KONSTRUKSI FUNGSI µ REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS SKRIPSI. Oleh: SUCI RAHAYU NIM:

Transkripsi

1 KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS SKRIPSI Oleh: SUCI RAHAYU NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI UIN MALANG MALANG 009

2 KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS SKRIPSI Diajkan Kepada: Uniersitas Islam Negeri Malang Untk Memenhi Salah Sat Persaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains S.Si Oleh: SUCI RAHAYU NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI UIN MALANG MALANG 009

3 KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS SKRIPSI Oleh: SUCI RAHAYU NIM Telah Disetji ntk Diji Malang 6 Janari 009 Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II Eawati Alisah M.Pd Ahmad Barii M.A NIP NIP Mengetahi Keta Jrsan Matematika Sri Harini M. Si NIP

4 KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS SKRIPSI Oleh: SUCI RAHAYU NIM Telah Dipertahankan di Depan Dewan Pengji Skripsi dan Dinatakan Diterima sebagai Salah Sat Persaratan ntk Memperoleh Gelar Sarjana Sains S.Si Tanggal: 0 Janari 009 Ssnan Dewan Pengji: Tanda Tangan. Pengji Utama : Wah H. Irawan M.Pd NIP: Keta : Sri Harini M.Si NIP: Sekretaris : Eawati Alisah M.Pd NIP: Anggota : Ahmad Barii M.A NIP: Mengetahi dan Mengesahkan Keta Jrsan Matematika Sri Harini M.Si NIP:

5 Kara kecil ini k persembahkan ntk Keda orang tak Bapak Lamidi dan Ib Monah ang tak pernah pts mendo akan anak-anakna. De Mor ang merawatk dari kecil sampai besar memberikan kebahagiaan tersendiri selama ak di rmah. Kakak-kakak k tercinta Mbak Lasmi Mbak Tin Mas Kri ang jga memberikan ang terbaik bat adik. Untk kelarga kakak-kakak k Mas Il Mas Mail Mbak Nana dan keponakan-keponakank Riska Ysf Dira Alifah dan adik bar Dira. Untk sema kelarga lainna ang jga memberikan dorongan dan bantan dalam menelesaikan kliah ini sadara seppk ang senantiasa menjadi teman crhat Mfidah dan sadara-sadara ang lainna. Sahabat terbaikk Rina dan teman-teman kos Gitar Ta Mas Widagdo ang berperan besar dalam menelesaikan skripsi ini. Teman-teman angkatan 004 ang menjadi kelarga selama Sci di Malang Kalian memberikan keceriaan ang akan selal k kenang. Bapak dan Ib kos ang sdah menganggap anak-anak kosna sebagai anakna sendiri serta kelarga. Terima kasih bat semana..

6 ÉÉÉ ÏÏ $$ ÇÇÇ $$ «««$$ ÉÉÉ óó ÎÎ MOTTO SETIAP MENGERJAKAN PERBUATAN BAIK AWALI DENGAN ÉΟŠÏ Ïm 9$ $# Ç Η q 9$ $# «!$ $# ÉΟó ó Î Î0 DAN HIDUP ADALAH PERJUANGAN

7 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saa ang bertanda tangan dibawah ini: Nama : SUCI RAHAYU NIM : Jrsan : Matematika Fakltas : Sains dan Teknologi menatakan dengan sebenarna bahwa skripsi ang saa tlis ini benar-benar merpakan hasil kara saa sendiri bkan merpakan pengambilalihan data tlisan ata pikiran orang lain ang saa aki sebagai hasil tlisan ata pikiran saa sendiri. Apabila di kemdian hari terbkti ata dapat dibktikan skripsi ini hasil jiplakan maka saa bersedia menerima sanksi atas perbatan tersebt. Malang 6 Janari 008 Yang membat pernataan Sci Raha NIM

8 KATA PENGANTAR Assalam alaikm Wr. Wb. Segala pji bagi Allah SWT karena atas rahmat tafiq dan hidaah-na penlis dapat menelesaikan penlisan skripsi sebagai salah sat sarat ntk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakltas Sains dan Teknologi Uniersitas Islam Negeri Malang. Penlis menadari bahwa banak pihak ang telah berpartisipasi dan membant dalam menelesaikan penlisan skripsi ini. Untk it iringan do a dan capan terima kasih ang sebesar-besarna penlis sampaikan tamana kepada:. Prof. Dr. H. Imam Spraogo selak Rektor Uniersitas Islam Negeri UIN Malang.. Prof. Drs Stiman Bambang Smitro SU D.Sc selak Dekan Fakltas Sains dan Teknologi UIN Malang. 3. Sri Harini M.Si selak Keta Jrsan Matematika Fakltas Sains dan Teknologi UIN Malang. 4. Eawati Alisah M.Pd ang telah bersedia melangkan waktna ntk memberikan bimbingan dan pengarahan selama penlisan skripsi di bidang matematika. 5. Ahmad Barii M.A ang telah bersedia memberikan bimbingan dan pengarahan selama penlisan skripsi di bidang agama. 6. Ari ksmastti M.Si ang bersedia memberikan sedikit waktna ntk membimbing penlis ntk lebih memahami. 7. Segenap dosen pengajar atas ilm ang telah diberikan kepada penlis. 8. Keda orang ta tercinta ang selal mendidik mencintai serta selal menjadi motiator terbaik bagi penlis. 9. Kakak-kakak tercinta ang selal memberikan motiasi dan bersedia memberi bantan selama penlis kliah.

9 0. Segenap kelarga ang senantiasa memberikan do a dan dkngan ang terbaik bagi penlis.. Teman-teman Matematika tertama angkatan 004 beserta sema pihak ang telah membant penelesaian skripsi ini. Dalam pensnan skripsi ini tentna masih terdapat banak kesalahan dan kekrangan sehingga penlis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan skripsi ini. Akhirna semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita sema. Amien. Wassalam alaikm Wr. Wb. Malang Janari 009 Penlis

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii ABSTRAK... BAB I: PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Rmsan Masalah Tjan Penelitian Batasan Masalah Manfaat Penlisan Metode Penelitian Sistematika Pembahasan... 7 BAB II: KAJIAN TEORI Fngsi Bilangan Kompleks Fngsi Kompleks....4 Differensial....5 Integral Kompleks Persamaan Cach-Riemann Fngsi Bessel Fngsi harmonik Fngsi Panharmonik Fngsi Reglar... 0

11 . Penelesaian persamaan differensial dengan Integral Kontr... 4 BAB III: PEMBAHASAN Definisi Fngsi Reglar Konstrksi Fngsi Reglar Penajian Sifat Integral Kontr Fngsi Reglar BAB IV: PENUTUP Kesimplan Saran DAFTAR PUSTAKA... i

12 ABSTRAK Raha Sci Konstrksi Fngsi Reglar Dari Fngsi Panharmonik Bernilai Kompleks. Skripsi Jrsan Matematika Fakltas Sains dan Teknologi Uniersitas Islam Negeri UIN Malang. Pembimbing: I. Eawati Alisah M.Pd II.Ahmad Barii M.A Kata Knci: Fngsi Kompleks Persamaan Cach-Riemann Fngsi Harmonik Fngsi Panharmonik Fngsi Reglar. Fngsi kompleks merpakan fngsi ang terdiri dari ariabel ang bernilai real dan ariabel ang bernilai imaginer. Sat fngsi kompleks f i jika di deferensialkan didapatkan persamaan Cach- Riemann dan persamaan differensial tersebt jika kita f f differensialkan lagi akan menghasilkan persamaan 0 ang biasa disebt fngsi harmonik. Dalam pasa orang Mslim terdapat tiga tingkatan ait pasana orang awam pasana orang khss dan pasana orang khss lebih dari khss jadi jika didefferensialkan tingkatan tersebt menjadi trnan ketiga. Jika sat fngsi harmonik ang dipermm menghasilkan persamaan dimana konstanta real positif biasa disebt fngsi panharmonik. Jika fngsi panharmonik dipenhi maka selanjtna bisa dibktikan bahwa fngsi tersebt merpakan fngsi reglar apabila memenhi persamaan dan. Konstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik ang bernilai kompleks mennjkkan bahwa terdapat fngsi reglar ang bagian realna. Dari konstrksi tersebt jga terdapat fngsi reglar ang bagian imaginerna. Selain dengan menggnakan permman Cach-Riemann ntk mengji ke- reglaran sat fngsi panharmonik ang bernilai kompleks jga bisa menggnakan operator L dimana L i ang memenhi persamaan Lf f. Dalam tlisan ini jga dibktikan beberapa penajian sifat integral kontr sat fngsi reglar.

13 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Matematika merpakan salah sat cabang ilm pengetahan ang banak sekali manfaatna. Demikian jga perkembangan ilm pengetahan dan teknologi ang sangat pesat saat ini tidak lepas dari peran serta ilm matematika. Telah diketahi bahwa banak ahli matematika mencoba mendefinisikan matematika sebagai ilm tentang bilangan dan rang ilm tentang besaran ilm tentang bentk dan lain sebagaina. Definisi ang ada semana benar berdasar sdt pandang tertent. Ciri khas ilm matematika ang tidak dimiliki ilm pengetahan lain adalah merpakan abstraksi dari dnia nata menggnakan bahasa simbol dan mengant pola pikir dedktif. Dalam kehidpan sehari-hari banak masalah ang mncl sebagai jian dalam menjalani kehidpanna tetapi masalah-masalah tersebt memiliki bentk model matematika ang sama. Sehingga dengan mencari penelesaian model matematika tersebt sema masalah tadi dapat terselesaikan. Jika ditinja dari penelesaian sat model matematika kadang-kadang penelesaian model ang sat dapat dignakan ntk menelesaiakan model matematika ang laina. Hal ini berarti bahwa jika sat model matematika ang bisa diselesaikan maka dapat dikonstrksi salah sat bentk penelesaian model matematika ang lainna.

14 4 3 Sesai dengan firman Allah SWT: ãνßγètβ tαt Ρr&ρ t Í É ΨãΒρš ÌÏe±;ãΒ ÍhŠÎ; Ψ9$# ª!$# ]èt7sù Zο Ïn ρzπ Βé& â $ Ζ9$# tβ%. āωî ÏŠÏù #ntg $# $tβρ ÏŠÏù #θà ntf $# $ϑšïù Ä $ Ζ9$# t t/ Νä3ósŠÏ9 Èdsø9$Î/ tgå3ø9$# š Ï%!$# ª!$# γsù óοßγoψ t/ $JŠøót/ àm oψéit6ø9$# ÞΟßγø?!%ỳ $tβ Ï èt/. ÏΒ çνθè?ρé& t Ï%!$# :Þ ÅÀ 4 n<î â!$t±o tβ Ï ôγtƒ ª!$#ρ ÏÏΡøŒÎ*Î/ Èdsø9$# ÏΒ ÏŠÏù #θà ntf $# $ϑï9 #θãζtβ#?λ ÉtGó Β Artina: Mansia it adalah mat ang sat. setelah timbl perselisihan Maka Allah mengts Para Nabi sebagai pemberi peringatan dan Allah menrnkan bersama mereka kitab ang benar ntk memberi keptsan di antara mansia tentang perkara ang mereka perselisihkan. Tidaklah berselisih tentang kitab it melainkan orang ang telah didatangkan kepada mereka Kitab Yait setelah datang kepada mereka keterangan-keterangan ang nata karena dengki antara mereka sendiri. Maka Allah memberi petnjk orang-orang ang beriman kepada kebenaran tentang hal ang mereka perselisihkann it dengan kehendak-na. dan Allah selal memberi petnjk orang ang dikehendaki-na kepada jalan ang lrs. QS Al-Baqoroh 3. Hal tersebt jga terdapat pada QS Alam Nasroh aat 5-6 ang berbni: #Zô ç Îô ãèø9$# ìtβ βî #ô ç Îô ãèø9$# ìtβ βî*sù Artina: Karena Sesngghna sesdah keslitan it ada kemdahan. Sesngghna sesdah keslitan it ada kemdahan. QS Alam Nasroh 5-6. Dari aat diatas ait sesdah keslitan it ada kemdahan mennjkkan bahwa setiap masalah akan ada penelesaianna. Mansia merpakan sekelompok makhlk ang diberikan akal pikiran dan selal diberikan cobaan dalam kehidpanna. Sebagai makhlk ang semprna

15 dan mempnai akal pikiran maka setiap ada permasalahan mansia diharapkan dapat menelesaikan permasalahan ang dihadapina serta membant menelesaikan masalah ang dihadapi oleh mansia lainna ang ada di sekitarna karena telah dijelaskan bahwa Allah mengts Para Nabi sebagai pemberi peringatan dan Allah menrnkan bersama mereka kitab ang benar. Begit jga dalam permasalahan matematika setiap permasalahan akan ada penelesaianna. Dalam matematika ntk setiap permasalahan sdah ada rmsna penelesaianna dan setiap penelesaian ang diselesaikan dengan rms kadang-kadang dapat dignakan ntk menelesaiakan masalah lainna ang masih berhbngan. Fngsi kompleks merpakan fngsi ang terdiri dari ariabel bernilai real dan ariabel ang bernilai khaal ata biasa disebt imaginer. Dalam fngsi reglar fngsi ang dignakan adalah fngsi ang bernilai kompleks ang diselesaikan dengan menggnakan Persamaan Differensial dan Integral. Hal ini disebabkan karena fngsi reglar merpakan sb rang dari fngsi panharmonik ang bernilai kompleks. Jadi dalam mempelajari fngsi reglar terlebih dahl hars paham tentang differensial dan integral fngsi kompleks. Persamaan differensial adalah salah sat persamaan ang sering dignakan dalam pemodelan matematika karena banak hal ang lebih cocok jika diselesaikan dengan menggnakan persamaan differensial. Pengembangan teori fngsi harmonik di rang fngsi bernilai kompleks ang memenhi sarat Cach-Rieman dikenal dengan fngsi

16 analitik ata holomorpik. Sedangankan pengembangan fngsi panharmonik di rang fngsi bernilai kompleks ang memenhi sarat Cach-Riemann ang dipermm dikenal sebagai fngsi analitik sem ata fngsi reglar. Selain adana keterkaitan fngsi harmonik dengan fngsi panharmonik fngsi reglar jga mempnai keterkaitan dengan fngsi analitik. Terdapat kemiripan sarat ang hars dipenhi oleh fngsi analitik dan fngsi reglar. Sarat fngsi analitik ait hars memenhi persamaan Cach-Riemann sedangkan fngsi reglar hars memenhi persamaan Cach-Riemann ang dipermm. Jadi dalam hal ini ada beberapa sifat fngsi analitik ang jga dipenhi sebagai sifat dalam fngsi reglar. Dari permasalahan inilah mncl permasalahan ang akan dikaji lebih lanjt ang berkaitan dengan fngsi reglar dan dalam skripsi ini penlis mengambil tema KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR DARI FUNGSI PANHARMONIK BERNILAI KOMPLEKS.. Rmsan Masalah Dalam pembahasan tlisan ini permasalahan ang akan dikaji adalah sebagai berikt:. Bagaimana konstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks.. Bagaimana penajian sifat integral kontr pada fngsi reglar.

17 .3 Tjan Penelitian Sesai dengan rmsan masalah diatas maka tjan dalam penelitian ini adalah sebagai berikt:. Mengetahi konstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks.. Mengetahi penajian sifat integral kontr pada fngsi reglar.4 Batasan Masalah Kajian tentang fngsi reglar sangat las dan dapat direpresentasikan ke berbagai hal serta dapat dioperasikan dengan berbagai sifat operasi akan tetapi dalam tlisan ini penlis hana membahas konstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks secara mm dan penajian sifat integral kontr ntk fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks ang secara mm jga..5 Manfaat Penelitian. Bagi peneliti sebagai tambahan wawasan dan pengetahan mengenai fngsi reglar.. Bagi jrsan matematika a. Memberikan sedikit smbangsih ang berpa bahan kajian dan pengembangan matematika mrni sehingga selain dapat menggnakan teori matematika dalam aplikasina ang nata jga dapat mengembangkan ilm matematika it sendiri.

18 b. Sebagai bahan referensi tentang fngsi reglar..6 Metode Penelitian Metode merpakan cara tama ang akan ditemph ntk menemkan jawaban dari sat permasalahan. Metode penelitian ang dignakan dalam penlisan skripsi ini adalah Kajian Kepstakaan dan Pembktian. Pembahasan pada skripsi ini dilakkan dengan:. Mengmplkan data dan mempelajari literatr ang berpa bk-bk makalah dokmentasi notlen catatan harian internet dan lain-lain ang berkaitan dengan masalah penelitian ang akan dignakan dalam mengkonstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks dan penajian sifat integral kontr pada fngsi reglar. Adapn literatr tama ang penlis gnakan berpa jrnal ang berjdl Fngsi Reglar kara Endang Caha M.A. Menentkan pokok permasalahan dari literatr tama berpa cara mengkonstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks dan mengetahi penajian sifat integral kontr pada fngsi reglar. 3. Untk mengkonstrksi sat fngsi reglar dari fngsi panharmonik sat fngsi f i merpakan fngsi kontin ang memenhi persamaan Cach-Riemann. Kemdian fngsi tersebt merpakan fngsi panharmonik dan selanjtna memenhi persamaan

19 Cach-Riemann ang dipermm ata biasa di tlis C-R- dimana persamaan tersebt ait: Selain menggnakan persamaan permman Cach-Riemann seperti persamaan diatas ke- reglaran sat fngsi panharmonik bernilai kompleks dapat pla di bktikan dengan operator Laplace L dimana L i dan Lf f. Dalam fngsi reglar jga berlak fngsi sekawan. 4. Pengjian sifat integral kontr fngsi reglar dilakkan dengan mendefinisikan bagian real dan bagian imaginer masing-masing fngsi reglar dan jga menggnakan operator Laplace..7 Sistematika Pembahasan Agar dalam penlisan dan pembahasan skripsi ini sistematis dan mdah ntk dipahami maka pembahasanna dissn menjadi empat bab sebagai berikt: BAB I: Pendahlan ang berisi latar belakang rmsan masalah tjan penelitian batasan masalah manfaat penelitian metode penelitian dan sistematika pembahasan.

20 BAB II: Kajian pstaka ang berisi teori-teori ang mendkng terhadap rmsan masalah penelitian. BAB III: Pambahasan ang berisi lasan tentang jawaban dari rmsan masalah. BAB IV: Pentp berisi kesimplan dan saran.

21 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan dipaparkan teori-teori ang dignakan sebagai acan dalam menelesaiakan permasalahan pada bab selanjtna serta ang berkaitan dengan pokok permasalahan ang dibahas.. Fngsi Terdapat sembarang da himpnan ang tidak kosong A dan B. fngsi f dari himpnan A ke himpnan B adalah atran pengawanan setiap elemen A dengan tepat sat elemen B. Elemen ini biasana dinatakan dengan f ang dinamakan nilai fngsi f di ata baangan oleh fngsi f. Himpnan A dinamakan daerah definisi dan B daerah hasil ata daerah nilai fngsi f. Himpnan f A { B : f A} dinamakan jangkaan fngsi f jadi f A B. Jika fa sat himpnan sejati dari B maka f dinamakan fngsi dari A kedalam B. Jika fa fb maka f dinamakan fngsi dari A kepada B. Perl diingat fngsi adalah sat pengawanan secara tnggal artina setiap didalam daerah definisi dikawankan dengan tepat sat elemen didalam daerah hasil. Ini tidak berarti bahwa setiap didalam daerah hasil menjadi kawan sat elemen didalam daerah definisi. Mngkin elemen it mempnai kawan lebih dari sat elemen tetapi mngkin jga tidak berkawankan sat elemen pn didalam daerah definisi. Jika digambarkan dengan diagram panah ait:

22 4 A B f Dalam diagram panah tersebt diatas A adalah himpnan asal dan B adalah himpnan kawan ata daerah hasil. Relasi ata hbngan antara mansia ang sat dengan ang lainna dapat digambarkan seperti: Mansia Mansia Tali agama sesai dengan firman Allah dalam srat Ali- imran aat 03 ait: [!# ôãr& Λä Ζä. øœî öνä3ø ntæ«!$# Mϑ èïρ#ρãä.øœ$#ρ #θè% s? Ÿωρ $Yè Ïϑ_«!$# È ö7pt #θßϑåátgôã$#ρ Í $ Ζ9$# ÏiΒ ;οtø ãm $ 4 n?tã Λä Ζä.ρ $ZΡ θ Î ÿ ÏÏFΚ èïζî/ Λä óst7ô¹r'sù öνä3î/θèè% t t/ # 9r'sù tβρß tgöκse /ä3ªès9 ÏÏG tƒ# öνä3s9ª!$# ß Îi t6ãƒ7ï9. 3 $pκ ]ÏiΒΝä. sρr'sù Artina:Dan berpeganglah kam semana kepada tali agama Allah dan janganlah kam bercerai berai dan ingatlah akan nikmat Allah kepadam ketika kam dahl masa Jahiliah bermsh-mshan Maka Allah mempersatkan hatim lal menjadilah kam karena nikmat Allah orang-orang ang bersadara; dan kam telah berada di tepi jrang neraka lal Allah menelamatkan kam dari padana. Demikianlah Allah menerangkan aat-aat-na kepadam agar kam mendapat petnjk. QS Ali- imran 03 Aat tersebt menjelaskan bahwa setiap mansia mempnai sat hbngan dengan mansia ang lainna. Sesai dengan aat sebelmna dijelaskan bahwa mansia hidp di dnia akan menghadapi berbagai rintangan

23 dan masalah ntk lebih mengatkan mansia it agar bisa bertahan. Untk menelesaikan masalah tersebt dibthkan seseorang ang diharapkan bisa mengrangi beban tersebt ata bahkan bisa membant menelesaiaknna. Jadi dalam hal ini terdapat hbngan ang sangat erat antara mansia sat dengan mansia ang lainna. Dan ntk menjaga hbngan tersebt diperlkan sat tali sebagai pengikat ang dapat mempererat dsaling menjaga. Dan tali tersebt adalah agama ata kepercaaan ang di akinina.. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks dinatakan dalam bentk: i dimana dan adalah bilangan riil dan i adalah satan khaal imaginer nit sedemikian sehingga i. Jika i maka dinamakan bagian riil dari dan dinamakan bagian khaal dari dan bertrt-trt dinatakan dengan Re { } dan Im { }. Lambang ang dapat ditempatkan ntk sesat dari himpnan bilangan kompleks dinamakan pebah kompleks. Jadi bilangan kompleks adalah bilangan ang berbentk i dengan dan bilangan real dan i Operasi-operasi dasar bilangan kompleks ait:. Penjmlahan a bi c di a bi c di a c b d i

24 . Pengrangan a bi c di a bi c di 3. Perkalian a c b d i a bi c di ac adi bci bdi 4. Pembagian ac bd ad bc i a bi a bi c di c di c di c di ac adi bci bdi c d i ac bd bc ad i c d ac bd bc ad i c d c d Da bilangan kompleks i dan a ib dikatakan sama jika dan hana jika a dan b. Kita dapat memandang bilangan riil sebagai bagian dari himpnan bilangan komplek dengan 0. Jadi bilangan kompleks 0 0i dan 3 0i bertrt-trt menatakan bilangan 0 dan -3. Jika 0 maka bilangan kompleks 0 i ata i dinamakan bilangan khaal sejati. Kompleks sekawan ata disingkat kawan dari sat bilangan kompleks i adalah bilangan i. Kompleks sekawan sat bilangan kompleks seringkali dinatakan dengan ata *. Selain disebt sebagai sekawan jga biasa disebt sebagai konjgat. Sifat-sifat operasi konjgat ait:

25 / / Re Im i Im Re.3 Fngsi Kompleks Diberikan D sat sb himpnan bilangan kompleks C. Jika menatakan sembarang titik didalam D jadi menatakan bilangan kompleks dalam D. Maka danamakan sat ariabel kompleks. Untk D maka nilai fngsi f adalah bilangan kompleks. Fngsi ang bernilaikan bilangan kompleks disebt fngsi bernilai kompleks ata disingkat fngsi kompleks. Jika diberikan fngsi bernilai kompleks dari ariabel kompleks f maka f i dengan dan fngsi bernilai real dari ariabel real dan. Fngsi dan bertrt-trt dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari fngsi f.4 Fngsi Kontin Misalkan f terdefinisi dan bernilai tnggal dalam sat lingkngan dari 0 dan pada 0. f kontin di sat titik 0 jika memenhi: a lim f l ada 0 b f 0 ada ait f terdefinisi di 0 c f l 0

26 Sat fngsi f dikatakan kontin pada sat daerah jika fngsi tersebt kontin di sema titik pada daerah tersebt.5 Differensial Misalkan d sat pertambahan ang diberikan ntk. maka w f f dinamakan pertambahan dalam w f. Jika f kontin dan memiliki trnan pertama ang kontin dalam sat daerah maka dimana 0 ntk 0 ' ' w f f d. Bentk ' dw f d dinamakan differensial dari w ata f ata bagian tama dari w. Perhatikan d bahwa secara mm w dw. Kita menamakan d sebagai differensial dari. Biasa ditliskan dw d ' f lim f f w lim 0 0 Ini menegaskan bahwa d dan dw bkan limit dari dan w bilamana 0 karena limit ini adalah nol sedangkan d dan dw tidak perl nol. Sebagai pengganti jika diberikan d maka kita menentkan dw dari ' dw f d ait dw adalah sat pebah tak bebas ang ditentkan dari pebah tak bebas d ntk sat ang diberikan.

27 Sangat bergna sekali ntk menganggap d d sebagai sat operator ' ang bilamana bekerja pada w f akan memberikan dw d f. Jika C konstanta kompleks dan f ' dan g ' ada maka berlak rms-rms berikt: d. c 0 d d d d d. [ cf ] c [ f ] d d d d d d 3. [ f ± g ] [ f ] ± [ g ] d d 4. [ f g ] f ' g f g' 5. d d f g g f ' [ g ] f 0g' ntk g 0..6 Integral kompleks Definisi: Untk fngsi kompleks dari ariabel real f i dengan didefinisikan d d f i d Integral kompleks diras kiri pada persamaan diatas telah didefinisikan dengan baik sebab kita telah mengenal definisi keda integral fngsi real diras kanan. Jika dan kontin sepotong-sepotong pada [] maka keda integral diras kanan pada persamaan diatas ada demikian jga integral diras kiri. Tentang integral pada persamaan diatas berlak sifat-sifat sebagai berikt.

28 . Re f d Re f d. Im f d Im f d 3. { g } f d f d g d 4. k f d kf d dimana k adalah konstanta 5. f d f d a 6. f d f d f d 7. f d f d a b a.7 Persamaan Cach Riemann Dalam pembahasan fngsi reglar sarat ang sangat perl sebelm pembktian adalah fngsi tersebt harslah memenhi sifat Cach-Riemann ang dipermm ata biasa ditliskan C-R-. Sat sarat perl agar w f i analitik dalam sat daerah R adalah dan memenhi persamaan Cach Riemann Jika trnan parsial dalam persamaan diatas kontin dalam R maka persamaan Cach Rieman adalah sarat ckp agar f analitik dalam R. Fngsi dan sering kali dinamakan fngsi sekawan jika salah sat dari padana di berikan maka kita dapat menentkan ang lainna

29 terlepas dari sat konstanta penjmlahan sembarang sehingga i f analitik..8 Fngsi Bessel Persamaan differensial λ 0 d d d d dikenal sebagai persamaan Bessel berorde ν dengan parameter real λ. Persamaan bessel ini memiliki penelesaian berbentk Untk ν n Z dan t λ dengan d t aj n t bj n t t J n J t n k 0 k t n k k! n k ang selanjtna fngsi ini disebt fngsi Bessel jenis pertama berorde n. Jika ntk kass λ i pada persamaan ang pertama maka persamaanna menjadi d d 0 d d ang selanjtna dikenal sebagai persamaan Bessel ang dimodifikasi jenis pertama berorde ν. Penelesaian persamaan keda dapat diperoleh dari penelesaian persamaan pertama ait dengan mensbsitsikan λ i. Untk ν n Z penelesaian persamaan keda mempnai bentk

30 d ai n bi n I n dengan I i n n k 0 J i n t n k k! n k n 4 n!! n! n n Fngsi I n dikenal sebagai fngsi Bessel jenis pertama ang dimodifikasi. Fngsi ini biasa jga ditlis sebagai dengan I n Ψn n! Ψn... n. n n Jika n 0 maka diperoleh I Ψ 0 0 n 4.9 Fngsi Harmonik Di berikan fngsi f i ang analitik pada domain D. Jadi dalam D berlak persamaan Cach Riemann. dan Karena sema deriatif parsial kontin pada D maka berlak pada D. Dengan mendefinisikan persamaan Cach Riemann ang pertama ke dan

31 ang keda ke kemdian dijmlahkan maka di peroleh: 0 berlak di selrh D dengan cara ang serpa di peroleh jga 0 ntk sema D. Jadi jika f analitik pada D maka dan dalam D memenhi persamaan differensial Laplace dalam da dimensi φ φ 0 Fngsi real dari da ariabel real ang mempnai deriatif parsial pertama dan keda ang kontin persamaan differensial Laplace dalam sat domain dinamakan fngsi harmonik pada domain it. Jadi dan dimana f i analitik pada sat domain maka mereka harmonik dalam domain it..0 Fngsi Panharmonik Persamaan differensial di mana sebah konstanta real positif di sebt persamaan Ykawa. Sebah fngsi C ang memenhi persamaan Ykawa di sebt fngsi panharmonik. Sat fngsi kompleks bisa dikatakan fngsi panharmonik jika fngsi tersebt memenhi persamaan Cach-Riemann. Jadi dalam membktikan fngsi tersebt termask fngsi panharmonik hars dibktikan terlebih dahl bahwa fngsi tersebt memenhi persamaan Cach-Riemann.

32 Teorema: Misalkan i f fngsi bernilai kompleks di Ω C. Fngsi f panharmonik jika dan hana jika dan masing-masing fngsi panharmonik. Bkti Misalkan i f panharmonik pada Ω maka: f i i i i i f f Jadi dari persamaan diatas dapat disimplkan bahwa dan jga merpakan fngsi panharmonik karena masing-masing dan panharmonik. Teorema: Misalkan f fngsi panharmonik bernilai kompleks dan c sat konstanta kompleks. Maka cf jga panharmonik. Bkti Misalkan i f dimana masing-masing fngsi panharmonik bernilai real dan misalkan pla C c dimana ib a c. pandang bahwa b a i b a cf h

33 Maka b a i b a h b a i b a h Jadi diperoleh cf h h Teorema Misalkan f fngsi panharmonik bernilai kompleks maka ' f jga fngsi panharmonik. Bkti Misalkan i i i f h Maka i i peroleh kita Jadi h i h h

34 . Fngsi Reglar Pada awalna pendefinisian fngsi ν reglar pada fngsi bernilai kompleks f i bila berlak Lf f dimana operator L i dan ν bilangan kompleks. Tetapi pada akhirna Dffin tidak lagi menggnakan bilangan kompleks ν melainkan menggnakan bilangan real dan istilah ang dignakan reglar kanan dan reglar kiri. Bila ν bilangan positif maka f ang memenhi Lf f disebt reglar kanan dan jika ν maka disebt reglar kiri. Dengan sarat kereglaran kanan Lf f ini bersesaian dengan persamaan Cach-Riemann ang dipermm Maka f di sebt fngsi reglar. Jadi fngsi reglar adalah fngsi ang memenhi persamaan Permman Cach-Riemann ait: Dalam Colton fngsi ini di sebt jga fngsi analitik sem psedo analitic dan dapat di tnjnkkan bahwa fngsi f dan masing-masing fngsi panharmonik.

35 Untk pengjian ke reglaran sat fngsi bernilai kompleks f di C dapat di gnakan Lf f dimana L i. Dalam firman Allah srat Al-Insiqaaq aat 9 ait: 9t7sÛ tã $ t7sû ã. tis9 Artina: Sesngghna kam melali tingkat demi tingkat. QS Al-Insiqaaq 9 Imam Al-Ghaali dalam kitab Iha' Ulmddin membagi pasa dalam tiga tingkatan ait:. Pasana Orang Awam Pasana orang awam adalah pasa ang hana menahan pert dari makan dan minm dan kemalan dari mempertrtkan sahwat. Raslllah Saw bersabda: آ م من ص ا ي م ل ي س ل ه م ن ص و م ه إلا ال ج و ش وال ع ط ع Artina: "Berapa banak orang ang berpasa namn tidak didapatkan dari pasana it kecali has dan lapar." Imam Al-Ghaali berkata : "Berapa banak orang ang berpasa namn ia tidak mendapatkan dari pasana it selain lapar dan has. Sebab hakikat pasa it adalah menahan hawa nafs bkanlah sekedar menahan lapar dan has. Boleh jadi orang tersebt memandang ang haram menggnjing dan berdsta. Maka ang demikian it membatalkan hakikat pasa." Para Ulama berkata: "Betapa banak orang ang berpasa padahal ia berbka tidak berpasa dan betapa banak orang ang berbka padahal ia berpasa." Yang dimaksd dengan orang ang berbka tetapi berpasa ialah menjaga anggota tbhna dari perbatan dosa sementara ia tetap makan dan minm.

36 Sedangkan ang dimaksd dengan berpasa tapi berbka ialah ang melaparkan pertna sementara ia melepaskan kendali bagi anggota tbh ang lain.. Pasana Orang Khss Yait pasana orang-orang sholeh ang selain menahan pert dan kemalan jga menahan sema anggota badan dari berbagai dosa kesemprnaanna ada 7 perkara ait: a. Menndkkan pandangan dan menahanna dari memandang hal ang dicela dan dibenci kesetiap hal ang dapat menibkkan diri dari mengingat Allah Swt. b. Menjaga lisan dari membal dsta ghibah perkataan kasar pertengkaran perdebatan dan mengendalikanna dengan diam menibkkan dengan dikrllah dan membaca Al-qr'an. c. Menahan pendengaran dari mendengarkan setiap hal ang dibenci makrh karena setiap hal ang diharamkan perkataanna diharamkan pla mendengarna. d. Menahan berbagai anggota badan lainna dari berbagai dosa seperti tangan kaki dari hal-hal ang dibenci menahan pert dari memakan makanan ang sbhat meragkan pada saat tidak pasa berbka. e. Tidak memperbanak makanan ang halal pada saat berbka sampai penh pertna karena tidak ada wadah ang dibenci oleh Allah kecali pert ang penh dengan makanan halal. Bagaimana pasana bisa bermanfaat ntk menndkkan mshna setan dan mengalahkan

37 sahwatna jika orang ang berpasa pada saat berbka melahap berbagi makanan sebagai pengganti makanan ang tidak dibolehkan memakanna pada siang hari. Bahkan menjadi tradisi menimpan dan mengmplkan makanan sebagai persiapan pada saat berbka padahal makanan ang tersimpan it melebihi kapasitas pert kita bahkan mngkin bisa ntk makanan sat mingg. f. Mengrangi Tidr. Banak orang ang termakan oleh hadist dhaif lemah "Bahwa tidrna orang berpasa adalah ibadah" padahal telah menjadi kebiasaan Raslllah Saw "Apabila blan Ramadhan tiba belia melipat alas tidrna mengrangi tidr mengetatkan sarngna akni bersngghsnggh dalam ibadah serta mengajak kelargana berbat seperti it pla". g. Cemas dan harap. Hendaklah hatina dalam keadaan "tergantng" dan "tergncang" antara cemas dan harap karena tidak tah apakah pasana diterima dan termask golongan ang Mqorrobin ata ditolak sehingga termask orang ang dimrkai oleh Allah Swt. Hendaklah hatina selal dalam keadaan demikian setiap selesai melakkan kebaikan. Hadisthadist Raslllah Saw "Pasa adalah perisai tabir penghalang dari perbatan dosa. Maka apabila seseorang dari kam sedang berpasa janganlah ia mengcapkan sesat ang keji dan janganlah ia berbat jahil." HR Bkhari-Mslim. Lima hal ang dapat menggnjing orang membatalkan pasa: berkata dsta ghibah memfitnah smpah dsta dan memandang dengan sahwat.

38 "Barang siapa ang tidak dapat meninggalkan perkataan kotor dan dsta selama berpasa maka Allah Swt tidak berhajat kepada pasana." HR Bkhari "Orang ang menggnjing dan mendengarkan gnjingan kedana bersekt dalam perbatan dosa." HR Ath-Thabrani. 3. Pasana Orang Khss Lebih dari Khss Yait pasa hati dari berbagai keinginan ang rendah dan pikiranpikiran ang tidak berharga jga menjaga hati dari selain Allah secara total. Pasa ini akan menjadi "batal" karena pikiran selain Allah pikiran tentang dnia. Ini adalah pasana para Nabi dan Rasl Allah Swt. Telah diketahi bahwa dalam pasa terdapat beberapa tingkatan. Jika kita aplikasikan dalam fngsi reglar dimana adalah konstanta real positif sehingga nilai dari adalah bilangan real positif. Pasa merpakan sat kewajiban bagi mat mslim diwakt Ramadhan dan telah dijelaskan sebelmna bahwa dalam pasa tersebt ada beberapa tingkatan walapn terkesan bahwa pada tingkatan ang pertama tersebt krang baik dan termask rendah akan tetapi kita tetap mendapat pahala karena kita sdah melaksanakan kewajiban kita ait menjalankan pasa pada wakt blan Ramadhan. Jadi dalam hal tingkatan pasa tersebt termask tingkatan ang positif walapn belm tent diketahi berapa banak pahala ang akan kita dapatkan begit jga dengan reglar berapapn nilai dari tetapi nilaina tetap merpakan konstanta real positif.

39 . Penelesaian Persamaan Differensial Dengan Integral kontr Integral kontr biasa jga disebt dengan istilah integral lintasan. Misal diberikan fngsi f i ang didefinisikan dan kontin sepotong-sepotong pada lintasan di bidang kompleks C maka dapat ditlis C f d ang dinamakan integral lintasan fngsi f sepanjang C. Sering kali sangat diperlkan ntk menentkan sat penelesaian persamaan differensial kontr ang berbentk f k t G t dt C dimana k t dinamakan kernel inti. Salah sat kemngkinan ang sangat bergna mncl jika k t t e dalam kass ini t f e G t C Penelesaian seperti ini mngkin terjadi di mana koefisien dalam persamaan differensialna adalah fngsi rasional. dt

40 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas sedikit lasan tentang definisi fngsi reglar bagaimana konstrksi fngsi reglar dari fngsi panharmonik bernilai kompleks serta penajian sifat integral kontr pada fngsi reglar. 3. Definisi fngsi reglar Misalkan Ω himpnan bka terhbng sederhana di R. Misalkan f merpakan fngsi bernilai kompleks di C Ω dimana f i sebah fngsi bernilai kompleks dengan dan memenhi persamaan dimana sebah konstanta real positif maka f di sebt fngsi reglar dan sistem persamaan differensial ang dignakan diatas disebt persamaan Cach- Riemann ang dipermm ata biasa ditliskan C-R-. Jika persamaan differensial tersebt dipenhi maka dapat ditnjkkan bahwa dan masingmasing merpakan panharmonik ang bernilai real dan f tersebt merpakan fngsi panharmonik ang bernilai kompleks.

41 3. Konstrksi fngsi reglar Untk mengkonstrksi fngsi reglar maka sat fngsi f i merpakan fngsi ang kontin dan memenhi persamaan Cach-Riemann kemdian dibktikan bahwa fngsi tersebt merpakan fngsi panharmonik dan memenhi permman Cach-Riemann. Konstrksi fngsi reglar dapat dijelaskan dengan beberapa teorema seperti dibawah ini. Teorema 3.. Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana. Misalkan sebah Bkti fngsi panharmonik real pada Ω. Maka terdapat fngsi reglar pada Ω ang bagian realna. Diketahi bahwa fngsi f i merpakan fngsi kontin maka ntk mennjkkan bahwa f i fngsi reglar pada Ω maka hars ditnjkkan terlebih dahl terdapat fngsi panharmonik pada Ω. Untk it konstrksi t t dt ϕ a dengan batas t adalah dari a sampai dimana ϕ memenhi ϕ a ϕ 0. Karena ϕ kontin dan a kontin maka

42 persamaan differensial tersebt memiliki penelesaian dan dapat diintegralkan sehingga ang didefinisikan diatas ada dan tidak kosong. Untk mennjkkan i f fngsi reglar maka kita trnkan secara parsial terhadap ait: ' ' ' ' ' ' a a dt t t a dt t t dt t dt t t t dt t t dt t t a a a a a a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Setelah ditrnkan diperoleh dimana terdapat bagian realna dan jika kita trnkan secara parsial jga terhadap maka akan diperoleh ang bagian realna jga. Setelah dilakkan pendifferensialan secara parsial dapat dilihat bahwa dan diatas memenhi persamaan permman sifat Cach-Riemann sehingga

43 terbkti bahwa panharmonik. Karena panharmonik dan terlihat bahwa sarat fngsi reglar terpenhi maka fngsi tersebt merpakan fngsi reglar. ' a Persamaan differensial ϕ ϕ 0 merpakan persamaan differensial linier orde sat dengan faktor integrasi penelesaian: ϕ e e t t a dt c e dan mempnai Terlepas dari penelesaian diatas kita kembali pada persamaan sebelmna ait pada persamaan ' a ϕ ϕ 0 ' a ϕ ϕ terdapat tak hingga banakna fngsi ϕ ang memenhi persamaan differensial tersebt tetapi a akan selal tetap. Sehingga hal ini akan mengakibatkan perbedaan antara ang sat dengan ang lainna hana berbeda ϕ sebesar ϕ ang memenhi ϕ 0 ait ϕ ke ntk sat konstanta real k.

44 Teorema 3.. Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana. Misalkan sebah Bkti fngsi panharmonik real pada Ω. Maka terdapat fngsi reglar pada Ω ang bagian imaginerna. Sama halna dengan bkti teorema sebelmna dimana fngsi f i merpakan fngsi kontin maka ntk mennjkkan bahwa f i fngsi reglar pada Ω maka hars ditnjkkan terlebih dahl terdapat fngsi panharmonik pada Ω. Untk it konstrksi t t dt ψ a dengan batas t ang sama ait dari a sampai dimana ψ memenhi ψ a persamaan ψ 0. Karena ψ kontin dan kontin maka persamaan differensial tersebt memiliki penelesaian dan dapat diintegralkan sehingga ang didefinisikan diatas ada dan tidak kosong. Untk mennjkkan f i fngsi reglar maka kita trnkan secara parsial terhadap ait:

45 ' ' ' ' ' ' a a dt t t a dt t t dt t dt t t t dt t t dt t t a a a a a a ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Setelah ditrnkan diperoleh dimana bagian imaginerna adalah dan jika kita trnkan secara parsial jga terhadap maka akan diperoleh. Setelah dilakkan pendifferensialan secara parsial dapat dilihat bahwa dan diatas memenhi persamaan permman sifat Cach-Riemann sehingga terbkti bahwa panharmonik. Untk selanjtna sama dengan teorema sebelmna ait fngsi tersebt merpakan fngsi reglar. Persamaan differensial 0 ' a ψ ψ merpakan persamaan differensial linier orde sat dengan faktor integrasi e dan mempnai penelesaian:

46 ψ e e b t t a dt c Terlepas dari penelesaian diatas kita kembali pada persamaan sebelmna ait pada persamaan ' a ψ ψ 0 ' a ψ ψ terdapat tak hingga banakna fngsi ψ ang memenhi persamaan differensial tersebt tetapi a akan selal tetap. Sehingga hal ini akan mengakibatkan perbedaan antara ang sat dengan ang lainna hana berbeda ' sebesar ψ ang memenhi ψ ψ 0 ait ψ ke. Dari pernataan diatas dapat diketahi bahwa melali pengkonstrksian bagian real dan bagian imaginer ntk fngsi reglar dari fngsi panharmonik maka hasilna tidak tnggal. Setelah pengkonstrksian fngsi reglar dari keda teorema tersebt diatas memnclkan teorema ang berkaitan dengan sifat fngsi reglar ang akan dijelaskan pada teorema selanjtna. Teorema 3..3 Selisih da bah fngsi reglar ang memiliki bagian real ang sama adalah sebah fngsi c ike ntk sat konstanta real k.

47 Bkti Misalkan i f dan i f i i c c c i i c f f c f f Misalkan f fngsi reglar bernilai imaginer maka i f. Berdasarkan permman Cach-Riemann maka 0 dan 0 hal ini mengakibatkan fngsi hana bergantng pada ariabel ang memenhi 0. Sehingga kita peroleh ke ntk sat konstanta real k sehingga diperoleh c c c c ike c ike c Selain menggnakan sifat permman Cach-Riemann sebah fngsi reglar dapat jga dibangn oleh sebah fngsi panharmonik dengan menggnakan opelator L dimana i L dan f Lf. Sehingga diperoleh:

48 i i il f f L Karena f Lf maka i f f sehingga diperoleh i dan ntk 0 sehingga penelesaiannna adalah ike ntk sat konstanta real k. Teorema 3..4 Selisih da bah fngsi reglar ang memiliki bagian imaginer ang sama adalah sebah fngsi ke c ntk sat konstanta real k. Bkti Misalakan i f dan i f c c c i i c f f c f f Misalkan f fngsi reglar bernilai real maka f. Berdasarkan permman Cach-Riemann maka dan 0 hal ini mengakibatkan

49 fngsi hana bergantng pada ariable ang memenhi. Sehingga kita peroleh ke ntk sat konstanta real k sehingga diperoleh c c c c ke c ke c Jika dibktikan dengan menggnakan opelator L maka: i i il f f L Dan hasil tersebt hars sama dengan f f sehingga diperoleh ntk 0 sehingga penelesaianna adalah ke. Contoh. Misal e maka dapat ditnjkkan bahwa panharmonik. Jawab. e

50 e e e e e Dari hasil persamaan diatas terlihat bahwa hasilna tidak nol jadi terdapat ang memenhi persamaan panharmonik. Kemdian dengan mendifferensialkan trnan pertama dari persamaan diatas diperoleh e. Setelah diketahi nilai dari dan terbkti bahwa merpakan fngsi panharmonik. Dan selanjtna terbkti reglar. Dari keda teorema diatas ait lemma dan lemma mennjkkan bahwa keda fngsi reglar tersebt baik ang bernilai real mapn ang bernilai imaginer hana ang bergantng pada ariable saja. Hal ini berbeda dengan fngsi analitik karena fngsi analitik ang bernilai real atapn ang bernilai imaginer adalah fngsi konstan. Pernataan tersebt menjelaskankan bahwa tidak akan ada fngsi reglar konstan kecali fngsi nol. Dalam fngsi analitik kita mengenal fngsi sekawan harmonik. Dalam fngsi reglar jga dikenal istilah fngsi sekawan panharmonik. Fngsi disebt sekawan panharmonik dengan jika dipenhi sifat permman Cach-

51 Riemann C-R- ait dan. Begit pla sebalikna disebt sekawan panharmonik dengan jika dipenhi persamaan permman Cach-Riemann C-R- ait dan. Sehingga mncl akibat jika sekawan panharmonik dengan maka sekawan panharmonik dengan. sebagai bktina ait: Misalkan sekawan panharmonik denagn maka berlak dan. Sehingga Hal tersebt menatakan bahwa sekawan panharmonik dengan dan membktikan bahwa dalam fngsi reglar jga berlak fngsi sekawan. Sebah fngsi reglar dari fngsi panharmonik ang bernilai kompleks jga dapat dibangn dengan menggnakan operator differensial Laplace L ang akan dijelaskan seperti dibawah ini. Lemma 3..5 Misalkan fngsi panharmonik maka f L fngsi reglar.

52 Bkti Untk mengetahi bahwa fngsi f teresbt merpakan fngsi reglar maka hars ditnjkkan bahwa Lf f maka Lf L L L LL L L f Jadi terbkti bahwa Lf f sehingga fngsi tersebt merpakan fngsi reglar. Lemma 3..6 Bkti Misalkan fngsi panharmonik maka f i L fngsi reglar. Sama halna dengan lemma sebelmna ntk mengetahi bahwa fngsi f tersebt merpakan fngsi reglar maka hars ditnjkkan bahwa Lf i f maka Lf Li L il ill il i il i i f

53 Terbkti bahwa fngsi tersebt fngsi reglar karena memenhi persamaan Lf i f. 3.3 Integral kontr fngsi reglar Dalam pembahasan fngsi reglar ang berperan penting dalam pembahsanna adalah persamaan differensial maka ntk mengetahi sifat-sifat ang berlak pada fngsi reglar dignakan integral ntk memperoleh sifatsifat tersebt. Domain dari fngsi reglar adalah pada Ω maka dignakan integral kontr ata biasa disebt integral lintasan. Secara mm perkalian da bah fngsi reglar tak nol bkan fngsi reglar. Untk it akan dilihat sifat integral kontr hasil kali da bah fngsi reglar selisihna dan integral kontr hasil kombinasi fngsi panharmonik dengan fngsi reglar. Lemma Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana ang dibatasi oleh sebah kra ttp sederhana. Misalkan h C Ω dan Re L h 0. Maka Im h d 0. Bkti Misalkan h i C Ω maka

54 i i i Lh Karena 0 Re h L maka 0 sehingga diperoleh: 0 Im Im Im Ω dd d d d d i d d id d i d h Jadi terbkti bahwa jika 0 Re h L maka 0 Im d h. Lemma Misalkan R Ω daerah bka terhbng sederhana ang dibatasi oleh sebah kra ttp sederhana. Misalkan C Ω h dan 0 Im h L. Maka 0 Re d h. Bkti Misalkan Ω C i h maka i i i Lh

55 Karena Im L h 0 maka 0 sehingga diperoleh: Re h d Re Re 0 i d id d d i d d d d Ω dd Jadi terbkti bahwa jika Im h d 0 maka Re L h 0. Teorema Misalkan f dan g masing-masing fngsi pada Ω R. Maka Re Bkti: f g d 0 Misalkan f i L f g g P iq masing-masing fngsi reglar maka: f Lg g Lf f g g f f g g f P Q

56 Sesai dengan lemma sebelmna ait pada lemma jika Im L h 0 maka Re h d 0. Begit pla jika Im L f g 0 maka Re f g d 0. Teorema Misalkan f dan g masing-masing fngsi pada Ω R. Maka Re Bkti: f g d 0 Misalkan f i L f g g P iq masing-masing fngsi reglar maka: f Lg g Lf f g g f f g g f P Q Sesai dengan lemma sebelmna ait jika Im L f g 0 maka Re f g d 0. Jika f fngsi reglar dimana Re f d 0 maka hal tersebt akan mengakibatkan Re f d 0 bkti sesai dengan teorema-teorema sebelmna.

57 Sifat-sifat fngsi integral kontr ntk fngsi ang bernilai real dan ang bernilai imaginer ait sebagai berikt: Re Im h h d Re h d Im h d d Sifat-sifat integral kontr teresebt dapat dijadikan acan ntk membktikan sifat-sifat integral kontr fngsi reglar ang lain ait seperti teorema-teorema selanjtna. Teorema 3.3. Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana ang dibatasi oleh sebah kra ttp sederhana. Misalkan f dan g masing-masing fngsi reglar pada Ω. Maka f g d f g d 0. Bkti Misal f i g P iq masing-masing fngsi reglar. Maka Im L f g 0. Berdasarkan lemma diatas Re f g d 0. Tetapi Re f g d Re f g d dan Im f g d Im f g d sehingga

58 f g d f g d 0 Akibat 3.3. Misalkan f dan g da bah fngsi reglar pada Ω ang berbeda bagian imaginerna. Maka Im g d 0 Bkti f. Misalkan f i g i masing-masing fngsi tersebt merpakan fngsi reglar pada Ω sehingga f g jga merpakan fngsi reglar. Kemdian ntk L f g f g i i Hal tersebt mennjkkan bahwa Re L f g 0 sehingga Berdasarkan pembktian lemma sebelmna ait pada lemma diperoleh g d 0 Im f dan hal tersebt akan mengakibatkan g d g f d 0 f. Akibat Misalkan f dan g da bah fngsi reglar pada Ω ang berbeda bagian realna. Maka Re g d 0 f.

59 Bkti Sejalan dengan teorema sebelmna misalkan f i dan g i masing-masing fngsi tersebt merpakan fngsi reglar pada Ω sehingga f g jga merpakan fngsi reglar. Kemdian ntk L f g f g Hal tersebt mennjkkan bahwa Im L f g 0 sehingga Berdasarkan pembktian lemma sebelmna ait pada lemma diperoleh g d 0 Re f dan hal tersebt akan mengakibatkan f g d f g d 0 Selanjtna akan dikemkakan kaitan fngsi panharmonik dan fngsi reglar dalam sat formla representasi integral kontr. Teorema Misalkan fngsi panharmonik dan f fngsi reglar pada Maka f L d f d 0. Bkti Ω R. Sesai dengan lemma sebelmna ait pada lemma dan diperoleh bahwa: g L fngsi reglar

60 i L h jga fngsi reglar. Untk selanjtna dengan menggnakan teorema sebelmna ait pada teorema diperoleh kemdian kita misalkan bahwa: f g d P Q f h d ip iq Maka kita peroleh P Q P Q 0 P Q P Q 0 P Q 0 Karena hal tersebt maka 0 f g d dan f h d imaginer. Untk f Ld f d f Ld f d f Ld Lf d Kemdian jika dicari dengan memanfaatkan konjgatna seperti pada teorema diperoleh dimisalkan bahwa f g d dan f h d imaginer. Untk selanjtna f d P f Ld Q

61 Dengan memanfaatkan permisalan tersebt diatas integral sebelmna dapat ditlis sebagai f g d P Q f h d ip iq Hal tersebt mengakibatkan P Q dan ip iq kedana bernilai imaginer sehingga diperoleh P Q P Q 0 Q dan P Q P 0 Sehingga didapatkan P Q 0 dan hal ini mengatakan bahwa f L d f d f L d f d 0 f L d Lf d Jadi terbkti bahwa hasil kombinasi dari fngsi panharmonik dengan fngsi reglar dengan menggnakan integral kontr jga didapatkan hasil nol.

62 BAB IV PENUTUP 4.. Kesimplan 4.. Dari pembahasan diketahi bahwa hasil konstrksi reglar adalah: a. Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana. Misalkan sebah fngsi panharmonik real pada Ω. Maka terdapat fngsi reglar pada Ω ang bagian realna. b. Misalkan Ω R daerah bka terhbng sederhana. Misalkan sebah fngsi panharmonik real pada Ω. Maka terdapat fngsi reglar pada Ω ang bagian imaginerna. c. Selisih da bah fngsi reglar ang memiliki bagian real ang sama adalah sebah fngsi c ike ntk sat konstanta real k. d. Selisih da bah fngsi reglar ang memiliki bagian imaginer ang sama adalah sebah fngsi c ke ntk sat konstanta real k. e. Misalkan fngsi panharmonik maka f L fngsi reglar. f. Misalkan fngsi panharmonik maka f i L fngsi reglar.

63 4.. Sifat-sifat fngsi reglar melali integral kontr ait: a. Jika Re L h 0 maka Im h d 0 b. Jika Im L h 0 maka Re h d 0 c. Jika f dan g masing-masing fngsi reglar maka Re f g d 0 d. Jika f dan g masing-masing fngsi reglar maka Im f g d 0 e. Jika f dan g masing-masing fngsi reglar maka f g d f g d 0 f. Jika f dan g masing-masing fngsi reglar ang berbeda bagian imaginerna maka Im g d 0 f. g. Jika f dan g masing-masing fngsi reglar ang berbeda bagian realna maka Re g d 0 f. h. Misalkan fngsi panharmonik dan f adalah fngsi reglar maka f L d f d 0.

64 4.. Saran Fngsi reglar masih jarang dibahas sedangkan ntk pembahasan fngsi reglar it sendiri masih banak hal-hal dan operasi-operasi lainna ang belm diketahi. Jadi disarankan kepada ang berminat ntk membahas lebih lanjt fngsi reglar dengan operasi dan sifat-sifat lainna.

65 DAFTAR PUSTAKA Alt J.C dan Aers Frank. 99. Persamaan Differensial. Erlangga: Jakarta. Bdhi Wono Seta Fngsi Panharmonik di Cakram. ITB: Bandng. Caha Endang Fngsi Reglar. ITB: Bandng. Echols John M dan Hasan Shadil Kams Inggris Indonesia. Jakarta: Gramedia. Haser Arthr A. 980 Comple Variables. New York: Simon and Schster. Jakb Ismail. 98. Iha Al-Ghaali. CV Faian: Jakarta. Prcell Edwin J dan Varberg Dale Kalkls dan Geometri Analitik. Erlangga: Jakarta. Soemantri R Fngsi Variabel Kompleks. Spiegel Mrra R Pebah Kompleks. Erlangga: Jakarta. Yaasan Penelenggara penterjemah/pentafsir Qr an. 97. Al-Qr an dan Terjemahanna. Mjama : Madinah. - k. Tanggal diakses 3 Janari 009