MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA Suryasarya Trhandaru Program Sud Fska (Meds) Unversas Krsen Saya Wacana Jl. Dponegoro 5-6 Salaga ABSTRAK Model maemaka denyu janung aau elekrokardogram basanya berupa berupa ssem (ga bars) persamaan dferensal basa orde sau. Dar model ersebu dbua model yang lebh sederhana, yau hanya mengandung sebuah persamaan dferensal orde sau. Model n dselesakan dengan meoda numerk, yau Runge Kua. Inerval denyu janung yang berdsrbus gamma dapa dpasang pada model dengan cara mengubah nla peroda unuk sau peroda gelombang berkunya. Hasl smulas danalss kembal dsrbusnya, dan menghaslkan nerval denyu janung dengan dsrbus yang mrp. Dengan demkan model dnamka yang hanya berupa sebuah persamaan dferensal orde sau n bsa merepresenaskan dnamka janung yang real. Kaa-kaa kunc: elekrokardogram, pemodelan maemaka, persamaan dferensal, Runge Kua PENDAHULUAN Snyal elekrokardogram (EKG) adalah snyal yang menggambarkan alran arus onk yang menyebabkan janung berkonraks dan berelaksas. Snyal EKG dperoleh dengan merekam perbedaan poensal anara beberapa elekroda yang dleakkan d kul manusa. Sebuah peroda normal EKG erdr dar puncakpuncak yang basanya dlambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam sau peroda n erdapa perswa depolarsas/repolarsas dar arum dan venrkel. penng. Salah sau model EKG sness yang sanga mendeka benuk nyaa EKG adalah yang dberkan oleh McSharry dkk [], yang benuknya berupa ssem ga persamaan dferensal basa. Dalam makalah n bagan arakor (dua persamaan) dadakan, dan dgan suau fungs, sehngga dnamkanya hanya dhaslkan dar sebuah persamaan dferensal. Walaupun dak mengandung arakor dalam benuk persamaan dferensal, dnamka model EKG dperkaya dengan cara memperkenalkan peroda yang berganung waku secara pecewse connue, yang varasnya mengku dsrbus gamma. EKG berkaan era dengan duna kedokeran, karena nformas enang penyak yang ddera pasen salah saunya bsa dperlhakan dar benuk snyal EKG. Usaha-usaha yang dkembangkan unuk membanu doker unuk mendagnosa pasen melalu EKG dak hanya menjad ranah kedokeran, namun juga merambah ke dspln lmu lan, msalnya dspln eknk elekonka dan maemaka. D sampng masalah akuss daa EKG yang basanya mengandung banyak derau sehngga analsa daanya memerlukan berbaga meoda, pemodelan maemaka EKG juga 7 Beberapa hasl smulas damplkan d makalah n. Dengan npu daa peroda τ yang berdsrbus gamma, hasl smulas juga memperlhakan bahwa nerval RR juga memlk dsrbus yang mrp, walaupun parameer dsrbusnya berubah. Bahkan ampludo R juga bervaras walaupun d seap perode, npu ampludo unuk P, Q, R, S dan T (a ) dbua konsan.

2 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 TINJAUAN PUSTAKA Gambar. Profl sau sklus EKG. Ar dan baas-baas normal dberkan d makalah. Dalam bukunya [], Soeopo menjelaskan ar penng bagan-bagan EKG yang smbolnya dapa dlha pada Gb. Gelombang P menggambarkan akvas depolarsas ara. Gelombang Q menggambarkan awal dar fase depolarsas venrkel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarsas venrkel, Gelombang Q, R dan S secara bersama dsebu sebaga kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarsas venrkel. Selan gelombang P, Q, R, S dan T mash ada gelombang T a yang menggambarkan proses repolarsas ara, namun erlalu kecl dan eruup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada seelah T namun juga kecl. Beberapa nla nerval unuk manusa normal dalam dek damplkan pada Tabel berku n. Tabel. Nla-nla normal nerval EKG Inerval Baas normal Keerangan (dek) PR,-, QRS <, Terganung usa dan Segmen ST,7-,4 sklus janung (RR) QT Lha Tabel Inerval QT lebh serng dgunakan unuk nerpreas meds dbandng RR [3]. Basanya yang djadkan acuan adalah nerval QT erkoreks QT c yang dberkan oleh rumus Bae, yau QT c QT / RR. Nla normal unuk QT c dberkan [3] pada Tabel. Tabel. Nla QT c yang drekomendaskan unuk mendagnosa QT c panjang Kaagor 5 ahun (dek) Lak-lak dewasa Perempuan dewasa (dek) (dek) Normal <,44 <,43 <,45 Baas,44-,46,43-,45,45-,47 Panjang >,46 >,45 >,47 Dunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup lnear. D makalah [3] ersebu dbedakan anara normal dan dak abnormal hanya dengan melha Tabel. Abnormal jka QT c masuk dalam kaagor panjang. Dnamka snyal EKG sness dmodelkan oleh McSharyy dkk [], yang benuknya erdr dar ga persamaan dferensal basa, yau x x y y y x P, Q, R, S, T a dengan x y, exp ( ) b )mod dan arcan( y, x). ( () Kecepaan sudu dberkan oleh dan fungs kurva dasar merupakan efek pernafasan dengan frekuens f yang berbenuk ( ) Asn(f ) () Bagan perama dan kedua Persamaan () membenuk rayekor yang mengar sebuah arakor dengan jar-jar x,y. Dalam sau sklus dmodelkan snyal elekrokardogram yang berbenuk sandar PQRST oleh bagan kega (). Gambar (a) menunjukkan kurva arakor yang dbenuk oleh Persamaan () bagan kesau dan kedua. Gambar (b) menunjukkan rayekor lengkap dalam dmens (x,y,) yang dsmulaskan dalam dua kal perode. Gambar (c) menunjukkan snyal sness EKG. Pada smulas n dambl =. 7

3 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 PEMODELAN MATEMATIKA y x (a) Dar benuk rayekor arakor yang berupa spral dan mengarah pada benuk lngkaran ( Gambar (a)), maka d sn dasumskan benuk arakor yang sederhana, yau lngkaran berjar-jar yang bsa dwakl dengan persamaan lngkaran sebaga berku x sn( ) () y sn( ) (3) Dengan benuk lngkaran sempurna () dan (3) maka berbenuk fungs gg gergaj seper pada Gambar y T S τ R Q RR (b) (c) Gambar. Smulas Runge Kua dar Persamaan (). (a) adalah benuk rayekor bagan kesau dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,); (c) adalah represnas EKG sness. P x Gambar 3. Kurva (,θ) dengan arcan( y, x), x dan y dberkan oleh Persamaan () dan (3). Benuk fungs gg gergaj seper pada Gb dapa duls dengan cara lan, d sn duls secara ( ) ( )mod( ) (4) Jad, dengan arakor berupa lngkaran dan fungs gg gergaj (4) maka dperoleh model persamaan dferensal EKG yang erdr dar sebuah persamaan dferensal saja, yau exp a ( ) P, Q, R, S, T b (5) dengan ( )mod( ). Selanjunya, agar model yang sederhana n eap melbakan arakor yang dnams maka dperkenalkan frekuens sudu yang bervaras erhadap waku. Jad, walaupun arakor sudah dubah menjad lngkaran berjar-jar sau, namun

4 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 waku unuk menempuh lngkaran ersebu bsa berubah. Unuk u dperkenalkan varas nerval τ yang mempunya dsrbus gamma [4], dan nlanya dbua konnyu paah-paah ( pecewse connue), enunya gagasan n bsa dkembangkan unuk parameer lan. Nla dberkan oleh (6) dengan nerval τ yang mempunya dsrbus gamma sebaga berku a exp b p( ; a, b) (7) a b ( a) Pada ahap mplemenas, nla τ adalah konsan sepanjang sau peroda. Pada peroda berkunya nla τ berubah mengku dsrbus gamma namun konsan sepanjang sau peroda. Demkan seerusnya sampa sampa dperoleh banyak peroda. Seelah beberapa perode dperoleh (dalam smulas n adalah ) kemudan dhung nerval RR yang dsebu sebaga nerval denyu janung. Perbedaaan τ dan RR dapa dlha pada Gambar (c). Meoda solus Persamaan (5) adalah dengan Runge Kua orde empa. Pada =, dambl nla awal =, pada saa perganan peroda nla dbua konnyu. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada smulas dgunakan parameer yang konsan nlanya seper pada Tabel 3. dan ernyaa parameernya menjad ( a;b)=(95;,3). Ampludo R juga bervaras dengan dsrbus gamma ( a;b)=(48;,6), lha Gambar (a) (b) RR Gambar 4. Hsogram nla nerval RR. (a) Daa npu RR dengan a=54 dan b=.6. (b) Sebaran RR seelah smulas, dhaslkan a=95 dan b=, Gambar 5. Hasl smulas Persamaan (5) dengan Tabel 3 dan parameer gamma (a;b)=(54;,6). Tabel 3. Parameer unuk Persamaan (5) P Q R S T a b,5,6,6,6,8 θ -,53,57 -,943 -,68,57 Inerval τ mempunya parameer npu gamma (a;b)=(54;,6), dan sebarannya dapa dlha pada hsogram Gambar 4(a). Hasl smulas () dapa dlha pada Gambar 5, yang hanya memperlhakan peroda dar peroda yang dsmulaskan. Seelah smulas, nerval RR dhung dan dcocokkan dengan dsrbus gamma Ampludo R Gambar 6. Sebaran ampludo R seelah smulas, menghaslkan dsrbus gamma dengan (a;b)=(48;,6).

5 KESIMPULAN Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 Telah dpaparkan pemodelan maemaka EKG yang hanya erdr dar sebuah persamaan dferensal basa orde sau yang dperkaya dengan memvaras peroda sklus EKG sesua dengan dsrbus gamma. Juga dpaparkan hasl-hasl numerk berupa snyal sness EKG, sebaran nerval RR dan sebaran ampludo R. Semoga paparan n berguna unuk pengembangan sans. DAFTAR PUSTAKA [] Parck E. McSharry, Gar Clfford, Lonel Tarassenko and Leonard A. Smh. A dynamcal model for generang synhec elecrocardogram sgnals. IEEE Transacon on Bomedcal Engneerng, Vol. 5, No. 3. March 3. [] Soeopo Wdjaja. 99. EKG Praks. Bnarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakara Bara, Indonesa. [3] Ilan Goldenberg, M.D., Arhur J. Moss, M.D., And Wojcech Zareba, M.D., Ph.D. QT Inerval: How o Measure I and Wha Is Normal. Journal of Cardovascular Elecrophysology, Vol.7, No. 3, March 6. Page [4] Herlna, Hanna Arn Parhusp, Suryasarya Trhandaru, Bambang Susano. 4. Pola dsrbus nerval denyu janung dengan memanfaakan fungs Gauss yang dopmas secara Nelder Mead Smplex. Subm ke Prosdng Semnar Nasonal FSM UKSW

6 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA Suryasarya Trhandaru Program Sud Fska (Meds) Unversas Krsen Saya Wacana Jl. Dponegoro 5-6 Salaga ABSTRAK Model maemaka denyu janung aau elekrokardogram basanya berupa berupa ssem (ga bars) persamaan dferensal basa orde sau. Dar model ersebu dbua model yang lebh sederhana, yau hanya mengandung sebuah persamaan dferensal orde sau. Model n dselesakan dengan meoda numerk, yau Runge Kua. Inerval denyu janung yang berdsrbus gamma dapa dpasang pada model dengan cara mengubah nla peroda unuk sau peroda gelombang berkunya. Hasl smulas danalss kembal dsrbusnya, dan menghaslkan nerval denyu janung dengan dsrbus yang mrp. Dengan demkan model dnamka yang hanya berupa sebuah persamaan dferensal orde sau n bsa merepresenaskan dnamka janung yang real. Kaa-kaa kunc: elekrokardogram, pemodelan maemaka, persamaan dferensal, Runge Kua PENDAHULUAN Snyal elekrokardogram (EKG) adalah snyal yang menggambarkan alran arus onk yang menyebabkan janung berkonraks dan berelaksas. Snyal EKG dperoleh dengan merekam perbedaan poensal anara beberapa elekroda yang dleakkan d kul manusa. Sebuah peroda normal EKG erdr dar puncakpuncak yang basanya dlambangkan dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam sau peroda n erdapa perswa depolarsas/repolarsas dar arum dan venrkel. penng. Salah sau model EKG sness yang sanga mendeka benuk nyaa EKG adalah yang dberkan oleh McSharry dkk [], yang benuknya berupa ssem ga persamaan dferensal basa. Dalam makalah n bagan arakor (dua persamaan) dadakan, dan dgan suau fungs, sehngga dnamkanya hanya dhaslkan dar sebuah persamaan dferensal. Walaupun dak mengandung arakor dalam benuk persamaan dferensal, dnamka model EKG dperkaya dengan cara memperkenalkan peroda yang berganung waku secara pecewse connue, yang varasnya mengku dsrbus gamma. EKG berkaan era dengan duna kedokeran, karena nformas enang penyak yang ddera pasen salah saunya bsa dperlhakan dar benuk snyal EKG. Usaha-usaha yang dkembangkan unuk membanu doker unuk mendagnosa pasen melalu EKG dak hanya menjad ranah kedokeran, namun juga merambah ke dspln lmu lan, msalnya dspln eknk elekonka dan maemaka. D sampng masalah akuss daa EKG yang basanya mengandung banyak derau sehngga analsa daanya memerlukan berbaga meoda, pemodelan maemaka EKG juga 7 Beberapa hasl smulas damplkan d makalah n. Dengan npu daa peroda τ yang berdsrbus gamma, hasl smulas juga memperlhakan bahwa nerval RR juga memlk dsrbus yang mrp, walaupun parameer dsrbusnya berubah. Bahkan ampludo R juga bervaras walaupun d seap perode, npu ampludo unuk P, Q, R, S dan T (a ) dbua konsan.

7 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 TINJAUAN PUSTAKA Gambar. Profl sau sklus EKG. Ar dan baas-baas normal dberkan d makalah. Dalam bukunya [], Soeopo menjelaskan ar penng bagan-bagan EKG yang smbolnya dapa dlha pada Gb. Gelombang P menggambarkan akvas depolarsas ara. Gelombang Q menggambarkan awal dar fase depolarsas venrkel. Gelombang R dan S menggambarkan fase depolarsas venrkel, Gelombang Q, R dan S secara bersama dsebu sebaga kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarsas venrkel. Selan gelombang P, Q, R, S dan T mash ada gelombang T a yang menggambarkan proses repolarsas ara, namun erlalu kecl dan eruup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada seelah T namun juga kecl. Beberapa nla nerval unuk manusa normal dalam dek damplkan pada Tabel berku n. Tabel. Nla-nla normal nerval EKG Inerval Baas normal Keerangan (dek) PR,-, QRS <, Terganung usa dan Segmen ST,7-,4 sklus janung (RR) QT Lha Tabel Inerval QT lebh serng dgunakan unuk nerpreas meds dbandng RR [3]. Basanya yang djadkan acuan adalah nerval QT erkoreks QT c yang dberkan oleh rumus Bae, yau QT c QT / RR. Nla normal unuk QT c dberkan [3] pada Tabel. Tabel. Nla QT c yang drekomendaskan unuk mendagnosa QT c panjang Kaagor 5 ahun (dek) Lak-lak dewasa Perempuan dewasa (dek) (dek) Normal <,44 <,43 <,45 Baas,44-,46,43-,45,45-,47 Panjang >,46 >,45 >,47 Dunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR dan QT cukup lnear. D makalah [3] ersebu dbedakan anara normal dan dak abnormal hanya dengan melha Tabel. Abnormal jka QT c masuk dalam kaagor panjang. Dnamka snyal EKG sness dmodelkan oleh McSharyy dkk [], yang benuknya erdr dar ga persamaan dferensal basa, yau x x y y y x P, Q, R, S, T a dengan x y, exp ( ) b )mod dan arcan( y, x). ( () Kecepaan sudu dberkan oleh dan fungs kurva dasar merupakan efek pernafasan dengan frekuens f yang berbenuk ( ) Asn(f ) () Bagan perama dan kedua Persamaan () membenuk rayekor yang mengar sebuah arakor dengan jar-jar x,y. Dalam sau sklus dmodelkan snyal elekrokardogram yang berbenuk sandar PQRST oleh bagan kega (). Gambar (a) menunjukkan kurva arakor yang dbenuk oleh Persamaan () bagan kesau dan kedua. Gambar (b) menunjukkan rayekor lengkap dalam dmens (x,y,) yang dsmulaskan dalam dua kal perode. Gambar (c) menunjukkan snyal sness EKG. Pada smulas n dambl =. 7

8 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 PEMODELAN MATEMATIKA y x (a) Dar benuk rayekor arakor yang berupa spral dan mengarah pada benuk lngkaran ( Gambar (a)), maka d sn dasumskan benuk arakor yang sederhana, yau lngkaran berjar-jar yang bsa dwakl dengan persamaan lngkaran sebaga berku x sn( ) () y sn( ) (3) Dengan benuk lngkaran sempurna () dan (3) maka berbenuk fungs gg gergaj seper pada Gambar y T S τ R Q RR (b) (c) Gambar. Smulas Runge Kua dar Persamaan (). (a) adalah benuk rayekor bagan kesau dan kedua; (b) adalah kurva (x,y,); (c) adalah represnas EKG sness. P x Gambar 3. Kurva (,θ) dengan arcan( y, x), x dan y dberkan oleh Persamaan () dan (3). Benuk fungs gg gergaj seper pada Gb dapa duls dengan cara lan, d sn duls secara ( ) ( )mod( ) (4) Jad, dengan arakor berupa lngkaran dan fungs gg gergaj (4) maka dperoleh model persamaan dferensal EKG yang erdr dar sebuah persamaan dferensal saja, yau exp a ( ) P, Q, R, S, T b (5) dengan ( )mod( ). Selanjunya, agar model yang sederhana n eap melbakan arakor yang dnams maka dperkenalkan frekuens sudu yang bervaras erhadap waku. Jad, walaupun arakor sudah dubah menjad lngkaran berjar-jar sau, namun

9 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 waku unuk menempuh lngkaran ersebu bsa berubah. Unuk u dperkenalkan varas nerval τ yang mempunya dsrbus gamma [4], dan nlanya dbua konnyu paah-paah ( pecewse connue), enunya gagasan n bsa dkembangkan unuk parameer lan. Nla dberkan oleh (6) dengan nerval τ yang mempunya dsrbus gamma sebaga berku a exp b p( ; a, b) (7) a b ( a) Pada ahap mplemenas, nla τ adalah konsan sepanjang sau peroda. Pada peroda berkunya nla τ berubah mengku dsrbus gamma namun konsan sepanjang sau peroda. Demkan seerusnya sampa sampa dperoleh banyak peroda. Seelah beberapa perode dperoleh (dalam smulas n adalah ) kemudan dhung nerval RR yang dsebu sebaga nerval denyu janung. Perbedaaan τ dan RR dapa dlha pada Gambar (c). Meoda solus Persamaan (5) adalah dengan Runge Kua orde empa. Pada =, dambl nla awal =, pada saa perganan peroda nla dbua konnyu. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada smulas dgunakan parameer yang konsan nlanya seper pada Tabel 3. dan ernyaa parameernya menjad ( a;b)=(95;,3). Ampludo R juga bervaras dengan dsrbus gamma ( a;b)=(48;,6), lha Gambar (a) (b) RR Gambar 4. Hsogram nla nerval RR. (a) Daa npu RR dengan a=54 dan b=.6. (b) Sebaran RR seelah smulas, dhaslkan a=95 dan b=, Gambar 5. Hasl smulas Persamaan (5) dengan Tabel 3 dan parameer gamma (a;b)=(54;,6). Tabel 3. Parameer unuk Persamaan (5) P Q R S T a b,5,6,6,6,8 θ -,53,57 -,943 -,68,57 Inerval τ mempunya parameer npu gamma (a;b)=(54;,6), dan sebarannya dapa dlha pada hsogram Gambar 4(a). Hasl smulas () dapa dlha pada Gambar 5, yang hanya memperlhakan peroda dar peroda yang dsmulaskan. Seelah smulas, nerval RR dhung dan dcocokkan dengan dsrbus gamma Ampludo R Gambar 6. Sebaran ampludo R seelah smulas, menghaslkan dsrbus gamma dengan (a;b)=(48;,6).

10 KESIMPULAN Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakulas Sans dan Maemaka, UKSW Salaga, Jun 4, Vol 5, No., ISSN :87-9 Telah dpaparkan pemodelan maemaka EKG yang hanya erdr dar sebuah persamaan dferensal basa orde sau yang dperkaya dengan memvaras peroda sklus EKG sesua dengan dsrbus gamma. Juga dpaparkan hasl-hasl numerk berupa snyal sness EKG, sebaran nerval RR dan sebaran ampludo R. Semoga paparan n berguna unuk pengembangan sans. DAFTAR PUSTAKA [] Parck E. McSharry, Gar Clfford, Lonel Tarassenko and Leonard A. Smh. A dynamcal model for generang synhec elecrocardogram sgnals. IEEE Transacon on Bomedcal Engneerng, Vol. 5, No. 3. March 3. [] Soeopo Wdjaja. 99. EKG Praks. Bnarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakara Bara, Indonesa. [3] Ilan Goldenberg, M.D., Arhur J. Moss, M.D., And Wojcech Zareba, M.D., Ph.D. QT Inerval: How o Measure I and Wha Is Normal. Journal of Cardovascular Elecrophysology, Vol.7, No. 3, March 6. Page [4] Herlna, Hanna Arn Parhusp, Suryasarya Trhandaru, Bambang Susano. 4. Pola dsrbus nerval denyu janung dengan memanfaakan fungs Gauss yang dopmas secara Nelder Mead Smplex. Subm ke Prosdng Semnar Nasonal FSM UKSW