MENENTUKAN MATRIKS PELUANG TRANSISI UNTUK WAKTU OKUPANSI MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE DAN MATRIKS EKSPONENSIAL

Transkripsi

1 Menenukan (Sudarno) MENENTUKAN MATRIKS PELUANG TRANSISI UNTUK WAKTU OKUPANSI MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE DAN MATRIKS EKSPONENSIAL Sudarno Jurusan Saisika FSM UNDIP Absrac The ransiion robabiliy marix is a marix which conains some robabiliy among wo sae I has roeries ha every robabiliy is non-negaive and sum by row a every sae is one This aer wan o deermine he ransiion robabiliy marix by Lalace ransform and exonenial of a marix mehods To consruc he ransiion robabiliy marix by Lalace ransform deends on ideniy marix and generaor marix, bu by marix exonenial mehod deends on generaor marix only In his research obained resul ha marix exonenial mehod easier han Lalace ransformaion Because i is aided by sofware and rogramming The ransiion robabiliy marix can be used o redic robabiliy each oher sae I could be used o redic value of sae robabiliy on long-erm or limiing behavior, oo Oherwise, he ransiion robabiliy mrix could be used o consruc occuancy imes marix Keywords: Generaor marix, Lalace ransform, Exonenial marix, Occuancy imes marix Pendahuluan Ruang sae meruakan himunan kondisi yang mungkin dilalui oleh roses sokasik yang dibicarakan Pada roses ini, ruang sae yang diilih adalah ruang sae yang berhingga, yaiu S {,2,, N} Sedangkan roses sokasik { X (, } meruakan roses sokasik waku-koninu dengan ruang sae S, sedangkan mariks buur sangkar yang berukuran N x N yang berisi eluang erindahan (ransisi) dari sau sae ke sae yang lain dengan sifa nilainya nonnegaif dan umlah eluang secara horizonal sama dengan sau, meruakan mariks eluang ransisi P( unuk -langkah yang disingka dengan mariks eluang ransisi Mariks eluang ransisi daa diergunakan unuk rediksi eluang angka anang (seady sae) [4,5,7,8,] Jika erdaa suau fungsi yang didefinisikan ada himunan nonnegaif ke himunan bilangan riil Maka daa dieroleh suau fungsi yang berua ransformasi Lalace yang berua suau fungsi dengan variabel bebasnya meruakan bilangan komleks dengan bagian riilnya bernilai osiif Anara fungsi dengan variabel bebas yang berua bilangan nonnegaif eradi hubungan biekif erhada fungsi dengan variabel bebas yang berua bilangan komleks, dengan syara bagian riinya bernilai osiif Sedangkan mariks eksonensial dari suau mariks buur sangkar meruakan eksonensial dari mariks ersebu Penabarannya idenik dengan konse fungsi eksonensial ada suau variabel bebasnya Hasilnya sama dengan mariks buur sangkar yang berua enumlahan dari mariks idenias dan mariks berangka dari mariks embenuknya [2,3,5] Dalam Taar e al (28), dibahas enang mengui hioesis enang mariks eluang ransisi dari roses Markov nonhomogin dengan model muli-sae ada daa ersensor Sedangkan kelanuannya berua masalah k-samel dalam model muli-sae dan enguian hioesis dari mariks-mariks eluang ransisi (Taar e al (24)) Pada Eslahchi e al (22), disimulasikan erhiungan mariks eluang ransisi dari roses 8

2 Media Saisika, Vol 8 No 2, Desember 25: 8-9 Markov enang kelahiran dan kemaian dalam model eidemik Peneraan dari mariks eluang ransisi adalah unuk memrediksi mariks waku okuansi Waku okuansi adalah rediksi waku yang dierlukan dari sau sae ke sae lain ada ranai Markov waku koninu [5] Pada ulisan ini ingin dicari mariks eluang ransisi dengan menggunakan rasformasi Lalace dan mariks eksonensial Juga ingin dikeahui meode mana yang lebih mudah dierakan ada mariks secara umum Hasil yang dieroleh dari mariks eluang rasisi daa digunakan unuk rediksi eluang baik angka endek mauun angka anang Sehingga hasil ini daa diadikan iakan unuk engambilan keuusan enang masalah yang dibicarakan Selain iu dierakan ada embenukan waku okuansi dan mariks waku okuansi 2 Transformasi Lalace dan Mariks Eksonensial 2 Meode Diagonalisasi dan Mariks Generaor a Meode Diagonalisasi Menuru Fuller (962) and Ganmacher (96) menyaakan bahwa suau mariks buur sangkar A berukuran m x m dikaakan daa didiagonalkan (diagonalizable), ika erdaa suau mariks inveribel X dan mariks diagonal D diag [ λ, λ2,, λm ], sedemikian hingga A X D X Dalam hal ini, λ adalah nilai eigen dari mariks A, x adalah kolom ke- dari mariks X, dan y adalah baris ke- dari mariks X - Teorema Jika A X D X maka m n n n X D X λ x y A () Buki: Karena mariks A diagonalizable, maka berlaku A X D X Sehingga n n A [ X D X ][ X D X ] [ X D X ] X D X Dengan menggunakan n n n n D diag [ λ, λ2,, λm ] maka didaa ersamaan kedua dalam Persamaan () b Mariks Generaor [5] Mariks generaor meruakan suau mariks yang membangun aau membangkikan roses sokasik ranai Markov waku koninu { X (, } Noasi dari mariks generaor diulis dengan Q [ q i ] i S, dimana S adalah ruang sae Salah sau dari sifa mariks generaor adalah umlah dari semua elemen barisnya sama dengan nol, yaiu q, i S S i 82

3 Menenukan (Sudarno) Selanunya dibicarakan eorema enang hubungan anara mariks eluang ransisi dengan mariks generaor Teorema 2 (Kulkarni, 2) Misalkan P( meruakan suau mariks eluang ransisi dari ranai Markov waku-koninu (RMWK) dengan ruang-sae S {,,2, } dan mariks generaor Q Maka P( adalah daa diurunkan (differeniable) erhada dan memenuhi d P ( P' ( Q P(, (2) d dan d P( P' ( P( Q, (3) d dengan syara awal P() I, dimana I adalah suau mariks idenias yang berukuran sesuai dengan maeri yang dibicarakan Kadang diumai isilah yang digunakan unuk memberi nama Persamaan (2) adalah ersamaan mundur, sedangkan Persamaan (3) disebu ersamaan mau 22 Transformasi Lalace [5] Transformasi Lalace meruakan ransformasi fungsi biekif dari fungsi dengan domain himunan nonnegaif erhada himunan bilangan komleks Definisinya sebagai beriku: Misalkan f :[, ) (, ) Maka ransformasi Lalace dari fungsi ersebu adalah f ( s) sx e x f ( x) dx, ika inegral ersebu ada unuk suau bilangan komleks s dengan Re ( s ) >, dimana Re(s) adalah bagian riil dari bilangan komleks s Unuk mengeahui eluang ransisi i (, dierlukan ransformasi Lalace yang didefinisikan sebagai beriku: ( ) s i s e i ( d, Re ( s) > Dengan mendefinisikan seia elemen dari mariks eluang ransisi P( ke dalam ransformasi Lalace, maka didaa mariks eluang ransisi baru P ( s ), yaiu P ( s) i ( s) [ ] i S, Beriku akan dibahas eorema yang diadikan dasar unuk membenuk mariks eluang ransisi P( menggunakan mariks eluang ransisi P ( s ) Teorema 3 Transformasi Lalace dari mariks eluang ransisi P( diberikan dengan P ( s) [ si Q], Re ( s) > Buki: Dengan menggunakan sifa dari ransformasi Lalace, dieroleh e s ' i ( d si ( s) i () 83

4 Media Saisika, Vol 8 No 2, Desember 25: 8-9 Dalam benuk mariks, hasil ini meruakan ransformasi Lalace dari mariks urunan ' P ( yang diberikan oleh s P ( s) I Selanunya, dengan melakukan ransformasi Lalace ada kedua sisi dari Persamaan 2 aau 3, dan menggunakan syara awal P() I, didaa s P ( s) I QP ( s) P ( s) Q (4) Persamaan (4) ini daa disederhanakan menadi ( s I Q) P ( s) P ( s) ( si Q) I Karena s I Q memunyai invers unuk Re ( s ) >, maka eorema erbuki 23 Mariks Eksonensial [5] Didefinisikan eksonensial dari suau mariks buur sangkar A yang berukuran N x N sebagai beriku: + n A A e I i n! Dalam hal ini, e A meruakan mariks buur sangkar berukuran N x N Jika mariks A adalah mariks diagonal, yaiu A diag [ a, a2,, a N ], Maka A a [ a2 a e diag e, e,, e N ] Pada eorema di bawah ini akan diumai mariks generaor Q yang daa dibua menadi erkalian dari beberaa mariks dengan salah sau mariksnya meruakan mariks diagonal (diagonalizable) Mariks Q dikaakan diagonalizable, ika ada mariks diagonal D dan mariks inveribel X sedemikian hingga Q X D X - (5) Teorema 4 Mariks eluang ransisi dari RMWK memunyai sae-berhingga dengan mariks generaor Q diberikan oleh Q P ( e, (6) Lebih lanu, ika Q diagonalizable dan memenuhi Persamaan 5, maka P( Xe D X N i e λi x i y i, dimana λi D ii, x i adalah kolom ke- i dari mariks X, dan y i adalah baris ke- i dari mariks X - Buki: Berdasarkan engerian dari mariks eksonensial diaas, berari ( ) + n Q Q e I, (8) i n! Jika diurunkan erhada variable didaa d Q Q Q e Qe e Q d Dengan demikian e Q memenuhi ersamaan mau dan ersamaan mundur Karena ada solusi unggal ada ersamaan ersebu dalam hal ruang-sae berhingga, maka dieroleh Persamaan 6 Selanunya berdasarkan Teorema, dihasilkan bahwa (7) 84

5 Menenukan (Sudarno) n n Q X D X, n Dengan menggani ke dalam Persamaan 8, dan mengalikan X ada sisi kiri dan X - ada sisi kanan, dieroleh n Q ( D + e X I,,! X n n yang sesuai dengan Persamaan (7) Sehingga berdasarkan Persamaan maka eorema erbuki [4, 5] 24 Waku Okuansi Misal { X (, } meruakan RMWK ada ruang-sae S yang memunyai mariks generaor Q Jika V (x) menyaakan lamanya waku ada roses RMWK yang dilakukan dalam sae aas (, ] Maka V ( ) unuk semua S M i ( E( V ( / X () i), i, S, Didefinisikan M i ( disebu waku okuansi dari sae i ke sae selama waku Hal ini, ika dierluas diulis dalam benuk mariks menadi mariks waku okuansi, yaiu M( M ( [ ] i Beriku ini disaikan eorema enang cara membua mariks waku okuansi (9) Teorema 5 Mariks waku okuansi M ( daa dicari dengan cara: M( P( u) du, dimana P (u) meruakan mariks eluang ransisi fungsi dari u () Buki: Ambil S Misal Z ( u), ika X ( u), dan nol unuk yang lainnya Maka V ( Z( u) du Sehingga berdasarkan Persamaan (9), didaa M i ( E( V ( / X () i) E Z( u) du / X () i P( X ( u) / X () i) du ( u) du i E( Z( u) / X () i) du Dengan menulis elemen ini ke dalam benuk mariks didaa Persamaan (), yaiu P M ( ( u) du, 3 Hasil dan Pembahasan Beriku ini akan dibahas komuasi unuk memeroleh mariks eluang ransisi baik menggunakan ransformasi Lalace mauun mariks eksonensial Selanunya hasil mariks eluang ransisi ersebu diergunakan unuk membenuk mariks waku okuansi 3 Perhiungan menggunakan Transformasi Lalace Komuasi dilakukan ada suau mesin yang memunyai dua-sae S {,} Misalkan erdaa RMWK dua-sae yang memunyai mariks generaor dan mariks idenias, masing-masing adalah 85

6 Media Saisika, Vol 8 No 2, Desember 25: 8-9 Q dan I,2,2 Sehingga berdasarkan Teorema 3, daa dibenuk mariks s + s +,2 P ( s) +,2 s +,2 s( s,2),2 s + Oleh karena iu, masing-masing elemennya adalah s +,2,2 ( s) +, akibanya ( + e s( s +,2) 6 s,2 s +,2 6,2,2 ( s), akibanya ( e s( s +,2),2 s,2 s +,2,2,2,2,2 ( s), akibanya ( e s( s +,2) 6 s 6 s +,2 6 6 s +,2 ( s) +, akibanya ( + e s( s +,2),2 s 6 s +,2,2 6 Akhirnya, didaa mariks eluang ransisi P( Adaun gambarnya disaikan beriku ini [6] : () 9 Pii ( Peluang ransisi Poo ( Poi ( Pio ( Waku Gambar Fungsi Peluang Transisi unuk Dua-Sae Jika dilakukan komuasi unuk, dihasilkan mariks eluang ransisi,42,58 P (),88, Perhiungan menggunakan Mariks Eksonensial Komuasi unuk suau mesin dengan dua-sae S {,} Pandang RMWK dua-sae dengan mariks generaor 86

7 Menenukan (Sudarno) Q,2,2 Langkah awal mariks Q dibua diagonalizable sedemikian hingga Q X D X Jika diambil mariks,2 X, maka dieroleh X 6,2 6 Akibanya daa dienukan mariks D,2 Jika diganikan ke Persamaan 7 dihasilkan 6,2,2 P ( X X + e,2,2,2 e 6,2 6 6 Jika dilakukan komuasi unuk, didaa nilai-nilai eluang ransisi:,2,2 () + e,48, () e, 582, 6,2,2,2,2,2 () e,6 dan () + e, ,2 6 Jika diulis menadi mariks eluang ransisi adalah,42,58 P(),88,882 yang hasilnya sama dengan mariks eluang ransisi yang dieroleh menggunakan ransformasi Lalace Jika dilakukan komuasi unuk beberaa nilai ada fungsi eluang ransisi dieroleh hasil [6] : Tabel Nilai Peluang Transisi unuk Beberaa Waku Waku (am) Peluang ransisi ,42,76,7,7,58,8294,83,83,88,699,7,7,882,83,83,83 Terliha bahwa unuk waku yang makin besar, nilai sama dengan nilai demikian ula nilai sama dengan nilai Salah sau sifa dari mariks eluang ransisi P( di aas adalah unuk 87

8 Media Saisika, Vol 8 No 2, Desember 25: 8-9 Lim P ( 6,2, 6,2 dimana arinya ada angka anang aau kondisi seady-sae, sae bereluang 6 aau,7, sedangkan sae bereluang aau,83 Hal ini ersis seeri erliha ada sifa,2 dari Gambar Unuk erluasan dari kasus diaas, dikembangkan unuk komuasi ada suau mesin dengan iga-sae S {,, 2} Pandang RMWK iga-sae dengan mariks generaor Q,3,3,6,6 Langkah awal mariks Q harus dibua diagonalizable sedemikian hingga Q X D X Jika diambil mariks,679,9637,5774 X,6829,36,5774,,289,246,5774 maka daa dihasilkan invernya, yaiu mariks,278,922,653 X,7435,2922,357,752,5838,973 Akibanya daa dienukan mariks diagonal 2,79 D,882 Jika diganikan ke Persamaan 7, dihasilkan mariks 2,79 e,882 P( ) X e X Sehingga dieroleh,824,686,4363,765,286,79 P( +,856,6297,444 e,845,332,786,2665,879,796,76,2,337,569 +,2,337,569,2,337,569,998,77 e,252 2,882 88

9 Menenukan (Sudarno) Berdasarkan mariks eluang ransisi di aas, maka erdaa 9 model komonennya yang daa dienukan Demikian ula, unuk nilai erenu akan dieroleh nilai rediksi yang dicari Unuk nilai yang makin besar menuu idak erhingga didaa mariks eluang rasisi ada kedaan seady sae, yaiu,2,337,569 Lim P (,2,337,569,,2,337,569 yang mana arinya ada angka anang, sae bereluang,2, sae bereluang,337 dan sae 2 bereluang, Konsruksi Waku Okuansi Pembuaan dilakukan unuk mesin dengan dua-sae S {,} Berdasarkan Persamaan, elah didaa mariks eluang ransisi P ( Sehingga berdasarkan Persamaan daa dikonsruksi mariks waku okuansi, yaiu M M M (, M M dengan,2,2 M (,7 +,694 [ e ], M (,83,694 [ e ],,2,2 M (,7,39 [ e ], M (,83 +,39 [ e ], unuk Fungsi dari elemen mariks waku okuansi daa digambarkan sebagai beriku [6] : 45 4 Mii ( 35 Waku okuansi Moi ( Moo ( 5 Mio ( Waku Gambar 2 Fungsi Eksekasi Waku Okuansi unuk Dua-Sae 89

10 Media Saisika, Vol 8 No 2, Desember 25: 8-9 Terliha bahwa makin besar nilai, makin besar nilai waku okuansinya Sehingga waku okuansi idak memunyai nilai erenu (konsan) ada waku seady sae Uruan keceaan berambahnya nilai waku okuansi erhada waku adalah M, M, M baru M Unuk embukian samel beberaa nilai waku diabelkan di bawah ini [6] Tabel 2 Nilai Waku Okuansi unuk Beberaa Waku Waku (am) Waku okuansi (am) M,655,735 2,734 4,774 M,345 4,2865 9,266 9,226 M,729,88,9 3,94 M,927 5,89,99 2,59 Dengan cara yang sama unuk kasus iga-sae S {,,2 } akan dieroeh hasil yang idenik 4 Kesimulan Berdasarkan embahasan di aas hal-hal yang daa disimulkan adalah: Unuk menenukan mariks eluang ransisi daa menggunakan ransformasi Lalace dan mariks eksonensial, hasilnya akan sama 2 Mencari mariks eluang ransisi dengan menggunakan ransformasi Lalace, berganung ada invers dari selisih anara mariks idenias dengan mariks generaor 3 Mencari mariks eluang ransisi dengan menggunakan mariks eksonensial, berganung ada mariks generaor yang diagonalizable 4 Secara umum, meode ransformasi Lalace lebih suli dari ada meode mariks eksonensial 5 Makin besar ukuran mariks generaor, makin suli menenukan mariks eluang ransisinya, aabila menggunakan ransformasi Lalace Teai ika menggunakan meode mariks eksonensial ukuran mariks generaor idak menadi masalah Karena dalam mencari solusinya menggunakan rogram dari erangka lunak MATLAB 6 Unuk mengeahui eksekasi waku yang dierlukan dari sau sae ke sae lain menggunakan waku okuansi Waku okuansi idak memunyai kondisi seady sae DAFTAR PUSTAKA Eslahchi, C, and Movahedi, F, Calculaion of ransiion robabiliy in birh and deah Markov rocess in he eidemic model, Mahemaical and Comuer Modelling, 22, Volume 55, Issues 3 4: 8 85 URL: wwwelseviercom/locae/si 2 Fuller, LE, Basic Marix Theory, Prenice Hall, Englewood Cliffs, NJ, Ganmacher, FR, Marix Theory, Vols I and II, Chelsea Publishing, NY, 96 4 Kurkani, VG, Modeling, Analysis, Design, and Conrol of Sochasic Sysems, Sringer-Verlag, New York,999 5 Kulkarni, VG, Modeling and Analysis of Sochasic Sysems, Second Ediion, Chaman & Hall/CRC, NY, 2 6 Moore, H, MATLAB for Engineers, Prenice Hall, New Jersey, 27 7 Ross, SM, Sochasic Processes, Second Ediion, John Wiley & Sons, Inc, New York, 996 9

11 Menenukan (Sudarno) 8 Ross, SM, Inroducion o Probabiliy Models, Sixh Ediion, Academic Press, New York, Taar, PN and Vaman, HJ, Tesing ransiion robabiliy marix of a muli-sae model wih cencored daa, Lifeime Daa Analysis, 28, Volume 4, Issue 2: URL: wwwsringercom/search?face-disciline saisics Taar, PN and Vaman, HJ, The k Samle roblem in a muli sae model and esing ransiion robabiliy marices, Lifeime Daa Analysis, 24, Volume 2, Issue 3: URL: wwwsringercom/search?face-disciline saisics Winson, WL, Oeraions Research: Alicaions and Algorihms, PWS-KENT Publishing Comany, Boson, 987 9