PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO

Transkripsi

1 PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodean Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masaah Tracking Error Optima adaah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan beum diajukan daam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasa atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penuis ain teah disebutkan daam teks dan dicantumkan daam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, ui 8 Bambang Edisusanto NIM G5567

3 ABSTRACT BAMBANG EDISUSANTO. Modeing of Inverted Penduum System with Obique Track and Parameter Characterization on Optima Tracking Error Probem. Under direction of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO Inverted penduum is an important device in education and research for contro engineering. Many resuts of research are reached through study to penduum system. The primary objective of this thesis is to characterize the inverted penduum system with obique track on the optima tracking error probem in terms of the system of parameters. We first derive the equations of motion for the penduum system with fat track and then extend it to the system with obique track. We then derive the anaytica expressions of the optima tracking error probem for both systems. It is shown that the expressions are competey determined by the penduum s parameters. Furthermore, its is shown that the owest possibe tracking error can be attained as ong as the ratio between penduum and motor masses is equa to a certain constant, regardess the materia of the penduum. Keywords: inverted penduum, modeing, tracking error probem.

4 RINGKASAN BAMBANG EDISUSANTO. Pemodean Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masaah Tracking Error Optima. Dibimbing oeh TONI BAKHTIAR, dan ALI KUSNANTO. Penduum adaah sebuah bandu. Ada dua jenis penduum yaitu penduum biasa (direct penduum) dan penduum terbaik (inverted penduum). Dewasa ini penduum biasa maupun penduum terbaik merupakan aat yang sangat penting daam pendidikan dan peneitian di bidang teknik pengendaian (contro engineering). Banyak hasi peneitian dicapai meaui studi terhadap sistem penduum. Di bidang teknik, penduum biasa dan terbaik dipakai untuk memantau pergerakan fondasi bendungan, jembatan, dermaga dan struktur bangunan ainnya. Aat pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar penduum biasa. Seain itu penduum terbaik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan geombang seismik daam tanah yang disebabkan oeh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan atmosferik. Di bidang fisioogi dan imu oah raga, prinsip kerja penduum terbaik banyak digunakan untuk mengkaji keseimbangan gerak manusia. Berdasarkan dari ha tersebut maka peneitian ini bertujuan menentukan mode sistem penduum terbaik dengan intasan miring dan menentukan karakterisasi parameter sistem penduum terbaik dengan intasan miring pada masaah tracking error optima.langkah pertama adaah menurunkan mode sistem penduum terbaik dengan intasan datar dan intasan miring. Mode tersebut berbentuk persamaan takinear, sehingga harus diinearkan terebih dahuu dengan bantuan deret Tayor. Seanjutnya dengan tranformasi Lapace ditentukan fungsi transfer Px(s) dan P? (s), di mana Px ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan posisi motor x dan P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan sudut penduum. Kemudian dicari poe dan zero dari fungsi transfer dengan mengasumsikan tidak ada friksi antara motor dan penduum serta tidak ada friksi antara motor dan intasan, yaitu. Dari Px(s) dan P? (s), dapat ditentukan poe takstabi dan non minimum phase zero. Seanjutnya diturunkan ekspresi anaitik bagi yang dapat d meminimumkan tracking error. Dengan menyeesaikan d, maka panjang penduum optima dapat ditentukan. Seanjutnya diakukan simuasi antara ekspresi anaitik bagi dan panjang penduum optima, dari simuasi ini dapat diihat bahwa ketika panjang penduum sangat pendek maka niai sangat besar. ika panjang penduum diperpanjang, maka niai semakin keci. Kejadian ini beraku sampai pada satu titik minimum, seteah itu akan berubah panjang penduum semakin panjang maka niai semakin besar. Titik minimum dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. Sudut kemiringan intasan semakin besar maka titik minimumnya juga semakin besar. Sedangkan hasi simuasi antara sudut kemiringan intasan dan panjang penduum optima menunjukkan bahwa untuk mendapatkan kestabian panjang penduum optima sangat dipengaruhi oeh sudut kemiringan

5 intasan. Sudut kemiringan intasan semakin besar maka panjang penduum optima semakin pendek. Dari hasi peneitian ini dapat disimpukan bahwa niai tracking error minima dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. ika sudut kemiringan intasan semakin besar, maka niai tracking errornya juga semakin besar. Panjang penduum minima dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. Hubungan antara panjang penduum minima dan sudut kemiringan intasan berbanding terbaik. Sudut kemiringan intasan semakin besar maka panjang penduum minima semakin pendek. Karena diasumsikan bahwa rasio antara massa penduum dan massa motor adaah konstan, maka dapat ditunjukkan bahwa tracking error optima dapat dicapai sepanjang rasio antara massa penduum dan massa motor adaah konstan tanpa memandang bahan dari penduum. Kata kunci: penduum terbaik, pemodean, masaah tracking error.

6 Hak cipta miik IPB, tahun 8 Hak cipta diindungi Undang-undang Diarang mengutip sebagian atau seuruh karya tuis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, peneitian, penuisan karya imiah, penyusunan aporan, penuisan kritik atau tinjauan suatu masaah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Diarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seuruh karya tuis daam bentuk apapun tanpa izin IPB

7 PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO Tesis sebagai saah satu syarat untuk memperoeh gear Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

9 udu Tesis Nama NIM : Pemodean Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masaah Tracking Error Optima : Bambang Edisusanto : G5567 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua Drs. Ai Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekoah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairi A. Notodiputro, M.S. Tangga Luus: Tangga Ujian: ui 8

10 PRAKATA Puji dan syukur penuis panjatkan kepada Aah SWT atas segaa karunia-nya sehingga karya imiah ini berhasi diseesaikan. Tema yang dipiih daam peneitian yang diaksanakan sejak buan Nopember 7 ini iaah masaah tracking error optima pada sistem penduum, dengan judu Pemodean Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring dan Karakterisasi Parameter pada Masaah Tracking Error Optima. Terima kasih penuis ucapkan kepada Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc dan Bapak Drs. Ai Kusnanto, M.Si seaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. yang teah banyak memberikan saran seaku penguji uar komisi dan seaku ketua Program Studi Matematika Terapan. Tak upa ucapan terima kasih penuis sampaikan pada Departemen Agama Repubik Indonesia yang teah memberikan fasiitas. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seuruh keuarga, atas segaa doa dan kasih sayangnya. Semoga karya imiah ini bermanfaat Bogor, ui 8 Bambang Edisusanto

11 RIWAYAT HIDUP Penuis diahirkan di Purworejo pada tangga 7 Agustus 966 dari ayah Witosedono dan ibu Astuti. Penuis merupakan putra kedua dari empat bersaudara. Tahun 986 penuis uus dari STM Negeri Purworejo jurusan Teknik Bangunan dan pada tahun yang sama uus seeksi masuk IKIP Muhammadiyah Yogyakarta. Penuis memiih urusan Pendidikan Matematika pada Fakutas Pendidikan Matematika dan Imu Pengetahuan Aam dan seesai pada tahun 99. Tahun 99 penuis menjadi staf pengajar di SMU Muhammadiyah 7 Yogyakarta. Pada tahun 997 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Sidoharjo Samigauh Kuon Progo. Setahun kemudian pindah tugas mengajar di MTs Negeri Pakem. Pada tahun 6 penuis uus seeksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor ewat jaur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Repubik Indonesia.

12 DAFTAR ISI Haaman DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv I PENDAHULUAN.... Latar Beakang.... Tujuan Peneitihan... II LANDASAN TEORI.... Sistem Penduum Terbaik.... Transformasi Lapace.... Deret Tayor Persamaan Ruang Keadaan Fungsi Transfer Poe dan Zero Kestabian Sistem Umpanbaik....9 Masaah Tracking Error... III PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK.... Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Datar.... Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring Poe dan Zero... 9 IV KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL.... Ekspresi Anaitik.... Tracking Error Optima... V SIMULASI... 8 VI SIMPULAN...

13 DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN...

14 DAFTAR GAMBAR Haaman. Sistem penduum terbaik dengan intasan datar.... Diagram bok hubungan antara input dan output Sistem pengendaian dengan umpanbaik.... Sistem pengendaian dengan umpan baik pada masaah tracking error Sistem penduum terbaik dengan intasan datar Sistem penduum terbaik dengan intasan miring Grafik masaah tracking error Grafik panjang penduum optima dan sudut kemiringan intasan...

15 DAFTAR LAMPIRAN Haaman. Bukti sifat-sifat Transformasi Lapace Poe dan Zero penduum terbaik dengan intasan datar Bukti Teorema.... Bukti Teorema Contoh penggunaan Deret Tayor Peinearan mode sistem penduum terbaik dengan intasan miring Karakterisasi parameter sistem penduum terbaik dengan intasan datar Karakterisasi parameter sistem penduum terbaik dengan intasan miring Tabe panjang penduum dan ekspresi anaitik Tabe panjang penduum dan kemiringan intasan... 6

16 This document was created with WinPDF avaiabe at The unregistered version of WinPDF is for evauation or non-commercia use ony.

17 BAB I PENDAHULUAN. Latar Beakang Pada kehidupan sehari-hari sering terihat anak-anak bermain dengan berusaha menegakkan dan menyeimbangkan sebuah tongkat di ujung jari. Secara terus-menerus mereka berusaha menyesuaikan posisi tangan agar tongkat tersebut tetap tegak. Tongkat yang teretak di atas jari anak tersebut merupakan contoh penduum terbaik (inverted penduum) yang pada dasarnya memiiki konsep yang sama dengan ha tersebut. Hanya saja penduum terbaik bergerak daam satu dimensi, sementara tangan dapat bergerak bebas ke atas, ke bawah, dan ke samping. Ada dua jenis penduum yaitu penduum biasa (direct penduum) dan penduum terbaik (inverted penduum). Dewasa ini penduum biasa maupun penduum terbaik merupakan aat yang sangat penting daam pendidikan dan peneitian di bidang teknik pengendaian (contro engineering) (Ogata 99). Sistem penduum memiiki karakteristik sebagai berikut :. Takinear dan takstabi.. Dapat diinearkan di sekitar titik kesetimbangan.. Kompeksitasnya dapat ditingkatkan meaui penambahan penduum atau modifikasi ainnya.. Mudah diterapkan daam sistem aktua Karena karakteristik di atas berbagai teori pengendaian (contro theory) banyak dievauasi dan dibandingkan meaui pengujian sistem penduum (Microrobot 7). Banyak hasi peneitian dicapai meaui studi terhadap sistem penduum. Di bidang teknik, penduum biasa dan terbaik dipakai untuk memantau pergerakan fondasi bendungan, jembatan, dermaga dan struktur bangunan ainnya. Aat pengangkat peti kemas (cranes) bekerja atas dasar penduum biasa. Seain itu penduum terbaik dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi usikan geombang seismik daam tanah yang disebabkan oeh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan atmosferik (Taurasi 5). Di bidang fisioogi dan imu oah raga, prinsip kerja penduum terbaik banyak digunakan untuk mengkaji

18 keseimbangan gerak manusia (Loram et a. ; Loram & Lakie ; Loram et a. 6). Kajian terhadap aspek teoritis sistem penduum pun banyak diakukan. Sebagai contoh, di (Atay 999) dipeajari masaah kestabian asimtotik dengan menggunakan umpanbaik posisi, sedangkan di (Woodyatt et a. 997) dikaji kendaa-kendaa fundamenta daam pengendaian sistem penduum terbaik dengan dua-input dan dua-output. Sedangkan di (Chen et a. ) dibahas sistem pengendaian dengan umpan baik pada masaah tracking error yang mampu menstabikan sistem dan sekaigus meminimumkan tracking error.. Tujuan Peneitian Berdasarkan atar beakang tersebut di atas maka peneitian ini bertujuan untuk :.. Memodekan sistem penduum terbaik dengan intasan miring... Meakukan karakterisasi terhadap parameter penduum terbaik dengan intasan miring pada masaah tracking error optima.

19 BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Penduum Terbaik Daam peneitian ini diperhatikan sistem penduum terbaik seperti pada Gambar di mana sebuah penduum terbaik dimuat daam motor yang bisa digerakkan. Diasumsikan motor bergerak daam satu dimensi, yaitu maju atau mundur daam satu garis urus, sedangkan penduum diasumsikan hanya bergerak daam bidang vertika yang datar. Gambar : Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Datar Berat motor dinotasikan dengan M dan berat penduum dengan m, satuannya daam kiogram. Panjang penduum diambangkan dengan dan satuannya daam meter. Penduum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oeh I = m. Diasumsikan friksi antara penduum dengan motor sebesar dan friksi antara motor dengan intasan sebesar. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oeh penduum adaah cukup keci. Persamaan gerak antara input kendai u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awa dan sudut penduum diberikan oeh persamaan-persamaan berikut : ( M m) x m x u (.) m mx mg (.)

20 . Tranformasi Lapace Transformasi Lapace adaah suatu metode operasiona yang dapat digunakan untuk menyeesaikan persamaan diferensia inear. Dengan menggunakan transformasi Lapace, persamaan diferensia inear dapat diubah ke daam persamaan ajabar daam peubah kompeks. Definisi. Transformasi Lapace dari fungsi f(t) adaah f(t) f(t) s st e f t F s fungsi waktu t peubah kompeks simbo operasi yang mengidikasikan bahwa persamaan st diubah dengan menggunakan integra Lapace e f ( t) F(s) transformasi Lapace dari f(t), dengan syarat f t kontinu bagian demi bagian pada t dan berorde eksponensia saat t menuju takhingga, yaitu ada konstanta rea t positif sedemikian sehingga im e f t (Ogata 99). Sifat sifat transformasi Lapace : Misakan f t F s dan g t G s, maka:. Sifat penjumahan f ( t) g( t) F( s) G( s). Sifat perkaian ika a R, maka: af(t) a F(s). Sifat turunan pertama df t sf s f. Sifat turunan kedua d f t ( ) s F s f sf ( ) () () t

21 5 5. Sifat eksponensia at e s a Bukti dari sifat-sifat di atas dapat diihat di Lampiran.. Deret Tayor Suatu sistem takinear dapat diinear mengasumsikan variabe kesetimbangannya. menggunakan deret Tayor dengan mengaami deviasi yang keci terhadap titik Definisi. Deret Tayor Satu Peubah Andaikan f dan semua turunannya, f ', f '', f ''',, kontinu di daam seang [a,b]. Misakan x [ a, b ], maka untuk niai-niai x di sekitar x dan x [ a, b ], f(x) dapat diekspansi ke daam deret Tayor sebagai berikut (Ogata 99): m ( x x) ( x x) ( x x ) ( m) f ( x) f ( x ) f '( x ) f ''( x )... f ( x )....!! m! Definisi. Deret Tayor Dua Peubah Deret Tayor dua peubah merupakan fungsi dari dua buah masukan x dan x. Sehingga niai x dan xdi sekitar x dan x merupakan deret Tayor dua peubah sebagai berikut (Ogata 99): f f f ( x, x ) f ( x, x ) ( x x ) ( x x ) x x! f f f ( ) ( )( ) ( )... x x x x x x x x x x x x di mana turunan-turunan parsianya dihitung pada x x, x x. Di sekitar titik kerja norma, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Mode matematika inear dari sistem takinear ini di sekitar kondisi kerja norma seanjutnya diberikan oeh f ( x, x) f ( x, x) K( x x ) K( x x) di mana

22 6 K f x x x, x x, K f x x x, x x.. Persamaan Ruang Keadaan Bentuk standar persamaan ruang keadaan merupakan bentuk persamaan diferensia biasa berorde satu berdimensi n, dan persamaan keuaran (out put) dengan dimensi m, didefenesikan sebagai berikut (Ogata 99): Defnisi. Diberikan sistem persamaan ruang keadaan dan persamaan keuaran berturut-turut sebagai berikut: x t f x, u, t, (.) y t g x, u, t. (.) ika vektor fungsi f, g bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (.) dan (.) disebut sistem parameter-berubah (time-varying). ika sistem tersebut diinierkan, maka persamaan inear ruang keadaan dan persamaan keuarannya dapat dituis sebagai berikut: x t A t x t B t u t, (.5) y t C t x t D t u t, (.6) dengan A t, B t, C t, D t merupakan matriks-matriks yang bergantung pada peubah t, sedangkan x adaah vektor peubah keadaan (variabe state) dan y adaah keuaran (output)sistem serta u merupakan input kendai. ika vektor fungsi f, g tidak bergantung terhadap peubah t, maka persamaan (.) dan (.) disebut sistem parameter-konstan (time-invariant). Di daam kasus ini persamaan (.) dan (.) dituiskan sebagai berikut: x t f x, u, y t g x, u. ika sistem tersebut diinearkan,maka persamaan inear ruang keadaan dan persamaan keuarannya adaah: x( t) Ax( t) Bu( t ), (.7) y( t) Cx( t) Du( t ), (.8)

23 7 dengan A,B,C,D adaah matriks-matriks berniai rea, x adaah vektor peubah keadaan (state variabe), y adaah keuaran (output) sistem, dan u adaah input kendai. Sistem pada persamaan (.7) dan (.8) dapat dituis daam bentuk n n n m r n A, B, C, D, untuk A R, B R, C R, dan D R r m.5 Fungsi Transfer Fungsi transfer adaah suatu fungsi yang menghubungkan antara output sistem dengan input sistem. Hasi transformasi Lapace dari (.7) dan (.8) adaah: sx(s) = AX(s) + BU(s), Y (s) = CX(s) + DU(s). Dengan demikian diperoeh fungsi transfer: Y ( s) ( ) ( ) U ( s) P s C si A B D (.9) Seanjutnya, interaksi antara u dan y dapat diungkapkan meaui diagram bok seperti pada Gambar. Gambar : Diagram bok hubungan antara input dan output..6 Poe dan Zero Dari fungsi transfer seperti pada persamaan (.9) dapat dituiskan daam bentuk fungsi rasiona sebagai berikut: P( s) m N( s) bms b s... b s b n D( s) s a s... a s a m m n n, (.) dengan pembiang N(s) dan penyebut D(s) adaah koprima. Poe dari sistem P didefinisikan sebagai akar dari persamaan D(s) =. Zero dari sistem P

24 8 didefinisikan sebagai akar dari persamaan N(s) =. ika n > m maka sistem P memiiki sejumah zero di takhingga. Misakan p dan z berturut-turut adaah poe dan zero dari P s, poe p disebut sebagai poe takstabi jika Re p, seain itu disebut poe stabi. Zero z disebut sebagai non minimum phase zero Re z, seain itu disebut zero stabi. Dapat diihat bahwa dari persamaan (.) dan (.) dapat diperoeh dengan P ( s) : x P ( s) : ( ) X s s m s gm U ( s) s( as as as a ), (.) ( s) ms U ( s) a s a s a s a, (.) a m ( M m), a M m m, ( ) a mg( M m), a mg. Di sini Px ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan posisi motor x dan P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan posisi sudut penduum. ika diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan penduum serta tidak ada friksi antara motor dan intasan, yaitu, maka Px ( s) dan P ( s) poe takstabi di memiiki p g( M m) ( M m) (.) dan Px ( s) memiiki zero takstabi di z g, z. (.) Penurunan poe dan zero sistem penduum terbaik dengan intasan datar secara engkap dapat diihat pada Lampiran.

25 9.7 Kestabian Definisi Sistem = (A,B,C,D) seperti pada (.7) dan (.8) dikatakan. stabi jika im sup x( t) x untuk setiap sousi x(t) dari persamaan x( t) Ax t ;. stabi asimtotik jika im sup x( t) untuk setiap sousi x(t) dari persamaan x x( t) Ax( t);. takstabi jika ia tidak stabi. sistem Dapat diihat bahwa kestabian tidak terkait dengan bagian manapun dari seain dengan matriks A. Oeh karena itu, kestabian dapat ditentukan dari spektrum matriks A (Lewis ). Teorema Diberikan sistem = (A,B,C,D) dengan A matriks berukuran n n yang memiiki akarciri,,..., n. Pernyatataan-pernyataan berikut beraku:. Sistem stabi jika dan hanya jika Re i untuk semua i =,...,n. Sistem stabi asimtotik jika dan hanya jika Re i untuk semua i =,,, n.. Sistem takstabi jika dan hanya jika Re i untuk suatu i =,,...,n (Lewis ). Bukti: ihat Lampiran. Teorema Diberikan sistem P(s) yang memiiki poe p, p,..., pn Pernyataan-pernyataan berikut beraku:. Sistem P(s) stabi jika dan hanya jika Re pi untuk semua i =,...,n.. Sistem P(s) stabi asimtotik jika dan hanya jika Re pi < untuk semua i =,...,n. Sistem P(s) takstabi jika dan hanya jika Re pi > untuk suatu i =,..., n (Lewis )

26 Bukti: ihat Lampiran..8 Sistem Umpanbaik Istiah umpanbaik digunakan untuk menjeaskan sebuah situasi di mana dua atau ebih sistem dinamik saing terhubung sedemikian sehingga setiap sistem mempengaruhi sistem ainnya. Umpanbaik memiiki banyak sifat menarik. Saah satunya adaah mampu membuat sistem taksensitif terhadap usikan dari uar. Gambar : Sistem pengendaian dengan umpanbaik. Sistem umpanbaik paing sederhana meibatkan tiga komponen, yaitu pant atau sistem P yang akan dikendaikan, controer atau pengendai K yang harus didesain sehingga menghasikan input kendai tertentu, dan sensor F yang mencatat output sistem sebagai umpanbaik. Pada Gambar, r merupakan fungsi referensi bagi peubah yang akan dikendaikan, e merupakan gaat (error) antara input referensi dan output sistem, yaitu e r Fy, dan d merupakan usikan yang bersifat eksogen. Masaah utama daam sistem umpanbaik adaah mendesain pengendai K sedemikian sehingga sistem menjadi stabi. Bentuk paing sederhana bagi umpanbaik u adaah u Kx, (.5) yaitu u merupakan kombinasi inear dari peubah keadaan x. Dengan menyubstitusikan (.5) ke (.) diperoeh x ( A BK) x. Dengan demikian K dipiih sehingga A BK memiiki akarciri seperti yang diinginkan. Masaah ini dikena sebagai poe pacement. ika state x tidak tersedia maka dipiih umpanbaik u sebagai kombinasi inear dari output y, yaitu u Ky, (.6) sehingga diperoeh x ( A BK( I DK) C) x (.7)

27 .9 Masaah Tracking Error Perhatikan sistem umpanbaik seperti pada Gambar di mana ditetapkan d(t) =, F(s) =, dan r merupakan fungsi tangga satuan (step function), yaitu :, t r( t) (.8), t. Gambar : Sistem pengendaian dengan umpanbaik pada masaah tracking error. Masaah tracking error bertujuan untuk mendesain pengendai K yang menstabikan sistem dan sekaigus meminimumkan tracking error, yaitu: : e( t) [ r( t) y( t)] (.9) Daam karya imiah ini, yang menjadi pokok perhatian bukanah pada pendesainan pengendai optima yaitu * K meainkan pada ekspresi anaitik pada, inf. Ekspresi anaitik dari diberikan di (Chen et a. ). K

28 BAB III PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK. Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Datar Pada peneitian ini pertama kai yang diakukan adaah menurunkan mode sistem penduum terbaik dengan intasan datar seperti pada Gambar 5. Penduum diasumsikan seragam (uniform) sehingga inersianya diberikan oeh I = Diasumsikan friksi antara penduum dengan motor sebesar motor dan intasan sebesar. m. dan friksi antara Gambar 5: Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Datar Persamaan gerak antara input kendai u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awa, sudut penduum maka mode dapat diturunkan sebagai berikut : Energi Kinetik Energi kinetik pada motor: Km Mx. Energi kinetik pada penduum: K p mx mx cos m. Tota energi kinetik: K K K. m p K ( M m) x mx cos m.

29 Energi Potensia Energi potensia pada motor: P. m Energi potensia pada penduum: P mg cos. p Tota energi potensia: P P P mg cos. Energi yang Hiang m Energi yang hiang pada motor: p D x. Energi yang hiang pada penduum: D. Tota energi yang hiang: D D D x Fungsi Lagrange L ( ) K P M m x mx m mg 5 Persamaan Euer Lagrange ( ) cos cos dq Misa q = (q,q ) di mana q = x, q dan q dq =?, q. Diperoeh: L q ( M m) x m cos, d L q M m x m m ( ) cos sin, L q, D q x,

30 5 L q m mx cos, d L q m mx mx cos sin, L q mx sin mg sin, D q, d L L D u, q q q d L L D q q q. Dengan menyubstitusikan suku-suku yang bersesuaian pada dua persamaan terakhir diperoeh: ( M m) x m cos m sin x u, (.) m mx mg. (.) cos sin Karena mode persamaan (.) dan (.) tersebut takinear maka diinearkan terebih dahuu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oeh penduum adaah cukup keci, sehingga sin, cos dan (ihat Lampiran 5) Dengan demikian bentuk inear dari persamaan (.) dan (.) adaah sebagai berikut: ( M m) x m x u, (.) m mx mg. (.).. Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring Di bagian ini akan diturunkan mode sistem penduum terbaik dengan intasan miring seperti pada Gambar 6, di mana intasan penduum membentuk sudut sebesar dari sumbu datar. Penduum diasumsikan seragam (uniform)

31 sehingga inersianya diberikan oeh I = 6 m. Diasumsikan friksi antara penduum dengan motor sebesar dan friksi antara motor dan intasan sebesar. Gambar 6 : Sistem Penduum terbaik dengan intasan miring M = berat motor m = berat penduum? = sudut penduum a = sudut kemiringan jaan u = input kendai µ = koefisien gesek antara motor dengan jaan? = koefisen gesek antara motor dengan penduum g = koefisien gravitasi x = jarak motor dengan titik awa Persamaan gerak antara input kendai u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awa, sudut penduum dan sudut kemiringan intasan a dapat diturunkan sebagai berikut: Energi Kinetik Energi kinetik pada motor: Km Mx. Energi kinetik pada penduum: K p mx mx cos( ) m. Tota energi kinetik: K K K. m p K ( M m) x mx cos( ) m. Energi Potensia Energi potensia pada motor:

32 7 P. m Energi potensia pada penduum: P mg cos( ). p Tota energi potensia: P P P mg cos( ). Energi yang Hiang m Energi yang hiang pada motor: p D x. Energi yang hiang pada penduum: D. Tota energi yang hiang: ( ) D D D x. Fungsi Lagrange L K P M m x mx m mg 5 Persamaan Euer Lagrange ( ) cos( ) cos( ) dq Misa q = (q,q ) dimana q = x, q dan q dq =?, q L q ( M m) x m cos( ), d L q M m x m m ( ) cos( ) sin( ), L q D q L q, x, m mx cos( ),

33 8 d L q cos( ) sin( ), m mx mx L q D q mx, sin( ) mg sin( ), d L L D u ( M m ) g sin q q q, d L L D q q q. Dengan menyubstitusikan suku-suku yang bersesuaian pada dua persamaan terakhir diperoeh: ( M m) x m cos( ) m sin( ) x u ( M m) g sin, (.5) m mx cos( ) mg sin( ). (.6) Karena mode persamaan (.5) dan (.6) tersebut takinear maka diinearkan terebih dahuu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oeh penduum adaah cukup keci, dengan demikian maka sin, cos, dan x (ihat Lampiran 5). Diasumsikan juga bahwa x, x,, yang artinya berturut-turut adaah posisi awa motor ada di titik, motor bergerak dari keadaan diam, posisi awa penduum adaah tegak urus dengan bidang datar, dan penduum bergerak dari keadaan diam. Bentuk inear dari persamaan (.5) dan (.6) sebagai berikut: ( M m) x m cos x u ( M m) g sin, (.7) m mx mg mg. (.8) cos cos sin Penurunan engkap dari bentuk inear persamaan (.7) dan (.8) dapat diihat di Lampiran 6. Persamaan (.7) dan (.8) merupakan persamaan gerak antara input kendai u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor, dengan posisi motor x terhadap titik awa, sudut penduum dan sudut kemiringan jaan a. Langkah seanjutnya

34 akan akan dicari poe dan zero dari persamaan gerak sistem penduum terbaik dengan intasan miring. 9. Poe dan Zero Karena persamaan (.7) dan (.8) merupakan bentuk persamaan diferensia, maka untuk mempermudah penyeesaian persamaan tersebut diubah ke daam bentuk persamaan ajabar dengan menggunakan transformasi Lapace. Transformasi Lapace dari persamaan (.7) dan (.8) adaah: ( M m) s X ( s) ms cos ( s) sx ( s) U ( s) ( M m) g sin (.9) m s ( s) s ( s) ms cos X ( s) mg cos ( s) mg sin (.) Persamaan (.9) dan (.) dapat dituis daam bentuk matriks sebagai berikut: ( M m) s s ms cos X ( s) U ( s) ( M m) g sin ms cos m s s mg cos ( s) mg sin ( ) ( ) ( ) sin X s ( M m) s s ms cos U s M m g ( s) ms cos m s s mg cos mg sin X s U s M m g ( ) m s s mg cos ms cos ( ) ( ) sin ( s) ms cos ( M m) s s mg sin dengan di mana s( a s a s a s a ) a M m m m ( ) cos a m M m ( ) a ( M m) mg cos a mg cos Bentuk persamaan matriks di atas dapat dituiskan daam bentuk persamaan matrik sebagai berikut: X s U s M m g ( ) m s s mg cos ms cos ( ) ( ) sin ( s) ms cos ( M m) s s mg sin

35 X s U s ( ) m s s mg cos ms cos ( ) ( s) ms cos ( M m) s s m s s mg cos ms cos ms cos ( M m) s s ( M m) g sin mgsin Seanjutnya dapat diperoeh: X s ( ) m s s mg cos ms cos U ( s) ( s) ms cos ( M m) s s X s m s s mg ( s) ms cos ( ) cos U ( s) Dengan demikian, P ( s) : x m s s mg cos X ( s) U ( s) s( a s a s a s a ) P ( s) : ( s) ms cos U ( s) s( a s a s a s a ) Diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan penduum serta tidak ada friksi antara motor dan intasan, yaitu, maka Px(s) dan P? (s) memiiki poe takstabi di P ( s) x P ( s) m s mg cos s [ ( M m) m m cos ] s ( M m) mg cos m cos M m m m s M m mg [ ( ) cos ] ( ) cos, (.). (.) Dapat diihat dengan mudah bahwa jika, maka bentuk persamaan (.) dan (.) akan tereduksi menjadi: P ( s) : x P ( s) : ( ) X s s m s gm U ( s) s( as as as a ), ( s) ms U ( s) a s a s a s a, seperti pada persamaan (.) dan (.) pada kasus sistem penduum terbaik dengan intasan datar.

36 Menentukan Zero Pada bagian ini akan ditentukan zero dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s ) pada persamaan (.) dan (.) a. Zero dari Px ( s) m s mg m s mg cos cos s mg cos m g cos s s g cos adi non minimum phase zero dari Px ( s ) adaah: z ika g cos maka bentuk persamaan (.) akan tereduksi menjadi: (.) z g b. Zero dari P ( s) seperti pada persamaan (.) m cos s adi P ( s) tidak mempunyai non minimum phase zero Menentukan Poe Seanjutnya akan ditentukan poe dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s) ( ) cos cos s M m m m s M m mg s ( M m) m m cos s M m mg cos s atau ( M m) m m cos s M m mg cos

37 s s ( M m) mg cos ( M m) m cos m g( M m) cos ( M m) m cos adi poe tak stabi dari Px ( s) dan P ( s) adaah: p ika g( M m)cos ( M m) m cos maka bentuk persamaan (.) akan tereduksi menjadi: (.) p g( M m) ( M m) seperti pada persamaan (.).

38 BAB IV KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL. Ekspresi Anaitik Pada bagian ini akan dibahas karakterisasi parameter pada masaah tracking error optima. Pengendaian posisi motor x dan ekspresi anaitik dari yang akan menjadi pusat perhatian daam karya imiah ini. Ekspresi anaitik dari diberikan oeh Teorema berikut ini: Teorema Misakan sistem P(s) memiiki poe takstabi pk (k =,..., np) dan zero takstabi zi (i =,..., nz). Ekspresi anaitik bagi diberikan oeh * inf e( t) K * n n z p Re zi Re pk Re p i z k, ( pk p ) p i k p bkb k di mana b k : k ; n p p p pk pk ; n p nz zi pk k : zi pk i Bukti : ihat Chen et a.. Akibat P ( ) x s pada kasus ini hanya memiiki satu poe takstabi p dan satu non minimum phase zero z, maka : p z pp z p (.) dengan z p z p

39 p ( z p) Sehingga dengan menyubstitusi ke daam persamaan (.) didapat p z p z zp p Akibat ( z p) z( z p) (.) ika P s memiiki dua poe takstabi p, p dan satu non minimum phase zero z, maka : 8 z p b p p b b p b (.) p p dengan b p p, p p b p p, b p p p p, b p p p p, z p p z p, z p, z p p z p, z p. Dengan menyubstitusi dapat: b, b, b, b,,,, ke daam persamaan (.) di 8 p p p 6p p p p 8p p p z p p z p p p p p z p z p p p z p. Tracking Error Optima Sudah ditunjukkan bahwa sistem penduum terbaik dengan intasan miring memiiki satu poe takstabi dan satu non minimum phase zero seperti diberikan

40 5 oeh persamaan (.) dan (.), maka berdasarkan akibat tracking error optima diberikan oeh: g cos g( M m) cos ( M m) m cos g cos g cos g( M m)cos ( M m) m cos (.) Dari persamaan (.) dapat disederhanakan menjadi: cos cos cos M m m M m g M m m M m (.5) Seanjutnya diasumsikan m m penduum dan dengan m massa penduum, panjang massa jenis penduum. Persamaan (.5) menjadi: cos M M g M M cos cos. (.6) Bentuk berikut: cos M M cos M M dapat dirasionakan penyebutnya sehingga menjadi: Sehingga persamaan (.6) menjadi: M M cos cos M cos M g cos cos dan dapat disederhanakan menjadi: 6 9 M cos M 9 g cos. (.7) Seanjutnya akan dicari dengan menyeesaikan persamaan d d

41 6 Misakan w g cos maka w' 5 9 g cos v M M maka cos v ' M cos M cos 8 M cos M d cos d g cos M M M cos M cos 9 9 g cos 8 M cos M Dengan demikian berakibat: cos M M 5 9 g cos 56 M cos M cos 9 9 g cos 8 M cos M yang seanjutnya dapat disederhanakan menjadi: cos 8 cos M 6M. Penyeesaian bagi adaah: 8 cos M 8 cos M cos M, cos 8 cos M 768cos 9 cos, 8 6cos M 8 cos 768cos 9 cos 8 6cos M

42 7 8 cos 768cos 9 cos 8 6cos M adi panjang penduum minima adaah 8 cos 768cos 9 cos 8 6cos M m M 8 cos 768cos 9 cos 8 6cos Penurunan secara engkap dapat diihat pada Lampiran 8. Dapat diihat bahwa jika, maka ekspresi akan tereduksi menjadi: (.8) m M 65 5 (.9) Persamaan (.8) menunjukkan bahwa rasio antara massa penduum dan massa motor adaah konstan. Sehingga tracking error optima dapat dicapai sepanjang rasio antara massa penduum dan massa motor adaah konstan, tanpa memandang bahan dari penduum.

43 BAB V SIMULASI Pada karya imiah ini bahan penduum yang digunakan adaah patina. Bahan patina dipiih karena patina mempunyai massa jenis yang cukup besar bia dibandingkan dengan bahan yang ain, yaitu sebesar 5 kg/m (Kitte 5). Dengan asumsi penduum berbentuk siinder berjari-jari (,5. - ) meter dan panjang penduum, maka voum penduum: V r V (5 ) V 5 5 V. 5 Seanjutnya akan dicari niai dari m V adi niai adaah : di mana 6 sebagai berikut: m m = massa jenis penduum m = massa penduum V = voum penduum ika penduum terbuat dari patina yang mempunyai massa jenis 5 kg/m, maka, Dengan mengambi, maka niai Dengan mengambi M = maka dapat ditentukan panjang penduum minima untuk sistem penduum terbaik dengan intasan datar yaitu, 675 meter. diperoeh Sedangkan untuk sistem penduum terbaik dengan intasan miring 5 8 cos 5 768cos 5 9 cos cos 5,677

44 9 8 (, 77) 768(, 77) 9(, 77) 8 6(, 77),677 =,9 meter. Secara engkap perbandingan sudut kemiringan intasan dan panjang penduum minima yang diperukan dapat diihat Gambar 7. Pada Gambar 7 disimuasikan niai tracking error optima dan panjang penduum minima pada intasan yang besar sudut kemiringannya berbedabeda. Hasi dari simuasi antara niai tracking error optima dan panjang penduum optima pada intasan yang besar sudut kemiringannya berbedabeda dapat diihat pada Gambar 7 sebagai berikut: TRACKING ERROR tracking error optima () panjang penduum optima () d 5 5 Gambar 7: Grafik masaah tracking error Dari gambar di atas dapat diihat:. Pada intasan datar panjang penduum minima,7 meter dengan = 5,585. Pada intasan miring dengan sudut kemiringan,6 meter dengan = 7,75. Pada intasan miring dengan sudut kemiringan,7 meter dengan = 6,77 panjang penduum minima 5 panjang penduum minima

45 . Pada intasan miring dengan sudut kemiringan,7 meter dengan = 96, Pada intasan miring dengan sudut kemiringan, meter dengan =,78 Hasi secara engkap simuasi dapat diihat pada Lampiran 9. panjang penduum minima 5 panjang penduum minima adi jika penduum sangat pendek maka niai sangat besar. ika panjang penduum diperpanjang, maka niai semakin keci. Kejadian ini beraku sampai pada satu titik minimum. Seteah itu akan berubah, yaitu jika penduum semakin panjang maka niai semakin besar. Tracking error optima juga dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. ika sudut kemiringan intasan semakin besar maka niai optimumnya juga semakin besar. Ini berarti bahwa semakin miring intasan, maka semakin suit sistem untuk dikendaikan dan distabikan. Seain itu juga disimuasikan panjang penduum optima dan intasan yang besar sudut kemiringannya berbeda-beda ihat Gambar 8. Hasi dari simuasi antara panjang penduum optima besar sudut kemiringannya dan intasan yang berbeda-beda dapat diihat pada Gambar 8 berikut: PANANG PENDULUM DAN KEMIRINGAN LINTASAN panjang penduum (daam meter) sudut kemiringan intasan (daam derajad) Gambar 8: Grafik panjang penduum optima dan sudut kemiringan intasan Dari Gambar 8 di atas dapat diihat bahwa panjang penduum minima yang diperukan sangat dipengaruhi oeh besar sudut kemiringan intasan. Apabia sudut kemiringan intasan semakin besar, maka panjang penduum semakin keci.

46 BAB VI SIMPULAN Dari peneitian ini dapat disimpukan sebagai berikut :. Diturunkan mode sistem penduum terbaik dengan intasan datar dan mode sistem penduum terbaik dengan intasan miring. Kedua mode tersebut merupakan persamaan gerak antara input kendai u, yang merupakan gaya yang bekerja pada motor dengan posisi motor x terhadap titik awa dan sudut penduum.. Tracking error optima dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. ika sudut kemiringan intasan semakin besar, maka tracking errornya juga semakin besar.. Panjang penduum optima dipengaruhi oeh sudut kemiringan intasan. Hubungan antara panjang penduum optima dan sudut kemiringan intasan berbanding terbaik. Sudut kemiringan intasan semakin besar maka panjang penduum optima semakin pendek.. Tracking error optima dapat dicapai sepanjang rasio antara massa penduum dan massa motor adaah konstan, tanpa memandang bahan dari penduum.

47 DAFTAR PUSTAKA Atay FM, Baancing the inverted penduum using position feedback, App. Math. Lett., vo., pp. 5 56;999. Chen, Hara S, and Chen G, Best tracking and reguation performance under contro energy constraint, IEEE T. Automat. Contr., vo. 8, no. 8, pp. 6;. Hara S dan Kogure C, Reationship between H contro performance imits and RHP poe/zero ocations, Proc. SICE Annua Conference, Fukui, apan, pp. 6; Kitte C. Introduction to Soid State Physics. Eighth Edition. ohn Wiey & Sons, Inc; 5. Lewis AD. A Mathematica Approach to Cassica Contro, Canada: Departement of Mathematics and Statistics Queen s University Kingston;. Loram ID dan Lakie M, Human baancing of an inverted penduum: position contro by sma, baistic-ike, throw and catch movements,. Physio., 5., pp. -;. Loram ID, Gawthrop P, dan Lakie M, The frequency of human, manua adjustments in baancing an inverted penduum is constrained by intrinsic physioogica factors,. Physio., 577., pp. 7-; 6. Loram ID, Key SM, dan Lakie M, Human baancing of an inverted penduum: is sway size controed by anke impedance?. Physio., 5., pp ;. Microrobot Co.L.td, MP- ( MR- )Inverted Penduum System Manua,, http// [ Des 7] Ogata K. Modern Contro Engineering, Second Edition. Minnesota: University of Minnesota; 99. Ogata K. Teknik Kontro Automatik. iid,. Edi Laksono, penerjemah; Bandung: ITB; 985. Terjemahan dari: Modern Contro Engineering. Taurasi I, Inverted Penduum Studies for Seismic Attenuation, SURF Fina Report LIGO T68--R, Caifornia Institute of Technoogy, USA; 5. Woodyatt AR, Middeton RH, and Freudenberg S, Fundamenta Constraints for the Inverted Penduum Probem, Technica Report EE976, Department of Eectrica and Computer Engineering, the University of Newcaste, Austraia; 997

48 5 Lampiran Sifat sifat transformasi Lapace : Bukti Sifat-sifat Transformasi Lapace Misakan f t F s dan g t G s, maka:. Sifat penjumahan f ( t) g( t) F( s) G( s) Bukti: st f t g t e f t g t. Sifat perkaian ika a R, maka: af(t) a F(s) Bukti: st st e f t e g t f(t) + g(t) F(s) + G(s) af(t) e st af t st a e f t a f(t) a F(s). Sifat turunan pertama df t Bukti: sf s f df ( t) df ( t) ( ) im b df t e e st st b Misakan fungsi f t dan turunannya adaah kontinu di daam seang terbatas, maka : Misa u e st st du se

49 6 df t dv v f t maka dengan integra parsia diperoeh: df ( t) e e f ( t) s e f ( t) b st st b b st st sb s e f t f e f b sb Akan ditunjukkan im e f b b Karena f t eksponensia berorder e t, maka ada konstanta M dan T yang memenuhi: t Me f t Me t atau st t st st t e Me e f t e Me s t st s t Me e f t Me untuk t T Karena T cukup besar t T, fungsi st e f t terbatas diantara dua fungsi untuk s mendekati ketika t. Sehingga st e f t juga mendekati sb ketika t, jadi im e f b b df t sf s f. Sifat turunan kedua d f t Bukti: ( ) sf( s) f () s F s f sf ( ) () () d f ( t) st d f ( t) e st df ( t) st df ( t) e s e f () s ( ) df t

50 7 s F s f sf ( ) () () 5. Sifat eksponensia at e Bukti: s a at st at e e e e ( s a) t ( s a) t e s a e s a s a s a e

51 LAMPIRAN

52 5 Lampiran Sifat sifat transformasi Lapace : Bukti Sifat-sifat Transformasi Lapace Misakan f t F s dan g t G s, maka:. Sifat penjumahan f ( t) g( t) F( s) G( s) Bukti: st f t g t e f t g t. Sifat perkaian ika a R, maka: af(t) a F(s) Bukti: st st e f t e g t f(t) + g(t) F(s) + G(s) af(t) e st af t st a e f t a f(t) a F(s). Sifat turunan pertama df t Bukti: sf s f df ( t) df ( t) ( ) im b df t e e st st b Misakan fungsi f t dan turunannya adaah kontinu di daam seang terbatas, maka : Misa u e st st du se

53 6 df t dv v f t maka dengan integra parsia diperoeh: df ( t) e e f ( t) s e f ( t) b st st b b st st sb s e f t f e f b sb Akan ditunjukkan im e f b b Karena f t eksponensia berorder e t, maka ada konstanta M dan T yang memenuhi: t Me f t Me t atau st t st st t e Me e f t e Me s t st s t Me e f t Me untuk t T Karena T cukup besar t T, fungsi st e f t terbatas diantara dua fungsi untuk s mendekati ketika t. Sehingga st e f t juga mendekati sb ketika t, jadi im e f b b df t sf s f. Sifat turunan kedua d f t Bukti: ( ) sf( s) f () s F s f sf ( ) () () d f ( t) st d f ( t) e st df ( t) st df ( t) e s e f () s ( ) df t

54 7 s F s f sf ( ) () () 5. Sifat eksponensia at e Bukti: s a at st at e e e e ( s a) t ( s a) t e s a e s a s a s a e

55 8 Lampiran Poe dan Zero Penduum Terbaik dengan Lintasan Datar Persamaan gerak sistem penduum terbaik dengan intasan datar diberikan oeh persamaan (.) dan (.), yaitu: ( M m) x m x u, (.9) m mx mg. (.) Karena persamaan (.9) dan (.) merupakan bentuk persamaan differensia, maka untuk mempermudah penyeesaian persamaan tersebut diubah ke daam bentuk persamaan ajabar dengan menggunakan transformasi Lapace. Transformasi Lapace dari persamaan (.9) dan (.) adaah: ( M m) s X ( s) ms ( s) sx ( s) U ( s ) (.) m s ( s) s ( s) ms X ( s) mg ( s ) (.) Persamaan (.) dan (.) dapat dituis daam bentuk matriks sebagai berikut: ( M m) s s ms ms m s s mg X ( s) U ( s) ( s) ( ) U ( s) X s ( M m) s s ms ( s) ms m s s mg X s ( ) m s s mg ms U ( s) ( s) ms ( M m) s s dengan di mana s( a s a s a s a ), a ( M m) m m a m M m ( ) a ( M m) mg a mg, seanjutnya diperoeh: X ( s) m s s mg ( s) ms U ( s).

56 9 Dengan demikian, P ( s) : x P ( s) : m s s mg X ( s) U ( s) s( a s a s a s a ), ( s) ms U ( s) a s a s a s a. Diasumsikan tidak ada friksi antara motor dan penduum serta tidak ada friksi antara motor dan intasan, yaitu, maka Px(s) dan P? (s) memiiki poe takstabi di P ( s) x m s mg s [ ( M m) m m ] s [( M m) mg], (.) P ( s) m [ ( M m) m m ] s [( M m) mg]. (.) Dimana Px ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan posisi motor x dan P ( s) merupakan fungsi transfer antara input kendai u dengan posisi sudut penduum. Menentukan Zero Pada bagian ini akan ditentukan zero dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s) a. Zero dari Px ( s) m s mg s mg m s g g adi non minimum phase zero dari Px ( s ) adaah: z g b. Zero dari P ( s) (.5) m s adi P ( s) tidak mempunyai non minimum phase zero

57 Menentukan Poe Seanjutnya akan ditentukan poe dari fungsi transfer Px ( s ) dan P ( s) ( ) s M m m m s M m mg s s s ( M m) mg ( M m) m m ( M m) g ( M m) m g( M m) ( M m) adi poe tak stabi dari Px ( s) dan P ( s) adaah: p g( M m) ( M m) (.6)

58 Lampiran Bukti Teorema Misakan sistem A, B, C, D diberikan sebagai berikut: x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) Adaah stabi asimtotik jika dan hanya jika setiap akar ciri dari matrik A mempunyai biangan rea negatif. Bukti: Misakan sousi dari definisi stabi asimtotik, yaitu: maka At x e x ; t, At e - si A = - Q( s) si A, di mana Q( s) Q s Q s... Q s Q, n n n n si A s a s... a s a Q i matriks konstan a i biangan konstan n n Diasumsikan bahwa,,..., m adaah akar ciri dari matriks A dengan mutipisitas n, n,..., n m, maka: dan matriks resovent m si A s si A i m i i n Q( s) ni i seanjutnya masing-masing eemen di dapat s n n

59 m i Q vw s ( s) ni i Peruasan pecahan parsia beraku m i ; v, w,,..., n. Q s K K K K K n n vw vw vw vw vw vw n ni s s s s s s i K s m vw m... s K mn vw nm m dengan v,w =,,, n. Misakan didefenesikan K matriks n n dengan v,w adaah eemen dari K vw, K matriks n n dengan v,w adaah eemen dari K vw, dan seterusnya. Dengan menggunakan notasi matriks, dapat dituis Seanjutnya diberikan m n si A K. s ij i j i j x At e x = - m n K ij i j s i j x = m n j t it Kij e x. i j j! Dari persamaan di atas dapat ditunjukkan bahwa jika Re i maka terbatas pada, untuk biangan integer j. Seanjutnya dengan menggunakan aturan Hospita, dapat dituiskan: im x t t Misakan i tidak mempunyai biangan rea negatife, maka t j e i t

60 t e, im ni it t diperoeh x sedemikian sehingga im x t. t K ini Berdasarkan hasi tersebut, maka kestabian dapat ditentukan dari etak akar karakteristik poinomia I A, sehingga dapat disimpukan:. Sistem adaah stabi asimtotik jika dan hanya jika Re i, untuk setiap i =,,, n. Sistem takstabi jika dan hanya jika Re i, untuk setiap i =,,, n

61 Lampiran Misakan Bukti Teorema D s s a s a s a n n n n... D s, diasumsikan bahwa akar-akar pi dari D s berniai rea atau kompeks, maka fungsi transfer P s dapat dituis menjadi: P s N s m m bs b s... bm D s n n s as... an m K s z i = n i s p i i, m n. ika D s memiiki poe-poe yang berainan, maka P s dapat diuraikan menurut pecahan parsianya, yaitu: P s N s K K Kn... D s s p s p s p n dengan K i adaah konstanta dan seanjutnya Dengan mengaikan kedua ruas dengan diperoeh K i disebut residu dari poe s p i. s pi dan mensubstitusikan s p i, N s K K K K s p s p s p... s p... s p D s s p s p s p s p i n i i i i i s p i n s p i i = Ki Terihat bahwa semua suku yang diuraikan berniai no, kecuai residu K i dapat diperoeh dari: K i. Sehingga N s Ki s pi D s s pi.

62 5 Karena y f x merupakan fungsi berniai rea, maka p, p dan K, K saing konjugat. Untuk kasus ini kita kita hanya peru menghitung K atau K, karena yang ainnya dapat diketahui. Berdasarkan definisi invers transformasi Lapace dan dengan memperihatkan bahwa: maka diperoeh K - i pit Kie s pi y K e i pit dengan pi adaah akar-akar dari D s dan niai dari K tergantung pada syarat awa dan etak zero atau akar persamaan dari N s. Terihat bahwa jika Re p i, maka beraku y ketika t. adi fungsi transfer P s beraku:. Stabi jika dan hanya jika Re p i, untuk semua i,..., n. Stabi asimtotik jika dan hanya jika Re p i, untuk semua i,..., n. Takstabi jika dan hanya jika Re p i, untuk semua i,..., n

63 6 Lampiran 5 Contoh Penggunaan Deret Tayor. Hampiri fungsi f( ) = sin ( ) ke daam deret Tayor di sekitar = ( ) sin sin cos...! sin... sin. Hampiri fungsi f( ) = cos ( ) ke daam deret Tayor di sekitar = ( ) cos cos ( sin )...! cos... cos. Hampiri fungsi f( ) = ke daam deret Tayor di sekitar = ( )...!.... Hampiri fungsi f ( x, ) x ke daam deret Tayor di sekitar x dan = f f x f ( x, ) ( x x ) ( )... x x x, x x, x x x... x x...

64 7 Lampiran 6 Peinearan Mode Sistem Penduum Terbaik dengan Lintasan Miring ( M m) x m cos( ) m sin( ) x u ( M m) g sin, (.5) m mx cos( ) mg sin( ). (.6) Karena mode persamaan (.5) dan (.6) tersebut takinear maka diinearkan terebih dahuu. Diasumsikan bahwa sudut yang dibentuk oeh penduum adaah cukup keci, dengan demikian maka sin, cos, dan x (ihat ampiran ). Diasumsikan juga bahwa x, x,, yang artinya bahwa posisi motor dan kecepatan motor di awa tidak bergerak. Begitu juga posisi sudut penduum dan kecepatan sudut penduum diawa adaah no. cos cos cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin Sehingga persamaan (.5) menjadi: ( M m) x m (cos sin ) m ( cos sin ) x u ( M m) g sin ( M m) x m cos m sin m cos m sin x u ( M m) g sin ( M m) x m cos x u ( M m) g sin adi bentuk inear persamaan (.5) adaah: ( M m) x m cos x u ( M m) g sin Persamaan (.6) menjadi: m mx mg (cos sin ) ( cos sin ) m mx mx mg mg cos sin cos sin

65 8 m mx mg mg cos cos sin adi bentuk inear persamaan (.6) adaah: m mx mg mg cos cos sin

66 9 Lampiran 7 Karakterisasi parameter sistem penduum terbaik dengan intasan datar Teorema Misakan sistem P(s) memiiki poe takstabi pk (k =,..., np) dan zero takstabi zi (i =,..., nz). Ekspresi anaitik bagi diberikan oeh * inf e( t) K * n n z p Re zi Re pk Re p i z k, ( pk p ) p i k p bkb k di mana b k : k ; n p p p pk pk ; n p nz zi pk k : zi pk i Akibat Px ( s) pada kasus ini hanya memiiki satu poe takstabi p dan satu non minimum phase zero z, maka : p z pp z p (.) dengan z p z p z p z p z p z p z p p z p p ( z p)

67 5 Sehingga dengan menyubstitusi kedaam persamaan (.) didapat p z p z zp p 8p z z zp p ( ) 8 z( z zp p ) z zp p zp z zp p z z zp p ( ) ( z p) z( z p) Dengan menyubstitusi persamaan (.5) dan (.6) ke daam persamaan (.) didapat (.) g g( M m) ( M m) g g g( M m) ( M m) (.) Dari persamaan (.) dapat disederhanakan menjadi g M m M m g g M m ( M m) M g M m M m m M m M m M m M m M m g M m M m (.) Seanjutnya m m dan dengan m massa penduum, panjang penduum massa jenis penduum disubstitusi ke persamaan (.) maka di dapat:

68 5 M M g M M (.5) Bentuk berikut: M M M M dapat dirasionakan penyebutnya sehingga menjadi: M M M M M M M M M M M M M M Sehingga persamaan (.5) menjadi. M M g, dan dapat disederhanakan menjadi g 9 6 M M 6 M M 9 g (.6) d Seanjutnya akan dicari d Misakan u 6 9 g maka u ' 5 g v M M maka

69 5 v ' M M 8 M M d M M 56 M M d g 9 g 8 M M 5 d d, maka M M 56 M M 5 g 9 g 8 M M 9 g 5 g M 6 M M M M M M 8 M 56 M M M M 8 6 M M 6 M M 8 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 9M M 9M M M M 6 M 9M M 9M 9 M M M M M 9 6 6M M 9M M 6 M 6 M M seanjutnya dapat disederhanakan menjadi 5 M 6M Untuk mencari panjang penduum minima dicari akar-akar dari persamaan terakhir sebagai berikut :

70 5 5 M 5 M M, 5 M M 65,, 5M 65M 5 65 M 5 65 M adi panjang penduum optima adaah: 65 5 M m M 65 5 (.7)

71 5 Lampiran 8 Karakterisasi parameter sistem penduum terbaik dengan intasan miring Teorema Misakan sistem P(s) memiiki poe takstabi pk (k =,..., np) dan zero takstabi zi (i =,..., nz). Ekspresi anaitik bagi diberikan oeh * inf e( t) K * n n z p Re zi Re pk Re p i z k, ( pk p ) p i k p bkb k di mana b k : k ; n p p p pk pk ; n p nz zi pk k : zi pk i Akibat Px ( s) pada kasus ini hanya memiiki satu poe takstabi p dan satu non minimum phase zero z, maka : p z pp z p (.) dengan z p z p z p z p z p z p z p p z p p ( z p)