ANALISIS PERCABANGAN RETAK PADA MATERIAL KERAMIK PIEZOELEKTRIK

Transkripsi

1 AALISIS PERCABAGA REAK PAA MAERIAL KERAM PIEZOELEKR IG Wiratmaja Puja (), Muhamad Hidayat () dan Qing Hua Qin () () epartemen eknik Mesin IB () Schoo o Aerospace, Mechanica, and Mechatronics Engineering, University o Sydney, Austraia Ringkasan Percabangan atau beokan retak pada materia pieoeektrik dapat terjadi akibat pembebanan mekanik atau eektrik. aam makaah ini disajikan anaisis percabangan retak untuk materia keramik pieoeektrik (PZ). Materia canggih jenis ini sangat tepat untuk diapikasikan pada peraatan sensor, aktuator, dan juga bidang struktur pintar. engan mengapikasikan Stroh ormaism yang teah dikembangkan untuk eastoeectric, maka boundary vaue probem dapat diseesaikan dengan transormasi Hibert. Sousi eastik, eektrik, stress intesity actor, dan strain energi density didapat secara ekspisit daam bentuk integra yang dapat dipecahkan dengan metoda Gauss-Chebysev-Quadrature. Hasi numerik untuk jenis keramik pieoeektrik (PZ) diberikan untuk iustrasi periaku stress-eectric intensity actor baik secara kuantitati maupun kuaitati. Abstract Crack branch or kink in pieoeectric body may occur due to mechanica or eectric oading. his paper presents the anaysis o crack branch or ceramic pieoeectric materias. his type o advanced materias is very advantageous or appication in smart structures, measurements device and actuators. Utiiing the extended Stroh Formaism or eastoeectric, the boundary vaue probems are soved by way o Hibert ransorms. he expicit expressions or the eastic, eectric, stress and eectric intesity actor, and strain energi density are presented in integra orms. hese integras are soved using Gauss-Chebysev-Quadrature. umerica resuts or pieoeectric ceramics are presented to iustrate both quaitative and quantitative behaviour o the stress- eectric intesity actors. Keywords: crack, branch, pieoeectric,eectroeastic, ceramics, stress-eectric intesity actor. PEAHULUA Materia pieoeektrik keramik (pieoceramic) adaah saah satu materia maju yang memiiki prospek apikasi engineering yang uas di masa depan. Saat ini pieoeektrik secara uas digunakan pada berbagai peraatan seperti sensor, actuator, transducer, dan struktur pintar. Berbeda dengan materia pieoeektrik aami, karakteristik easto-eektrik pieoeektrik keramik dapat direkayasa untuk mendapatkan siat tertentu yang diinginkan. Mekanika pieoceramic sangat kompeks karena siat anisotropic serta siat couping antara siat eastic dan siat eektrik. Aspek mekanika retakan peru mendapat perhatian khusus berhubung pieoceramic adaah jenis materia getas[]. Retak juga dapat direkayasa pada media pieoceramic untuk meningkatkan sensitivitas pada karakteristik tertentu. Jenis retak dapat bermacam-macam seperti retak berbentuk garis, retak berbentuk siindris dan retak tidak beraturan. Retak berbentuk garis pun dapat bermacam-macam bentuknya, seperti retak cabang tungga, retak cabang banyak, retak menembus permukaan, retak antar muka (interace crack), retak terhenti (hated) pada antar muka biomateria[]. Beberapa pubikasi tentang enomena retak pada pieoeektrik yang mendahuui peneitian ini antara ain diakukan oeh Qin dan Mai tentang percabangan retak pada bi-materia pieoeektrik[3,], Zhu dan Yang tentang retak yang berbeok pada krista pieoeektrik [5], Qin dan Mai tentang Fungsi Green[6], serta Hayashi dan asser untuk aspek energy reease rate[7]. i daam makaah ini dibahas retak cabang yang berbentuk suatu retak garis pada materia pieokeramik. Retak cabang yang dimaksud adaah retak yang tumbuh dari ujung suatu retak (utama) dan/atau membentuk sudut terhadap sumbu retak (utama) tersebut. Geometri retak cabang ini dapat diiustrasikan seperti pada Gambar.. Pada materia pieoeektrik, beban eektromekanik mempunyai peran yang penting pada muncunya retak cabang. yang seterusnya dapat merambat dengan arah yang baru. Persamaan yang mengatur karakteristik materia pieoceramic yang mengandung retak cabang adaah persamaan integra MESI Vo. o.

2 singuar. Penyeesaian persamaan integra singuar ini akan memberikan inormasi tentang karakteristik dari materia pieoeektrik tersebut. Penyeesaian persamaan integra singuar dapat diakukan dengan cara anaitik atau dengan cara numerik. Penyeesaian anaitik seringkai sangat suit diakukan, bahkan sering kai tidak dapat diakukan, untuk berbagai masaah retak. Karena suitnya penyeesaian anaitik, penyeesaian numerik menjadi aternati penyeesaian. i daam makaah ini penyeesaian persamaan integra singuar untuk kasus retak cabang yang terjadi pada materia pieoeektrik diakukan dengan menggunakan sousi numerik. Sebuah program komputer kemudian dibuat untuk menyeesaikan sousi numerik ini. Penyeesaian sousi numerik ini akan memberikan inormasi tentang karakteristik dari materia pieoeektrik. Persamaan singuar untuk retak pada materia pieoeektrik yang dikembangkan oeh Qin[3,] diadopsi sebagai persamaan dasar. Materia keramik pieoeektrik adaah tipe transversey isotropic. Ukuran retak diasumsikan reati keci sehingga dapat didekati dengan mode pieoeektrik soid. FORMULASI ELEKROELAS UUK PIEZOELEKR aam sistem koordinat Cartesian x i (i,,3), hukum constitutive untuk media pieothermoeastik dapat dinyatakan daam notasi tensor sebagai berikut [8] : σ ij i c ijk γ k e ijs E s β ij εises eirsγ rs ki γ h i λij, i () ij E ( ui,j u j, i ) ϕ i, i dengan persamaan keseimbangan, σ ij,i ; i, i ; h i, i () di mana siat simetri pada koeisien materia diadopsi dan secara notasi tensor dapat dinyatakan dengan c ijk c jik ckij ; e kij e kji ; e ijk ekji ; εij ε ji ; β β (3) ij ji i sini σ ij, i, E i, γ ij, h i,, ϕ, u i, adaah masing-masing stress component, eectric dispacement, eectric ied, strain, heat ow, temperatur, eectric potentia, dan mechanica dispacement. Konstanta c ijk, e kij, ε ij, β ij, λ i, k ij adaah konstanta eastis, konstanta pieoeektrik, permitivitas, moduus therma, koeisien pyroeectric dan koeisien konduksi panas. Indeks yang diuang menandakan penjumahan, dan koma menandakan dierensiasi. 3. PERSAMAA IEGRAL SIGULAR UUK REAK CABAG Suatu media pieoeektrik tak berhingga yang dikenai tegangan mekanik dan medan istrik ditunjukkan pada gambar. Media ini mengandung sebuah retak utama dengan panjang a dan sebuah retak cabang tumbuh pada ujung retak utama dengan panjang dan membentuk sudut tehadap sumbu retak utama. Gambar Geometri Retak Cabang Permasaahan ini dapat diormuasikan daam bentuk potensia kompeks yang didasarkan pada Stroh ormaism[9]. Sousi umum medan eektro-eastis dapat dituiskan daam bentuk[6]: u Re φ Re φ, φ, { A () } { B () } dengan () adaah ungsi kompeks, dan ( ) { ( ) ( ) ( ) ( )} (5) i x pi x ; i,, 3,. u { u,u,u 3, ϕ} { σ, σ, σ3, { σ, σ, σ, } () } (6) u adaah Eastic ispacement and Eectric Potentia (EEP) dan adaah Stress and Eectric ispacement (SE). Sedangkan iai A dan B pada persamaan utama dapat ditentukan dengan penjabaran Stroh ormaism. Kondisi batas yang harus dipenuhi baik pada retak utama maupun cabangnya adaah : idak terdapat traksi arus pada permukaan retak utama atau pada permukaan crack ( x ) ( x ) ; x < c φ ' φ' (7) Sepanjang permukaan retak cabang tidak terdapat traksi arus. φ r, φ' r, ; < r (8) ( ) ( ) ', r, r < 5 MESI Vo. o.

3 . SOLUSI SIGULAR Sebuah retak dapat diihat sebagai suatu distribusi disokasi yang kontinyu[]. istribusi disokasi ini akan menghasikan kondisi singuar. Kondisi singuar ini membutuhkan sousi singuar. Untuk bidang tak berhingga yang mengandung sebuah disokasi tepi, b, pada (x,x ). Sousi eektro eastis dapat dipenuhi oeh ungsi potensia [3], () ( ) n B b (9) i Jika terdapat retak pada bidang tersebut, sousi eektroeastis tidak hanya diberikan oeh persamaan (9) saja, tetapi juga oeh kondisi batas pada permukaan retak di manakondisi batas ini harus dipenuhi. Potensia kompeks yang baru, I () untuk suatu disokasi tepi (edge disocation) untuk bidang dengan sebuah retak di daamny a dapat dituiskan sebagai : ( ) ( ) ( ) () I di mana R () akan ditentukan dengan kondisi SE pada permukaan retak sama dengan no (traction ree). raksi yang bekerja pada permukaan retak, x, x < c, dengan unit norma [,, ] adaah t ( x ) ( ) Re{ B ' ( ) } B ' ( ) B ' () R () engan memasukkan persamaan (9) ke persamaan () akan dihasikan : ( x) t di mana B B b B B b () i xi α xi α () diag[ ()()()()] α raksi arus, -t(x ), untuk meawan traksi-arus pada persamaan (), menghasikan bentuk Hibert probem[6], 3 a ( ) t( x) dx i χ ( )( x ) χ B R' ( ) cχ a di mana χ ( ) adaah ungsi Pemej : ( ) (3) χ () () a engan menggunakan contour integra akan didapatkan B ' dan R i i - ( ) B F(, ) B b B B F(, ) B b ( ib B ) b c B B b Lb i L ib B ( ) ( ) χ F (, ) (5) ( ) χ Bentuk akhir disokasi retak dapat dituis menjadi : ' ( ) ' ( ) ' ( ) I R - B b F(, ) B b B B F(, ) i α α B b (6) Bentuk persamaan integra untuk potensia disokasi retak cabang dapat diturunkan dengan mendeinisikan sistem koordinat pada saat tumbuhnya retak cabang seperti ditunjukkan pada gambar. Gambar. Sumbu pada retak cabang einisikan dan daam bentuk koordinat siinder sebagai berikut : x a r cos ; x r sin a r( cos p sin ) (7) dan disokasi x a r cos ; x r sin a r ( cos p sin ) (8) maka disokasi tungga pada (x,x ) dapat dituiskan daam bentuk : α a r ( cos pα sin ) a r ( cos p sin ); r α α (9) engan mengganti b dengan b(r o )dr o dan dengan mengintegrasikan terhadap r o dari (ujung retak utama) sampai dengan akan dihasikan potensia untuk distribusi disokasi pada retak cabang sebagai berikut: i ( ) B F(, ) ' α α (, ) ( ) B b r d r - B B F () Peru dicatat bahwa b(r o )dr o adaah kerapatan (density) disokasi yang harganya beum diketahui. Untuk itu b(r o )dr o dapat dicari dengan menerapkan kondisi batas yaitu bebas traksi sepanjang permukaan retak cabang t () r o φ t () r o () o r Kondisi bebas traksi sepanjang permukaan retak harus dipenuhi untuk dapat menurunkan persamaan integra. B MESI Vo. o. 6

4 Mengingat medan easto-eektrik yang jaraknya jauh dari disokasi tidak terpengaruh oeh adanya retak, maka ' syarat asimtotik kondisi batasnya adaah ( ) ketika (), dengan syarat yang harus dipenuhi ' ketika. Untuk memenuhi kondisi asimtotik ini maka dapat ditetapkan ungsi koreksi ' ' ' () () () () Sousi untuk ' dapat diadopsi dari [] ' B (3) c Untuk memenuhi kondisi batas pada cabang retak yaitu φ, r, maka traksi-arus sepanjang permukaan cabang retak harusah no, maka : t n sin cos φ, sin φ, cos () Untuk tujuan penyederhanaan, deinisi sistem koordinat dapat dituiskan daam bentuk a r cos p sin a r ( ) r ( cos p sin ) a r a (6) dimana cos p sin ; cos p sin sehingga pada saat, maka ; a r (7) ( ) ( r ) ( r ) ( r ) r r a r r (8) engan menggunakan sistem koordinat yang disederhanakan ini maka turunan parsia ungsi potensia dapat diakukan sebagai berikut : Φ φ, r r r B ( ) B ( ) { } ( ) B ( ) ' B ( ) B '( ) '( ) B '( ) φ ' B { } B (9) φ adaah suatu ungsi vektor yang diketahui yang berhubungan dengan medan SE yang diinduksi oeh beban uar. Seanjutnya dapat dievauasi { B ' ( ) ' ( ) }... B yang menghasikan :... i i B B B B b α α α - α { (, ) (, ) } ( r ) dr i B F B B F B b { B F(, ) B B F(, ) B } b( r ) dr - ( r ) dr (3) Evauasi masing-masing suku pada persamaan di atas akan menghasikan i B α { L L} Re B B - α α - b( r ) dr ( r r ) { L} b( r ) d r ( r r ) ; α B b dimana L i B ( r ) dr... B (3) suku ke- dan ke-3 digabungkan dan seteah hasi evauasi disederhanakan akan didapatkan, i Im { B F(, ) B } b( r ) Im dr { B F(, ) B } b( r ) dr dengan penyederhanaan dan memasukkan matriks maka dihasikan Im (3) { B α F(, ) B - B α F(, ) B } b( r ) dr Y ( r, r ) b( r ) dr (33) dengan { B } α α ( r,r ) Im B F(, ) B - B F(, ) Y engan demikian persamaan integra singuar untuk retak cabang dapat dituiskan daam bentuk Re { L} b( r ) dr ( r r ) Υ ( r,r ) b( r ) dr Φ ( r) (3) di mana α - Φ φ Re B α B c Untuk memudahkan penyeesaian secara numerik, maka diusukan normaisasi sistem koordinat dari [,] r r menjadi [-,], yaitu s ; s, sehingga dr ds, dan ( r r ) ( s s ). ke 7 MESI Vo. o.

5 Akhirnya didapat hubungan dr r r ds s s (35) engan demikian persamaan integra untuk retak cabang akhirnya dapat dituiskan daam bentuk Re { L} b( s ) ds ( s s ) Y ( s,s ) b( s ) ds Φ ( s) (36) Persamaan ini seanjutnya akan diubah ke daam bentuk persamaan numerik untuk menentukan karakteristik medan easto-eektrik dan actor intensitas tegangan disekitar retakan. 5. FORMULASI UMER UUK SOLUSI PERSAMAA IEGRAL SIGULAR Persamaan integra singuar untuk suatu retak cabang yang teah dituis daam koordinat yang teah dinormaisasi seanjutnya akan dipecahkan dengan metoda numerik. Integra ini termasuk integra singuar jenis pertama dengan kerne Cauchy (s - s ) dan kerne Fredhom Y (s,s o ). Fungsi yang akan dicari adaah kerapatan (density) disokasi, b(s ), pada retak cabang. Bentuk b(s ) daam ungsi berat adaah ˆ ( s ) bˆ ( s ) j j b j b ( s ) (37) s s ˆb ( s ) adaah sebuah ungsi vektor reguer daam deret poinomia Chebyshev yang terdeinisi pada seang x dan memenuhi kondisi bˆ ( ). ˆb j adaah vektor dengan konstanta rea dan j ( s ) adaah poinomia Chebyshev jenis pertama. Fungsi berat yang dipiih adaah s di manakedua ujung retak cabang adaah singuar. Pemiihan ungsi berat ini sangat bergantung dari asumsi bagaimana retak tersebut terbentuk dan kondisi batas yang muncu di sekitar retak. engan menggunakan metoda yang dikembang kan oeh Endorgan dan Gupta [] dapat ditentukan persamaan sousi numerik yang sesuai untuk menyeesaikan kondisi retak cabang ini daam bentuk k Re r ( L) ( s s ) k dan kondisi batas bˆ Y ( s,s ) bˆ ( s ) Φ ( s ) r k ( ) bˆ ( ) bˆ ( ) ok j j k k j k k ( ) k k r (38) ˆb k k (39) dimana ( k ) s k cos ( k,,..., ) r s r cos ( r,,..., ) Karena kondisi batas daam bentuk poinomia Chebyshev, maka persamaan integra singuar juga harus diubah daam bentuk poinomia Chebyshev, menjadi : Re( ) L Y ( ) ( sr,s ) b ˆ jj ( s ) Φ ( sr ) k ok k sr sk j () engan menyeesaikan buah yang tidak diketahui pada persamaan diatas maka akan didapatkan niai ˆb ( s o ) pada seuruh titik yang dianaisis pada retak cabang. engan metode interpoasi akan didapatkan bˆ. besarnya ( ) s o engan mengetahui besarnya ˆb kj ˆb pada ujung retak cabang, ( ) bˆ ( ), maka dapat dihitung besarnya aktor intensitas tegangan pada ujung retak cabang tersebut. Persamaan untuk menghitung aktor intensitas tegangan (SIF) adaah : () r K im r () r dengan K K K K K untuk materia PZ { } II III I { K K K K } K untuk materia PZ5 dan PZ5H II I III Besarnya niai n (r) adaah n () r Ω() sehingga ( L) bˆ ( ) ( s ) Re Ω( ) Re( L) bˆ ( ) () 8 r o K Ω( ) Re( L) bˆ ( ) (3) 8 di manaω() adaah matriks rotasi dengan sumbu putar x (untuk materia PZ) atau sumbu putar x 3 (untuk materia PZ5 dan PZ5H), masing-masing adaah Ω Ω ( ) ( ) cos sin cos sin sin cos sin cos n untuk PZ () untuk PZ5/ PZ5H Matriks rotasi ini digunakan untuk mengubah posisi K pada sumbu goba retak utama ke posisi sumbu oka retak cabang. 6. KARAKERIS FAKOR IESIAS EGAGA (SIF) Studi karakteristik aktor intensitas tegangan untuk materia keramik pieoeektrik diakukan untuk tiga jenis materia yang banyak digunakan daam struktur pintar yaitu PZ, PZ5 dan PZ5H. Konstanta eastoeektrik untuk ketiga jenis materia tersebut adaah : MESI Vo. o. 8

6 Materia PZ[] Konstanta Eastis daam /m : c 39 x 9, c 77.8 x 9, c 7.3 x 9, c 33 3 x 9, c c x 9. Konstanta Pieoeektrik daam C/m e , e , e 5 3., Konstanta ieektrik daam F/m : κ 6. x -9, κ x -9, Materia PZ5[] Konstanta Eastis daam /m : c 7 x 9, c c x 9, c c 33 6 x 9, c x 9, c 35.5 x 9, c 55 c x 9. Konstanta Pieoeektrik daam C/m e 3.3, e e 3-6.5, e 35 e Konstanta ieektrik daam F/m : κ 3. x -9, κ κ x -9. K I / K K I / K / σ.5e-8 x 8 / σ 5 C/ / e-8 σ C/ a/ (b) Materia PZ5 / σ /.5e-8 σ 5x 8 C / / e-8 σ C/ Materia PZ5H[6] Konstanta Eastis daam /m : c x 9, c c x 9, c c 33 x 9, c x 9, c.8 x 9, c 55 c 66. x 9. Konstanta Pieoeektrik daam C/m e 5.8, e e 3-5., e 35 e 6 5.8, Konstanta ieektrik daam F/m : κ 7.35 x -9, κ κ x -9, Karakteristik pengaruh penambahan medan istrik positi pada aktor intensitas tegangan modus I ditunjukkan pada gambar 3 (a), (b), (c) untuk materia PZ, PZ5 dan PZ5H. K I / K a/ (a) Materia PZ / σ / σ.5e-8 5x C/ / σe-8 C/... a/ (c) Materia PZ5H Gambar 3. Karakteristik K I pada materia PZ, PZ5 dan PZ5H apat diobservasi bahwa aktor intensitas tegangan modus I akan mengaami penurunan dengan bertambahnya medan tegangan istrik positi dan dengan semakin besarnya sudut retak cabang. i antara ketiga materia pieoeektrik, K I materia PZ memperihatkan siat yang paing sensiti terhadap penambahan medan istrik positi, terihat dari paing besarnya penurunan aktor intensitas tegangan modus I untuk penambahan medan istrik positi yang sama. Materia PZ5H adaah yang paing tidak sensiti terhadap penambahan medan istrik positi. Jika sensitiitas materia PZ5H dibandingkan dengan sensitiitas materia PZ5, maka menunjukkan perbedaan yang keci. Perbedaan yang keci ini disebabkan oeh siat-siat eektro-mekanik kedua materia yang mirip. Untuk modus II, pengaruh penambahan medan istrik positi pada aktor intensitas tegangan modus ditunjukkan pada gambar. 9 MESI Vo. o.

7 K II / K K II / K K II / K a/ (a) Materia PZ / σ.5e-8 / σ 5x C/ / σe-8 C/ (b) Materia PZ5 (c) Materia PZ5H Gambar Karaktristik K II pada materia PZ, PZ5 dan PZ5H ari gambar terihat bahwa aktor intensitas tegangan modus II akan meningkat dengan semakin besarnya sudut retak cabang. Seteah mencapai puncak pada sudut tertentu, aktor intensitas tegangan ini akan berkurang dengan bertambahnya sudut retak cabang. Perubahan yang juga bisa diamati adaah bahwa aktor intensitas tegangan modus II di bawah sudut tertentu (berbeda untuk setiap materia) mempunyai niai yang paing besar untuk / σ dan niai yang paing keci untuk / 8 σ C/. Seteah meewati sudut (tertentu tersebut) akan terjadi ha yang sebaiknya yaitu niai KII untuk / σ 8 C/ adaah yang paing besar, sedangkan / σ /.5e-8 σ. 5x C/ e-8 / σ C/ / σ.5e-8 / σ. 5x C/ e-8 / σ C/ a/ 6 a/ / σ berniai paing keci. Variasi K II untuk materia PZ adaah yang terbesar dan PZ5H adaah yang terkeci untuk ketiga materia. Ini menunjukkan bahwa K II materia PZ adaah yang paing sensiti terhadap perubahan medan istrik positi. Sedangkan materia PZ5 dan PZ5H mempunyai hasi yang berdekatan, ha ini disebabkan oeh siat materia yang berdekatan pua. Pengaruh tegangan mekanik terhadap aktor intensitas eectric dispacement, K pada ketiga jenis materia pieoeektrik ditunjukkan pada gambar 5. Graik ini menunjukkan eek kope dari materia pieoeektrik. K / K ο -E- -E- -6E- -8E- -E- -.E- PZ PZ5 PZ5H Gambar 5 Pengaruh tegangan mekanik terhadap eectric dispacement, K pada materia PZ, PZ5 dan PZ5H Karena adanya siat couping antara eastic dengan eektrik, terihat bahwa aktor intensitas eectric dispacement, K, akan meningkat (arah medan istriknya adaah negati) dengan semakin besarnya sudut retak cabang sampai sudut tertentu. iai K kemudian akan mengeci seteah mencapai titik tertinggi tersebut. iai K tertinggi dimiiki oeh materia PZ5 diikuti oeh materia PZ5H dan kemudian PZ. etapi sudut terjadinya K tertinggi ini, paing besar pada materia PZ, kemudian diikuti oeh materia PZ5H dan PZ5. Gambar 6 memperihatkan pengaruh panjang retak cabang pada perubahan aktor intensitas tegangan modus I untuk ketiga materia pada berbagai arah percabangan retak. Karakteristik SIF modus I menunjukkan bahwa untuk / σ C/, K I akan mengeci dengan semakin kecinya a/ sampai pada titik tertentu, kemudian akan membesar sampai a/. Jika dibandingkan dengan gambar untuk a/ 6 terihat bahwa perubahan terbesar aktor intensitas tegangan modus I diaami oeh materia PZ au diikuti oeh materia PZ5 dan PZ5H. Ha ini menunjukkan bahwa materia PZ adaah materia yang paing sensiti terhadap perubahan panjang retak cabang dibandingkan materia PZ5 dan PZ5H. Penambahan medan istrik positi akan mempengaruhi aktor intensitas tegangan modus I di manaterdapat tegangan kombinasi antara tarik dan geser ( σ σ ). MESI Vo. o.

8 KI / K KI / K K I / K o.e.e.e o / σ / e-8 σ C/ (a) Materia PZ (b) Materia PZ5 (c) Materia PZ5H 3 o 5 o.e3.e.e5.e6 a/ (og) / σ e-8 / σ C/ 3 o 5 o.e.e.e.e3.e.e5.e6 a/ (og) o 3 o 5 o / σ e-8 / σ C/.E.E.E.E 3.E.E 5.E 6 a/ (og) Gambar 6 Pengaruh dimensi dan arah cabang retak terhadap K I pada materia PZ, PZ5 dan PZ5H Gambar 7 menunjukkan karakteristik K I yang mendapat beban medan istrik positi untuk materia PZ. erihat bahwa dengan adanya tegangan geser yang bekerja pada materia (besarnya sama dengan tegangan tarik) maka akan dihasikan niai K I yang berbeda untuk sudut positi dan sudut negati retak cabang. Ha ini dapat dijeaskan bahwa tegangan geser tidak simetri terhadap sumbu x, tetapi berawan arah, sehingga sudut positi dan sudut negati akan menghasikan niai K I yang berbeda. Pada materia PZ terihat bahwa K terbesar I adaah untuk / σ, terus / σ. 5x C/ dan 8 / σ C/. Ini menunjukkan bahwa penambahan medan istrik positi akan memperkeci KI pada kondisi σ. a/ 6.8 /.5e-8 σ. 5x C/.5 e-8 / σ C / / σ Gambar 7 Perubahan K I, di manaσ pada Materia PZ, PZ5 dan PZ5H 7. KESIMPULA σ.3 / σ.5x C/ /- σ C/ -.3 Sousi engkap untuk retak cabang pada media keramik pieoeektrik teah dipresentasikan daam makaah ini. Permasaahan kondisi batas diseesaikan berdasarkan Stroh Formaism yang teah dikembangkan untuk retakan pada pieoeektrik oeh Qin. Karakteristik aktor intensitas tegangan untuk berbagai variabe mekanik-eektrik ditampikan daam bentuk graikgraik, sehingga memudahkan observasi sensitivitas SIF terhadap arah cabang retakan. iai aktor intensitas tegangan modus I, K I, akan semakin keci dengan semakin besarnya medan istrik positi dan semakin besarnya sudut retak cabang. Faktor intensitas tegangan modus II, K II, akan semakin besar dengan semakin besarnya medan istrik positi dan sudut retak cabang, dan seteah mencapai sudut tertentu, K II akan berkurang dengan semakin besarnya medan istrik positi dan sudut retak cabang. Perubahan K I dan K II pada materia PZ adaah yang paing sensiti terhadap penambahan medan istrik positi dibandingkan dengan perubahan materia PZ5 dan PZ5H. Sumber dana : ana Peneitian yang didasari artike ini adaah meaui dana Research on Ceramic or riboogica Machine Components, Internationa Linkage Research Program, Grant o. /IRL/ URGE/, irectorate Genera or Higher Education, Indonesia, /. 8. AFAR PUSAKA σ. Sosa, H., (98), On the racture mechanics o pieoeectric soids, Internationa Journa o Soids and Structures, Vo. 8, pp Broek,., (986), Eementary Engineering Fracture Mechanics, Martinus ijho Pubisher, ordrecht KI / K MESI Vo. o.

9 3. Qing-Hua Qin, Yiu-Wing Mai, (), Crack branch in pieoeectric bimateria system, Internationa Journa o Engineering Science, Vo 38, pp. 673±693.. Qin, Q.-H. and Mai, Y. W. (999), Crack Branch in Pieoeectric Bimateria System, Int. J. Soids and Structures, Vo. 38, pp Zhu,. and Yang. Wei. (998), Crack Kinking in Pieoeectric Soid, Int. J. Soids and Structures Vo. 36, pp Q.H. Qin, Y.W. Mai, (5), hermo-eectroeastic Green's unction and appication or bimateria o pieoeectric mate-rias, Arch. App. Mech., to appear. 7. K. Hayashi, S. emat-asser, (98), Energy- Vo. 8, pp reease rate and crack kinking under combined oading, J. App. Mech. 5±5. 8. Shen, S., Kuang, Z.B., (998), Interace Crack in Bi-Pieothermoeastic Media and the Interaction with a point heat source, Internationa Journa o Soid and Structures, V.5, o. 3, pp A.. Stroh, isocations and cracks in anisotropic easticity, Phi. Mag. 7 (958) 65±66.. His,. A., Key, P. A., ai,.. and Korsunsky, A. M., (996), Soution o Crack Probems: he istributed isocation echnique, Kuwer Academic Pubisher, ordrecht.. F. Erdogan, G.. Gupta, (97), On the numerica soution o singuar integra equations, Q. App. Math. Vo. 3, pp. 55± 53.. ing,.c.., (99), Image singuarities o Green's unctions or anisotropic eastic ha-space and bimaterias, Q. J. Mech. App.Math, Vo 5, pp. 9± LAMPIRA Stroh Formaism untuk Benda Pieoeektrik aam sistem koordinat kartesian, sousi persamaan keseimbangan untuk deormasi dua dimensi di mana u k dan ϕ hanya tergantung pada x dan x dapat dinyatakan dengan dimana u J a J () (J,,3,) (L.) x px, u ϕ (L.) an p, a j adaah konstanta yang harus ditentukan harganya. aam notasi matriks u a() (L.3) Sehingga u, a adaah empat vektor dan u disebut dengan dispacement yang digeneraisasi. Persam aan (), (), (L.3) dan (L.) dikombinasikan menjadi satu persamaan [ Q p(rr ) p ] a (L.5) Matriks x Q dan adaah simetri tetapi tidak deinit positi dan nonsinguar. Penentuan eemen matriks Q, R dan mengikuti aturan sebagai berikut : E ijkm Cijkm, J, K,,3 emij, J,,3 : K eikm, K,,3 : J kim, J K (L.6) ij or k 33 3 or 3 3 or 3 or P or q Untuk bidang x x E c pq Cijk ; e ip e ik Q ; R ; Q (L.7) Untuk bidang x x 3 E E E Q ; R ; Q 3 (L.8) E 3 E 3 Vektor ungsi tegangan yang digeneraisasi, φ dideinisikan sebagai φ b(), b (R pr)a (Q pr)a (L.9) p dengan σ i -φ i,, σ i -φ i,, -φ,, φ, (L.) Sousi um um yang didapatkan dengan superposisi deapan sousi dar i persamaan (L.3) dan (L.9), dihubungkan dengan deapan niai eigen p, adaah α u Re ( ) a α α α, φ Re b α α ( α ) dengan Re berarti bagian rea. Pada sebagian besar apikasi, diasumsikan α ( α ) q α α ( α ) (α tidak dij umah) α (L.) (L.) Maka persamaan (L.) direduksi menjadi, daam notasi matriks, { } { q } u Re A ( ) q, φ Re B ( ) di manaa dan B adaah matriks x yaitu A [a, a, a 3, a ], B [b,b,b 3,b ] d an ( ) adaah matrik diagona x ( ) diag ( ), ( ), ( ), ( ) 3 (L.3) (L.) (L.5) MESI Vo. o.

10 Matrik Kekakuan Materia Keramik Pieoeektrik Konstanta materia pieoeektrik PZ direerensikan pada bidang x x 3. Matriks Q, R dan pada penjabaran Stroh ormaism menjadi c c66 Q ; c55 e5 e 5 k c55 c c e e 33 k33 c3 e3 R c ; 55 e 5 (L.6) Sedangkan konstanta materia pieoeektrik PZ5 dan PZ5H direerensikan pada bidang x x, sehingga matriks Q, R dan menjadi c e c c66 Q ; c66 e6 R c55 ; e k e c66 e6 c (L.7) c e6 k 3 MESI Vo. o.