V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Transkripsi

1 RUANG VEKTOR

2 Rang Vetor Umm Misalan dan, l Riil V dinamaan rang vetor jia terpenhi asioma :. V terttp terhadap operasi penjmlahan.., Unt setiap v v v, w V, v V v w v w maa v V. Terdapat V sehingga nt setiap V berla 5. Unt setiap V terdapat sehingga

3 6. V terttp thd operasi peralian dengan salar. Unt setiap V dan Riil maa V 7. v v l l l l l.. 8//7.

4 Contoh :. Himpnan vetor Eclides dengan operasi standar (operasi penjmlahan dan operasi peralian dengan salar). Notasi : R n (Rang Eclides orde n). Himpnan matris berran m x n dengan operasi standar (penjmlahan matris dan peralian matris dengan salar), Notasi : M mxn (Rang Matris mxn). Himpnan polinom pangat n dengan operasi standar. Notasi : P n (Rang Polinom orde n) 8//7.

5 Rang Eclides orde n Operasi-Operasi pada rang vetor Eclides: Penjmlahan v v, v,..., n v n Peralian dengan salar Riil sebarang (),,..., n Peralian Titi (Eclidean inner prodct) v v v... n v n Panjang vetor didefinisian oleh : Jara antara da vetor didefinisian oleh :... n d v v, v v n v... n 8//7. 5

6 Contoh : Dietahi,,, dan v,,, Tentan panjang vetor dan jara antara eda vetor tersebt Jawab: Panjang vetor : Jara eda vetor d v 5, v v 7 8//7. 6

7 Misalan W merpaan sbhimpnan dari sebah rang vetor V W dinamaan sbrang (sbspace) V jia W jga merpaan rang vetor yang terttp terhadap operasi penjmlahan dan peralian dengan salar. Syarat W disebt sbrang dari V adalah :. W { }. W V, v W v W W W. Jia maa. Jia dan Riil maa 8//7. 7

8 Contoh : Tnjan bahwa himpnan W yang berisi sema matris orde x dimana setiap nsr diagonalnya adalah nol merpaan sbrang dari rang vetor matris x Jawab :. O W maa. Jelas bahwa W Mx. Ambil sembarang matris A, B W Tlis A a a W dan B b b 8//7. 8

9 8//7. 9 Perhatian bahwa : Ini mennjan bahwa. Ambil sembarang matris A W dan Riil maa Ini mennjan bahwa Jadi, W merpaan Sbrang dari Mx. b a b a b b a a B A W B A W a a A A W

10 Contoh : Perisa apaah himpnan D yang berisi sema matris orde x yang determinannya nol Ambil merpaan sembarang sbrang matris dari A, B rang W vetor Mx Jawab Pilih a : b : A a b, jelas bahwa det (A) = B b a, jelas bahwa det (A) = 8//7.

11 Perhatian bahwa : A B = a b b a Karena a b Maa det (A + B ) = a b Jadi D ban merpaan sbrang arena tida terttp terhadap operasi penjmlahan 8//7.

12 Sebah vetor v, v,, vn dinamaan ombinasi linear dari vetor vetor jia vetor vetor tersebt dapat dinyataan dalam bent : v v... n v n dimana,,, n adalah salar Riil. 8//7.

13 Contoh Misal a b c = (,, ), dan adalah vetor-vetor di R. Apaah vetor berit merpaan ombinasi linear dari vetor vetor di atas a. = (,, 6) b. = (, 5, 6) c. = (,, ) v = (,, ) 8//7.

14 8// a. Tlis aan diperisa apaah ada,, sehingga esamaan tersebt dipenhi. Ini dapat ditlis menjadi: Jawab : a v

15 8//7. 5 ~ a v a dengan OBE, diperoleh: Dengan demiian, merpaan ombinasi linear dari vetor dan ata v

16 8//7. 6 b v b. Tlis : ini dapat ditlis menjadi:

17 8//7. 7 ~ 6 - ~ dengan OBE dapat ita peroleh : Baris terahir pada matris ini mennjan bahwa SPL tersebt adalah tida onsisten (tida mempnyaisolsi). Jadi, tida ada nilai dan yang memenhi b tida dapat dinyataan sebagai ombinasi linear dari dan v

18 c. Dengan memilih = dan =, maa dapat ditlis v c artinya vetor nol merpaan ombinasi linear dari vetor apapn. 8//7. 8

19 Definisi membangn dan bebas linear Himpnan vetor S v, v,..., v n diataan membangn sat rang vetor V jia setiap vetor pada V selal dapat dinyataan sebagai ombinasi linear dari vetor vetor di S. Contoh : Tentan apaah v = (,, ), v v = (,, ), dan = (,, ) membangn V??? 8//7. 9

20 8//7. Jawab : misalan. Tlis :. Sehingga dapat ditlis dalam bent : Ambil sembarang vetor di R v v v

21 Syarat agar dapat diataan ombinasi linear SPL tersebt hars mempnyai solsi (onsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL it onsisten harslah = Ini ontradisi dengan pengambilan vetor sembarang (nsr nsrnya bebas, ta bersyarat) Dengan demiian vetor vetor tersebt tida membangn R 8//7.

22 Misalan S,,..., adalah himpnan vetor dirang vetor V n S diataan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen :... n n hanya mempnyai sat solsi (tnggal), yani n,,..., Jia solsinya tida tnggal maa S ita namaan himpnan ta bebas linear (Bergantng linear / linearly dependent) 8//7.

23 Contoh : Dietahi,, dan a,, Apaah saling bebas linear di R Jawab : Tlis ata a - 8//7.

24 8//7. ~ - ~ engan OBE dapat diperoleh : dengan demiian diperoleh solsi tnggal yait : =, dan =. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

25 8//7. 5 a b 6 c c b a 6,, Jawab : ata = Tlis : Apaah etiga vetor diatas saling bebas linear R Contoh : Misalan

26 8//7. 6 ~ c b a,, dengan OBE diperoleh : Ini mennjan bahwa,, mrp solsi ta hingga banya adalah vetor-vetor yang bergantng linear. Jadi

27 Basis dan Dimensi Jia V adalah sembarang rang vetor dan S = { ū, ū,, ū n } merpaan himpnan berhingga dari vetor vetor di V, maa S dinamaan basis bagi V Jia eda syarat berit dipenhi : S membangn V S bebas linear 8//7. 7

28 8//7. 8, 8,, 6 6 M d c b a Contoh : Tnjan bahwa himpnan matris berit : merpaan basis bagi matris berran x Jawab : Tlis ombinasi linear : ata d c b a 6 8 6

29 8//7. 9 d c b a dengan menyamaan setiap nsr pada eda matris, diperoleh SPL : Determinan matris oefisiennya (MK) = 8 det(mk) SPL memilii solsi nt setiap a,b,c,d Jadi, M membangn M x Ketia a =, b =, c =, d =, det(mk) SPL homogen pnya solsi tnggal. Jadi, M bebas linear.

30 Karena M bebas linear dan membangn M x maa M merpaan basis bagi M x. Ingat Basis nt setiap rang vetor adalah tida tnggal. Contoh : Unt rang vetor dari M x, himpnan matris :,,, jga merpaan basisnya. 8//7.

31 Misalan matris : A Vetor baris Vetor olom dengan melaan OBE diperoleh : Perhatian olom-olom pada matris hasil OBE 8//7.

32 matris A mempnyai basis rang olom yait :, basis rang baris diperoleh dengan cara, Mentransposan terlebih dahl matris A, laan OBE pada A t, sehingga diperoleh : 8//7.

33 8//7. Kolom-olom pada matris hasil OBE yang memilii sat tama berseseaian dengan matris asal (A). Ini berarti, matris A tersebt mempnyai basis rang baris :, Dimensi basis rang baris = rang olom dinamaan ran. Jadi ran dari matris A adalah.

34 Contoh : Diberian SPL homogen : p + q r s = p q + r s = p + q r + s = p s = Tentan basis rang solsi dari SPL diatas Jawab : SPL dapat ditlis dalam bent : 8//7.

35 8//7. 5 b a s r q p engan melaan OBE diperoleh : Solsi SPL homogen tersebt adalah : dimana a, b merpaan parameter.

36 8//7. 6 Jadi, basis rang solsi dari SPL diatas adalah :, Dimensi dari basis rang solsi dinamaan nlitas. Dengan demiian, nlitas dari SPL diatas adalah.

37 Latihan Bab 5.Nyataanlah matris 6 8 sebagai ombinasi linear dari matris berit :,, dan. Perisa, apaah himpnan berit bebas linear! a.{6 x, 6 + x + x } b.{ + x + x, x + x, 5 + 6x + x, 7 + x x }. Perisa, apaah himpnan A = {6 x, 6 + x + x } membangn polinom orde! 8//7. 7

38 . Perisa, apaah himpnan berit merpaan basis bagi polinom orde (P) a.{ + 6x + x, + x + x, 5 + x x } b.{ + x + x, 6 + 5x + x, 8 + x + x } 5. Misalan J a bx cx a b merpaan himpnan bagian dari rang vetor Polinom orde da. Perisa apaah J merpaan sbrang dari rang vetor Polinom orde da Jia ya, tentan basisnya c 8//7. 8

39 6. Diberian SPL homogen : p + q + r = p + q r = p + q + r =, Tentan basis rang solsi (btian) dan tentan dimensinya. 7. Tentan ran dari matris : 8//7. 9