STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "STATISTIKA UNIPA SURABAYA"

Transkripsi

1 MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA

2 Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi Distribusi Model Probabilitas Ekspektasi Matematik Peluang bersyarat dan kebebasan stokastik

3 Materi : Beberapa distribusi khusus Distribusi binomial Distribusi poisson Distribusi Gamma dan Chi-square Distribusi normal Distribusi Sampling dari fungsi variabel Teori pengambilan sampel Teknik fungsi pembangkit momen Distribusi order statistik Transformasi variabel random

4 Referensi : Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig. (Recommended) Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo. Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended) Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York. Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (008)., Probability and statistical inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. New Jersey. (Recommended)

5 Evaluasi Nilai Tugas (30%) Nilai UTS (0%) Nilai UAS (50%)

6 Matematika Statistik PENDAHULUAN Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat aktivitas (percobaan). a. Percobaan deterministik : percobaan yang sudah pasti terjadi. contoh : b. Percobaan Stokastik / Acak / Random / Statistik / Probabilistik : percobaan yang mempunyai sifat : Semua hasil yang terjadi dapat diketahui Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan tersebut dilakukan.

7 Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan random Contoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan sebuah mata uang, terdapat macam hasil A (angka) dan G (gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapat dilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uang diatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruang sampel { A, G}. Contoh : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukan secara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari... Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan terhadap proses produksinya. X i menyatakan hasil produksi ke i, i = 1,,3,... Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1

8 Akibat percobaan random : 1. Terdapat ruang sampel / S. Terdapat event (kejadian / peristiwa) A, B, C - akibat dari (1) dan () muncul probabilitas suatu event / kejadian event A : P A n A n * probabilitas aksiomatis disebut sebagai *"probabilitas klasik"

9 3. Terdapat variabel random - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real Contoh : Dokter mengobati 3 pasien : TTT TTS SST SSS = TST STS STT TSS misalkan X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa X adalah variabel random diskrit?

10 4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas : suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random a) fungsi distribusi probabilitas diskrit b) fungsi distribusi probabilitas kontinu Definisi : a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel random x jika : f x 0 x f x 1 b) F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabel random x jika : f x f 0 x 1

11 5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi a. E x x f x variabel random diskrit b. x 1 E x x f x dx Var x E x E x 6. Terdapat fungsi pembankit moment (MGF) tx M t E e x x1 - tx e f x variabel random kontinu variabel random diskrit tx = e f x variabel random kontinu

12 TERIMA KASIH

13 DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM GANGGA ANURAGA

14 TEORI HIMPUNAN (SET THEORY) Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A, maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis a A. Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 x 1 atau ditulis x ; 0 x 1, maka 1 adalah anggota dari A ( 1 A), tetapi bukan anggota dari A 1 A.

15 BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORI HIMPUNAN Definisi I : Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S,, dll. Definisi II : Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S c maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A. contoh : 3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 c S = x ; x = 0, 1,, maka komplemen A atau A = x ; x =, 3, 4

16 Definisi III : A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A contoh : A = x ; 0 x 1, A = x ; 0 x, maka A A Gambarkan diagram Venn-nya? Definisi IV : 1 Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A = contoh : A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat, maka A =

17 Definisi V : Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu 1 1 suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A, ditulis A A = x x A atau x A. 1 1 Gabungan dari himpunan-himpunan A A A contoh : A = x ; x = 0, 1,, 3, 4, 5 1 A = x ; x =, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 1 A, A, A,...adalah 1 3 Maka A A = x ; x = 0, 1,, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 1

18 Definisi VI : Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 1 suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x x A dan x A Irisan dari beberapa himpunan A, A, A...adalah A A A Contoh : A = x, y ; x, y = 0,0, 0,1, 1,1 A = x, y ; x, y = 1,1, 1,,,1 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh : 1 x+y A = x,y ; 0 x+y 1, A = x,y ; 1 maka A A... 1

19 Definisi VII : Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x x A dan x A Contoh : A = x A = x x A -A = 1 1 x bilangan asli A -A = x x bilangan bulat 1 1 bilangan bulat tidak positif 1

20 Definisi VIII : Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 1 suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A. A + A = x x 1 1 A atau x A dan x A A. 1 Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A. Contoh : A = x x A = x x bilangan cacah maka A + A = x x bilangan bulat negatif bilangan bulat 1

21 BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORI HIMPUNAN

22 CONTOH : Suatu ruang sampel S = s,s,s,s,s,s,s,s dan himpunan A, A, dan A adalah sebagai berikut : A s,s,s, A s,s,s,s,a s,s,s,s Tentukan A, A, A, A A,A A, A A, c c c A A A, A A,A A, A A A, A - A, A - A, A - A,A - A,A - A, A. c c

23 SOAL LATIHAN : 1. Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah : 1 a A 1 x; x 0,1,, A x; x,3,4 b A x;0 x, A x;1 x c. Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel 5 S x;0 x 1,A = x; x 1 8 c S sebagai berikut : c c c c c Buktikan bahwa A A A A dan A A A A 4. Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A, 1 3 k k+1 k = 1,, 3,..., k 1 3 k k k dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan A A A. Carilah lim A jika : A x;1/ k x 31/ k, k 1,,3...; k

24 FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION) Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya : 1 f x 5 x, x x y g x, y e, 0 x,0 y Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu : 1 x 1, maka f dan y 3, maka 1,3 1 3 x g e e Fungsi diatas disebut fungsi dari sebuah titik, karena dihasilkan pada sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh semua titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN".

25 Contoh : Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan 1 QA f x dimana f x A 3 3, x 0,1,,... 0,lainnya 1 Jika A x; x 0,1,,3, maka Q 1 x A...?

26 Contoh : Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A dimana f x 6x 1 x, 0 x 1 0, lainnya jika A 1 x; x,a x; x 4 4 Tentukan Q A dan Q A...? 1 f A x dx

27 TERIMA KASIH

28 VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI KEPADATAN PELUANG GANGGA ANURAGA

29 VARIABEL RANDOM - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real Catatan : didalam statistik kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan peluang dari variabel random X dari ruang sampel

30 FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p) Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan x peluang P( X A) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi f x. Dalam hal ini (f.d.p f disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang" / probability density function) dari variabel random x.

31 DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM f xa Variabel Random Diskrit x f x 0 1 P( x A) f x xa

32 DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit Soal X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel P A f x S = x ; x = 0, 1,, 3, 4. ( ) dimana 4! 1 f( x) x!(4 x)! 4, x S. Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A)? A

33 X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan 1 ruang sampel x ; x 1,, 3,... dan f x ; x Jika x; x1, 3, 5, 7,... merupakan himpunan bagian dari 1 ruang sampel maka tentukan P A. Diketahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang x1 9 (f.d.p): f x c, x 1,,... dan 0 untuk x lainnya. 10 Tentukan nilai konstanta c. 1 x

34 Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 P A A f x, y dimana f ( x, y), 5 x, y S x, y; x, y 0,1, 0,,..., 0,13, 1,1,..., 1,13,..., 3,13 Hitunglah P A P X, Y A a). A = x,y ; xy, 0,4, 1,3,, b). A = x,y ; x y 4, x,y S

35 Variabel random kontinu Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : A P(A) = P(X A) = f x

36 Soal : Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X adalah : P(A) = A f x dx, dimana f x X x ; 0 x 3x 8 ; 0 1, ;1 A1 x x A x x adalah himpunan bagian dari, maka tentukan P A, P A, P A A dan P A A

37 1 x, y ; 0 x y 1 adalah ruang sampel dari dua variabel random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah P A A dx dy Jika A 1 1 x, y ; x y 1 maka tentukan P A. Jika A x, y ; x y 1, 0 x maka tentukan P A. 1

38 Variabel random kontinu Soal: Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel A A = x, y ;0 x y 1. Dan fungsi himpunan peluang 1 P(A) = dx dy. Tentukan A 1 x, y; x y 1 dimana A 1 himpunan bagian dari A. Soal : Variabel random X mempunyai f.d.p : x ;0 x1 f x 0 ;untuk x yang lain Tentukan P( x ) dan P(- x ) 4

39 TERIMA KASIH

40 FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION) GANGGA ANURAGA

41 FUNGSI DISTRIBUSI (CDF) Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random Fungsi distribusi probabilitas diskrit Fungsi distribusi probabilitas kontinu

42 Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A Definisi : F(x) = Pr(X x) 1) Variabel Random X diskrit F(x) = t - ) Variabel Random X Kontinu F(x) F(x) = x f t x f t dt disebut fungsi distribusi

43 Soal : x, xa 1,,3 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? 1, x 0. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? 1/3, x 1, 0,1 3. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? x/15, x 1,,3, Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

44 Soal: k 3,1 x 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x 0, untuk x lainnya Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p? Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya?. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p? 3 1-x, 0 x 1 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya?

45 Soal: 0, x 0 x 1 3. Variabel Random X dengan F(x), 0 x 1 1, x 1 1 Hitung Pr -3 < x dan Pr x 0? 0, x 1 x 4. Variabel Random X dengan F(x), 1 x 1 4 1,1 x 1 1 Hitung Pr < x, Pr x 0, Pr x 1, Pr < x 3?

46 sifat-sifat fungsi distribusi 1. F lim F x 1 F lim F x 0 x x. 0 F x 1 3. suatu fungsi yang tak monoton turun 4. F x kontinyu ke kanan setiap x

47 Distribusi binomial Distribusi poisson

48 Distribusi uniform Distribusi normal

49 TERIMA KASIH

50 DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA

51 DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi Fungsi f (x, y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y. f (x, y).

52 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA

53 Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : x 1. f x, y 0 untuk semua x, y. f x, y 1 y 3. P X, Y A f x, y. untuk setiap daerah A di bidang xy. A A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5.1: Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah : k x y x y 1, 0,1,3, 1,,3 f x, y 0, untuk x dan y yang lain a. Carilah nilai konstanta k? b. Hitunglah P X = 0, Y?

54 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilainilai yang berupa interval.

55 Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5. : Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y?

56 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT f x y, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x, y h y f x y x Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?

57 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x Berdasarkan contoh 5., tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?

58 EKSPEKTASI MATEMATIK GANGGA ANURAGA

59 Definisi : Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga : Eu x x u x f x dx u x f x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x. x

60 Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta. E [k u(x)] = k E[u(x)] n n 3. E ki u i(x) ki E[u i(x)], n hingga ekspektasi bersifat linier i=1 i1 x Var u Var(x) = E(x - E(x)) = x x (x - E(x)) f x dx untuk variabel random kontinu (x - E(x)) f untuk variabel random diskrit

61 Contoh 1. Misal X dengan f.d.p f x x maka E 6x + 3x...? Contoh. 3 maka E (x )...? 1 x, 0 x1 0, untuk x yang lainnya Misal X dengan f.d.p f x/ 6, x1,,3 0, untuk x yang lainnya

62 Soal Latihan : 1. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang x f.d.p f ( x), x 4 dan 0 untuk x yang lain. 18 Tentukan E( x) dan E ( x ).. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang 1 f.d.p f ( x), x 1,,3,4,5 dan 0 untuk x yang lain. 5 Tentukan E( x), E x dan E ( x ). 3. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang 1 f.d.p f ( x, y), x, y 0,0, 0,1, 1,1 dan 3 0 untuk xy, yang lain. 1 Tentukan E x y. 3 3

63 5. Variabel random x dan y memiliki fungsi kepadatan peluang f.d.p f ( x, y), 0 x y, 0 y 1 dan 0 untuk x, y yang lain. Didapatkan bahwa u x, y x, v x, y y dan w x, y xy. Tunjukkan bahwa E u x, y E v x, y E w x, y 6. Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p f(x) = 3x, 0 < x < 1 maka tentukan E (x), E(x ), dan Var (x). Jika variabel random y dengan y = 3x - tentukan E (y) dan Var (y)?

64 Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) Gangga Anuraga

65 Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi probabilitas f x x, MGF dari X didefinisikan sebagai tx M t E e tx e f x Kontinu tx M t E e tx e f x Diskrit x Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random. Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen dt t cx ct x M cx t M x ct M cx t E e E e M x ct tcxd dt. M t e M ct M t E e cxd x cxd ct x dt E e e e M x ct

66 MGF dan Ekspetasi Matematik d E x M x t t0 dt merupakan turunan pertama dari MGF dan n n d E x M x t, n,3, n t0 dt merupakan turunan ke-n dari MGF Catatan : d d tx d tx M x t E e E e t0 dt dt t0 dt t0 tx t0 E x E xe

67 Soal Latihan 1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan x peluang f x e, x 0. a) Carilah MGF M t b) Tentukan E x, E x dan Var x x c) Jika variabel random y didefinisikan sebagai y 3 x. t - Tentukan MGF M t dan E y. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan 1 peluang f x, x 1,,3... a) Carilah MGF M b) Tentukan E x dan Var x x x y

68 3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson t e 1 dengan MGF M t e. x Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x? 4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p dengan MGF t M t pe q x Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x? n

69 DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI BERSYARAT GANGGA ANURAGA

70 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT DEFINISI : f1 x1 f x, x f x x, f x 0 disebut f.d.p bersyarat f x, x dari x bila diketahui X x, sejalan f x x, f x f x disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X x. 1

71 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT Contoh : Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random x dan x sebagai berikut : 1 1 dengan f.d.p x1 x f x1, x, x1 1,,3 ; x 1, 1 0, untuk x, x yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginal untuk kemudian tentukan f x x dan f x x x 1 1 dan x 1

72 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU Contoh : Misalkan x dan x mempunyai f.d.p : 1 f x, x,0 x x , untuk yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya kemudian tentukan f x x dan f x x 1 1

73 Ekspektasi Fungsi U(x) 1. U(x ) = X, maka mean dari variabel random X X : E x x 1 1 x x 1 x x x x x f x x dx kontinu x f x x diskrit. Var u 1 = E x - E( 1) = x x (x - E( x x )) f x 1 1 x dx kontinu 1 ( x - E( x x )) f x x diskrit

74 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA

75 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p Fungsi F(x, y) disebut dengan Distribusi Bersama f (x, y). /Distribusi Peluang Gabungan/ Joint Distribution Function X dan Y / Joint d.f.

76 x FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. f x, y 0 untuk semua x, y. f x, y 1 y 3. P X, Y A f x, y. untuk setiap daerah A di bidang xy. A A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y.

77 Latihan Soal Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, dan 3. Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y disajikan sebagai berikut : a. Tentukan nilai peluang P x, y 1? b. Tentukan nilai peluang P x 3,0 y?

78 Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p f x, y adalah sebagai berikut : Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / Joint d.f F 1,, F F 1.5, dan 5,7.

79 Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah : k x y x y 1, 0,1,3, 1,,3 f x, y 0, untuk x dan y yang lain a. Carilah nilai konstanta k? b. Hitunglah P X = 0, Y?

80 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT f x y Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x, y, h y f x y x

81 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINU Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A

82 Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y?

83 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x

84 DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM DENGAN METODE MGF GANGGA ANURAGA

85 MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF) Merupakan salah satu metode yang digunakan untuk membangun inferensi tentang parameter populasi dan mendapatkan distribusi sampling dari estimator yang distribusi populasinya diketahui.

86 SIFAT-SIFAT DARI MGF : i1 tb a. jika a R maka M t M at b. jika variabel random X, X,..., X saling independen maka, c. jika a,b R maka : axb n x ax M n t Mx t i X i1 i M t e M at x 1 n d. jika variabel random X,X,...,X independen identik maka : i1 M n t M x t Xi n 1 n

87 Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean 1 t t x dan varians, maka MGF dari X addalah M t e. Tentukan : a. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = X -. X b. MGF dan fungsi probabilitas variabel random W = X- c. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Z =

88 1. MGFdari distribusi Chi - Square M t 1 t rata - rata v Variance v. MGFdari distribusi Eksponensial M t 1 t rata - rata Variance 3. MGFdari distribusi Gamma M x t 1 1 t 1 t rata - rata Variance x x 1

89 Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean 1 dan MGF dari X addalah M t 1 t. x X Tentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y =.

90 MGF UNTUK VARIABEL RANDOM DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL GANGGA ANURAGA

91 Ingat kembali sifat -sifat MGF Misalkan X, X,..., X variabel random independen 1 n t dengan MGF M, t R selanjutnya diberikan variabel random : Y = X + X X, 1 n a. Buktikan MGF dari Y adalah X 1 n i t i X i t t pe q n i1 MY M X t i b. Jika X, X,...,X independen dan identik maka : M M t... M t Y X X M X c. Jika X B n, p, i = 1,..., k dan X independen identik dengan MGF M dapatkan i n n i i, dengan q = 1- p. Maka distribusi probabilitas Y = X 1+ X X n.

92 Misalkan X 1, X,..., X n variabel random independen berdistribusi poisson dengan parameter, MGF M t t 1 e i e. Diberikan pula suatu transformasi variabel random Y = a. Dapatkan MGF dari Y b. Tentukan distribusi dari Y i X i n i=1 X i

93 iii1nii1ntμ+σtiixi=1misalkanx,x,.,xvariabelrandomindependenmasing-masingberdistribusin(μ,σ)dany=x.mgfdarixadalahmt=etentukandistribusidariy.

94 iiniii=1**kasus-kasuskhusus:ijikaμ=μdanσ=σyaitux:nμ,σmakay=x:nnμ,nσijikadiberikanvariabelrandomy=xmakayberdistribusi:nμ,σ/n

95 DISTRIBUSI SAMPLING DAN DISTRIBUSI X dan S GANGGA ANURAGA

96 PENGANTAR Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga (mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan sampel yang diambil dari populasi tersebut. Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut. Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator. Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi yang diperoleh dinamakan sebagai distribusi sampling suatu parameter. Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu sampel X 1, X,..., X p

97 1 3 PENGANTAR Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω, maka estimator dari ditulis, dapat dinyatakan sebagai fungsi dari X, X, X,, X yaitu : n X, X, X,, X X, X, X,, X 1 3 n 1 3 dengan menyatakan fungsi dari X1, X, X3,, X n. Oleh karena itu, distribusi dari estimator sangat tergantung dari distribusi populasinya. n

98 DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL Misalkan X, X, X,, X sampel random yang diambil dari a1x 1a 3 3 populasi berdistribusi F x, maka dapat diharapkan estimator diperoleh dari kombinasi linier sampel random X, X, X,, X : X, X, X,, X dengan a R, i 1,,, n. i X a X a X i n n n n 1 3 n

99 DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL Beberapa kejadian khusus yang penting dari kombinasi linier diatas adalah : 1 i Jika a 1 a a3 an, maka n X1 X X 3 X n n X (rata - rata sampel) ii Jika a a a a 1, maka 1 3 X X X X i1 1 3 X i n n n (kombinasi linier dengan koefisien - koefisien satu)

100 Misalkan X, X, X,, X sampel random independen 1 3 yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean i n dan i, 1,,,. Berdasarkan suatu metode didapat estimator : dan * X, X, X,, X 1 3 a1 X1 a X a 3 3 X X X X 1 3 n n X a X, a R n n i Tentukan distribusi sampling dari estimator dan. n *

101 Misalkan X, X, X,, X sampel random independen yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean dan, i 1,,, n. i Dapatkan distribusi dari variabel random W a. W X X b. W c. W 3 X X 1 3 X X 1 n n n X X n i

102 Misalkan X, X, X,, X sampel random yang diambil 1 3 dari populasi berdistribusi normal standar a. Tentukan MGF dari U aix i, i1 kemudian dapatkan mean dan variansinya. b. Tentukan syarat untuk a agar U i n n berdistribusi normal standar

103 DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI GAMA DAN CHI-KUADRAT GANGGA ANURAGA

104 Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal. Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat. MGF : Distibusi Chi - Kuadrat x 1 M t t Distribusi Gama 1 v 1 Mx t 1 t Distribusi Eksponensial M t t x 1

105 SOAL : Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier Y X1 X X n Jika X masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial, i dan Chi - Kuadrat.

106 jika X~N(0,1) maka X ~ 1 t,, x tx tx tx M t E e e f x dx e e dx x 1 1 t e 1 t x 1t t t 1 t maka X ~ dx

107 SOAL a. Jika Yi ~, i 1,,, n independen, buktikan v n Yi n i1 vi i1 V = ~ i b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen X ~ m dan Y ~ n, m > n Tentukan distribusi Z = X + Y c. Misalkan diberikan variabel random U ~ dan V U Z ~ m n. Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U? m

108 Misalkan X1, X,..., X n ~ N,. Buktikan bahwa i=1 n X (i) ~ i n X (i) ~ 1 n

109 DISTRIBUSI t, F GANGGA ANURAGA

110 PENGANTAR Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu distribusi t (Student t), dan F (Snedecor s F). Distribusi t diperoleh dari ratio antara dua variabel random independen yang berdistribusi normal standar dan chi-kuadrat. Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random independen yang masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.

111 Distribusi Student t Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t : X N i jika variabel random ~, maka variabel random Z X ~ N0,1 ii jika Z ~ N 0,1 maka W = Z ~ 1 iii jika Z, Z,..., Z variabel random in 1 maka variabel random : W n * Zi ~ i1 n n depeden identik berdistribusi Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi sampling t dan F. 1

112 Teorema : Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan Y variabel random berdistribusi maka variabel random : T X Y k ~ t k k, X dan Y saling independen

113 Misalkan X, X,, X variabel random independen berdistribusi 1 N Y Y Y N, dan 1,,, n variabel random independen berdistribusi,. a. Tentukan distribusi probabilitas dari n Z X Y b. Tentukan distribusi probabilitas dari W / n Z c. Tentukan distribusi probabilitas dari U W

114 n m Distribusi F Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel random X ~ dan Y ~. X dan Y independen maka variabel random : F X / n ~ F n,m Y / m

115 Teorema : n -1 S jika X, X,, X berdistribusi N, maka ~ n1 Bukti : 1 n n1 S X X X X i X n X X i n1 n n n i i1 i1 i1 Misalkan : V V V 1 3 ~ n n 1 1 n X X X i i1 n 1 n X i n 1 1 n 3 i1 n n 1 n X 1 S, dengan S X i X n 1 n X V ~, V S, V ~ Untuk selanjutnya gunakan MGF i1 1

116 Contoh : Misalkan X, X,, X dan Y, Y,, Y variabel random independen 1 n 1 n -1 S n -1 berdistribusi N,, X dan Y saling independen. a. Tentukan distribusi dari : X Y dan b. Tentukan distribusi dari F = i1 S n 1 dan S Y Yi Y n 1 S S X Y n n 1 dengan S X X i X n1 i1

117 Diberikan sampel random X, X,, X berdistribusi N,. Dapatkan : a. Distribusi dari X 1 X X b. Distribusi dari : dan / n / n n X n 1 F S X i X S n1 i1 c. Distribusi dari :, dengan n

PENGANTAR PROBABILITAS STATISTIKA UNIPA SBY

PENGANTAR PROBABILITAS STATISTIKA UNIPA SBY PENGANTAR PROBABILITAS GANGGA ANURAGA POKOK BAHASAN Konsep dasar probabilitas Teori himpunan Permutasi Kombinasi Koefisien binomial Koefisien multinomial Probabilitas Aksioma probabilitas Probabilitas

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi

Lebih terperinci

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar 085794801125 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG Garis Besar Pembahasan Sub Pokok Pembahasan

Lebih terperinci

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar 0857948015 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG Garis Besar Pembahasan Sub Pokok Pembahasan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer

BAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika merupakan salah satu ilmu matematika yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Di dalamnya mencakup berbagai sub pokok-sub pokok materi yang sangat bermanfaat

Lebih terperinci

28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω

28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Probabilitas Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel

Lebih terperinci

SILABUS. 5. Evaluasi a. Kehadiran = 10% b. Tugas = 20% c. UTS = 30% d. UAS = 40%

SILABUS. 5. Evaluasi a. Kehadiran = 10% b. Tugas = 20% c. UTS = 30% d. UAS = 40% 0 SILABUS 1. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Statistika Matematik 1 Kode Mata Kuliah : MT 404 Jumlah SKS : 3 Semester : 6 Kelompok Mata Kuliah : Mata Kuliah Keahlian (MKK) Program Studi Jurusan/Program

Lebih terperinci

PENS. Probability and Random Process. Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak. Prima Kristalina April 2015

PENS. Probability and Random Process. Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak. Prima Kristalina April 2015 Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Probability and Random Process Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak Prima Kristalina April 215 1 Outline 1. Beberapa macam

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dapat dianggap mendekati normal dengan mean μ = μ dan variansi

BAB I PENDAHULUAN. dapat dianggap mendekati normal dengan mean μ = μ dan variansi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang melambangkan kemajuan zaman. Oleh karena itu matematika banyak digunakan oleh cabang ilmu lain

Lebih terperinci

Penentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma

Penentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma Jurnal Penelitian Sains Volume 6 Nomor (A) April 0 Penentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma Robinson Sitepu, Putra B.J. Bangun, dan Heriyanto Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya, Indonesia

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Peubah Acak dan Distribusinya.1.1 Peubah Acak Definisi.1: Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang contoh, (Walpole

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat

Lebih terperinci

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari. 6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016

Lebih terperinci

PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA

PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA LOGO STATISTIKA MATEMATIKA I PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA Hazmira Yozza Izzati Rami HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Percobaan : Pelemparan dua mata uang AA AG GA GG S X Definisi 2.1. Peubah

Lebih terperinci

MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN. A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang.

MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN. A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang. MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial

Lebih terperinci

Peubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1

Peubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1 Peubah Acak 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1 Definisi Peubah Acak Peubah acak adalah peubah yang mengkarakterisasikan setiap elemen dalam ruang sampel dengan suatu bilangan real.

Lebih terperinci

HUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.

HUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

HANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak

HANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak HANDOUT PERKULIAHAN Pertemuan Ke : 3 Pokok Bahasan : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Peubah Acak Definisi 1 : Peubah Acak Misalkan E adalah suatu

Lebih terperinci

DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS

DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN. I. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah probabilitas baik secara teoritik maupun aplikasinya dalam kehidupan.

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN. I. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah probabilitas baik secara teoritik maupun aplikasinya dalam kehidupan. RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 306203 Nama Mata Kuliah : Probabilitas Jumlah sks : 3 sks Semester : III Alokasi Waktu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel 5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor

Lebih terperinci

Sampling dengan Simulasi Komputer

Sampling dengan Simulasi Komputer Modul Sampling dengan Simulasi Komputer PENDAHULUAN Sutawanir Darwis M etode statistika merupakan alat untuk menyelesaikan masalah apabila solusi analitik tidak mungkin diperoleh. Dengan metode statistika

Lebih terperinci

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA3181 Teori Peluang 8 September 2014 Utriweni Mukhaiyar 1 Pemetaan (Fungsi) O Suatu pemetaan / fungsi O Kategori fungsi: 1. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan A A B B 2 Peubah

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada

Lebih terperinci

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Probabilitas (Peluang) Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya

Lebih terperinci

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH. Statistika Matematika. Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi. Oleh :

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH. Statistika Matematika. Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi. Oleh : FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Statistika Matematika Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi Oleh : Intan Putri Natari 10311418961 Nurroh Fitri A 1031419469 Reza Taufikurachman 1031419470

Lebih terperinci

FPM PADA KELUARGA EKSPONENSIAL BENTUK KONONIK

FPM PADA KELUARGA EKSPONENSIAL BENTUK KONONIK FPM PADA KELUARGA EKSPONENSIAL BENTUK KONONIK Oleh : Entit Puspita Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia ABSTRACT We can

Lebih terperinci

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar. 11 September 2012

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar. 11 September 2012 1 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 11 September 2012 2 Pemetaan (Fungsi) Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi: 1. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan A A B B 3 Peubah

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG2D3 PROBABILITAS DAN STATISTIKA Disusun oleh: INDWIARTI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY 1 LEMBAR PENGESAHAN Rencana Pembelajaran Semester (RPS) ini telah disahkan

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM 1.11 Chebyshev s Inequality DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE (Ketaksamaan Chebyshev) A. Pendahuluan DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM Konsep atau rumus yang berhubungan dengan Ketaksamaan Chebyshev Ekspektasi

Lebih terperinci

Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG

Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG PENDAHULUAN Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masingmasing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI PELUANG

DASAR-DASAR TEORI PELUANG DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Eponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil

Lebih terperinci

Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson

Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson Vol. 6, No.1, 44-48, Juli 2009 Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson Georgina M. Tinungki Abstrak Terdapat beberapa metode untuk membangun uji statistik yang baik, diantaranya

Lebih terperinci

STATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI

STATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) KKKF33112 PROBABILITAS DAN STATISTIKA

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) KKKF33112 PROBABILITAS DAN STATISTIKA RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) KKKF33112 PROBABILITAS DAN STATISTIKA PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER (FILKOM) UNIVERSITAS PUTRA INDONESIA YPTK PADANG LEMBAR PENGESAHAN Rencana

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan

TINJAUAN PUSTAKA. ruang sampel dan dilambangkan dengan huruf S. Ruang sampel beranggotakan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Percobaan dan Ruang Sampel Menurut Walpole (1995), istilah percobaan digunakan untuk sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Himpunan semua hasil suatu percobaan disebut

Lebih terperinci

Hukum Iterasi Logaritma

Hukum Iterasi Logaritma Hukum Iterasi Logaritma Sorta Purnawanti 1, Helma 2, Dodi Vionanda 3 1 Mathematics Department State University of Pag, Indonesia 2,3 Lecturers of Mathematics Department State University of Pag, Indonesia

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah : Statistika Matematika Pertemuan Ke : 5 Pokok Bahasan : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua

Lebih terperinci

BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DKINTINU DIKENAL

BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DKINTINU DIKENAL BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DKINTINU DIKENAL Dalam hal ini akan dibahas beberapa distribusi yang mempunyai bentuk fungsi densitas dan nama tertentu dari peubah acak kontinu, yaitu: distribusi seragam, distribusi

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized lambda

Lebih terperinci

THEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP

THEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP THEORY By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK Variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari outcome beberapa percobaan / eksperimen VARIABEL

Lebih terperinci

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia Pokok Bahasan Variabel Acak Pola Distribusi Masukan Pendugaan Pola Distribusi Uji Distribusi

Lebih terperinci

STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling

STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling Rengganis Banitya Rachmat rengganis.rachmat@gmail.com 4. Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial

Lebih terperinci

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Jurnal Penelitian Sains Volume 3 Nomer A) 3 Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Herlina Hanum Yuli Andriani dan Retno Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

Bagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas

Bagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode

Lebih terperinci

PEMBANGKIT RANDOM VARIATE

PEMBANGKIT RANDOM VARIATE PEMBANGKIT RANDOM VARIATE Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Sifat probalitistik pada sistem nyata mempunyai pola distribusi probabilistik

Lebih terperinci

BAB III PROSES POISSON MAJEMUK

BAB III PROSES POISSON MAJEMUK BAB III PROSES POISSON MAJEMUK Pada bab ini membahas tentang proses stokastik, proses Poisson dan proses Poisson majemuk yang akan diaplikasikan pada bab selanjutnya. 3.1 Proses Stokastik Koleksi atau

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan

Lebih terperinci

Distribusi Peluang Kontinu. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB

Distribusi Peluang Kontinu. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB Distribusi Peluang Kontinu Bahan Kuliah II9 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Fungsi Padat Peluang Untuk peubah acak kontinu, fungsi peluangnya

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

II LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita

Lebih terperinci

Cara memperoleh data: Zaman dahulu, dgn cara : Melempar dadu Mengocok kartu

Cara memperoleh data: Zaman dahulu, dgn cara : Melempar dadu Mengocok kartu Cara memperoleh data: Zaman dahulu, dgn cara : Melempar dadu Mengocok kartu Zaman modern (>1940), dgn cara membentuk bilangan acak secara numerik/aritmatik (menggunakan komputer), disebut Pseudo Random

Lebih terperinci

KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY

KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu

Lebih terperinci

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK 0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang nantinya akan diperoleh dalam

digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang nantinya akan diperoleh dalam II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian ini, antara lain : 2.1 Fungsi Gamma Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

Statistika Farmasi

Statistika Farmasi Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu

Lebih terperinci

PENS. Probability and Random Process. Topik 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas. Prima Kristalina April 2015

PENS. Probability and Random Process. Topik 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas. Prima Kristalina April 2015 Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Probability and Random Process Topik 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas Prima Kristalina April 2015 1 Outline 1. Definisi

Lebih terperinci

DISTRIBUSI KONTINU. Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI KONTINU. Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2081 Statistika ti tik Dasar Utriweni Mukhaiyar Maret 2012 By NN 2008 Distribusi Uniform Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U

Lebih terperinci

Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σ x. f (x) Var (x) = σ x 2 = E [ x E (x) ] 2 = E (x 2 ) { E (x) } 2

Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σ x. f (x) Var (x) = σ x 2 = E [ x E (x) ] 2 = E (x 2 ) { E (x) } 2 Pertemuan ke- 4 BAB III POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS 3.1 Variabel Random atau Variabel Acak Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan

Lebih terperinci

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 17/12/2014

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 17/12/2014 STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh: Suatu

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

DISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar Distribusi Uniform 2 Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: f(x)

Lebih terperinci

PEUBAH ACAK DAN. MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar. 22 Agustus 2011

PEUBAH ACAK DAN. MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar. 22 Agustus 2011 1 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar 22 Agustus 2011 Pemetaan (Fungsi) 2 Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi: 1. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan A A B B Peubah Acak

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E

II. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendukung dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendukung dalam 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendukung dalam menentukan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik dari distribusi log-logistik (α,β). 2.1 Distribusi Log-Logistik

Lebih terperinci

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)

Lebih terperinci

Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri

Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Nomor random >> angka muncul secara acak (random/tidak terurut) dengan probabilitas untuk muncul yang sama. Probabilitas/Peluang merupakan ukuran kecenderungan

Lebih terperinci

KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES

KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES 2.3. Peubah Acak dan Distribusi Peluang Pada statistika kita melakukan percobaan dimana percobaan tersebut akan menghasilkan suatu peluang. Ruang sampel pada percobaan

Lebih terperinci

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu

Lebih terperinci

STATISTIKA MATEMATIKA Probabilitas, Distribusi, dan Asimtosis dalam Statistika

STATISTIKA MATEMATIKA Probabilitas, Distribusi, dan Asimtosis dalam Statistika STATISTIKA MATEMATIKA Probabilitas, Distribusi, dan Asimtosis dalam Statistika Penulis: Prof. Drs. Subanar, Ph.D Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Lebih terperinci

STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak

Lebih terperinci