STRUKTUR SUBGRUP FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA

Transkripsi

1 LAPORAN PENELITIAN STRUKTUR SUBGRUP FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA Oleh: 1. Mushofa, S.Si 2. Karyai, M.Si JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 Peneliian ini Dilaksanakan aas Dana DIPA Universias Negeri Yogyakara No. Konrak: 1387a/H34.13/R/PL/2007 1

2 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM Alama : Karangmalang, Yogyakara Telp psw. 364 LEMBAR IDENTITAS DAN PENGESAHAN LAPORAN PENELITIAN 1. Judul Peneliian : Srukur subgrup fuzzy dan sifa-sifanya 2. Keua Peneliian a. Nama : Mushofa, S.Si b. NIP : c. Pangka/Golongan : Penaa Muda / IIIa d. Jabaan : Tenaga Pengajar e. Jurusan / Fakulas : Pendidikan Maemaika / FMIPA UNY f. Bidang Keahlian : Aljabar 3. Anggoa Peneliian a. Nama : Karyai, M.Si b. NIP : c. Pangka/Golongan : Penaa Muda Tk I / IIIb d. Jabaan : Lekor e. Jurusan / Fakulas : Pendidikan Maemaika / FMIPA UNY f. Bidang Keahlian : Aljabar Linear 4. Lokasi Peneliian : Jurusan Pendidikan Maemaika FMIPA UNY 5. Kerjasama : - 6. Jangka Waku Peneliian : 6 bulan 7. Biaya Peneliian : Rp ,00 (iga jua rupiah) Mengeahui, Yogyakara, November 2007 Dekan FMIPA UNY, Keua Peneliian, Dr. Ariswan Mushofa, S.Si NIP NIP

3 PRAKATA Puji syukur kami panjakan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa aas selesainya peneliian dengan judul: Srukur subgroup Fuzzy dan sif-sifanya sera aas erselesaikannya penyusunan laporan ini. Laporan peneliian ini disusun sebagia benuk anggung jawab im pelaksana peneliian erhadap pemberi dana, yaiu FMIPA UNY sera sebagai sarana unuk mempublikasikan hasil yang diperoleh dari peneliian ini. Kepada semua pihak yang elah membanu dalam penyelesaian peneliian ini dan ersusunnya laporan peneliian ini disampaikan banyak erima kasih, eruama kepada: 1. Rekor Universias Negeri Yogyakara, yang elah memberi kesempaan unuk melakukan peneliian ini. 2. Dekan FMIPA Universias Negeri Yogyakara yang elah memberi kesempaan dan dana unuk melakukan peneliian ini. 3. Bapak.Ibu pesera seminar Proposal maupun Laporan Peneliian, yang elah berkenan memberikan masukan kepada im penelii demi kesempurnaan hasil peneliian ini. 4. Semua pihak yang elah membanu. Penelii menyadari bahwa laporan peneliian ini masih jauh dari sempurna, unuk hal ersebu kami sanga mengharapkan saran maupun kriik yang dapa menyempurnakan laporan ini. Yogyakara, November 2007 Penelii 3

4 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii PRAKATA iii DAFTAR ISI iv DAFTAR LAMPIRAN v BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakang Masalah 1 B. Rumusan Masalah 2 C. Tujuan Peneliian 2 D. Manfaa Peneliian 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Keanggoaan Fuzzy 4 B. Operasi pada Himpunan Fuzzy C. Subgrup dan Subgrup normal Fuzzy 4 6 BAB III METODE PENELITIAN 7 BAB IV PEMBAHASAN 8 BAB V SIMPULAN DAN SARAN 13 DAFTAR PUSTAKA 14 LAMPIRAN 4

5 DAFTAR LAMPIRAN 1. Dafar Hadir Seminar Proposal 2. Beria Acara Seminar Proposal 3. Dafar Hadir Seminar Hasil Peneliian 4. Beria Acara Seminar Hasil Peneliian 5

6 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakang Srukur grup adalah himpunan (klasik) yang di dalamnya didefinisikan operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma : bersifa asosiaif, erdapa elemen idenias dan mempunyai invers unuk seiap elemennya. Jika operasi binernya bersifa komuaif, maka grup ersebu disebu grup abelian. Terkai dengan srukur grup elah dikenal grup-grup khusus, misal grup normal, grup siklik dan sebagainya. Selain jenisnya, erkai dengan hal ersebu adalah homomorfisma yang dibenuk dari grup ke grup dan sifa-sifanya. Himpunan yang mempunyai srukur grup di aas yang dimaksud adalah himpunan klasik aau himpunan egas. Himpunan ini mempunyai kelemahan yaiu apabila unuk merepresenasikan suau himpunan hanya mengenal apakah himpunan ersebu anggoa aau bukan anggoa. Keenuan anggoa dan bukan anggoa sanga idak signifikan. Misalnya A adalah himpunan orang inggi, maka muncullah peranyaan: bilamana seseorang dikaakan inggi? Hal ini dapa saja diberikan syara misalnya, seseorang dikaakan inggi jika inggi badannya mencapai 170 cm. Jika seseorang mempunyai inggi badan 169,9 cm idak ermasuk orang yang inggi, sebab ingginya kurang dari 170 cm. Jika diperhaikan, maka perbedaan orang inggi dengan orang pendek sanga kecil/ipis sekali. Kenyaaan ini sanga ironis, sehingga muncullah eori himpunan fuzzy yang dikenalkan oleh Zadeh pada ahun Oleh beberapa penelii elah dikembangkan dan diaplikasikan pada srukur aljabar, misalnya adalah subsemigrup fuzzy. Beriku ini bagan hubungan anara himpunan egas dengan himpunan fuzzy: 6

7 HIMPUNAN TEGAS HIMPUNAN FUZZY SEMIGRUP SUBSEMIGRUP FUZZY GRUP SUBGRUP FUZZY Dari kondisi ersebu, maka peneliian ini akan difokuskan pada peneliian enang subgrup fuzzy. Hal ini menginga bahwa, baik grup maupun semigrup sama sama melibakan sau operasi biner. Hanya saja, grup adalah benuk khusus dari semigrup. Grup adalah semigrup yang mempunyai elemen idenias dan seiap elemennya mempunyai invers. Berdasarkan kekhususan ini, maka akan diselidiki sifa-sifa yang berlaku pada subgrup fuzzy. B. Rumusan Masalah Berdasarkan laar belakang masalah ersebu, maka dalam peneliian ini akan diseliki masalah-masalah sebagai beriku: a. Bagaimana sifa-sifa subgrup fuzzy? b. Bagaimana sifa-sifa subgrup normal fuzzy? C. Tujuan Tujuan peneliian ini adalah: 1. Menyelidiki sifa-sifa subgrup fuzzy 2. Menyelidiki sifa-sifa subgrup normal fuzzy D. Manfaa Peneliian Peneliian ini diharapkan memberikan manfaa pada pengembangan ilmu, khususnya srukur aljabar yang didasarkan pada eori himpunan fuzzy, juga bermanfaa bagi penelii lain unuk memberikan ide dasar bagi peneliian berikunya 7

8 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada ahun 1965, Lofi A Zadeh memperkenalkan konsep himpunan fuzzy, suau himpunan yang baasannya idak kaku / sric. Konsep ini konras dengan konsep himpunan klasik, yang baasannya sanga kaku, dalam ari himpunan klasik adalah koleksi sesuau dimana jika diberikan sesuau akan merupakan elemen didalamnya aau idak. Konradiksi dengan konsep himpunan klasik, himpunan fuzzy idak mempunyai baasan yang kaku, dalam ari unuk menjadi anggoa suau himpunan fuzzy idak berdasarkan ada di dalam aau di luar definisinya. Keanggoaan himpunan fuzzy dinyaakan dengan deraja keanggoaannya. A. Fungsi Keanggoaan Fuzzy Seiap himpunan fuzzy, μ, didefinisikan dalam baasan himpunan klasik X oleh suau fungsi karakerisik. Fungsi ersebu disebu fungsi keanggoaan, yang mengawankan seiap elemen x X ke μ ( x) [ 0,1], yang menyaakan deraja keanggoaan x pada μ. Fungsi keanggoaan dinyaakan sebagai fungsi, [ ] μ : X 0,1. Dalam hal ini himpunan X selalu diasumsikan sebagai himpunan klasik. B. Operasi pada Himpunan Fuzzy Pada himpunan klasik dikenal iga operasi dasar, yaiu komplemen, gabungan dan irisan. Operasi operasi ini adalah unggal pada eori himpunan klasik, namun perluasannya pada eori himpunan fuzzy idak demikian. Unuk seiap operasi klasik erdapa operasi yang analog pada himpunan fuzzy. Terkai operasi-operasi ersebu, didefinisikan operasi sandar fuzzy pada himpunan fuzzy yang dirujuk pada Klir, e.al. dan Zimmermann sebagai beriku: 1. Komplemen Fuzzy Diberikan himpunan fuzzy μ yang didefinisikan pada himpunan X. Komplemen dari himpunan fuzzy μ, yang dinoasikan dengan μ adalah 8

9 himpunan fuzzy dimana deraja keanggaaan dari x X, μ ( x) mengekspresikan deraja μ x X bukan anggoa μ. Secara formal, hal ini dapa dinyaakan bahwa ( x) = 1 μ( x) 2. Gabungan Fuzzy Misalkan X adalah suau himpunan klasik dan μ,γ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. Gabungan fuzzy himpunan fuzzy μ dan γ, yang dinoasikan dengan μ γ, didefinisikan sebagai fungsi keanggoaan dengan rumus: ( μ γ )( x) = max{ μ( x), γ ( x) }, unuk seiap x X 3. Irisan Fuzzy Misalkan X adalah suau himpunan klasik dan A, B adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. Irisan fuzzy himpunan fuzzy A dan B, yang dinoasikan dengan rumus: μ γ, didefinisikan sebagai fungsi keanggoaan dengan ( μ γ )( x) = min{ μ( x), γ ( x) }, unuk seiap x X Berikunya didefinisikan himpunan fuzzy himpunan fuzzy sebagai beriku: level ( cu) pada suau Definisi 2.1. ( Kandasamy:7, Klir e.al: 98, Zimmermann: 18). Misalkan μ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada suau himpunan X. Unuk suau [ 0,1] himpunan X = { x X μ( x) } level dari himpunan fuzzy μ. μ disebu subhimpunan fuzzy Definisi 2.2. ( Kandasamy: 9). Dua himpunan fuzzy μ dan γ dikaakan disjoin jika idak ada x X sedemkian sehingga μ ( x) = γ ( x). Definisi 2.3. (Kandasamy: 10). Misalkan μ dan γ adalah himpunan fuzzy pada himpunan X. Himpunan fuzzy μ dikaakan memua himpunan fuzzy γ, yang inoasikan dengan γ μ jika μ( x) γ ( x) unuk seiap X x. Jika μ ( x) = γ ( x) 9

10 unuk seiap dengan μ = γ. x X, maka dikaakan μ sama dengan γ, yang dinoasikan Selanjunya didefinisikan himpunan fuzzy normal, diberikan sebagai beriku: Definisi 2.4. ( Kandasamy: 12). Himpunan fuzzy μ pada himpunan X disebu normal jika sup μ ( x) = 1 x X. Selanjunya Himpunan fuzzy μ pada himpunan X disebu ernormalisasi jika erdapa x X sedemikian sehingga μ ( x) = 1 C. Subgrup dan Subgrup Normal Fuzzy Unuk kajian pusaka erkai dengan subgrup fuzzy maupun subgrup normal fuzzy akan merujuk pada ulisan Ajmal, Akas, Asaad, Kandasami, Mordeson dan Malik, sera Shabir. Definisi 2.5. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G disebu subgrup fuzzy jika μ : G [ 0,1] suau fungsi yang memenuhi : (i) μ ( xy) min{ μ( x), μ( y) } 1 (ii) μ ( x ) = μ( x) unuk seiap x, y G unuk seiap x G Definisi 2.6. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G 1 disebu subgrup normal fuzzy jika ( x) = μ( y xy) μ unuk seiap x, y G 10

11 BAB III METODE PENELITIAN Peneliian ini merupakan sudi lieraure. Seperi pada peneliian emikian, maka dalam peneliian ini diempuh langkah-langkah sebagai beriku: a. Dipelajari enang grup, grup normal, sifa-sifa grup, homomorfisma grup sera sifa-sifanya b. Dipelajari enang eori himpunan fuzzy c. Dikaji suau himpunan fuzzy μ yang merupakan fungsi dari grup ke inerval [0,1]. d. Diselidiki sifa - sifa μ e. Dikaji suau subgrup normal fuzzy μ f. Diselidiki sifa-sifa subgrup normal fuzzy. 11

12 BAB IV PEMBAHASAN Menuru Zadeh, subhimpunan fuzzy x dari suau himpunan S adalah suau fungsi μ: S [0, 1]. Dalam Asaad (1991), didefinisikan suau subgrup fuzzy yaiu: misalkan G adalah grup, subhimpunan fuzzy μ disebu subgrup fuzzy dari grup G jika memenuhi aksioma : (i) μ (x,y) min { μ (x),μ (y) } x,y G (ii) μ (x) = μ (x -1 ), x G. Subgrup fuzzy μ dari G disebu normal jika μ (x) = μ (y -1 xy), x,y G. Teorema beriku, memberikan jaminan bahwa subhimpunan level G μ = { x G μ ( x) } [0,1] merupakan subgrup: Teorema 4.1. Misalkan G adalah grup dan μ adalah subgrup fuzzy dari G, maka subhimpunan level G μ, [ 0,1], μ (x) adalah subgrup G dengan e adalah elemen idenias dari G. Buki: Akan dibukikan ( x μ ) ( y -1 μ ) (xy -1 ) μ, yaiu μ(xy -1 ). μ (xy -1 ) min { μ(x), μ (y -1 ) } = min { μ(x), μ(y) } min {, } = Jadi erbuki μ(xy -1 ). Teorema beriku ini menjamin bahwa μ (e) mencapai nilai suprimum, dengan e adalah elemen idenias pada grup G. Teorema 4.2. Jika G grup dengan elemen idenias e, maka μ(x) μ(e), x G Buki : 12

13 Ambil sebarang x G. Diperoleh μ(e) = μ (xx -1 ) min { μ(x), μ (x -1 ) } = min { μ(x), μ(x) } = μ (x) Sehingga μ (e) μ (x), x G, yang berari bahwa μ (e) mencapai nilai suprimum, dengan e adalah elemen idenias pada grup G. Teorema 4.3. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G merupakan subgrup fuzzy dari grup G jika dan hanya jika μ (xy -1 ) min { μ (x), μ (y) } unuk seiap x, y G. Buki : 1. Syara perlu ( ) Dikeahui μ adalah subgrub fuzzy dari G. Akan dibukikan μ(xy -1 ) min { μ(x), μ (y) }. Buki: μ (xy -1 ) min { μ(x), μ(y -1 ) } ( aksioma i) = min { μ(x), μ(y) } ( aksioma ii ) Jadi erbuki μ (xy -1 ) min { μ (x), μ (y) }. 2. Syara cukup ( ) Dikeahui μ (xy -1 ) min { μ (x), μ (y) }. Akan dibukikan : (1) μ (x,y) min { μ (x),μ (y) } x,y G (2) μ (x) = μ (x -1 ), x G Buki : Unuk mempermudah daam pembukian,maka akan dibukikan aksioma ke dua pada grup fuzzy: Aksioma ii. μ(x) = μ (ex) min { μ(e), μ(x -1 ) } 13

14 μ (x) μ(x -1 ) 3.1 μ(x -1 ) = μ (ex -1 ) min { μ (e), μ (x) } = μ(x) μ (x -1 ) μ (x) 3.2 Dari persamaan 3.1 dan 3.2 diperoleh μ(x) = μ(x -1 ). Aksioma i μ (xy) min { μ(x), μ(y -1 ) } = min { μ(x), μ(y) }. Jadi μ (xy) min { μ(x), μ(y) } Selanjunya diberikan eorema yang mengungkap enang syara cukup dan perlu μ(x)=μ(e). Teorema 4.4. Misalkan μ adalah subgrup fuzzy dari G dan x G. Unuk seiap y G berlaku μ (xy) = μ(y) jika dan hanya jika μ(x) = μ(e). Buki : 1. Syara perlu ( ) Dikeahui μ (xy) = μ (y). Harus dibukikan μ (x) = μ (e). μ (xy) min { μ(x), μ(y) } min { μ(x), μ(y) } = μ(y), y G. μ(y) μ (x) μ (x) = μ(e) 2. Syara cukup ( ) Dikeahui μ(x) = μ(e). Akan dibukikan μ(xy) = μ(y). μ (xy) min { μ (x), μ (y) } = min { μ (e), μ (y) } = μ (y) Jadi μ (xy) μ (y) 3.3 μ (y) = μ (ey) min { μ (e), μ (y) } = min { μ (x), μ (y) } 14

15 = μ (xy) Jadi μ (y) μ (xy) 3.4 Dari persamaan 3.3 dan 3.4 diperoleh μ (xy) = μ (y) Selanjunya diberikan eorema beriku yang memberikan syara cukup G μ adalah subgrup normal dari grup G. Teorema 4.5. Jika μ adalah subgrup normal fuzzy dari grup G, [0,1], maka G μ adalah subgrup normal dari grup G. Buki : Ambil sebarang a,b G μ. Jelas bahwa ab G μ sebab G μ adalah subgrup (Teorema 4.1). Sehingga inggal dibukikan bahwa a G μ a -1 = G μ. Ambil sebarang x a G μ a -1. Diperoleh x = a b a -1, unuk suau b G μ. μ (x) = μ ( aba -1 ) = μ (b) x a G μ Jadi, a G μ a -1 a G μ 3.5 Ambil sebarang x G μ. Diperoleh μ (x). μ ( b -1 xb ) Ambil a = b -1, x = y unuk suau y, μ(aya -1 ) x = aya -1, unuk suau y x a G μ a -1 Jadi G μ a G μ a Dari 3.5 dan 3.6 diperoleh bahwa G μ subgrup normal dari G. 15

16 BAB V SIMPULAN DAN SARAN A. Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan pada Bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai beriku: 1. Misalkan G adalah grup dan μ adalah subgrup fuzzy dari G, maka subhimpunan level elemen idenias dari G. G μ, [ 0,1], μ (x) adalah subgrup G dengan e adalah 2. Jika G grup dengan elemen idenias e, maka μ(x) μ(e), x G 3. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G merupakan subgrup fuzzy dari grup G jika dan hanya jika μ (xy -1 ) min { μ (x), μ (y) } unuk seiap x, y G 4. Misalkan μ adalah subgrup fuzzy dari G dan x G. Unuk seiap y G berlaku μ (xy) = μ(y) jika dan hanya jika μ(x) = μ(e) 5. Jika μ adalah subgrup normal fuzzy dari grup G, [0,1], maka G μ adalah subgrup normal dari grup G B. Saran Dalam peneliian ini difokuskan pada suau srukur yang melibakan sau operasi biner, yaiu grup. Sehingga diduga dapa digeneralisasi unuk srukur lain, misalnya semigrup. Selain iu dapa juga diselidiki lebih lanju erkai dengan subgrup level-nya. 16

17 DAFTAR PUSTAKA Ajmal, Naseem Homomorphism of Fuzzy groups, Corrrespondence Theorm and Fuzzy Quoien Groups. Fuzzy Ses and Sysems 61, p: Norh-Holland Akaş, Haci On Fuzzy Relaion and Fuzzy Quoien Groups. Inernaional Journal of Compuaional Cogniion Vol 2,No 2, p: Asaad, Mohamed Group and Fuzzy Subgrup. Fuzzy Ses and Sysems 39, p: Norh-Holland Kandasamy, W.B.V Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasanha Kandasamy Rehoboh. USA Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B Fuzzy Se Theory: Foundaion and Applicaions. Prenice-Hall, Inc. USA Mordeson, J.N, Malik, D.S Fuzzy Commuaive Algebra. World Scienifics Publishing Co. Pe. Ld. Singapore Shabir, M Fully Fuzzy Prime Semigroups. Inernaional Journal of Mahemaics and Mahemaical Sciences:1 p: Zimmermann, H.J, Fuzzy Se Theory and Is Applicaions. Kluwer Academic Publishers. USA. 17