ALAT BANTU STUDI KUALITATIF HAMBURAN ELEKTRON-ATOM ABSTRACT PENDAHULUAN

Transkripsi

1 ALAT BANTU STUDI KUALITATIF HAMBURAN ELEKTRON-ATOM Lucky E. Santoso ABSTRACT A graphica user interface appication is deveoped as a too for quaitative study on eectron-atom eastic scattering. The appication is based on a verified and vaidated computer code that numericay cacuates the scattering cross sections using partia wave anaysis. A demonstration on how this too coud be used to anayze a resonance phenomenon in the scattering of eectrons by a nobe gas is given. Keywords: educationa software, scattering PENDAHULUAN Hamburan eektron oeh atom, atau hamburan eektron-atom, terjadi pada prosesproses penting, baik buatan manusia (seperti ampu pendar, aser gas, dan reaktor fusi) maupun gejaa aam (seperti dinamika atmosfer dan pasma astrofisik). Gejaa-gejaa di atas tidak dipeajari secara angsung, namun meaui percobaan hamburan eektronatom di aboratorium, di mana berkas eektron dengan energi datang tertentu ditembakkan ke atom sasaran. Daam interaksinya dengan atom, eektron memiiki kemungkinan untuk dibeokkan dari arah semua, atau dikatakan terhambur. Besaran paing penting yang diukur daam percobaan adaah tampang intang diferensia (differentia cross section) yang menunjukkan keboehjadian terjadinya hamburan ke sudut tertentu. Tampang intang tota (tota cross section) mewakii keboehjadian untuk segaa sudut hamburan. Sayangnya percobaan tidak dapat diakukan dengan mudah untuk semua atom. Sebagai contoh, mempersiapkan atom sasaran berupa gas muia adaah jauh ebih mudah daripada spesies yang reaktif atau berbahaya. Oeh karena itu, suatu aat bantu studi berbasis perhitungan komputer yang dapat memberikan simuasi hasi percobaan akan bermanfaat. Teah dikembangkan perangkat unak komputer sebagai aat bantu studi tersebut. Perangkat unak ini berbasis graphica user interface (GUI) untuk memudahkan pemakaian, dan dijaankan pada PC (persona computer) dengan sistem operasi Microsoft Windows yang popuer, sehingga dapat digunakan di berbagai tempat di mana tidak tersedia komputer berkemampuan tinggi. Dengan digunakannya PC, efisiensi perhitungan menjadi pertimbangan yang penting. Oeh karena itu perangkat unak ini didasarkan pada suatu modu program komputer yang teah dikembangkan sebeumnya [6] dengan memperhatikan faktor efisiensi perhitungan. Modu ini merupakan impementasi dari perhitungan tampang intang hamburan eektron-atom yang menggunakan anaisis geombang parsia dengan mode potensia berupa pendekatan anaitik demi efisiensi. Integrasi numerik terhadap

2 persamaan Schrödinger radia yang muncu akibat penggunaan anaisis geombang parsia diakukan dengan angkah bervariasi untuk meningkatkan efisiensi perhitungan. Uji verifikasi menunjukkan bahwa hasi perhitungan ini cocok dengan harga eksak untuk mode potensia yang sederhana. Uji vaiditas dengan menggunakan data percobaan gas muia menunjukkan bahwa perhitungan ini mampu menjeaskan secara kuaitatif hamburan eektron-atom pada energi ev ke atas. PERHITUNGAN NUMERIK Berikut diberikan penjeasan singkat mengenai perhitungan numerik beserta impementasinya yang menjadi dasar bagi aat bantu studi yang dikembangkan. Keterangan ebih anjut mengenai anaisis geombang parsia diberikan oeh antara ain Schmid et a. [7]. Partike yang datang dengan energi E = h k dan dihamburkan secara kuantum oeh m e potensia sentra V(r) akan mengikuti persamaan Schrödinger yang berdasarkan anaisis geombang parsia dapat dipisahkan persamaan radianya: d () () () u r + w r u r = () dr di mana m ( e h + ) w () r = E V ( r) () h me r dengan syarat batas u () =. Di sini ebih dikena sebagai momentum sudut, dan sering digunakan notasi spektroskopik s, p, d, f, g, h, dan seterusnya untuk menyatakan =,,, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sebagai potensia V(r) dipakai potensia Savat yang dapat digunakan pada masaah hamburan eektron-atom. Potensia Savat adaah potensia Couomb yang tertabir oeh fungsi tabir 3 φ ( r) = Aiexp( α r i ) (3) i= yang merupakan pendekatan anaitik terhadap penyeesaian persamaan Dirac-Hartree- Fock-Sater. Niai parameter A dan α teah dihitung dan ditabuasikan untuk masing- i i masing nomor atom dari Z= sampai dengan Z=9 [5]. Karena potensia Savat merosot cukup cepat secara radia, maka jika dipiih radius r max yang cukup besar, dianggap V(r) dapat diabaikan untuk r>r max, dan beraku hubungan u () r = r cos δ j ( kr) + sin δ n ( kr), r > r. (4) [ ] max Dengan memiih dua titik radia berbeda r A dan r B yang berada di sekitar r max, dapat diperoeh geser fase: Gj( kra) j( kr ) B u( rb) ra δ = arctan ; G =. (5) Gn( kra) n( krb) u( ra) rb h ( + ) Suku daam () biasa disebut rintangan sentrifuga (centrifuga barrier) m e r yang dapat dianggap sebagai suatu potensia yang repusif. Jika dipiih momentum

3 sudut max yang cukup besar maka untuk > max dianggap V(r) dapat diabaikan reatif terhadap rintangan sentrifuga, sehingga niai geser fase δ juga dapat diabaikan. Oeh karenanya semua perhitungan untuk momentum sudut dari = sampai = dapat dipotong menjadi sampai = max saja. u r diperoeh. Untuk itu, seteah Geser fase dapat ditentukan jika niai u ( r ) dan ( ) A mendefinisikan K() r h w() r, diakukan integrasi numerik terhadap persamaan diferensia () dengan menggunakan metode Numerov (juga disebut metode Fox- 6 Goodwin) yang raatnya berorde h [7]: ( Ki, ) ui, ( + Ki, ) ui, ui, + = (6) ( + K ) Dari sifat u () r Cr + : yang beraku untuk r sekitar no, diambi niai u = h + []. Variasi besarnya angkah h seama integrasi penting demi perhitungan yang efisien [, 3]. Agar variasi ini dapat dikendaikan secara otomatis, untuk tiap angkah integrasi peru diakukan penaksiran terhadap raat integrasi. Di sini digunakan taksiran raat yang diusukan oeh Batt khusus untuk metode Numerov []. Dengan memperhatikan bahwa u bersifat osiatoris dengan bentuk menyerupai sin ( w ( r) r ), Batt mengusukan taksiran (6) [ ] 3 i, + B u () r w () r u () r. (7) Dengan substitusi suku raat (absout) pada metode Numerov ke (7), untuk tiap angkah integrasi diperoeh taksiran Raat absout 3 7 Raat reatif hw, i u. (8), i Waau taksiran di atas tidak beraku untuk, demi kemudahan taksiran tersebut akan digunakan untuk semua karena tidak mengorbankan keteitian perhitungan. Dengan memiih toeransi raat TOL, besar angkah h sepanjang integrasi dari r hingga r imax dapat ditentukan dengan memastikan bahwa taksiran raat reatif untuk tiap, 3 ui, angkah (8) tidakah ebih besar dari TOL. Karena sifat potensia Savat, w merupakan fungsi yang merosot secara monoton sepanjang integrasi, sehingga besar angkah h akan secara terus-menerus meningkat. Demi kemudahan, peningkatan h diakukan berupa penggandaan niai. Untuk energi yang cukup rendah, h di sekitar r max menjadi terau besar dan berakibat perhitungan tidak sestabi perhitungan untuk energi yang ebih tinggi. Untuk mengatasi keemahan taksiran Batt ini diperukan cut-off di mana niai h dijaga agar tidak meampaui suatu niai h max. Geser fase kemudian dapat digunakan untuk memperoeh tampang intang diferensia d σ = { Re [ f( θ) ]} + { Im [ f( θ )]} (9) dω di mana

4 Re [ f( θ )] = ( + ) sinδ cos δp(cos θ) k = Im [ f( θ) ] = ( + ) sin δ P(cos θ). k = Dan tampang intang tota dapat diperoeh dengan mengintegrakan tampang intang diferensia: 4π σ = σ = ( + ) sin δ, () = k = di mana σ adaah tampang intang parsia. Impementasi dari perhitungan numerik ini adaah keas (cass) GP, suatu modu program komputer berupa keas C++ yang menggunakan aritmatika doube precision untuk mengurangi peuang terjadinya raat pembuatan (round-off error). Antarmuka dari keas ini diberikan pada Gambar. Keas GP meiputi variabe (member variabes) yang mewakii masukan perhitungan seperti nomor atom Z dan energi E (ev), serta keuaran perhitungan seperti fungsi geombang radia u, geser fase δ (rad), tampang intang diferensia d σ dω (bohr /sr), tampang intang parsia σ (bohr ), dan tampang θ intang tota σ (bohr ). Keas GP juga meiputi variabe yang mewakii parameter perhitungan seperti jangkauan integrasi r (Å), jangkauan momentum sudut, max toeransi raat reatif per angkah TOL, dan besar angkah maksima h max (Å). Nama variabe daam GP teah diusahakan cukup intuitif dan antarmuka teah diberi sejumah komentar agar mudah diketahui notasi manakah yang diwakii oeh suatu variabe C++. Keas GP meiputi beberapa fungsi (member functions). Fungsi Inisiaisasi() membentuk tabe poinomia Legendre P, θ yang akan digunakan daam perhitungan tampang intang diferensia. Fungsi ini cukup dipanggi sekai di awa program. Fungsi HitungFungsiGeombang() mua-mua akan menghitung potensia Savat. u i. Integrasi numerik untuk kemudian diakukan sesuai dengan metode Numerov (6). Integrasi dihentikan segera seteah jangkauan integrasi tercapai, i, r r i max max 4 () max V i. Akhirnya dari dua titik integrasi terakhir ditetapkan ra = ri max, rb = ri dan u max ( ra) = u, imax, u ( r ) = u. Fungsi HitungGeserFase(), yang dapat dipanggi seteah pemanggian B, imax fungsi HitungFungsiGeombang(), menghitung geser fase berdasarkan hubungan (5). Fungsi HitungTampangLintangTota() menghitung tampang intang tota menurut persamaan () dan fungsi HitungTampangLintangDiferensia() menghitung tampang intang diferensia menurut persamaan (9). Keduanya dapat dipanggi seteah pemanggian fungsi HitungGeserFase(). Mengenai pemiihan niai parameter perhitungan yang sesuai, dari pengaaman, r max yang ditetapkan sebesar suatu harga tertentu yang cukup tinggi tampak sudah mencukupi untuk memperoeh hasi kuaitatif yang memadai. Secara umum, geser fase akan berniai keci untuk semua > kr max [4], yang berarti bahwa niai max di sekitar kr max merupakan piihan yang wajar. Jika hanya diinginkan hasi kuaitatif, pengaaman menunjukkan bahwa TOL yang tetap dan berniai cukup rendah dapat diambi untuk semua kondisi Z dan E.

5 5 // GP.h: antarmuka keas GP // Copyright (c) Lucky E. Santoso -4. A rights reserved. // Panjang variabe vektor, dapat diubah sesuai kebutuhan const int NANG=8; const int NL=; const int NI=; const int NIF=; const int NZ=9; // Konstanta fisis dan matematis const doube PI = ; const doube HBARM = ; // (ev A^) const doube E = ; // (ev A) const doube BOHRINV = E/HBARM; // (/A) const doube RYDBERG =.5*E*BOHRINV; // (ev) cass GP { pubic: // Prosedur dan fungsi void Inisiaisasi(); int HitungFungsiGeombang(); void HitungFungsiGeombangBebas(); void HitungGeserFase(); void HitungTampangLintangTota(); void HitungTampangLintangDiferensia(); // Parameter perhitungan doube TOL; // toeransi raat reatif per angkah doube hmax; // besar angkah maksima u/ angkah variabe (A) doube rmax; // jangkauan integrasi (A) int Max; // jangkauan momentum sudut int imax; // jumah angkah, sebagai keuaran // Masukan doube E; // energi (ev) int Z; // nomor atom // Hasi doube r[ni+]; doube u[nl+][ni+]; doube uf[nl+][nif+]; doube Deta[NL+]; doube Sig[NL+]; doube SigTot; doube dsigma[nang+]; // radius (A) // fungsi geombang radia // fungsi geombang radia bebas // geser fase (rad) // t.. parsia (bohr^) // t.. tota (bohr^) // t.. diferensia (bohr^/sr) private: // Fungsi dan variabe pembantu doube HitungPotensia(doube rr); int IsDb[NI+]; doube P[NL+][NANG+]; doube V[NI+]; doube ja[nl+], na[nl+], jb[nl+], nb[nl+]; doube ReaFactor[NL+], ImagFactor[NL+]; }; Gambar. Antarmuka keas GP

6 ALAT BANTU STUDI Berdasarkan perhitungan numerik yang diimpementasikan oeh keas GP di atas dikembangkanah GPDemo, perangkat unak komputer sebagai aat bantu studi kuaitatif hamburan eektron-atom. Sebagai parameter perhitungan digunakan TOL 6 seniai, hmax seniai. Å, rmax seniai 3 Å, dan Max seniai ( 3Å) k +. GPDemo yang berbasis GUI dan dijaankan pada Microsoft Windows ini menerima masukan dari pengguna untuk menentukan niai E dan Z, dan memberikan piihan aporan berupa grafik tampang intang tota sebagai fungsi energi dan nomor atom, tabe geser fase dan tampang intang parsia, serta grafik distribusi sudut. GPDemo juga memberikan fasiitas penyimpanan hasi perhitungan ke Cipboard untuk pengoahan dan penyajian ebih anjut. GPDemo dikembangkan daam C++ (untuk memudahkan integrasi dengan keas GP) dengan menggunakan Microsoft Foundation Cass Library (untuk memudahkan pembuatan GUI). Compier yang digunakan adaah Microsoft Visua C++ v6. tanpa pengaturan optimisasi tertentu. Berikut GPDemo dijaankan pada PC dengan patform perangkat keras Inte Pentium III, 45 MHz, 64 MB RAM dan sistem operasi Microsoft Windows 98. Gambar menunjukkan saah satu tampian GPDemo. Gambar 3, Gambar 4, dan Tabe adaah berdasarkan aporan-aporan yang diberikan oeh GPDemo untuk atom gas muia Xenon. 6 Gambar. Suatu tampian GPDemo

7 7 Gambar 3. Tampang intang tota untuk Xenon Pada Gambar 3 terihat adanya puncak di sekitar 5 ev pada tampang intang tota untuk Xenon. Puncak ini dikena sebagai resonans bentuk (shape resonance). Karena berada pada wiayah energi di mana perhitungan tidak vaid, maka spesifikasi (seperti okasi dan ebar) resonans ini tentunya berbeda dengan hasi percobaan. Secara kuaitatif akan diamati pada momentum sudut yang manakah resonans ini terjadi. Pada Tabe diberikan hasi perhitungan geser fase dan tampang intang parsia untuk energi datang 5 ev. Terihat bahwa puncak pada tampang intang tota tersebut adaah akibat sumbangan dari tampang intang parsia σ 3 yang niainya jauh ebih tinggi dibanding niai tampang intang parsia yang ain. Terihat juga bahwa niai δ 3 berada di sekitar π /. Memang variasi niai geser fase yang meewati ± π / akan menimbukan puncak pada tampang intang parsia yang bersangkutan. Tabe. Tampang intang parsia untuk Xenon pada 5 ev δ (rad) σ (bohr ) Dari sini dapat disimpukan bahwa resonans tersebut terjadi pada momentum sudut =3. Informasi serupa dapat diperoeh dari grafik distribusi sudut [7]. Pada Gambar 4 tampak bahwa kurva hasi perhitungan tampang intang diferensia memiiki tiga minima, yang berarti bahwa sumbangan terpenting berasa dari poinomia Legendre

8 yang memiiki tiga akar, yaitu P 3 (cos θ ). Dari sini juga dapat disimpukan bahwa resonans tersebut terjadi pada momentum sudut =3 (resonans f). Terihat bahwa aat bantu studi yang teah dibuat ini dapat digunakan untuk menganaisis resonans hamburan eektron oeh atom suatu gas muia. 8 tampang intang diferensia (bohr sr - ).. Xenon (Z=54), 5 ev sudut hamburan (derajat) Gambar 4. Distribusi sudut untuk Xenon pada 5 ev KESIMPULAN Suatu perangkat unak komputer berbasis GUI teah dikembangkan sebagai aat studi kuaitatif hamburan eektron-atom. Perangkat unak ini didasarkan pada modu program komputer untuk perhitungan numerik tampang intang hamburan geombang parsia yang teah diverifikasi dan divaidasi. Demonstrasi diberikan di mana aat bantu studi ini dapat digunakan untuk menganaisis resonans hamburan eektron oeh atom suatu gas muia. DAFTAR PUSTAKA [] Batt, J. M. Practica points concerning the soution of the Schrödinger equation. J. Comput. Phys.,, [] Cash, J. R. & Raptis, A. D. A high order method for the numerica integration of the one-dimensiona Schrödinger equation. Comput. Phys. Commun., 33, [3] Raptis, A. D. & Cash, J. R. A variabe step method for the numerica integration of the one-dimensiona Schrödinger equation. Comput. Phys. Commun., 36, [4] Roman, P. Advanced quantum theory. Reading, Massachusetts: Addison- Wesey Pubishing Company, Inc. 965.

9 [5] Savat, F., Martínez, J. D., Mayo, R., & Pareada, J. Anaytica Dirac-Hartree- Fock-Sater screening function for atoms (Z=-9). Phys. Rev. A, 36, [6] Santoso, L. E. Perhitungan numerik tampang intang hamburan eektron-atom dengan menggunakan anaisis geombang parsia. Working paper. 4. [7] Schmid, E. W., Spitz, G., & Lösch, W. Theoretica physics on the persona computer ( nd ed.). Berin: Springer-Verag