III PEMBAHASAN. dengan kendala. Solusi dari permasalahan di atas diberikan oleh Teorema 1 berikut. Teorema 1 R = R (X) didefinisikan oleh

Transkripsi

1 4 III PEMBAHASAN 3.1. Meminimumkan Peluang Keangkrutan (Ruin Proaility) Keijakan suatu perusahaan asuransi dalam memilih kontrak reasuransi sangatlah penting, salah satu pendekatan rasional untuk memilih kontrak reasuransi adalah dengan meminimumkan peluang keangkrutan. Dalam meminimumkan peluang keangkrutan suatu perusahaan asuransi dapat dilakukan dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Premi reasuransi sendiri dapat ditentukan dengan eerapa prinsip, antara lain: 1. Prinsip ekonomi,. Prinsip umum utilitas nol, 3. Prinsip Esscher, 4. Prinsip mean-variance Prinsip Ekonomi Penghitungan premi dengan prinsip ekonomi akan kita dapatkan melalui persamaan P E(Rφ) dengan φ φ(x) adalah fungsi tak negatif sedemikian sehingga Eφ X 1. Fungsi φ diseut juga fungsi kerapatan harga. Misalkan 0 kekayaan aal perusahaan asuransi, P premi reasuransi, π premi asuransi, R fungsi kompensasi reasuransi, X esar klaim pada asuransi, maka kekayaan perusahaan asuransi yaitu seesar 0 + π P 0. Selanjutnya premi yang akan meminimumkan peluang keangkrutan perusahaan asuransi dapat ditentukan dari min P(X R > ) E Rφ P, L R U, (3.1) dimana : L L(X), U U(X), sehingga memerikan atasan 0 L U X. Solusi dari permasalahan di atas dierikan oleh Teorema 1 erikut. Teorema 1 R R (X) didefinisikan oleh R x x ; L x x U x dan c x L x φ x < 1 L x ; selainnya, merupakan solusi dari masalah (3.1) dengan c>0 sehingga E R φ P. Bukti: (Lihat Lampiran ) Contoh Kasus Prinsip Ekonomi: Misalkan premi reasuransi ditentukan erdasarkan prinsip nilai harapan dengan konstanta pengaman (safety loading) β > 0, sehingga P (1 + β)er dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang keangkrutannya. Maka solusi dari min P X R > ER P β, 0 R X, dengan 0 < P β < EX <, P β P, (1+β ) sehingga P β < E(X ) + adalah truncated stop loss R (X) X + I(X < ), dimana adalah ilangan real sehingga ER(X) P β. Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Ekonomi min P(X R > ) ER X P β P, 0 R X, (1+β) Akan diuktikan aha truncated stop loss R (X) X + I(X < ), dimana adalah ilangan real sehingga ER(X) P β. Bukti: Misalkan X adalah peuah acak dan F adalah fungsi searan kumulatif dari X yang kontinu pada [, ) dan jika 0 < P < min{ 0 + π, (1 + β)e(x ) + }, maka keeradaan mengikuti sifat Daroux. R (x) x + I(x < ), x + ; < x <, 0 ; selainnya,

2 5 ER x x f(x)dx x f(x)dx f(x)dx i ii Persamaan (i) dapat terselesaikan dengan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan u x, du dx; dv f(x), v F(x). Sehingga ER x x F x F(x)dx F(x) F F F(x)dx F + F() F F(x)dx. (3.) Misalkan ψ ER x dengan <, maka ψ ER x F F(x)dx i. untuk atas aah : ψ F 0 F 0 0 ii. untuk atas atas : F(x)dx ψ F F(x)dx > 0 sehingga ψ kontinu saat. Misalkan ada suatu kasus dimana X mempunyai anggota x 0 >, dan ternyata ψ tidak kontinu di x 0. Akiatnya tidak ada yang memuat P (1 + β)er untuk suatu P sehingga premi reasuransi harus diruah. Misalkan, X menyear pareto dengan parameter dan α sehingga fungsi searan kumulatif X dinotasikan dengan: F x 1 I(x 0) a + x dengan a > 0, akan ditentukan yang memuat ER P β. Dari persamaan (3.) didapatkan ER F F(x)dx 1 a a + a + 1 a + x dx ( )a a + x + a + x ( )a + a a + a a + ( )a a + a + a a +

3 6 ( )a ( )a a + (a + ) a + ( ) a + (a + ). Karena ER P β, maka ( ) a + (a + ) P β ( ) (a + ) P β (a + ) a + P β (a + ) a P β (a + ) + P β (a + ) 1 P β a + a P β a + + P β a + a P β a + + a a P β (a + ) + 1 P β a + P β (a + ) + 1 P β a a P β (a + ) + + (a + ) 1 P β (a + ) P β a + P β a + P β a + a P β (a + ) (a + ) a P β (a + ) 1 P β (a + ) (a + ) (a + ) (a + ) 1 P β (a + ) P β a (a + ) (a + ) + 1 P β a + a P β 1 (a + ) (a + ) (a + ) P β 1 (a + ) (a + ) (a + ) + 1 (a + ) P β 1 (a + ) (a + ) + 1. Misalkan A P β 1, maka (a+) a A a a + A a A a + + 1

4 7 aa a + + (a + ) + (a + ) A(a + ) + 1 (a + ) (a + ) aa A(a + ) + 1 (a + ) aa A(a + ) + 1 Sehingga solusinya menjadi R X X + I X < aa A a Selanjutnya akan ditentukan peluang keangkrutan dari P(X R > ) dengan menggunakan persamaan F x P(X t). P X R > 1 P(X R ) 1 I x R x f(x) dx 0 1 f(x)dx 0 1 F F(0) 1 1 a + 1 a a + aa A a a A a P X R > (aa) 1 + A a Prinsip Umum Utilitas Nol Misalkan perusahaan asuransi mendapatkan fungsi kompensasi R dengan memayar premi P yang memuat Ev R, P 0. x v(x, P) adalah fungsi naik dan kontinu yang mendefinisikan prinsip premi seagai erikut : 1. Mean-value principle: P u 1 (Eu(R)), dengan u merupakan fungsi kontinu dan naik.. Prinsip utilitas nol: Eu P R u(0), dengan fungsi utilitas u, u >0. Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang keangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari min P(X R > ) Ev R, P 0, 0 R X, (3.3) dengan adalah kekayaan aal dari perusahaan asuransi. Solusi dari permasalahan di atas dierikan oleh Teorem erikut.

5 8 Teorem Jika v 0, P < 0 < Ev X +, P <, maka solusi dari permasalahan (3.3) merupakan truncated stop loss dengan R (X) X + I(X < ), dimana adalah ilangan real sehingga Ev R, P 0. Bukti: (Lihat Lampiran 4) Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol: Misalkan premi reasuransi ditentukan erdasarkan prinsip umum utilitas nol dengan fungsi utilitas, u, dimana u >0. Eu P X + < u 0, dengan P>0. Berdasarkan Teorem, dapat ditunjukkan aha truncated stop loss R (X) X + I(X < ), dengan ilangan real sehingga Eu P R u(0) adalah solusi yang optimal. Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Utilitas Nol min P(X R > ) Eu P (X ) + < u(0), P > 0, dengan fungsi utilitas u, u >0. Akan diuktikan aha truncated stop loss R (X) X + I(X < ), dengan ilangan real sehingga Eu P R u(0) adalah solusi yang optimal. Bukti: Diketahui fungsi u adalah fungsi utilitas yang merupakan fungsi naik dan kontinu sedemikian sehingga P X + < u 0 < u P 0 <, dengan c>0 maka min P(X R > ) min R R R R I x R x > + c u(p R x ) df x ceu P R(x) min I x R x > + c u(p R x df(x) ceu P R(x). R R Misalkan ψ Eu P R (x) dan R (x) x + I(x < ), x + ; < x <, 0 ; selainnya, dengan <, maka ψ Eu P R (x) Eu P x + i. untuk atas aah : ψ Eu P + Eu P 0 u P > u 0 ii. untuk atas atas : ψ Eu P + Eu P u P < u 0 sehingga ψ kontinu saat. Oleh karena itu ada sehingga ψ u 0. min P(X R > ) min R R R R min R I x R x > + c u(p R x ) df x ceu P R(x) I x R (x) > + c u(p R x ) df x ceu P R (x) I x R x > + c u P R x df(x) ceu P R (x) P X R >.

6 Prinsip Esscher Metode penentuan premi dengan prinsip Esscher memerikan persamaan Ess a R E ReaR E e ar dengan a>0. Premi P yang didapat dari prinsip Esscher diseut dengan premi Esscher yang dinotasikan seagai: P Ess a R. Selanjutnya premi reasuransi yang akan meminimumkan peluang keangkrutan perusahaan asuransi dapat diperoleh dari min P(X R > ) P Ess a (R), 0 R X, (3.4) Solusi dari permasalahan di atas dierikan oleh Teorema 3 erikut. Teorema 3 Misalkan 0 < P a 1 dan 0 < E X + P exp a X + <. Maka solusi dari masalah (3.4) merupakan truncated stop loss R (X) X + I(X< ), dimana adalah ilangan real sehingga P Ess a (R ). Bukti: (Lihat Lampiran 5) Prinsip Mean-Variance Misalkan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang keangkrutan untuk premi reasuransi, P. Misalkan juga perusahaan asuransi mengontrol keuntungan yang diharapkan dan ersedia memayar premi tidak leih dari P 0. Berdasarkan prinsip mean-variance, maka akan timul permasalahan seagai erikut min P(X R > ) R R(M) (3.5) dimana R M R; R R X, 0 R X, ER fp0,dr, ER M, dan t f(p,t) merupakan prinsip premi. Prinsip premi yang dimaksud mencakup: 1. Prinsip standard deviation: P ER + βdr; f P βt,. Prinsip variance: P ER + βd R; f P βt, 3. Prinsip mixed: P ER + αdr + βd R; f p αt βt. dimana α, β > 0, DR: standar deviasi dari peuah acak R, D R: ragam dari peuah acak R. Asumsikan (m) menjadi solusi untuk x df(x) m saat > m. Teorema 4 Misalkan 0 < M < E(X ) +. Maka truncated stop loss R (X) X + I(X< ) adalah solusi dari masalah (3.5) sehingga ER M f(p 0, DR M ). Bukti: (Lihat Lampiran 6) Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance: Misalkan premi reasuransi ditentukan erdasarkan prinsip standar deviasi, dan perusahaan asuransi ingin meminimumkan peluang keangkrutannya. Buktikan aha solusi dari min P X R > 0 R X, ER + βdr P 0, ER M, adalah truncated stop loss R (X) X + I(X < ), dimana sehingga ER M dan ER + βdr P 0. Penyelesaian Contoh Kasus Prinsip Mean-Variance min P(X R > ) R R(M) dimana R M R; R R X, 0 R X, ER + βdr P 0, ER M. Akan diuktikan jika 0 < M < E(X ) +. Maka truncated stop loss R X X + I(X < ) adalah solusi yang optimal sehingga ER M dan ER + βdr P 0. Bukti: Berdasarkan teorema 4, misalkan R m R; R R X, 0 R X, ER m P 0 βdr dan R m X X + I(X < (m)) X + ; < X < m, 0 ; selainnya, sehingga R m R m dengan c>0 maka

7 10 min P(X R > ) min R R(M) min min E[1 X R > + c(r ER)] R R m E min [1 X R > + c(r m)] R R m min P(X R m > ) min min 0 m M min min I(x R m > ) df x (m ) I(x x ) m (m ) I min P X m. Misalkan (m) merupakan solusi dari ER m df(x) I(x (m)) df(x) ER x x df x m dimana >, maka min P(X (m)) 0 m M P X M P X R M. df(x) IV SIMPULAN Reasuransi merupakan proses pengalihan risiko dari eerapa perusahaan asuransi untuk menghindari keangkrutan. Perencanaan perjanjian reasuransi yang optimal sangat diperlukan untuk meminimumkan peluang keangkrutan. Salah satu caranya adalah dengan menentukan premi reasuransi yang optimal. Prinsip premi yang digunakan dalam tulisan ini adalah prinsip ekonomi, prinsip umum utilitas nol, prinsip esscher, dan prinsip mean-variance. Keempat prinsip terseut memerikan kendala yang ereda dalam meminimumkan peluang keangkrutan. Telah diuktikan truncated stop loss dapat menjadi solusi untuk menentukan kontrak reasuransi yang optimal dalam model satu periode. DAFTAR PUSTAKA Dickson DCM Insurance Risk and Ruin. Camridge University Press. Camridge. United Kingdom. Ghahramani S Fundamentals of Proaility ith Stochastics Proceses. Ed. Ke-3. Prentice Hall, Inc. Ne Jersey. Grimmet GR, Stirzaker DR Proaility and Random Processes. Ed. Ke-. Clarendon Press. Oxford. Ne York. Hogg RV, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice-Hall. Inc. Ne Jersey. Kaluszka M Truncated Stop Loss as Optimal Reinsurance Agreement in One-Period Models. Astin Bulletin 35() Marianto AJ Reasuransi. Ghalia Indonesia. Jakarta. Steart J Calculus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-4. Alih ahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunaan, Ph.D. Erlangga. Jakarta. Steart J Calculus. Jilid Ke-. Ed. Ke-4. Alih ahasa Drs. I Nyoman susila, M.Sc. dan Hendra Gunaan, Ph.D. Erlangga. Jakarta.