Bagian IV. TOPIK-TOPIK LANJUTAN

Transkripsi

1 440 Bagian IV. TOPIK-TOPIK LJUT

2 Stabilitas liran Flida 44 BB 6 Stabilitas liran Flida 6. Pendahlan pa yang telah kita lakkan selama ini adalah memprediksikan gerakan flida dengan menggnakan persamaan-persamaan dasar flida. Dalam memprediksikan gerakan flida, kita sering menggnakan asmsi-asmsi, khssnya asmsi steady. Kita telah mendapatkan banyak solsi solsi dari persamaan persamaan dasar flida dengan menggnakan asmsi aliran steady. amn, seringkali solsi solsi yang kita dapatkan tidak sama persis dengan apa yang terjadi di alam semesta ini. Walapn kass kass ini adalah solsi yang exact. liran aliran yang benar-benar terjadi di alam selain hars memathi persamaan persamaan dasar flida jga harslah stabil. Ganggan-ganggan kecil selal ada dalam aliran yang sebenarnya dan apabila aliran yang kita analisa tidak stabil, maka aliran aliran tersebt tidak akan dapat kita jmpai di alam. (aliran tidak stabil apabila ganggan-ganggan ini ters membesar bersama-sama wakt.) Dalam bab ini kita akan mempelajari bagaimana caranya melakkan analisa stabilitas terhadap aliran flida. Tentnya tidak ada atran mm ntk menentkan kestabilan flida. pakah aliran tersebt stabil ata tidak hars dianalisa kass per kass. Kita akan mlai dengan melakkan analisa stabilitas ntk stabilitas interfacial yang

3 Stabilitas liran Flida 44 membatasi da flida yang berbeda. Kemdian kita pelajari stabilitas aliran parallel, baik secara inviscid mapn tidak. liran aliran yang akan dibahas di dalam bab ini adalah aliran aliran inkompresible. kan kita lihat bahwa analisa stabilitas ntk aliran adalah persoalan yang sangat rmit secara matematis. nalisa yang agak sederhana akan kita jmpai ntk kass interfacial instability. 6. Interfacial Stability(Inviscid Flow) Dalam kass ini terdapat da flida yang berbeda yang dibatasi oleh sebah interface/ pembatas. Keda flida ini dapat mengalir dengan kecepatan yang berbeda namn kecepatan di setiap flida adalah konstan. Permasalahan ini digambarkan di dalam sketsa di bawah ini. x ρ, U η interface x g x 3 ρ B, U B B Flida dengan ρ = ρ dan U = U B bertem dengan flida B dengan ρ = ρ B dan U =U B. ρ, U, ρ B, U B adalah massa jenis dan kecepatan sebelm ada ganggan. Kemdian, kita akan berikan ganggan dan kita akan lihat apa yang akan terjadi pada interface. Diasmsikan bahwa aliran adalah aliran irotasional sehingga = φ = U e. ( B) / ˆ Karena aliran adalah aliran inkompresibel maka, φ = 0, φ = 0 (IS.)

4 Stabilitas liran Flida 443 di mana lim ˆ x φ = Uedan lim B Bˆ x φ = Ue pabila kita berikan ganggan, maka interface yang tadinya berada di posisi x = 0 akan berbah dan berada di posisi x = η(x, x 3, t). Kinematik bondary condition (kondisi batas kinematik) di posisi x = η (interface) adalah, d dt x 0 t ( η ) = ata ( x η) ( x η) + = 0, yang menyatakan bahwa partikel flida yang berada di interface akan selal berada di interface. Karena x, x, x 3, dan t adalah independen dan η = η (x, x 3,t) maka, η η + η = 0 ata t x x 3 3 φ η φ η φ η = = + + x t x x x3 x 3 Karena terdapat da flida yang berbeda, maka ntk kass ini terdapat da persamaan yait, φ η φ η φ η = + +, i =, B (IS.) i i i x t x x x3 x 3 (da persamaan ntk flida dan B) x Kondisi batas yang keda adalah p = p B di x = η. momentm(bernolli), p φ t i + ρigx + φi + ρi = ρib i Dari persamaan, di mana b i adalah konstanta Bernolli. amn, pada interface p = p B sehingga, φ φb ρ b φ gη = ρb bb φb gη (IS.3). t t Sebelm ada ganggan, d dt φ i, 0 η =, φi = U i sehingga, ρ b U = ρ B bb U B

5 Stabilitas liran Flida 444 Sekarang kita berikan ganggan kecil kepada aliran. Karena ganggan ini kecil maka kita dapat nyatakan ˆ i = Uie + i, di mana i ' = φ i ', ata φ ˆ ' i = Ue i + φi di mana i = dan B. ' pabila kita sbstitsikan ini ke persamaan (IS.), (IS.), (IS.3) dan abaikan sk yang sangat kecil (misalnya η~ 0),seperti wakt mendapatkan persamaan ntk akstik maka, (IS.) ' = 0 φ ' = 0 φ B dimana kondisi batasnya adalah lim φ ' = 0 x lim φ ' = 0 x B (IS.) ' lim φ η = + U η x t x x 0, ' lim φ η B = + U η B x t x x 0 (IS.3) φ' φb' ρ U + φ' + gη = ρb UB + φb' + gη x t x t Catatan: x b dan b B hars sama di x = η (IS) Sama seperti wakt mempelajari thin airfoil, φ i dan trnannya dievalasi di x φ φ =, i i = 0 karena η dianggap kecil sehingga, ( x ) i x x Sistem persamaan inilah yang hars diselesaikan ntk melihat stabilitas dari aliran ini. Koefisien dari persamaan Laplace adalah konstan sehingga persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggnakan normal modes analysis dimana diasmsikan, ( x ) ( x ) ( x ) η η φ' = φ e φ ' φ B B ( ω i kx+ k3x3 R+ iωim t ), k, k 3 R (IS.4) Dengan demikian maka solsi sistem persamaan (IS) adalah sperposisi dari Forrier mode. Dari solsi di atas dapat dilihat bahwa η, φ ', φ ' ters membesar bersama wakt B

6 Stabilitas liran Flida 445 apabila ω IM > 0. Jadi ntk menentkan apakah aliran ini stabil ata tidak kita bisa lihat harga ω IM : ω < 0 aliran stabil IM ω > 0 aliran tidak stabil IM ω = 0 adalah batas kestabilan IM Sekarang kita cari ω IM dengan mensbtitsikan (IS.4) ke dalam sistem persamaan (IS). Dari keda persamaan Laplace, φ kx = e + Be kx φ B = e + B e kx kx di mana 3 k = k + k. Dari kondisi batas lim φ ' = 0, x ± Sementara it kondisi batas di mana ω ω R + iω IM batas terakhir (p = p B ), x 0 = 0 = B φ ' η η lim = + U memberikan, x t x ( ω ) B = i + iku ( ω ) =+ i + iku B η k η k. pabila kita sbtitsikan hasil-hasil diatas ke dalam kondisi ( ( ) ) ( ) ρ kg iω + iku = ρb kg+ iω + iku B Persamaan terakhir adalah persamaan Eigenvale ntk iω. Persamaan ini persamaan kadrat ntk ( iω) dan solsinya adalah, ( ρ + ρ ) k ρρb U UB kg ρ ρ B ρu + ρ BU B iω =± ik ρ B + ρb ρ + ρ B Jadi persamaan ntk ωim adalah,

7 Stabilitas liran Flida 446 ω IM =± ( ) ( ) k ρ ρ U U kg ρ ρ B B B ( ρ + ρ ) B (IS.5) Dari (IS.5) kita bisa lihat stabilitas aliran ntk kass-kass di bawah ini : ( ) pabila kg ρ ρ > k ρ ρ U U ) maka aliran stabil karena IM imajiner. B B B ) pabila ( ρ ρ ) ρ ρ ( B B B kg < k U U ) maka aliran tidak stabil karena ada sat ω IM > 0 (yang sat lagi ω IM < 0). ω Contoh : Contoh : Srface gravity wave Untk kass ini ρ = 0, U = UB = 0 sehingga ω IM adalah imajiner danaliran ini stabil. Internal gravity wave Untk kass ini ρ ρb, U = 0 = UB sehingga ω IM B kg ρ ρ =± ρ + ρb Dengan demikian terdapat da kemngkinan yait, ρ > ρ B tidak stabil Contoh : ρ < ρ B stabil Instabilitas tipe ini disebt Rayleigh Taylor Instability. Vortex Sheet Untk kass ini ρ = ρ B, U U B sehingga, k ω IM =± U U B. 4 Dengan demikian dapat disimplkan bahwa vortex sheet tidak pernah stabil. Instabilitas ini disebt Kelvin Helmholtz Instability. Karena

8 Stabilitas liran Flida 447 ω R ( U + UB ) ωr k = k dan phase velocity adalah C = ( U + U ) maka gelombang instabilitas ini akan bergerak. k k B 6.3 Parallel Shear Flow (Inviscid) x U =U(x ) x Sekarang kita beralih ke permasalahan stabilitas aliran paralel shear flow. Pertama tama kita akan pelajari secara inviscid. Di sbbagian beriktnya, kita akan maskkan efek viskositas. Sama seperti sebelmnya, dalam mempelajari stabilitas aliran ini kita akan gnakan asmsi aliran inkompresibel. liran awalnya (sebelm diberikan ganggan kecil) adalah aliran paralel di mana kecepatannya adalah fngsi dari ketinggian, y, seperti dicontohkan di sketsa di atas. Jadi kita dapat nyatakan bahwa ( ' ' ( x, t), p' = p' ( x, t) ) =, di mana p ', = U( x ) eˆ + ', p = P + p' ' adalah ganggan kecil. dan p harslah memenhi persamaan kontinitas dan momentm, = 0 dan + = p t (dalam persamaan momentm harga ρ telah dibat ρ =, karena ρ adalah konstan ntk kass ini). Sekarang kita sbtitsikan dan p ke dalam persamaan-persamaan di atas, '= 0 ( karena Ueˆ = 0 ntk U U = ( x) )

9 Stabilitas liran Flida 448 ' + ( Ueˆ+ ') ( Ueˆ+ ') = P p ' t ' d + U Ueˆ ˆ + U ' + ' ' + ' Ue = P+ p' t x x dx = 0 Karena sangat kecil maka ' ' 0. Selain it sebelm ada ganggan, memenhi persamaan U x P U = x = 0 ata P = 0. x Oleh karena it, persamaan kontinitas dan momentm menjadi, ' = 0 U x eˆ ' ' du + U + ' eˆ = p ' t x dx Baik persamaan kontinitas mapn persamaan momentm adalah persamaan diferensial dengan koefisien yang bkan merpakan fngsi wakt (koefisien ntk persamaan momentm adalah U ( x ) dan du x dx ). Oleh karena it, kita dapat menggnakan normal mode analysis sehingga kita dapat nyatakan bahwa solsi dari persamaan-persamaan di atas adalah, ( ) ' ˆ x = e p ' pˆ x ˆ ˆ x eˆ + vˆ x eˆ + wˆ x eˆ3. di mana ( + ω ) ikx kx t 3 3 Sekarang kita sbstitsikan dan p ke dalam persamaan kontinitas dan momentm, dvˆ i( kˆ ˆ + k3w) + = 0 (kontinitas) dx du iuk ( ω) ˆ+ vˆ = ikp ˆ (x-momentm) dx dpˆ iuk ( ω) vˆ = (y-momentm) dx ( ω) ˆ iuk w= ikp 3ˆ (z-momentm)

10 Stabilitas liran Flida 449 (PSF.) pabila kita berikan kondisi batas maka persamaan (PSF.) dan kondisi batasnya akan memberikan kita eigenvale problem yang menghasilkan persamaan berbentk D (k,ω) = 0 di mana k = k + k, seperti dalam kass interfacial instability. Dari persamaan 3 seperti ini kita dapat lihat kapan aliran seperti ini menjadi tidak stabil. amn sebelm kita lanjtkan, ada sebah torema yang sangat membant. Teorema Sqire s: pabila k x, k z, dan ω adalah eigenvale dari (PSF.), maka terdapat mods yang lebih tidak stabil yait mode -D di mana eigenvalenya adalah ( k,0, ) ω dan ω IM > ω. IM Bkti: Transformasikan (PSF.) dengan menggnakan k k + k, k kˆ ˆ + kw 3, 3 Hasilnya adalah: k p pˆ, v vˆ. k ik dv + = 0 dx du i( ku ω) + v= ik p dx ( ω) i ku p v= x ( ω) = 3 i ku w ik p ˆ Jadi transformasi di atas menghasilkan persamaan 3-D yang sama/ mirip dengan persamaan-persamaan ntk kass -D (di mana w ˆ = 0, k 3 = 0 ). Selain it transformasi ntk ω = ck adalah

11 Stabilitas liran Flida 450 ω = kc > kc = ω (karena k > k ) di mana c= cr + ici M Q.E.D IM IM IM IM Dari teorema di atas dapat disimplkan bahwa ntk setiap mods 3D yang tidak stabil, ada mods D yang tidak stabil dengan laj pertmbhan ( ω IM ) yang lebih tinggi. Jadi, menrt teorema ini, ntk menentkan stabilitas dari aliran ini kita ckp mempelajari aliran -D. sehingga, Dalam aliran -D kita dapat menggnakan fnsi ars ψ. Sekarang kita akan perkenalkan ψ = ζ ( x ) ψ dζ ikx ( ' ωt = = e x dx ψ v' = = ikζ e x ) ( ikx ωt e ( ωt) ikx dζ ata ˆ = Dζ dx ) ata ˆv= ikζ Sbstitsikan hasil di atas ke persamaan (PSF.) ntk -D ( w = 0 = k3) didapatkan, ( x ) U c D ζ k ζ ζd U = 0 (Persamaan Rayleigh) di mana d ζ D ζ, dx DU dipenhi persamaan Rayleigh adalah: du, ω c = c + ic dx k R I M. Kondisi batas yang hars ζ ( x ) = 0, apabila terdapat dinding karena ( ) wall v' x = 0 ζ ( x ± ) = 0, apabila aliran tak terbatas karena wall v' x ± = 0 Persamaan Rayleigh mempnyai beberapa sifat-sifat mm:. pabila kita gnakan transformasi ' ', v' v', x x, t t, p ' p ' persamaan Rayleigh tidak berbah (invariant) sehingga apabila ζ e ( ωt) ikx adalah sebah solsi maka ζ ( + ω ) i k x t e jga merpakan sebah solsi. Selain it apabila (k, ω) adalah eigenvale ntk sebah eigenfnction ζ maka (-k, -ω) adalah eigenvale ntk eigenfnction ζ* (kompleks konjgate dari ζ). Dengan kata lain apabila ζ adalah sebah solsi maka ζ* jga

12 Stabilitas liran Flida 45 merpakan solsi. Dari keda solsi tersebt kita menggnakan prinsip sperposisi dan membentk sebah solsi yang real yait, ˆ * ζ = ζ + ζ Beriktnya adalah beberapa kriteria ntk instabilitas (ω IM > 0 ata c IM > 0). Untk mendapatkan kriteria-kriteria tersebt, diperlkan hbngan di bawah ini. pabila terdapat instabilitas, c IM 0 sehingga (U c) 0. Oleh karena it, persamaan Rayleigh dapat ditliskan seperti ( D k ) DU ζ ζ 0 = ( U c) Sekarang kita kalikan persamaan di atas dengan ζ* (kompleks konjgate dari ζ) dan integrasikan y y ζ DU * D ζ k ζζ * * dx ( U c) ζζ =0 di mana y dan y adalah batas-batas flida. Sk pertama dapat dijabarkan, y y y d ζ dζ dζ dζ * ζ dx dx dx y dx y ζ * dx = * dx = Dζ dx y = 0 y di mana telah dignakan kondisi batas ζ = 0 = ζ* di batas-batas flida. Dengan demikian maka integral tersebt menjadi, { ζ ζ } ( R ) ζ IM y y y U c D U c D U ζ 0 = D + k dx + dx + i dx (PSF.) y y U c R + cim y U c R + cim Riil y Imajiner Sekarang kita akan gnakan integral di atas ntk mendapatkan kriteria-kriteria ntk instabilitas. Kriteria-kriteria ini adalah kondisi yang hars dipenhi ntk terjadinya instabilitas namn bkanlah kondisi yang ckp ntk menentkan apakah sat aliran stabil ata tidak (ini adalah necessary condition bkan sfficient condition )

13 Stabilitas liran Flida 45. Teorema Rayleigh Inflection Point: pabila terdapat instabilitas dalam aliran, du = DU harslah berbah tanda dx di sebah posisi y 0 di antara y dan y (Instabilitas hanya terjadi apabila terdapat du dx = x y0 = 0 di mana y y 0 y ). Bkti: Karena (PSF.) adalah hbngan kompleks meka, sk riil = 0 dan sk imajiner = 0. Perhatikan sk imajiner, ( D U) y cim ζ dx = 0 (PSF.3) y ( U cr) + cim pabila terdapat instabilitas, cim 0 maka karena ζ 0 dan ( U c ) R 0, DU harslah berbah tanda (dari positif ke negatif misalnya) di sat titik y0 di antara y dan y ntk memenhi hbngan di atas ( demikian maka hars terdapat y0 di mana Dari teorema di atas maka apabila du dx DU= y y 0. (Q.E.D) dx = 0 ). Dengan 0 di mana pn di daerah y x y, aliran adalah aliran yang stabil karena c IM harslah sama dengan nol (c IM = 0). amn, sekali lagi, teorama ini tidak menyatakan bahwa apabila sat titik maka aliran pasti tidak stabil. Kondisi yang lebih ketat dinyatakan oleh teorema berikt ini. 3. Teorema Fjortoft: Kondisi yang diperlkan ntk instabilitas adalah Uc U( x = yc), y yc y. Bkti: Sekarang kita lihat sk riil dari (PSF.), ( R ) y y y R IM y { ζ } ζ > 0 DU= 0 di U U D U 0 di mana U c ζ D U dx + D + k dx = 0 (PSF.4) U c + c pabila terdapat instabilitas maka cim 0 dan (PSF.3) menjadi c

14 Stabilitas liran Flida 453 y y ( c R) DUζ U c ζ D U dx = 0 = dx U c + c U c + c y R IM y R IM Sekarang kita tambahkan (PSF.5) ke (PSF.4) dan hasilnya adalah, > 0 y U U D U ζ dx = { Dζ + k ζ } dx 0 U cr + cim y ( c ) y y > 0 Untk memenhi pertidaksamaan di atas maka, ( U U ) D U 0 di mana U U( y ) c c c, c (PSF.5) y y y (Q.E.D) Dalam pembktian di atas U c adalah kecepatan di titik y c yang merpakan titik sembarang di antara y dan y. Oleh karena it maka kita dapat saja memilih titik y 0 (posisi di mana DU= 0 ) sehingga Uc = U 0 dan biasanya posisi inilah yang dignakan. teorema Fjortoft adalah syarat yang lebih ketat ntk instabilitas bila dibandingkan dengan teorema Rayleigh Inflection Point. Setiap profil kecepatan yang mempnyai titik infleksi (terdapat titik di mana DU= 0 ) menrt teorema Rayleigh Inflection Point adalah tidak stabil. amn, menrt teorema Fjortoft instabilitas terjadi apabila, selain DU = 0, x = y0 ( ) U U D U c 0 4. Critical Layer Harga C R adalah diantara harga minimm dan maximm dari harga U. Terdapat sat titik didalam aliran di mana kecepatan gelombang ( cr ) ζ Bkti: Definisikan, G U c Rayleigh sehingga, d G'( U c) k ( U c) G 0 dx = = U dan sbtitsikan definisi ini ke persamaan Kemdian kalikan persamaan ini dengan G* dan integrasikan dari y ke y. Hasil real dan imaginer dari operasi ini adalah,

15 Stabilitas liran Flida 454 y y ( U cr) c IM G' G*' + kgg* dx = 0. y IM y c ( U cr ) G' G*' + kgg* dx = 0 > 0 pabila terdapat instabilitas maka c IM > 0 sehingga integral terakhir hanya akan terpenhi apabila terdapat titik diantara y dan y dimana ( c R ) = U (Q.E.D) Posisi di mana c R = U disebt Critical Layer pada posisi ini, persamaan Rayleigh menjadi singlar. Tetapi perl di ingat bahwa ini adalah kass di mana tidak terdapat viskositas (sbbagian berikt) maka singlaritas ini akan hilang. Investigasi tentang Critical Layer ini dilanjtkan oleh Lin (945). Ia membktikan bahwa Critical Layer (titik di mana c R = U) jga terdapat pada profil kecepatan yang mempnyai titik infleksi. Bahkan ia mennjkan bahwa pada kass ini Critical Layer berada di titik infleksi. Dengan adanya Critical Layer pada kass profil kecepatan dengan titik infleksi kita dapat menjelaskan mekanisme fisis yang menyebabkan terjadinya instabilitas pada kass ini. Di daerah sekitar Critical layer terdapat flida yang bergerak lebih cepat dan lebih lambat dari gelombang. Flida yang bergerak lebih lambat akan mengambil energi dari gelombang. Flida yang bergerak lebih cepat akan memberikan energi kepada gelombang yang dignakan oleh gelombang ntk mengamplifikasikan amplitdonya. Dengan demikian maka instabilitas akan terjadi apabila lebih banyak flida yang bergerak lebih cepat dari gelombang. 6.4 Paralel Shear Flow (Viscos Theory) Sekarang kita akan memaskan efek viskositas dalam analisa stabilitas dari aliran shear parallel. Persamaan persamaan dasar (kontinitas dan momentm) kita tliskan dalam bentk nondimensional dengan mengnakan variabel-variabel berikt ini. = U, p o L ' 0 = ρouo p, t ( U ) = t, x = Lo~ x, ρ = ρ o = konstan 0

16 Stabilitas liran Flida 455 Sehingga, = 0 dan + = + t Re p Sekarang kita akan berikan ganggan dan seperti biasa tliskan = U ( x )ˆ e + ', p = P + p' Persamaan persamaan ntk mean flow ( U, P) adalah, p du 0 = +, x Re dx P = 0 x Kita akan abaikan simbol ~ dan melinearkan persamaan seperti sebelmnya dan hasilnya adalah, ' = 0 ' ' U + U + v' eˆ = p' + ' t x x Re Karena persamaan persamaan di atas linear dan koefisiennya bkan fngsi wakt maka kita bisa melakkan normal mode analysis. ' = ˆ x e p' = pˆ x e Sbstitsikan keda persamaan di atas, hasilnya; 3 dx ( + ω ) ikx kx 3 3 t ( + ω ) ikx kx 3 3 t d ik ˆ+ vˆ+ ik wˆ = 0 (c) d dx du ˆ ( k + k3 ) ˆ ikr ˆ ˆ e U c = ikrep+ R vˆ e dx d dp vˆ ( k + k3 ) vˆ ikr ˆ e U c v= R e dx dx ˆ (x) (y) d dx e wˆ k ˆ ˆ + k3 w ikr U c w = ikr pˆ e (z) ( PSFV.)

17 Stabilitas liran Flida 456 pabila kita tambahkan kondisi batas: ˆ = 0 = wˆ = vˆ di x = y dan x = y maka akan didapat eigenvale problem. Untk k, k 3, Re yang rill maka kita akan dapatkan persamaan dalam bentk D( k Re) ω,, = 0. Seperti kass inviscid, dapat dibktikan bahwa Teorema Sqire dapat dignakan dalam kass ini (viscos ). amn, sekarang v vˆ, p pˆ k k, kre = kre, k k + k 3, k 3 = 0 dˆ k= k + kwˆ, c = c 3 dx Dengan transformasi ini maka persamaan (x) menjadi, e ˆ = + e (x ) D k ikr U c ikre p R DUv Sedangkan persamaan (y) dan (c) menjadi, e D v k v ik R U c v= R e Dp (y ) ˆ ik + v' = 0. (c ) pabila di perhatikan, persamaan (x ), (y ) dan (c ) serpa dengan (x), (y) dan (c) apabila k 3 = 0. Karena Re= kre/ k dan k k maka Re Re. Jadi ntk mendapatkan Reynold nmber minimm di mana instabilitas terjadi (Critical Reynold nmber), kita hanya perl mempelajari kass -D. Oleh karena it, ntk mempelajari kestabilan aliran, kita kembali ke (PSFV.I) ntk - D. Seperti biasa ntk kass -D, kita perkenalkan fngsi ars ψ sehingga, ( ω ) ψ = ζ ( x) e ikx t, û = Dζ, ˆv= ik pabila kita sbsitsikan ˆ dan v ˆ ke persamaan (x), kemdian trnkan persamaan ini terhadap x. Setelah it dignakan (y) ntk mengeliminasi dapatkan persamaan diferensial ntk ζ yait, dp dx maka di

18 Stabilitas liran Flida 457 ( ) ( ) D k = ik Re U c D k D U ζ ζ ζ Dengan kondisi batas yang hars dipenhi yait, ζ = 0 = Dζ di permkaan &/ ζ 0 di x ± (Persamaan Orr-Sommerfeld/ OSE) Solsi persamaan (OSE ) memberikan kita D (ω, k, Re) = 0. amn, persamaan tersebt ckp rmit sehingga kita hars menggnakan kompter ntk mendapatkan solsi. Berikt ini adalah solsi-solsi dari persaman tersebt:. Stabilitas aliran Poiseille (pipe flow) ] Untk kass Re sedikit lebih tinggi dari Re cr terdapat daerah k di mana ω im (k) > 0. Daerah ini kecil dan dω im berada di sekitar = 0 (max. dk ω im ). Untk kass ini, ω R 0 sehingga gelombang gangan bergerak dengan kecepatan d ω. dk Jadi krang lebih instabilitas yang terjadi dalam aliran ini dapat dijelaskan sebagai berikt. pabila aliran ini diberikan ganggan yang berpa sperposisi dari gelombang-gelombang, maka amplitdo dari gelombang-gelombang yang memiliki k tertent (k yang ω im nya positif) akan teramplifikasikan sedangkan gelombang-gelombang lainnya (dengan k yang ω im -nya negatif) tidak teramplifikasikan. Karena ω R 0 maka gelombang-gelombang yang teramplifikasi ini akan bergerak dengan kecepatan d ω. Jadi ωim > 0 sekarang dk berarti amplifikasi dari ganggan ketika ganggan tersebt bergerak. da da kemngkinan yang dapat terjadi. Pertama, walapn ganggan yang teramplifikasi ini bergerak, gangan ini ters membesar bersama wakt di setiap

19 Stabilitas liran Flida 458 titik di dalam rang. Instabilitas tipe ini disebt absolte instability. Kemngkinan yang keda adalah ganggan yang membesar ini terbawa oleh aliran dengan cepat sehingga apabila kita amati sebah titik yang pada awalnya terjadi instabilitas, lama kelamaan ganggan di titik ini akan hilang. Instibilitas tipe keda ini disebt convected instability. Untk aliran poiseille, yang terjadi adalah convected instability. Untk kass convected instability, ganggan membesar seiring dengan bertambahnya downstream koordinat (x ). Jadi ganggan tidak membesar seiring dengan wakt di sebah titik. Oleh karena it kita dapat menyelidiki instabilitas tipe ini dengan membalikkan (meng inverse kan) fngsi ω(k). Dengan kata lain ntk kass ini ω kita anggap riil dan k dianggap kompleks. ikx pabila k IM < 0, maka faktor e akan bertambah seiring dengan bertambahnya harga x (ganggan teramplifikasi downstream ). Di sini k didefinisikan sebagai k k ik R+ IM. Kemdian batas antara kass aliran yang stabil dengan yang tidak stabil ditentkan oleh persamaan k (, ) 0 IM ω Re = Kalklasi ntk mendapatkan k ( ω, Re) = 0 sangatlah rmit. amn, hasil yang IM didapatkan krang lebih seperti yang digambarkan di bawah ini. Daerah yang diarsir adalah daerah di mana aliran akan menjadi tidak stabil. pabila Re, keda krva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang tidak stabil akan mendekati axis Re. Jadi ntk kass ini ntk ω yang berada di antara O dan ω M ada harga-harga Re tertent di mana ganggan akan

20 Stabilitas liran Flida 459 terimplifikasi. Untk kass Re (kass invisid) maka tidak ada ganggan yang teramplifikasi. Jadi dalam kass ini dapat dikatakan bahwa viskositas memberikan destabilizing effect ata adanya viskositas membat aliran menjadi tidak stabil.. Stabilitas Lapisan Batas Seperti aliran laminar lainnya, pada Re tertent lapisan batas laminar menjadi tidak stabil. Bagaimana aliran ini kehilangan stabilitasnya mirip dengan kass aliran dalam pipa (Poiseille Flow). amn, aliran ini mempnyai kenikan tertent yait Re-nya berbah sepanjang permkaan benda. Untk pelat datar, misalnya, Re adalah Re = Ux sehingga harga Re bertambah tinggi apabila harga ν x bertambah. Karena perbahan ketebalan lapisan batas berlangsng secara perlahan, maka ntk mempelajari stabilitas lapisan batas kita dapat menggnakan model PSF dengan profil yang tidak berbah sepanjang x (ntk melihat stabilitas di sat daerah kecil dalam lapisan batas). Secara matematis, analisa stabilitas ntk kass ini hampir sama dengan kass pipe flow. Perbedaannya adalah dalam kass ini profil tidak simetrik. Investigasi yang mendalam telah dilakkan oleh Tollmien dan Schlichting pada tahn 30-an. Hasilnya adalah sebagai berikt: Bentk dari krva yang membatasi daerah yang stabil dengan yang tidak stabil dalam diagram ω-re tergantng dari profil. pabila dalam profil tidak terdapat titik infleksi, maka krva ini sama persis dengan krva ntk aliran pipa. amn, apabila dalam profil terdapat titik infleksi, maka krva agak sedikit berbeda. Untk kass ini krva bagian atas (II) tidak mendekati axis Re ketika Re (lihat gambar). amn, krva bagian bawah tetap mendekati axis Re ketika Re. Profil kecepatan () yang tidak mempnyai titik infleksi tidak mngkin tejadi ntk kass di mana aliran di lar kecepatannya berkrang downstream.

21 Stabilitas liran Flida 460 lasannya adalah apabila kita perhatikan bagian kecil dari permkaan maka, dari persamaan yang didapatkan di sbbagian separasi aliran, ν x x = 0 dp du = = U ρ dx dx Jadi apabila du 0 dx < maka x di dekat permkaan (ata di dekat permkaan adalah minimm). amn, apabila x dinaikkan maka pada akhirnya akan mencapai U. pabila kita perhatikan geometrinya maka dapat di simplkan bahwa hars terdapat titik infleksi. Karena Re bertambah sepanjang lapisan batas, maka sifat-sifat ganggan ketika mereka bergerak downstream agak sedikit aneh. Misalkan aliran ini kita berikan ganggan dengan ω tertent di antara 0 dan ω M. Pada awalnya ganggan ini akan teredam. Karena ω r 0 maka ganggan ini akan bergerak ke arah downstream. Ketika ganggan ini bergerak, Re akan meningkat hingga akhirnya kita akan sampai di krva I. Mlai dari posisi yang berhbngan dengan titik di krva II dan setelah it ganggan akan teredam kembali. Perbedaan antara kass dan B terjadi di daerah Re (kass inviscid). Untk kass, ganggan akan teredam, sedangkan ntk kass B ganggan akan selal teramplifikasi (aliran tidak stabil).

22 liran Trblen 46 BB 7 liran Trblen Telah kita lihat pada bab sebelm ini bahwa aliran laminer dapat menjadi tidak stabil terhadap ganggan-ganggan. Ketidakstabilan ini menyebabkan aliran mengalami transisi, dari aliran laminer menjadi aliran trblen. Setelah proses transisi ini, aliran menjadi aliran yang disebt Flly Developed Trblent. liran inilah yang akan kita bahas pada bab ini. 7. Karakteristik dari Flly Developed Trblence 5 cm/sec t Gambar. Variasi kecepatan terhadap wakt dalam aliran trblen

23 liran Trblen 46 Gambar B. liran trblen didalam water channel (diambil dari Schlichting) Gambar () memperlihatkan contoh data kecepatan pada sat titik pada aliran trblen di dalam sebah terowongan. Dari gambar tersebt terlihat bahwa kecepatan pada titik tersebt berflktasi/berbah-bah terhadap wakt disekitar kecepatan 5 cm/sec. Flktasi tersebt tidak beratran ata random. Sama sekali tidak tampak adanya periode dari flktasi tersebt dan apabila data tersebt di rata-ratakan maka kecepatan rata-ratanya adalah konstan, yait sekitar 5 cm/sec. Dengan kata lain, aliran ini tampak seperti aliran di mana terdapat flktasi irreglar (gerakan mixing ata Eddying) yang tersperposisikan di dalam aliran tama (yang disebt mainstream ata mainflow)

24 liran Trblen 463 Untk memahami apa yang terjadi, perhatikan Gambar B yang merpakan visalisasi dari aliran tersebt. Dalam foto-foto di gambar ini, aliran di dalam terowongan tersebt bergerak dengan kecepatan yang sama ata konstan. amn, dalam gambar (B) kamera yang dignakan ntk mengambil setiap foto bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Dari gambar ini, terlihat bahwa aliran trblen ini terdapat gmpalan-gmpalan yang dikenal dengan sebtan Eddy. Eddy-eddy ini mempnyai kran yang berbeda-beda, yang bergerak dengan kecepatan berbeda pla. Eddy yang besar bergerak dengan kecepatan yang lebih tinggi daripada eddy yang kecil (Foto-foto pada gambar (B) diambil dengan kecepatan yang berbeda-beda. Yang tertinggi adalah yang terbawah dan terendah adalah yang teratas). Dari contoh yang di bahas diatas dapat disimplkan bahwa, flktasi tak beratran yang ditemi dalam aliran trblen disebabkan oleh gmpalan-gmpalan ata eddy-eddy yang ada dalam aliran ini. Proses bagaimana terbentknya gmpalan-gmpalan ini sangat rmit dan, sampai sekarang, masih belm dapat dijelaskan secara tepat. amn, secara mm eddy-eddy tersebt terbentk dari ganggan-ganggan yang teramplifikasi karena adanya instabilitas dalam aliran. Dalam aliran trblen diketahi bahwa apabila Re dinaikkan (Kecepatan main stream bertambah, misalnya) maka eddy yang besar mncl terlebih dahl setelah it diikti oleh eddy-eddy yang lebih kecil. Bagian terpenting dalam aliran trblen diperankan oleh eddy yang terbesar. Ukran karakteristk dari eddy ini (l) adalah sat orde dengan dimensi dari aliran (dalam gambar, misalnya, adalah lebar dari channel tersebt). Eddy yang terbesar ini bergerak dengan kecepatan yang sama besarnya sekitar ata beda kecepatan relatif dari titik-titik dalam aliran main stream yang berjarak sekitar l. amn, frekensi dari Eddy ini sebanding dengan l di mana adalah kecepatan main stream di mana eddy tersebt berada. Ini dikarenakan pola aliran tersebt terbawa oleh mainstream yang bergerak dengan kecepatan. Karena eddy yang terbesar ini bergerak dengan kecepatan yang tertinggi, maka energi dari aliran trblent (energi kinetic) sebagian besar merpakan kontribsi dari eddy-eddy ini. Hanya sebagian kecil dari total energi yang merpakan kontribsi dari eddy-eddy yang kecil.

25 liran Trblen 464 Dari gambaran di atas kita dapat mengambil kesimplan tentang variasi dari flktasi kecepatan dari titik ke titik dalam aliran trblen pada sat saat t = t0. pabila titiktitik ini berjarak sekitar l maka perbedaan dari flktasi kecepatan antara titik-titik tersebt adalah sekitar. pabila titik-titik ini berjarak sangat dekat dibandingkan dengan l maka perbedaan antara flktasi kecepatan relatif kecil, apabila dibandingkan dgn, namn sangat besar apabila dibandingkan dengan perbedaan kecepatan mainstream antara titik-titik tersebt. pabila panjang dan kecepatan karakteristik dari sebah eddy diketahi ( λ dan ) kita dapat definisikan Reynolds nmber ntk eddy tersebt. Re λ λ = ν Dari definisi ini terlihat bahwa Re λ naik bersama dengan kran dari eddy ( λ ). Re λ yang terbesar adalah ntk eddy yg terbesar dan harganya sebanding dengan Re dari aliran mainstream. amn, karena Re sangat besar ini berarti ntk eddy tersebt, viskositas tidak penting. Oleh karena it tidak terjadi disipasi energi di dalam eddy yang terbesar. Viskositas menjadi penting apabila kran Eddy sangat kecil sehingga Re λ di mana tk Eddy ini λ λ0. Jadi walapn eedy-eddy yang sangat kecil 0 tidak terlal menentkan pola dari aliran trblen, dalam eddy-eddy inilah terjadi disipasi energi. λ λ Pembahasan di atas menjadi dasar dari konsep disipasi energi dalam aliran trblen yang diperkenalkan oleh Richardson pada thn 9. Dalam konsep yang jga disebt energy Cascade ini, energi dipindahkan dari eddy-eddy yang terbesar ke eddy-eddy yang terkecil tanpa disipasi energi. Disipasi energi hanya terjadi di eddy yg terkecil. Di sinilah energi didisipasikan menjadi panas. gar proses ini terjadi ters-meners maka hars ada splai energi yang kontin kepada eddy yang terbesar. Energi ini diberikan oleh mainstream. Sekarang kita akan lakkan dimensional analysis ntk menentkan besar dari disipasi energi dalam aliran trblen. Lebih spesifik kita akan cari besar dari (energi disipasi per nit wakt per nit massa). Dari argmen Energy Cascade di atas maka,

26 liran Trblen 465 walapn disipasi terjadi karena viskositas, ε ditentkan oleh kantitas yang merpakan karakteristik dari eddy yang terbesar yait ρ, l, dan (viskositas tidak disertakan m karena Re dari eddy yang terbesar sangat tinggi). Karena ε mempnyai 3 s maka, ε ~ Hbngan ini dapat ditliskan dengan menggnakan variabel lain. pabila kita perkenalkan ν trb ata viskositas trblen yang berbeda dengan ν maka, 3 ν trb ~ karena ν mempnyai nit m /s. Dengan demikian maka ε dapat dinyatakan seperti, ε ~ ν trb Bentk ini adalah bentk yang biasanya dignakan ntk menjelaskan ε karena ntk aliran laminerε ~ ν, misalnya. x Sekarang kita akan melihat sifat-sifat dari trblen eddy yang krannya λ λ <<. Untk eddy-eddy ini, gerakan dari flid partikel relatif terhadap mainstream dianggap homogeneos dan isoentropik apabila flida tersebt jah dari permkaan benda. smsi isoropik berarti sifat-sifat trblen di Eddy ini ( λ << ) tidak tergantng dari arah mainstream. Sifat-sifat dari trblen eddy dengan kran sifat-sifat lokal. λ << disebt jga Kolmogorov (94) menemkan sifat-sifat lokal yang penting ntk eddy dengan λ o << λ <<, di mana diingatkan bahwa λ o adalah kran dari eddy yang terkecil di mana terjadi disipasi energi. Kantitas-kantitas karakteristik ntk eddy-eddy ini adalah ρ, λ, ε. ε merpakan karakteristik dari eddy-eddy ini karena argmen Energy Cascade yang telah kita bicarakan sebelmnya. Dari ρ, λ, ε, kita dapat membentk hanya sat kantitas yang mempnyai nit kecepatan yait, ( ελ ) 3 kecepatan eddy-eddy di mana λ o << λ << adalah,. Oleh karena it,

27 liran Trblen ~ ελ ( T. ) λ Inilah yang disebt dengan Kolmogorov Law. Hkm ini dapat ditliskan dengan menggnakan wave length (k). pabila E ( k) dk adalah energi per nit massa di dalam eddy dengan harga k di antara dk maka E (k) mempnyai nit m 3 /s. Karena 3 k ~ dan ε ~ m / s maka, λ m E k ε k (T. ) Hbngan seperti (T.I) didapatkan dengan mengingatkan bahwa E k dk = kinetik energi =. Dengan demikian maka. nit massa d( ) ~ ~ 3 3 ( k) dk ε κ Ε. κ Beriktnya kita lihat apa yang terjadi di scale λ o. Untk eddy-eddy ini, kantitas karakteristiknya adalah ε, ρ, µ ata ε dan ν. Dari ε dan ν kita hanya dapat membentk sat kantitasyang mempnyai nit m yait, 3 ν 4 ~ λ o ( T.3 ) ε λ o adalah kran dari eddy yang terkecil dalam trblen sebelm terjadi disipasi energi. mm. λ o disebt jga Kolmogonov length. Harga λ o biasanya sekitar 0. s d Terakhir kita lihat sifat-sifat aliran di daerah di mana λ << λ. Di daerah ini eddy-eddy tadi telah terdisipasi sehingga di daerah ini kecepatan berbah secara perlahan (smoothly). Dengan demikian maka kita dapat expansikan power series dari λ. Karena λ sangat kecil maka λ ( konstan) λ. o λ dengan menggnakan

28 liran Trblen 467 Karena di λ = λ0, λ = λ0 maka konstan tersebt adalah λ 0 λ 0 sehingga, Dalam teori trblen, range scales λ λ0 ~ λ λ 0 λ ~ disebt energy range. Sementara it ntk λ λ0 disebt dissipation range. Untk kass Re yang tinggi keda range scale ini sangat jah. Range Scale di antara kedanya yait ntk λ di mana λ 0 << λ << disebt inertial range. Di inertial range inilah hkm Kolmogorov berlak. 7. Reynolds verage avier-stokes Kita telah lihat bahwa aliran trblen merpakan sperposisi dari eddy-eddy yang mempnyai kran dari mlai s/d λ 0. Karena λ 0 ~0. s/d mm maka metode kontinm dapat dignakan sehingga persamaan avier-stokes jga kemngkinan dapat dignakan. amn, ntk menyelesaikan persamaan avier-stokes di dalam kompter diperlkan compter space yang sangat besar karena kita hars menghitng secara detail eddy-eddy dari mlai λ ~ s/d λ ~ λ0 (seperti telah dijelaskan, makin tinggi harga Re, makin jah jarak yang hars dignakan). Untk kompter yang ada saat ini, perhitngan trblen dengan menggnakan persamaan avier-stokes ntk Re yang sesai dengan aplikasi sehari-hari (Re > 0 5 ) adalah hal yang tidak praktis. Oleh karena it kita hars mencari persamaan lain ntk menghitng aliran trblen. Persamaan yang biasanya dignakan adalah persamaan Reynolds verage avier- Stokes. Dalam menrnkan persamaan ini, kecepatan dan tekanan kita dekomposisikan menjadi, = U + ' dan p = P+ p' ( R. ) di mana U dan P adalah time average ata, U T ( x, t) dt = T T

29 liran Trblen 468 T P p( x, t) dt = p (R.) T T dan dan p adalah harga-harga flktasi di sekitar U dan P. Pada wakt melakkan time averaging, wakt sampel T harslah ckp panjang dibandingkan dengan time scale dari eddy yang kecil tetapi ckp singkat dibandingkan dengan time scale dari eddy yang besar. Dari definisi (R.) dan (R. ), jelaslah bahwa, Selain it kita asmsikan bahwa ' = U = U = 0 dan p ' = 0 ( ) = = U ata diferensiasi dan time averaging adalah operator yang komtatif. Untk aliran inkompresibel, seperti kita ketahi, kita hars menyelesaikan persamaan kontinitas dan momentm. pabila kita lakkan time averaging terhadap persamaan kontinitas maka didapatkan, 0 = ( ) = = U ata U = 0 (R.a) Beriktnya kita akan lakkan time averaging dari persamaan avier-stokes. ρ + = + µ t p ρ + = + µ t Selain it, p ( ')( ') ( ' ' ' ') = = U + U + = U U + U + U + i j i i j j i j j i i j i j = = UU + U ' + U ' + = UU + ' ' i j i j i j j i i j i j i j ( R.3 ) = UU + ' ', di mana telah dignakan U= U dan ' = 0. Dengan demikian maka ( R.3 ) menjadi, t ρ U U U P + = + U ν ' ' (R.b)

30 liran Trblen 469 Persamaan (R.b) serpa dengan persamaan avier-stokes ntk mean flow U namn terdapat stress tambahan yait sk ' '. Stress ini disebt Reynolds stress. Melali stress inilah trblen mempengarhi mean flow U. Untk mendapatkan solsi ntk mean flow diperlkan hbngan antara '' dengan U. pabila kita dapatkan hbngan ini maka (R.a) dan (R.b) dapat diselesaikan. Terdapat beberapa model lama yang memberikan hbngan konstittif ntk ''. Salah sat dari hbngan ini diperkenalkan oleh Bossinesq yait, = ν i di mana ν trb disebt jga Eddy viscosity yang harganya adalah tergantng dari trblen di dalam aliran dan bkan sifat dari flida seperti ν. Selain hbngan ini, terdapat pla hipotesa yang diperkenalkan oleh Prandtl. Hipotesa ini disebt mixing trb du dx length hypothesis. Hipotesis ini menyatakan bahwa, ν = trb du dx di mana disebt mixing-length yang serpa dengan mean free path dalam teori kinetik gas. Model-model seperti ini adalah model-model yang paling sederhana dan tidak terlal akrat. Oleh karenanya, para ilman sampai sekarangpn masih ters mencari model yang terbaik. Contoh-contoh dari model trblen yang kini banyak dignakan adalah model K-ε, K-l, Spalart-lamaras, dan masih banyak lagi yang tidak dapat disebtkan sat-persat. Pada mmnya model-model ini menggnakan persamaan diferensial yang ckp rmit. Karena pembahasan detail dari model-model ini tidak akan terlal banyak membant kita dalam memahami fisik aliran trblen lebih dalam, pembicaraan tentang trblence modeling dalam bk ini hanya ckp sampai disini. Untk memahami Reynold stress lebih jah, kita trnkan persamaan yang menjelaskan ''. Prosedrnya adalah sebagai berikt :

31 liran Trblen 470 ) Dapatkan persamaan ntk i ' dengan melakkan (avier-stokes) (R.b). ) Kalikan persamaan yang didapatkan di ) dengan j ' 3) Lakkan hal yang sama seperti ) dan ) dengan mengganti i dengan j. 4) Tambahkan persamaan yang didapatkan di ) dengan persamaan yang didapatkan di 3). 5) Lakkan time averaging terhadap persamaan yang didapatkan di 4). pabila kita lakkan prosedr tersebt, maka kita akan dapatkan persamaan di bawah ini. i' j' + Uk ( i' j ') = ( k ' i' j ') ( p ' j' ) + ( p ' i' ) t xk xk ρ xi xj diffsi ( i' k ') U j + ( j' k ') Ui + p' i' + p' j' xk xk ρ x j x i prodksi + ν j ' i' + i j xk xk xk xk destrksi Da sk pertama disebt sk difsi karena apabila kita integrasikan sk-sk ini di batas-batas flida (di mana = 0) maka sk sk ini sama dengan nol. Jadi sksk ini menjelaskan proses redistribsi dari trblen. Da sk terakhir mempnyai koefisien ν. Jadi keda sk ini menjelaskan lenyapnya yang disebabkan oleh viskositas. Proses prodksi dari Reynolds stress sendiri dijelaskan oleh da sk tengah. Dari sk ini terlihat jelas bahwa prodksi Reynolds Stress disebabkan adanya x k U kenyataannya ata shear pada mean flow dan pressre-strain correlation. Dalam U x k biasanya lebih dominan. Oleh karena it apabila dalam aliran U = 0 (tidak ada shear dalam mean flow) maka tidak terdapat prodksi dari Reynolds

32 liran Trblen 47 stress. kibatnya apabila terdapat trblen dalam aliran tersebt, trblen tersebt akan lenyap ( decay ). Hal terakhir yang akan kita bahas di sbbagian ini adalah trblence intensity ata intensitas trblen yang didefinisikan sebagai, I ' ' 3 i i U 0 di mana U 0 adalah kecepatan karakteristik dari mean flow. Untk trblen yang isotropik, maka tidak mempnyai kecenderngan arah sehingga, ' ' = ' ' = ' ' 3 3 Untk kass ini maka ekspresi ntk intensitas trblen adalah, I = ' ' U Energi aliran trblen Untk mengetahi bagaimana interaksi antara eddy-eddy dalam trblen dan mean flow, kita perl memperhatikan energi kinetik dari mean flow dan energi kinetik dari trblen. Persamaan yang menjelaskan energi kinetik dari mean flow didapatkan dengan mengkalikan (R.b) dengan U i yang hasilnya adalah (dengan menggnakan persamaan R.a), ' ' ( ij ρ j) ρ Ui + U j Ui = PUi µ U jd + U j i t xj xi µ D D + ρ U ' ' ij ij i j i x j (R.KE) D ij U U i + x j xi j

33 liran Trblen 47 Selanjtnya persamaan yang menjelaskan tentang energi kinetik dari trblen didapatkan dengan langkah-langkah berikt ini. Kita mlai dari persamaan momentm ntk ' i yang didapatkan dengan cara melakkan operasi (avier-stokes ntk = U + ' ) (R.b). ' = + + t ρ ' ' ' U U ' P' ν ' ' Kemdian dot prodct antara persamaan tersebt dengan dan merata-ratakan hasil yang didapatkan. Dengan melakkan prosdr tersebt didapatkan persamaan yang menjelaskan energi kinetik dari trblen yait (dimana telah dignakan persamaan kontinitas), ρ ' i + U j ' i = ρ' i ' j + ' i p' µ ' j d t xj xi µ d d ρ U ) ' ' ij ij i j i x j ' ij (R.KET d ij ' ' i + x j xi j Sekarang kita telah siap ntk melihat interaksi antara mean flow dan trblen. Karena trblen mempengarhi mean flow melali Reynolds Stress, penambahan ata pengrangan energi yang dilakkan oleh trblen dilakkan oleh sk terakhir dalam (R.KE). Yang menjadi pertanyaan menarik adalah, apakah trblen mengambil energi dari mean flow? Pertanyaan selanjtnya adalah apa konsekensi dari jawaban pertama terhadap energi kinetik trblen? Untk menjawab pertanyaan ini, kita perhatikan sk terakhir dari (R.KE) dan (R.KET). Kita ketahi bahwa, j U ( ρu' ') ' ' ( ' ') i i i j = ρi j + Ui ρi j x x Persamaan ini kita integrasikan dan hasilnya adalah, j x j ρ Ui U ' ' ˆ ii j n jds ρ i' j ' = dv + Ui i' j ' dv x x ρ S V j V j

34 liran Trblen 473 di mana telah dignakan teorema Gass ntk sk kiri. pabila kita pilih S yang tipis di arah U sehingga U 0, namn S mencakp batas batas lar dari trblen di mana ' = 0, maka sk kiri sama dengan nol sehingga Ui Ui ρi' j ' dv = ρi' j ' dv IKE x x. V j V j Oleh karena it ntk menjawab pertanyaan tadi kita perl melihat apakah I KE > 0 ata I KE < 0. Selain it dari hasil ini jga terlihat bahwa harga dari sk terakhir (R.KE) adalah negatif dari sk terakhir (R.KET). Dengan demikian apabila < 0, misalnya, maka efek sk terakhir dari (R.KE) adalah mengrangi energi kinetik dari mean flow dan efek sk terakhir dari (R.KET) adalah menambahkan energi kinetik trblen. I KE Untk it kita perhatikan kass yang digambarkan di gambar (B). misalkan kita perhatikan flid element di x =. Karena adanya flktasi dalam aliran trblen misalkan elemen ini berpindah ke x (disebabkan oleh > 0 di x = ). Karena elemen ini mempnyai U yang sama dengan U di lebih kecil daripada U di x = B x = maka ini menimblkan ' < 0 di x = B (karena U di x = = B ). Dengan demikian maka du ' ' < 0 > 0 < 0 dx pabila kita perhatikan kass lainnya di mana elemen di x karena adanya demikian maka, > 0 = berpindah ke x = C < maka dengan argmen yang serpa, 0 di x = C. Dengan 0 >

35 liran Trblen 474 du ' ' < 0 < 0 > 0 dx < 0 Ui Dari contoh ini jelaslah bahwa i j < 0 x j secara mm. Dengan demikian maka I KE < O dan dapat disimplkan bahwa trblen mengambil energi dari mean flow. Energi inilah yang secara kontiny disalrkan ke eddy-eddy dari yang terbesar hingga yang terkecil. Energi ini kemdian didisipasikan oleh eddy yang terkecil menjadi panas. 7.4 liran trblen di dekat permkaan benda Di sbbagian flly-developed trblence kita telah lihat karakteristik aliran trblen di daerah yang jah dari permkaan. Sekarang kita akan lihat karakteristik-karakteristik dari aliran trblen di daerah di dekat permkaan benda. Hasil eksperimen mennjkkan bahwa aliran di bagian bawah dari lapisan batas trblen (inner region) mempnyai strktr trblen yang sama dengan aliran di daerah dekat permkaan dari aliran di dalam pipa ata channel. Dengan kata lain, strktr trblen di dekat permkaan adalah selal sama ntk tipe aliran yang berbeda. Sat satnya kesamaan dari aliran aliran ini adalah tidak terdapat panjang karakteristik dalam permasalahan ini. Oleh karana it aliran mempnyai self similar (seperti aliran lapisan batas dari pelat datar). Dari persamaan RS kita lihat bahwa stress di setiap titik dalam aliran adalah penjmlahan antara Reynold dan viscos stress. Karena kondisi batas mengharskan kecepatan dipermkaan adalah nol, maka Reynold stress dipermkaan adalah nol sehingga di daerah ini hanya terdapat viscos stress. Sedangkan ntk aliran flly developed, Reynold stress lebih dominan dari pada viskos stress sehingga di daerah yang sedikit jah dari permkaan hanya terdapat Reynold stress dan tidak terdapat viscos stress. Dari penjelasan ini maka terlihat bahwa beberapa lapisan pada aliran

36 liran Trblen 475 trblen disekitar permkaan. Lapisan pertama yang berada sangat dekat dengan permkaan dimana tidak terdapat Reynold stress (inner layer), lapisan yang agak jah dari permkaan sehingga tidak terdapat viscos stress (oter layer). Lapisan terakhir adalah lapisan dimana terjadi transisi dari keda kass tersebt. Sekarang kita akan lakkan dimensional analysis ntk aliran di inner layer (daerah yang sangat dekat dengan permkaan dan daerah ini berada di dalam lapisan batas, misalnya). Kantitas kantitas karakteristik di daerah ini adalah ρ, µ, kass ini τ wall. Dalam τ wall adalah kantitas karakteristik yang menjelaskan efek dari aliran di lar daerah ini ( oter region ). Kantitas ini diperlkan karena apabila kecepatan aliran main stream dibah, misalnya, makaτ wall jga berbah. amn, kita tidak menggnakan Uinv ata U sebagai karakteristik di lar daerah inner region karena di daerah ini efek U tidak dirasakan secara langsng namn dirasakan melali τ wall. Selain it, seperti telah dijelaskan sebelmnya, tidak ada panjang karakteristik dalam kass it. Oleh karena it, x kita ikt sertakan sebagai salah sat dari parameter. Dari penjelasan di atas maka profile kecepatan () di daerah inner layer mempnyai bentk seperti, = ( x ;,, ρµτwall ) Dari parameter-parameter ini kita dapatkan grop nondimensional yait, (3 kantitas yait ρ, µ, τ wall -variabel: x ) x + *, y + ν * di mana τ wall *. Oleh karena it maka, ρ + = f y + di inner layer (law of the wall) Hbngan ini disebt jga law of the wall. Hasil eksperimen ntk + di sketsakan di gambar (c)

37 liran Trblen 476 Hasil eksperimen mengkonfirmasikan bahwa di inner layer, data-data eksperimen ntk kass-kass aliran berbeda berada di krva yang sama sesai dengan law of the wall. Di lar inner layer, data eksperimen ntk aliran yang berbeda mlai terpencarpencar mengikti krva yang berbeda. Daerah ini disebt oter layer dan di sini tentnya + + ( y + ) lagi. Daerah inner layer dibagi lagi menjadi 3 daerah yait viscos sblayer ( 0 y + 8 ), bffer layer ( 8 < y + 50), overlap layer ( 50 < y ). Hasil eksperimen mennjkkan bahwa di viscos sblayer terdapat set-set dari conter rotating vortices. Selain it daerah bffer layer adalah daerah dengan trblence intensity I yang tertinggi. Jadi walapn daerah viscos sblayer dan bffer layer ini relatif sangat kecil, namn di sinilah tempat terbentknya trblen. Di daerah ini Viscos dan Reynolds stress adalah konstan. Di permkaan tentnya stress adalah 00% viscos stress karena Reynolds stress = 0. Di bffer layer viscos stress trn namn Reynolds stress naik. Di bagian terlar dari bffer layer selrh stress adalah Reynolds stress dan harganya tentnya sama dengan τ wall mencapai akhir dari daerah overlap.. Reynolds stress ini tetap konstan hingga Sekarang kita beralih ntk memperhatikan daerah oter layer. Kantitas-kantitas dp karakteristik di daerah ini adalah ρ, δ, U, dan. Di sini U adalah kecepatan mean dx flow di daerah ini dan δ adalah tebal dari lapisan batas ata radis dari pipa ntk aliran di dalam pipa. Jga seperti dalam daerah inner layer kita perl ikt sertakan x. Selain it, dari gambar c terlihat bahwa + ntk oter layer bergabng dengan + ntk inner layer. Secara fisik, ini berarti aliran di oter layer dipengarhi oleh inner layer. Kantitas inner layer yang paling logis ntk dimaskkan sebagai

38 liran Trblen 477 kantitas karakteristik di oter layer adalah τ wall. ν tidak dimaskkan sebagai kantitas karakteristik di oter layer karena viskositas tidak penting di daerah ini (di daerah ini tidak terjadi disipasi energi). Dengan penjelasan di atas, maka jelaslah bahwa, ;, dp = x δ, ρ, U, τwall dx ρ dan τ wall dapat digabng menjadi * seperti yang kita lakkan di inner layer. Selain it, U tentnya beraksi sebagai reference. Dengan kata lain, yang kita bthkan adalah - U. Oleh karena it, maka kecepatan di oter layer berbentk, ata U g x ; *,, dp = δ dx U x dp dp = f, = f ξ, * δ dx dx x di mana ξ δ Hkm ini disebt jga defect law. (defect law) Karena law of the wall dan defect law hars bergabng di overlap layer, Millikan (98) berargmen sebagai berikt: U + = F( y ) apabila x 0 * * + U = F( y ) apabila x δ * * Untk it kita perhatikan pertama-tama kass dimana Untk kass ini, ( ξ ) law of the wall menjadi, * dp 0 dx =. U = f 0. pabila kita lihat trnan dari terhadap x maka, d dy y = F = F = F dx dx ν x + + ' ' * ' * ()

39 liran Trblen 478 df di mana F '. dy + Sedangkan Defect law menjadi, * d dx = f ' 0 dξ dx = f ' 0 δ = ξ x f ' 0 () di mana ' df 0 f 0. Karena argmen Millikan tadi, maka dari () dan (), dξ + yf ' = ξ f ' 0 = konstan (3) κ kiri kanan adalah konstan karena sisi kiri adalah fngsi y + dan sisi kanan adalah fngsi ξ dan κ sisi kiri hars sama dengan sisi kanan. Konstanta κ dikenal dengan sebtan Karman Constant. Dari persamaan (3) maka df = + dy κ y + ata F = ln κ + y + (4) df dξ 0 = ata κ ξ f 0 = ln κ ξ + B (5) Dengan demikian maka ntk selrh lapisan adalah x ln * = κ ν + (6) * ata apabila kita gnakan oter layer variables, U x ln κ δ = + + * * B (7) dp Sekali lagi diingatkan bahwa hasil di atas berlak ntk kass = 0. Untk kass dx dp yang lebih mm, di mana 0 dx dp parameter yang menjelaskan dx U maka, = f ( ξ, Π ) di mana П adalah *

40 liran Trblen 479 pabila kita gnakan inner variables ntk (persamaan (6)) maka jelaslah bahwa * kita dapat nyatakan, = + + g( ξ Π ) (8) di mana ( 0, π ) 0 g dan * x ln, κ v U apabila ξ. * * Dengan mengambil limit ξ maka dari (8), U * ata = + + g( Π ) (9) * δ ln, κ ν U = F y + g Π * + (, ) Dari persamaan (8) dan (9) maka ((8)-(9)) didapatkan, = ln ( ξ) + U + g (, Π ) g ( ξ, Π ) κ * * Persamaan di atas adalah persamaan ntk + * ntk kass mm di mana dp dx 0. Seperti telah dikatakan sebelmnya, persamaan ntk + ini berlak di selrh layer dari mlai inner sampai dengan oter layer. Fngsi g (ξ, П) sendiri ditentkan secara empiris. Hbngan empiris ini diberikan oleh Coles (956), g π Π = Π ξ κ ( ξ, ) sin Sedangkan bnga empiris ntk Karman Constant (κ) adalah, κ = 0.4 Harga-harga ntk П adalah sebagai berikt: П = ¼ ntk pipe flow dp П = 0.55 ntk lapisan batas dengan = 0 dx (Coles s law of the wake)

41 liran Trblen Coles Relation Hasil yang didapatkan di 7.3 dapat dignakan ntk menghitng skin friction drag (misalnya, yang dihasilkan lapisan batas trblen) dengan menggnakan metoda semi empiris. Untk mendapatkan bayangan bagaimana melakkan perhitngan semi empiris ini, kita persamaan (8) pada posisi x = δ. Uin * δ Π ln + κ v κ * = + amn dari definisi * dan skin friction coefficient (c f ), Uin Uin Uin = = = * τ wall cf ρuin ρ ρ c f dan * = c f U in Dengan demikian maka didapatkan, δu c in f Π = ln + + (Coles Relation) cf κ v κ Hbngan diatas adalah hbngan antara c f dan δ. pabila kita mempnyai hbngan ntk δ sebagai fngsi dari x (misalnya dari hasil experimen) maka Coles Relation memberikan c f sebagai fngsi dari x. Tentnya, c f dapat diintegrasikan ntk mendapatkan harga skin friction drag. Sebagai contoh adalah kass lapisan batas trblen dari pelat datar. Untk kass ini, diketahi dari hasil experimen bahwa 0.3x c f δ. Selain it ntk kass pelat datar, Π= 0.55, = 5, κ = 0.4. Dengan demikian maka Coles Relation ntk kass ini menjadi, U ln ( 0. cr f ex) inx = + + dimana Rex c 0.4 ν f pabila persamaan diatas diselesaikan tentnya akan didapatkan ekspresi ntk c f sebagai fngsi dari x.