhubungan dengan proses dan level kedua yang mengkoordnaskan beberapa pengambl keputusan pada level pertama. Pada sstem pengendalan berhrark optmas level pertama menggunakan Lnear Quadratc Regulator (LQR), sedangkan pada level kedua dgunakan metode nteracton predcton untuk memberkan nla baru pada dan m sehngga error nteraks semakn kecl sampa batas yang dngnkan. Metode penyelesaan LQR dberkan oleh Davson, dan Mak (973) dan Jamshd (98), sedangkan metode nteracton predcton dberkan oleh akahara (965). V.. OPIMASI LEVEL PERAMA Jka dketahu suatu sstem dnamk: =A Bu (5.) d mana A dan B adalah kontnyu dan mempunya ndeks performans (cost functon):

2 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty tf [ ( t ), u( t ), t ] = u R( t) u Q( t) [ ] dt ( t ) F( ) J f t f (5.) to d mana matrks Q(t) dan R(t) kontnyu, smetrk dan defnt non negatf atau defnt postf dan F adalah matrks defnt non negatf. Permasalahan pengendalan optmal adalah menemukan fungs pengendalan u * (t), d mana t < t < t f, yang memenuh sstem dnamk d atas dengan memnmas ndeks performans. Jka dasumskan t f fnte, maka ndeks performans J * ((t),t) menjad J * [(t),t] = (t) K(t) (t) (5.3) d mana K(t) adalah matrks smetrk. Jka K(t) tdak smetrk, dapat dgant dengan matrks smetrk ½ [K(t) K (t)] tanpa mengubah ndeks performans. Persamaan Hamlton-Jacob dgunakan untuk memperoleh aks pengendalan optmal. Bentuk pertama dar persamaan Hamlton-Jacob adalah sebaga berkut: J t * * J [ ( t), t] = mn L[ ( t), u( t), t] [ ( t), t] f[ ( t), u( t), t] u(t) (5.4) Dengan mensubsttus persamaan-persamaan d atas dperoleh: ( u Ru Q KA KBu) K = mn (5.5) Dengan menggunakan denttas: u Ru Q KA KBu= ( Q KBR B K KA A K) (5.6) dperoleh K = ( Q KBR B K KA A K) (5.7) Kedua ss persamaan adalah smetrk, sehngga

3 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty K(t) = K(t)A(t) A (t) K(t) K(t)B(t)R (t)b (t)k(t) Q(t) (5.8) Persamaan n dkenal sebaga Dfferental Matrks Rccat Equaton (DMRE). Jka K ( t) =, dperoleh Algebrac Matrks Rccat Equaton (AMRE). Dar pembahasan d atas, dapat dsmpulkan:. Aks pengendalan optmal dberkan oleh Kalman (96), yatu: u * (t) = R (t)b (t)k(t)(t) = -G(t)(t) (5.9) d mana K(t) adalah solus AMRE dan G(t) = R (t)b (t)k(t) (5.) Dar persamaan d atas, dperoleh sstem pengendalan optmal loop tertutup adalah: [ ] ( t) ( t) = A( t) B( t) R ( t) B ( t) K( t) = [ A( t) S( t) K( t) ] ( t) = [ A( t) B( t) G( t) ] ( t) (5.). Dengan menggunakan solus AMRE, nla sub optmal dar ndeks performans dberkan oleh [ ( t ),( t )] ( t ) K( t) ( ) J * = (5.) t K(t) adalah matrks smetrk postf defnt. Contoh 5..: Dar sstem pada contoh 3.., tentukan aks kendal optmal level pertama dengan menggunakan LQR dan nla sub optmalnya jka dketahu t = dan t f =, dan dberkan Q=dag(,,,,,,,,) dan R=dag(,,,,,,,,,), sedangkan state awalnya adalah () = ( )

4 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty Penyelesaan: Mengacu pada persamaan 5. dan dengan t = dan t f =, maka ndeks performans sstem adalah: = [ u ( t) Ru( t) ( t) Q( t) ] dt ( t ) F( t ) J f f (5.4) Permasalahan pengendalan optmal adalah mencar aks kendal optmal u*(t) dan nla optmal ndeks performans sstem dengan memnmas ndeks performans. Penyelesaan permasalahan n dlakukan dengan langkah-langkah sebaga berkut:. Sesua dengan persamaan , maka aks kendal optmal adalah u * (t) = R (t)b (t)k(t)(t) (5.5) Mengacu pada persamaan 5., sstem optmal loop tertutup adalah (t) = [ A( t) B( t) R (t) B (t) K(t) ] (t) [ A( t) B( t) G(t) ] (t) (t) = (5.8). K(t f ) dan G(t f ) dperoleh dengan menggunakan fungs LQR pada Matlab. Dar perhtungan menggunakan Matlab, dperoleh K(t f ) dan G(t f ), yatu K = (5.9) dan

5 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty G = (5.) Jka elemen matrks G yang terlalu kecl dabakan, maka dperoleh matrks struktur dar matrks G, yatu: g g G = g g g3 g3 g33 g43 g34 g44 g64 g74 g55 g65 g75 g46 g56 g66 g76 g47 g57 g67 g77 g87 g97 g78 g88 g98 g79 g 89 g 99 S (5.) Dar matrks struktur S G d atas, terlhat adanya empat kelompok. Empat kelompok tersebut sama dengan dekomposs berdasarkan strongly coupled system yang telah dbahas pada bagan pertama. 3. Indeks performans sub optmal dperoleh dengan menggunakan persamaan 5.., yatu Jka maka J*= ½ K (5.) = ( ) (5.3) J* =. ( )

6 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty J* = 3.8 (5.4) Dar hasl perhtungan d atas, dperoleh aks kendal optmal yang memnmas ndeks performans pada persamaan 5.4, d mana G(t) = G(t f ) pada persamaan 5. dan nla sub optmal ndeks performans adalah 3.8. Jad, dengan memberkan aks kendal optmal, d mana aks kendal optmal n merupakan umpan balk state yang dperoleh dengan memnmas ndeks performans, maka level pertama sstem menjad optmal. II.5.. OPIMASI LEVEL KEDUA Dalam pengendalan sstem pengendalan berhrark, maka pencapaan feasble optmal control dantara subsstem hasl dekomposs adalah hal yang teramat pentng. Untuk sstem dengan dua level pengendalan, maka optmas level pertama berpengaruh terhadap level kedua. Jka dberkan sstem: ( t) = A( t) Bu( t), ( t ) = (5.5) dan quadratc cost functon yang akan dmnmas, t f ( t ) F( t ) ( Q u Ru) J = f f dt (5.6) t d mana F >, Q >, R >, t o,t f adalah waktu awal dan waktu akhr dan o adalah state awal. Sstem dsederhanakan menjad N sub sstem, sehngga: ( t) = A ( t) B u ( t), m ( t) ( t ) =,,..., N (5.7) = d mana m (t) adalah

7 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty N ( t) = A ( t) m (5.8) j= j j j yang menggambarkan nteraks dar subsstem ke- dengan N- subsstem yang lannya. Matrks Q dan R adalah blok dagonal dan dengan matrks S yang antblok-dagonal, maka akan terbentuk ndeks performans sstem yang terdekomposs adalah: J= N t f ( t f) F ( t f) [ ( t) Q ( t) u ( t) R u ( t) m ( t) Sm ( t) ] dt = t (5.9) Dalam dekomposs sstem lnear ternterkoneks secara luas n, faktor couplng antar subsstem merupakan nteraks varabel-varabel m (t). Interaks n akan dgantkan oleh vektor parameter = (,, N ) yang dsebut juga vektor koordnas dan dnyatakan oleh S (), d mana =,,N. Gambar 5.. memperlhatkan struktur pengendalan dua level suatu sstem skala besar. Dengan cara n, pada teras ke-k (atau langkah pertukaran nformas), tap pengendal lokal menerma k dar koordnator (hrark level dua) untuk mendapatkan solus S ( k ), dan mengrmkankan y k dar solus tersebut ke koordnator. Mnmas fungs dar beberapa varabel terdapat dalam area umum dar optmas sehngga dbutuhkan metode mnmas yang tepat. Beberapa metode optmas yang terkenal berdasar pada graden fungsonal f() dar vektor = (,,.., N ) yang tdak dketahu. Dantara metode-metode graden yang ada,

8 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty metode steepest descent merupakan satu skema yang banyak dpaka. Dalam metode n, arah pencaran optmum (mnmum atau mamum) dberkan oleh s (k) = - g (k), d mana s (k) adalah arah yang dcar selama k teras dan g (k) = f( (k)/ (k) ) adalah vektor graden. D sn, pencaran metode dalam arah steepest descent, objectve functon akan berkurang untuk secepatnya menuju (k). Dalam metode steepest descent (k) basanya jatuh d nla yang terlalu jauh dar solus hasl pembulatan error. Maka, metode n serng tdak relable dan tdak efsen. k = -C I p I (t) Level kedua y k k y k k y N k N k S ( ) S ( ) S N ( N ) Level Pertama Gambar 5.. Sstem Pengendalan Berhrark Dua Level Metode Interacton predcton adalah metode lan yang dapat dgunakan untuk menyelesakan permasalahan level kedua. Metode n menggunakan fungs Hamltonan pada permasalahan level pertama untuk mendapatkan parameter sstem yang akan dgunakan untuk menyelesakan permasalahan level kedua. Fungs Hamlton dar sstem terdekomposs d atas adalah: H = ( t) Q ( t) u ( t) R u ( t) m ( j A j ) p ( A Bu Cz ) N j= j (5.3)

9 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty dan mempunya syarat perlu optmaltas, p ( t) K ( t) ( t) g ( t) = (5.3) dan dengan penyederhanaan penyelesaan permasalahan PBV (wo Pont Boundary Value), dperoleh, ( t) = K ( t) A A K ( t) K ( t) SK ( t) Q K (5.3) ( t) = ( A S K ( t) ) g ( t) K ( t) m ( t) A ( t) g (5.33) d mana nla akhr dar K (t f ) dan g (t f ) dar persamaan 5.9, sehngga ( t ) f ( t f) F ( t f) p ( t) = = F ( t f) (5.34) dan dengan menggunakan persamaan 5.3 dperoleh: K (t f ) = F dan g (t f ) = (5.35) Dar formulas n, aks pengendalan u(t) pada optmas level pertama adalah: u N j= j ( t) R B K ( t) ( t) R B g ( t) = (5.36) Pada permasalahan level kedua, bagan yang pentng adalah meng-update vektor kordnas () yang baru. Untuk tujuan n, dengan memperhatkan fungs Hamltonan pada persamaan 5.3, persamaan-persamaan berkut adalah penyelesaan dar permasalahan level kedua: j j H m = C p =

10 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty H = m N j j = A j j = (5.37) sehngga dperoleh: ( ) = C p( t), m ( t) = N t A (5.38) = j j j j Maka, prosedur koordnas level kedua pada teras ke-(k) adalah sebaga berkut: m ( t) ( t) k C p N = A j j j = ( t) k j (5.39) Dar pembahasan d atas, maka metode Interacton predcton dapat dformulaskan sebaga berkut:. Persamaan dfferensal matrks rccat orde N dengan konds akhr pada persamaan 5.35 dapat dselesakan dan mendapatkan serta menympan K (t), d mana =,,..., N dan t o < t < t f.. Dengan nla awal o (t) dan m o (t) dtentukan, maka persamaan 5.33 dapat dselesakan dengan konds akhr pada persamaan Dar langkah n g (t) dperoleh dan nlanya dsmpan. 3. Dengan hasl yang dperoleh pada langkah dan, maka persamaan state berkut dapat dselesakan. ( t) = ( A SK ( t) ) ( t) S( t) g ( t) m ( t), ( ) = (5.4)

11 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty 4. Permasalahan level kedua adalah meng-update error nteraks dengan menggunakan hasl pada langkah 3 dan persamaan 5.39 sampa error nteraks menjad cukup kecl. Dan perhtungan error nteraks adalah: Error = N t f = t m N ( t) A ( t) m ( t) A ( t) j= j j j t N j= j j j dt (5.4) d mana t adalah step sze ntegras. Dar formulas n, setelah beberapa kal teras dan dperoleh error nteraks yang cukup kecl, maka dperoleh vektor koordnas, state, aks pengendalan u d mana =..N optmal. Contoh 5..: Dar sstem pada contoh 3.., dapatkan optmas level kedua sstem jka dberkan nla awal sebaga berkut: - waktu awal (t ) = dan waktu akhr (t f ) = - nla awal () yang menyatakan pada t=, m yang menyatakan m pada teras ke- dan yang menyatakan pada teras ke-. Nla awal (), m dan dberkan sebaga berkut: [] = [] = 3 [] = 4 [] = = = 3 = 4 = m = m = / m 3 = / m 4 = /

12 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty 5 [] = 6 [] = 7 [] = 8 [] = 9 [] = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = m 5 = / m 6 = 3/ m 7 = / m 8 = / m 9 = / - K (t) dperoleh dar hasl perhtungan pada optmas level pertama. - langkah ntegras ( t ) yang dgunakan untuk mencar error nteraks adalah. - langkah teras (h) yang dgunakan untuk menghtung persamaan dfferensal adalah., sehngga dlakukan teras karena t f = Penyelesaan: Penyelesaan permasalahan tersebut dlakukan dengan langkah-langkah sebaga berkut:. Mencar g(t) Jka persamaan 5.33 daplkaskan pada model sstem dengan harga awal awal dan m(t) dtentukan serta matrks A yang dperoleh dar model sstem, maka dperoleh persamaan g(t) sebaga berkut: ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) a ( t) g

13 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) a ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) a ( t) g ( t) = [ a k ( t) ] g ( t) k ( t) z ( t) a ( t) a ( t) g (5.4). Mencar State Dengan menggunakan nformas g(t) d atas dan persamaan 5.4, dperoleh persamaan (t) sebaga berkut: ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) ( t) = [ a k ( t) ] ( t) g ( t) m ( t) (5.43)

14 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty 3. Memberkan nla baru vektor koordnas dan m(t) Untuk memberkan nla baru pada vektor koordnas dan m(t) setelah teras, maka p(t) perlu dcar sesua dengan persamaan 5.3. Dengan menggunakan (t) dan g(t) yang dperoleh dar teras sebelumnya, pada teras sebelumnya, dperoleh persamaan p(t) sebaga berkut: ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p ( t) = K ( t) ( t) g ( t) p (5.44) Dengan p(t) yang dhaslkan d atas, maka vektor koordnas dber nla baru sesua dengan persamaan Persamaan yang dperoleh adalah sebaga berkut: k ( ) = c p ( t) t k ( ) = c p ( t) t k ( ) = c p ( t) 3 t 33 3

15 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty k ( ) = c p ( t) 4 t 44 4 k ( ) = c p ( t) 5 t 55 5 k ( ) = c p ( t) 6 t 66 6 k ( ) = c p ( t) 7 t 77 7 k ( ) = c p ( t) 8 t 88 8 k ( ) = c p ( t) 9 t 99 9 (5.45) Dengan menggunakan (t) pada teras sebelumnya dperoleh m(t) yang baru, yatu: m ( t) = ( t) A m = ( t) = A 3 A 34 4 m 3 ( t) = A 43 3 A 46 6 m 4 ( t) A 56 6 m = 5 ( t) = A 64 4 A 65 5 A 67 7 m 6 ( t) A 76 6 m = 7 ( t) = A87 7 A 89 9 m 8 ( t) = A 97 7 A 98 8 m 9 (5.46) 4. Mencar Error Interaks e(t)

16 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty e Error nteraks dcar dengan menggunakan persamaan 5.4. Pada sstem pengendalan proses pembuatan semen menggunakan DCS d atas, dperoleh persamaan error nteraks: = dt t t t t tf tf tf ( t) m ( t) dt [ m ( t) A ( t) ] dt [ m ( t) A ( t) A ( t) ] t f t tf t t f t t f [ m ( t) A ( t) A ( t) ] dt [ M ( t) A ( t) ] dt t tf [ m ( t) A ( t) A ( t) A ( t) ] dt [ m ( t) A ( t) ] dt t tf [ m ( t) A ( t) A ( t) ] dt [ m ( t) A ( t) A ( t) ] dt t (5.47) Dengan menggunakan bahasa pemrograman urbo Pascal 7., maka permasalahan d atas dapat dselesakan. Program melakukan teras sampa error nteraks menjad cukup kecl. Saat error nteraks cukup kecl, program menympan nla (t), m (t),, u (t) dan error nteraks. Saat runnng program, teras dhentkan setelah dperoleh error nteraks yang cukup kecl (.34). Error nteraks yang cukup kecl n dperoleh pada teras ke-5. Karena error nteraks tersebut dperoleh pada teras ke-5 maka dan m(t) yang dgunakan adalah dan m (t) pada teras ke-4, sedangkan (t) dan u (t) yang dgunakan adalah (t) dan u (t) pada teras ke-5. Pada teras ke-4, nla vektor koordnas adalah sebaga berkut: =.3 =.3 3 =.9

17 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty 4 =.3 5 =.6 6 = = = = -.3 (5.48) Nla m (t) teras ke-4 adalah sebaga berkut: m =. m =.3 m 3 =.89 m 4 =.55 m 5 =.35 m 6 =.579 m 7 =.35 m 8 =.455 m 9 =.45 (5.49) Error nteraks teras ke- sampa teras ke-5 terdapat pada Gambar 5.. State ( (t)) teras ke-5 terdapat pada Gambar 5.3., dan aks kendal (u (t)) teras ke-5 terdapat pada Gambar 5.4. Pada teras ke-5, state sampa dengan 9 menunjukkan perlaku yang sama, d mana nlanya turun secara eksponensal dar yang merupakan nla

18 LARGE SCALE SYSEM Course by Dr. Ars rwyatno, S, M Dept. of Electrcal Engneerng Dponegoro Unversty awal ( ()) mendekat. Hal n terjad, karena tdak ada referens yang menjad tujuan. State sampa dengan 9 berhasl mencapa steady state. State pada teras ke-5 n menggunakan vektor koordnas dan m hasl teras ke-4. Vektor koordnas n dpengaruh oleh state (persamaan 5.3 dan 5.39), sehngga apabla mendekat nol, maka mendekat nol juga. Demkan juga m yang merupakan pengaruh dar sub sstem lan ke sub sstem, sehngga apabla state sub sstem lan mendekat nol, maka m mendekat nol. Aks kendal u pada teras ke-5 nlanya nak dar nla negatf menuju ke nol. Hal n terjad karena aks kendal dpengaruh state. Jad pada teras ke- 5, u mendekat nol karena mendekat nol. Error nteraks menjad semakn kecl serng dengan bertambahnya teras. Pada teras pertama, error nteraks = 6.668, dan nlanya semakn turun sampa pada teras ke-5 nlanya dbawah (.6973) dan pada teras ke-5 nlanya =.34. Karena nla n sudah cukup kecl, maka teras dberhentkan. Dengan metode nteracton predcton, level kedua sstem tersebut dapat doptmas. Error nteraks yang dhaslkan dar metode n menggambarkan besarnya error yang terjad pada nteraks antara satu sub sstem dengan sub sstem lan. Apabla error nteraksnya cukup kecl, maka sstem tersebut optmal. Dar hasl perhtungan yang dlakukan, error nteraks yang cukup kecl terjad pada teras ke-5 sehngga sstem tersebut optmal pada teras ke-5. Vektor koordnas yang dgunakan adalah vektor koordnas teras ke-4 (persamaan 6.6). Hal n terlhat juga pada perlaku state yang mencapa steady state pada harga yang mendekat nol untuk semua sub sstem.