ANALISIS STABILITAS DAN PENAKSIRAN PARAMETER MODEL RENDLEMAN-BARTTER

Transkripsi

1 ANALISIS STABILITAS DAN PENAKSIRAN PARAMETER MODEL RENDLEMAN-BARTTER Murni 1 dan Gao F. Herono 1, Program Magiser Maemaika, Deparemen maemaika FMIPA UI 1 : murni@ui.ac.id, gao-f1@ui.ac.id Absrak.Model Rendleman-Barer (RB) merupakan model ingka bunga ekuilibrium sau fakor dan diasumsikan memenuhi ukuran risk-neural. Makalah ini membahas mengenai sabilias model RB erkai dengan parameer model RB. Sabilias yang dibahas adalah sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square. Nilai parameer model RB diesimasi menggunakan daa hisoris ingka bunga dan model RB erkai daa hisoris berada pada ukuran akual sehingga perlu dilakukan perubahan ukuran sebelum dilakukan penaksiran parameer model RB. Perubahan ukuran dilakukan dengan menggunakan Teorema Girsanov. Meode Maximum Likelihood Esimaion (MLE) dan meode numerik Newon Raphson digunakan dalam penaksiran parameer. Dengan menggunakan daa ingka bunga bulanan zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari ahun 198 hingga Februari 1 di hp:// dapa diperoleh nilai aksiran parameer yang memenuhi sabilias model RB. Kaa Kunci: Rendleman Barer, Sabilias Sokasik Asimoik, Sabilias Mean-Square,Teorema Girsanov, Maximum Likelihood Esimaion, Newon-Raphson 1. Pendahuluan Sabilias Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) merupakan suau sifa yang sanga pening unuk dibahas. Dengan adanya sabilias maka dapa dikeahui kekonsisenan suau model PDS. Hal ini berari bahwa jika dilakukan sediki gangguan pada nilai awal solusi aau parameer PDS, maka solusi dari PDS akan eap sabil [3]. Sabilias model RB yang dibahas adalah sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square. Terdapa dua kaegori model ingka bunga, yaiu model equilibrium dan no arbirage [8]. Model ingka bunga yang akan dibahas adalah salah sau model ekuilibrium, yaiu model Rendleman-Barer (RB). Ada banyak asumsi pada model ekuilibrium, dianaranya adalah asumsi ekonomi (perilaku perminaan, penawaran, dan harga di pasar), asumsi perilaku sokasik dari sau aau lebih variabel aau fakor ekonomi, sera asumsi mengenai preferensi invesor erhadap ase yang dipilih. Berdasarkan asumsi-asumsi ini dapa diurunkan model ingka bunga, salah saunya adalah model RB. Model RB merupakan model ekuilibrium sau fakor yang mendeskripsikan pergerakan ingka bunga menuru sau sumber resiko, yaiu r(). Sabilias model RB erkai dengan parameer model RB. Nilai parameer model RB idak dikeahui sehingga unuk implemenasi model diperlukan penaksiran parameer model RB menggunakan daa hisoris ingka bunga. Model RB erkai dengan daa hisoris berada pada ukuran akual (acual measure). Sedangkan model RB berada pada ukuran risk-neural. Dengan demikian, sebelum dilakukan penaksiran parameer dilakukan perubahan ukuran pada model RB. Perubahan ukuran ini diperlukan agar erdapa keerkaian anara model pada ukuran risk-neural dengan model pada ukuran akual [4], dan model RB pada ukuran akual dapa digunakan unuk penaksiran parameer. Selanjunya, aksiran parameer dapa diperoleh dengan menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion dan dilanjukan dengan pendekaan numerik menggunakan meode Newon-Raphson.

2 Pada makalah ini secara beruru-uru akan dibahas mengenai model Rendelman-Barer, sabilias model Rendleman-Barer, dan aproksimasi parameer.. Model Rendleman-Barer Model Rendleman-Barer (RB) pada risk-neural probabiliy measure sebagai beriku [1], dengan dr r d r dw (1) P didefinisikan r adalah ingka bunga pada waku, parameer ekspekasi laju pengembalian (expeced reurn), konsana posiif yang merupakan parameer sandar deviasi yang menunjukkan volailias ingka bunga, dan W Brownian moion dalam risk-neural probabiliy measure P. Dengan asumsi solusi analiik model RB unik dan ada unuk seiap maka solusi analiik dapa dienukan dengan menggunakan formula Io-Doeblin. T pada inerval,t, [1], Teorema formula Io-Doeblin: Misalkan X,, adalah suau proses Io, dan misalkan, urunan parsial f, x, f, x, dan f, T berlaku x xx f x adalah suau fungsi dengan x erdefinisi sera koninu. Maka, unuk seiap T T 1 T f T, XT f, X f,,,,, X d f x X dx f xx X d X X T T T,,,, f X f X d f X dw f X dw x x Dengan menggunakan formula Io-Doeblin dan dengan memisalkan diperoleh solusi analiik model RB sebagai beriku [6,9], Karena 1 1 r r exp W. T f, X d. xx, ln r f r dapa W berdisribusi normal unuk seiap [11], maka solusi analiik model RB (1) memiliki sebagai beriku [9,11]: disribusi lognormal dengan mean dan variansi beryara erhadap filrasi 1 E r E r exp W, r exp. (3) dan ()

3 1 var r var r exp W, Oleh karena r exp exp 1. 4 r berdisribusi lognormal maka r selalu posiif unuk seiap. Disribusi solusi analiik model RB pada ukuran risk-neural measure ini akan dibandingkan dengan disribusi solusi analiik model RB pada ukuran akual pada saa pembahasan esimasi parameer. 3. Sabilias Model Rendleman -Barer Pada persamaan diferensial sokasik, sabilias merupakan sifa yang sanga pening unuk dibahas. Menuru Arnold [1], sabilias suau PDS berari jika dilakukan sediki ganggguan pada nilai awal aau parameer PDS ersebu maka solusi PDS ersebu akan eap sabil. Seperi sudah dijelasakan pada pendahuluan, makalah ini hanya membahas sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model RB. Beriku definisi sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square dengan asumsi X [1]: lim dengan probabilias 1, maka X sabil secara sokasik asimoik. a. Jika X b. Jika E X lim, maka X sabil secara mean-square. Unuk membukikan sabilias model RB, pandang persamaan dx ax d bx dw X x unuk T, dengan a, b C dan W merupakan suau proses Wiener pada waku dengan solusi analiik sebagai beriku, 1 X X exp a b bw. Selanjunya, berdasarkan definisi sabilias di aas dan asumsikan bahwa 1 X X expa exp b exp bw, dan 1 X X expa exp b exp bw, X, dan berdasarkan maka dapa diperoleh krieria sabilias sokasik asimoik model RB adalah jika dipenuhi dan krieria sabilias mean-square model RB adalah. Penjelasan lebih dalam mengenai pembenukan dua krieria sabilias ersebu dapa diliha pada [9]. Sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model RB dapa diilusrasikan dalam daerah sabilias model RB sebagai beriku:

4 Gambar 1. Daerah sabilias sokasik asimoik model RB erkai parameer dan berada pada daerah dengan warna biru Gambar. Daerah sabilias mean-square model RB erkai parameer dan berada pada daerah dengan warna merah Berdasarkan kedua gambar di aas, yaiu Gambar 1. dan., erliha bahwa daerah sabilias meansquare model RB erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB, aau dengan kaa lain solusi model RB yang sabil secara mean-square juga akan sabil secara sokasik asimoik eapi belum enu berlaku sebaliknya. 4. Penaksiran Parameer Pada pembahasan sabilias model RB, sabilias erkai dengan parameer model RB. Dalam implemenasi model, nilai parameer model harus dienukan melalui penaksiran parameer. Beriku akan dibahas mengenai penaksiran parameer model RB. Penaksiran parameer membuuhkan daa hisoris dan model RB erkai daa hisoris berada pada ukuran akual (acual measure), sedangkan model RB berada pada ukuran risk-neural. Agar dapa dilakukan penaksiran parameer, erlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran pada model RB menggunakan Teorema Girsanov. Dengan Teorema Girsanov dapa diunjukkan adanya keerkaian anara model pada ukuran risk-neural dengan model pada ukuran akual, sehingga model pada ukuran akual dapa digunakan dalam penaksiran parameer. Beriku adalah eorema Girsanov. Teorema Girsanov: Misalkan W merupakan Brownian moion pada ruang probabilias,,p,, dan merupakan adaped process unuk T filrasi unuk T dan asumsikan bahwa 1 Z exp udw u udu, W W u du T E u Z u du.. Definisikan, merupakan

5 Teapkan Z Z T. Maka EZ 1 dan pada probabiliy measure P yang memenuhi, P A Z dp unuk semua A,proses A Dengan menggunakan Teorema Girsanov dan memisalkan bahwa u W W u du, aau dalam benuk diferensial dapa dinyaakan sebagai W, T adalah Brownian moion., maka W du, 5 dw dw d (6) sehingga, model RB dalam ukuran akual dapa diulis sebagai beriku, dr r d r dw, r d r dw d, r dw. (7) Dengan demikian, model RB pada akual probabiliy measure P adalah dr r dw. (8) Dengan membandingkan persamaan (1) dan (8), parameer model RB pada risk-neural probabiliy measure P sama dengan parameer model RB pada akual probabiliy measure P. Model RB (8) memiliki benuk solusi analiik sebagai beriku [9], 1 r r W exp, 9 yang berdisribusi lognormal dengan mean dan variansi bersyara erhadap filrasi sebagai beriku, dan 1 E r E r exp W, r. (1)

6 1 Var r Var r exp b bw, r b exp 1. (11) Berdasarkan (3), (4), (1), dan (11), erliha bahwa disribusi solusi analiik model RB pada riskneural () berbeda dengan disribusi solusi analiik model RB pada ukuran akual (9). Pada [9] juga elah diunjukkan model RB pada ukuran akual lainnya, yaiu dengan memisalkan bahwa v u dan dapa diperoleh persamaan model RB pada ukuran akual lainnya, yaiu dr vr d r dw. Model RB (9) akan digunakan dalam penaksiran parameer menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion dan dilanjukan dengan pendekaan numerik menggunakan meode Newon- Raphson. Daa yang digunakan adalah daa ingka bunga bulanan dari zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari ahun 198 hingga Februari 11 yang diunduh dari hp:// 5. Hasil Implemenasi Implemenasi menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion dan meode Newon-Raphson menghasilkan nilai aksiran parameer ˆ.18. Karena pada model RB pada risk-neural probabiliy measure P sama dengan pada model RB pada akual probabiliy measure P maka nilai aksiran parameer pada model RB pada risk-neural probabiliy measure P adalah juga ˆ.18. Karena model RB dalam ukuran akual idak mengandung parameer, maka nilai aksiran parameer, yaiu ˆ pada model RB pada ukuran risk-neural dienukan berdasarkan daerah sabilias (Gambar 1. dan.). Perama dipilih nilai ˆ yang memenuhi sabilias sokasik asimoik dan mean-square (erleak dalam daerah sabilias sokasik asimoik dan mean-square), dalam hal ini dipilih ˆ.5. Dengan demikian, nilai aksiran parameer model RB pada risk-neural adalah ˆ.5 dan ˆ.93. Gambar 3. adalah linasan-linasan solusi model RB menggunakan nilai aksiran parameer yang erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB. Sedangkan Gambar 4. jika digunakan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias mean-square model RB. Pada dua gambar ersebu digunakan beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 3. Simulasi beberapa solusi model RB dengan.5 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan sokasik asimoik Gambar 4. Simulasi beberapa solusi model RB (1 simulasi) dengan.5 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan meansquare

7 Pada Gambar 3. diberikan beberapa nilai awal model RB yang berbeda dengan parameer-parameer erleak dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB (.5 dan.93). Terliha bahwa unuk waku yang semakin besar nilai absolu solusi model akan menuju nol. Sedangkan pada Gambar 4., seiap linasan diperoleh dari raa-raa 1 simulasi dan diberikan beberapa nilai awal model RB dengan parameer-parameer yang erleak dalam daerah sabilias mean-square model RB (.5 dan.93).terliha bahwa unuk waku yang semakin besar nilai ekspekasi absolu kuadra solusi menuju nol. Berikunya, akan diberikan visualisasi unuk parameer model RB yang erleak di dalam daerah sabilias eapi deka dengan baas daerah sabilias sokasik asimoik dan mean-square. Gambar 5. adalah linasan-linasan solusi dari model RB dengan menggunakan nilai aksiran parameer yang erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB eapi deka dengan baas daerah sabilias sokasik asimoik. Sedangkan Gambar 6. jika digunakan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias mean-square model RB eapi deka dengan baas daerah sabilias mean-square. Pada dua gambar ersebu digunakan beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 5. Simulasi beberapa solusi model RB dengan.1 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan sokasik asimoik Gambar 6. Simulasi beberapa solusi model RB (1 simulasi) dengan.1 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan meansquare Pada Gambar 5., unuk beberapa nilai awal model RB yang berbeda dengan parameer-parameer erleak dalam dan deka dengan baas daerah sabilias sokasik asimoik model RB (.1 dan.93) erliha unuk waku yang semakin besar nilai absolu solusi model akan menuju nol namun pergerakannya lebih lamba jika dibandingkan dengan Gambar 3. Sedangkan pada Gambar 6. seiap linasan diperoleh dari raa-raa 1 simulasi dan beberapa nilai awal model RB dengan parameer-parameer yang erleak dalam dan deka dengan baas daerah sabilias meansquare model RB (.1 dan.93). Terliha unuk waku yang semakin besar nilai ekspekasi absolu kuadra solusi menuju nol namun pergerakannya lebih lamba jika dibandingkan dengan Gambar 4. Diberikan juga visualisasi unuk parameer model RB yang erleak di luar daerah sabilias model RB. Gambar 7. adalah linasan-linasan solusi model RB dengan menggunakan nilai aksiran parameer yang erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model RB. Sedangkan Gambar 8. jika digunakan parameer-parameer yang erleak di luar daerah sabilias mean-square model RB. Pada dua gambar ersebu digunakan beberapa nilai awal yang berbeda.

8 Gambar 7. Simulasi beberapa solusi model RB dengan.5 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan sokasik asimoik Gambar 8. Simulasi beberapa solusi model RB (1 simulasi) dengan.1 dan.93 dan beberapa nilai awal yang berbeda unuk menguji kesabilan meansquare Pada Gambar 7. dengan beberapa nilai awal model RB yang berbeda dan parameer-parameer erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model RB (.5 dan.93) erliha bahwa unuk waku yang semakin besar nilai absolu solusi model idak menuju nol. Sedangkan pada Gambar 8. seiap linasan diperoleh dari raa-raa 1 simulasi, dan unuk beberapa nilai awal yang berbeda dengan parameer-parameer yang erleak di luar daerah sabilias mean-square model RB (.5 dan.93) erliha bahwa unuk waku yang semakin besar nilai ekspekasi absolu kuadra solusi idak menuju nol. Di bawah ini, Gambar 9. dan 1. merupakan visualisasi sabilias sokasik asimoik dan mean-square model RB unuk nilai parameer yang berbeda dengan nilai awal yang sama, yaiu r 14, 94%. Gambar 9. Uji kesabilan sokasik asimoik model RB dengan r 14, 94% dan parameer berbeda Gambar 1. Uji kesabilan mean-square model RB dengan r 14, 94% dan parameer berbeda Berdasarkan Gambar 9. erliha bahwa solusi model RB dengan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model RB unuk waku yang semakin besar, nilai absolu solusi model akan menuju nol (linasan warna merah dan ungu). Sedangkan, solusi model RB dengan parameer-parameer yang erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model RB unuk waku yang semakin besar, nilai absolu solusi model idak menuju nol (linasan warna biru). Hal yang sama juga dijumpai pada Gambar 1. dimana solusi-solusi model RB dengan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias mean-square model RB unuk waku yang semakin besar nilai ekspekasi absolu solusi kuadranya akan menuju nol (linasan warna merah dan ungu). Sedangkan, solusi model RB dengan parameer-parameer yang erleak di luar daerah sabilias meansquare model RB, nilai ekspekasi absolu solusi kuadranya idak menuju nol (linasan warna biru).

9 6. Kesimpulan Model Rendleman-Barer (RB) memenuhi sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square dan dapa diunjukkan melalui daerah sabilias parameer model. Pada penaksiran parameer dilakukan perubahan measure menggunakan eorema Girsanov. Parameer model RB dapa diesimasi menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion dan meode numerik Newon-Raphson. Berdasarkan daa ingka bunga bulanan yang digunakan dapa diperoleh nilai aksiran parameer yang memenuhi sabilias model RB. Dafar Pusaka [1] Allen, E. (7). Modeling wih Io Sochasic Differenial Equaions. Neherland: Springer. [] Anggono, S. (4). Kajian Sabilias pada Masalah dan Meode Numerik unuk Persamaan Diferensial Sokasik. Depok: Deparmen of Mahemaics, Universiy of Indonesia. [3] Arnold, L. (1974). Sochasic Differenial Equaions. New York: John Wiley & Sons. [4] Brigo, D. & Mercurio, F. (6). Ineres Rae Model - Theory and Pracice: Wih Smile, Inflaion, and Credi. New York: Springer. [5] Dokuchaev, N. (7). Mahemaical Finance Core Theory, Problems, and Saisical Algorihms. New York: Rouledge. [6] Handhika, T. & Murni. (1). Kajian Sabilias Model Tingka Bunga Rendleman-Barer. Science Naional Seminar Proceeding, Vol. 3, Mahemaical Science, No. 1, pp [7] Higham, D. J. (1). An Algorihmic Inroducion o Numerical Simulaion of Sochasic Differenial Equaions. SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp [8] Hull, J.C. (3). Opions, Fuures, and Oher Derivaives, Prenice Hall, London. [9] Murni, (11), Analisis Sabilias dan Penaksiran Parameer Model Rendleman-Barer, Depok: Deparemen Maemaika, Universias Indonesia. [1] Kloeden, P. E. & Plaen, E. (199). Numerical Soluion of Sochasic Differenial Equaions. Heidelberg: Springer-Verlag. [11] Shreve, S. E. (4). Sochasic Calculus for Finance II Coninuous-Time Models. New York: Springer. [1] Yolcu, Y. (5). One-Facor Ineres Rae Models: Analyic Soluions and Approximaions. Turkey: Deparmen of Financial Mahemaics, Middle Eas Technical Universiy. [13] hp://