Pengantar Proses Stokastik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pengantar Proses Stokastik"

Transkripsi

1 Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.

3 Peluang Gabungan Kejadian A B = {a S : a A atau a B} Irisan Kejadian A B = {a S : a A dan a B}

4 Peluang Kejadian A dan B bersifat mutually exclusive (saling asing) jika A B = φ. Komplemen A c = Ā = {a S : a / A}

5 Peluang Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A 1, A 2,...} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1 Kejadian-kejadian tersebut bersifat mutually exclusive, A i A j = φ jika i j. 2 i A i = S

6 Peluang Peluang Peluang kejadian A adalah n(a) P (A) = lim n n n(a) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P (A) = n(a) n(s) n(a) : banyaknya keluaran A n(s) : banyaknya anggota ruang sampel S

7 Peluang Sifat-sifat peluang 1 0 P (A) 1 2 P (S) = 1 P (φ) = 0 3 Untuk himpunan kejadian A 1, A 2,... yang mutually exclusive, ( ) P A n = P (A n ) n=1 n=1 4 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5 P (A c ) = 1 P (A) 6 Jika A B maka P (A) P (B)

8 Contoh 1 Peluang Misalkan P (A B) = P (A B c ) = 0.6. Hitung P(A)!

9 Peluang Jawab: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.6 P (A B c ) = P (A) + P (B c ) P (A B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P (A) + P (B) + P (B c ) (P (A B) + P (A B c )) = 1.2 2P (A) + 1 P (A) = 1.2 P (A) = 0.2 Note: P (B) + P (B c ) = 1 P (A B) + P (A B c ) = P (A)

10 Diskrit Kontinu Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh: X : S R Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya P (X = 0) = P (BB) = 1 4 P (X = 1) = P (MB, BM) = 1 2 P (X = 2) = P (MM) = 1 4

11 Diskrit Diskrit Kontinu Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {x i, i = 1, 2,...} sedemikian hingga ( ) P {X = x i } = P (X = x i ) = 1 i i

12 Diskrit Kontinu Fungsi peluang { p i, jika x = x i p(x) = P (X = x) =. 0, lainnya Fungsi distribusi F X (x) = i p(x i )

13 Distribusi Binomial Diskrit Kontinu Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P (X = 0) = 1 p p(1) = P (X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 p 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.

14 Diskrit Kontinu Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya ( ) n p(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,... x

15 Contoh 2 Diskrit Kontinu Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?

16 Diskrit Kontinu Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mesin yang masih bisa beroperasi dengan baik, X Binomial(n, p). Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) ( ) ( ) ( ) 4 = p 2 (1 p) p 3 4 (1 p) + p 4 (1 p) = 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4

17 Diskrit Kontinu Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 2) ( ) ( ) 2 2 = p(1 p) + p 2 (1 p) = 2p(1 p) + p 2

18 Diskrit Kontinu Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 2p(1 p) + p 2 6p(1 p) 2 + 4p 2 (1 p) + p 3 2 p 3p 3 8p 2 + 7p 2 0 (p 1) 2 (3p 2) 0 p 2 3

19 Distribusi Geometrik Diskrit Kontinu Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P (X = n) = (1 p) n 1 p, n = 1, 2,...

20 Contoh 3 Diskrit Kontinu Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P (N)!

21 Diskrit Kontinu N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P (N = 1) = P (M) = p, P (N = 2) = P (B, M) = (1 p)p, P (N = 3) = P (B, B, M) = (1 p) 2 p,. P (N = n) = P (B, B,..., B, M) = (1 p) n 1 p, n 1 Note: muncul B sebanyak n 1 kali

22 Contoh 4 Diskrit Kontinu Tiga mahasiswa akan menghadap dosen pembimbing KP. Untuk menentukan siapa yang akan maju duluan, mereka sepakat mengundi dengan melantunkan koin (mungkin karena sama-sama belum ada kemajuan KP-nya). Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib maju terlebih dahulu ke dosen pembimbing mereka. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan peluang bahwa seseorang akan maju ketika koin dilantunkan tepat tiga kali. Tentukan pula peluang seseorang akan maju setelah koin dilantunkan lebih dari 4 kali.

23 Diskrit Kontinu Peluang suksesnya berarti ada yang lantunannya berbeda. ( X Geo p = 3 ) 4 Maka P (X = 3) = ( 1 3 4) = 3 64 P (X > 4) = 1 P (X 4)

24 Distribusi Poisson Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2,... dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P (X = x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.

25 Contoh 5 Diskrit Kontinu Pandang sebuah percobaan yang terdiri atas perhitungan banyaknya partikel-α yang dilepaskan dalam satu detik oleh satu gram bahan radioaktif. Jika diketahui dari percobaan-percobaan sebelumnya bahwa rata-rata 3.2 partikel-α yang dilepaskan, berapa pendekatan yang baik untuk peluang bahwa tidak lebih dari 2 partikel-α yang akan muncul?

26 Diskrit Kontinu X P OI(λ = 3.2) Maka P (X 2) = e (3.2)2 + e + e 1! 2! 0.382

27 Kontinu Diskrit Kontinu X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f(x), terdefinisi untuk semua bilangan real x (, ) sehingga F X (x) = x f X (t)dt atau f X (x) = d dx F X(x)

28 Distribusi Uniform Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform (menyebar seragam) sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan f X (x) = { 1 b a, a < x < b 0, x lainnya.

29 Diskrit Kontinu Beberapa peubah acak kontinu dalam ilmu fisika, manajemen, dan ilmu biologi biasanya menggunakan pendekatan distribusi Uniform. Sebagai contoh, misalkan kita menghitung banyaknya kejadian yang berdistribusi Poisson, seperti banyaknya panggilan telepon yang masuk ke suatu operator. Jika diketahui tepat satu kejadian yang terjadi pada suatu interval, misal (0, t), maka waktu terjadinya kejadian adalah berdistribusi Uniform pada interval yang telah diberikan di depan.

30 Contoh 6 Diskrit Kontinu Kedatangan pelanggan pada suatu toko berdistribusi Poisson. Diketahui bahwa selama periode waktu 30 menit, seorang pelanggan tiba di dalam toko tersebut. Tentukan peluang bahwa pelanggan datang selama 5 menit terakhir dari periode waktu 30 menit.

31 Diskrit Kontinu X adalah p.a. yang menyatakan waktu kedatangan pelanggan, X U(0, 30). Maka P (25 X 30) = dx = = 1 6

32 Contoh 7 Diskrit Kontinu Jika X U( 1, 1). Tentukan P ( X > 1 2)!

33 Diskrit Kontinu Maka P f X (x) = 1 1 ( 1) = 1 2, 1 < x < 1 ( X > 1 ) ( = P X < 1 ) ( + P X > 1 ) = = 1/2 1 [ 1 2 x 1 2 dx + ] 1/ / dx [ 1 2 x ] 1 1/2 = = 1 2

34 Distribusi Eksponensial Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0, { λe λx, jika x 0 f X (x) =. 0, jika x < 0 disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.

35 Diskrit Kontinu Peubah acak Eksponensial muncul pada pemodelan waktu antar kejadian. Contoh: Waktu panggilan antar pelanggan pada suatu provider Masa hidup dari suatu alat dan sistem

36 Contoh 8 Diskrit Kontinu Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?

37 Diskrit Kontinu P (X > 15) = 1 P (X 15) = 1 (1 e 15λ ) = e 15( 1 10) = e 3 2

38 Distribusi Gamma Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang f X (x) = 1 Γ(α)β α xα 1 e x β, x 0 untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)

39 Diskrit Kontinu Definisi fungsi Gamma: Γ(α) = 0 e x x α 1 dx Note: Γ(n) = (n 1)! Γ(n + 1) = nγ(n), n > 0

40 Diskrit Kontinu Peubah acak Gamma merupakan hasil penjumlahan dari peubah acak-peubah acak Eksponensial. Misalkan kita mempunyai api unggun Misalkan waktu untuk masing-masing api unggun terbakar berdistribusi Eksponensial dengan laju β ( β = 1 λ). Misalkan masa hidup masing-masing api unggun saling bebas Waktu sampai api unggun ke-α berhenti terbakar adalah berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β. Distribusi Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk distribusi Binomial Negatif

41 Contoh 9 Diskrit Kontinu Tiga buah lampu mempunyai masa hidup X 1, X 2, dan X 3 secara berturut-turut berdistribusi Eksponensial dengan mean 200 jam. Misalkan masa hidup sebuah lampu saling bebas dengan masa hidup lampu yang lain. Tentukan distribusi peluang dan ekspektasi waktu sampai ketiga lampu mati.

42 Diskrit Kontinu Misalkan Y = X 1 + X 2 + X 3 menyatakan total masa hidup ketiga lampu. Y berdistribusi Gamma dengan parameter α = 3 dan β = 200. Maka { 1 x 2 e x Γ(3)200 f Y (y) = 3 200, x 0 0, lainnya dan E(Y ) = αβ = 3(200) = 600 jam.

43 Contoh 10 Diskrit Kontinu Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika α = 1?

44 Diskrit Kontinu Misalkan X Gamma(α = 1, β) maka f X (x) = 1 Γ(1) β 1 x1 1 e x β ( ) Maka X Eksp λ = 1 β = 1 β e x β

45 Distribusi Normal Diskrit Kontinu X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan f X (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, < x <

46 Contoh 11 Diskrit Kontinu Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?

47 Diskrit Kontinu P ( Z X N(16.5, σ 2 ) P (X 16) 0.9 ) ( = 1 P σ ) Z 0.9 σ ( P Z 0.5 ) 0.1 σ ( Z 0.5 ) 1.28 σ σ

48 Ekspektasi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Kontinu E(X) = x f X (x)dx Distribusi Diskrit E(X) = i x i p i

49 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Karakteristik ekspektasi: E(g(X)) = g(x)f(x) (untuk distribusi kontinu) E(cX) = ce(x), c konstan E(aX + b) = ae(x) + b E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) E(X Y ) = E(X) E(Y ), hanya jika X dan Y saling bebas

50 Contoh 12 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: { x 2, 2 x < 3 f X (x) = 1 4, 4 < x < 6 Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar?

51 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen E(X) = = = 2 x f(x) dx 3 x (0)dx + [ 1 3 x3 x 2 2 ] x (x 2) dx + [ ] x2 = x (0)dx + 4 x ( ) 1 dx 4

52 Variansi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Variansi: V ar(x) = E[(X X) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 Karakteristik variansi: V ar(cx) = c 2 V ar(x), V ar(x 1 + X X n ) = c konstan n i,j=1 V ar(x 1 + X X n ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) V ar(x n ), hanya jika X i saling bebas Cov[X i, X j ]

53 Contoh 13 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Tentukan V ar(x) dimana X menyatakan keluaran yang mungkin ketika sebuah dadu dilemparkan.

54 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Karena P (X = x) = 1 6, x = 1, 2,..., 6, maka E(X) = 6 xp (X = x) = 7 2 x=1 dan E(X 2 ) = 6 x=1 x 2 P (X = x) = 91 6 Jadi, V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 91 6 ( ) =

55 Kovariansi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Kovariansi: Cov(X, Y ) = E[(X X)(Y Ȳ )] = E(XY ) E(X)E(Y ) Karakteristik kovariansi: Cov(X, X) = V ar(x) Cov(X, Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)

56 Fungsi Pembangkit Momen Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen M X (t) dari suatu peubah acak X untuk semua nilai t didefinisikan e tx p(x), jika X adl p.a. diskrit M X (t) = E(e tx x ) = e tx f X (x)dx, jika X adl p.a. kontinu

57 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Dikatakan fungsi pembangkit momen karena semua momen dari X dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut pada saat t = 0, yaitu E(X k ) = MX(0) k = dk dt E(etX ) t=0 Contoh: Momen Pertama E(X) = M X(0) = d dt E(etX ) t=0 Momen Kedua = E(Xe tx ) t=0 E(X 2 ) = M X(0) = d dt M X(t) = d dt E(XetX ) t=0 = E(X 2 e tx ) t=0

58 Contoh 14 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X Eksp(λ), maka fungsi pembangkit momen untuk X adalah M X (t) = E(e tx ) = = λ 0 = λ λ t, 0 e (λ t)x dx e tx λ e λx dx untuk t < λ

59 Sebuah proses stokastik {X t, t T } adalah sebuah kumpulan peubah acak, yaitu untuk setiap t T, X t adalah sebuah peubah acak. Indeks t sering diinterpretasikan sebagai waktu dan sebagai hasilnya, X t dinyatakan sebagai keadaan dari suatu proses pada waktu t.

60 Sebagai contoh, X t dinyatakan sebagai banyaknya pelanggan yang masuk ke dalam suatu supermarket sampai waktu t; banyaknya pelanggan di dalam supermarket pada saat t; atau total banyaknya penjualan yang tercatat di pasar sampai waktu t, dsb.

61 Himpunan T dikatakan sebagai himpunan indeks dari proses stokastik. Ketika T sebuah himpunan yang terhitung, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-diskrit. Jika T adalah sebuah interval pada suatu garis bilangan real, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-kontinu.

62 Singkatnya, {X t, t = 0, 1,...} adalah suatu proses stokastik waktu-diskrit yang diindeks dengan bilangan bulat nonnegatif. Sedangkan {X(t), t 0} adalah proses stokastik waktu-kontinu yang diindeks dengan bilangan real nonnegatif.

63 Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK

CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK CATATAN KULIAH PENGANTAR PROSES STOKASTIK Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2016 Daftar Isi Daftar Isi iv

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik : Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Diskusi 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Statistika Farmasi

Statistika Farmasi Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai

Lebih terperinci

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist

BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Diskusi 1: Dasar-dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 215 Latihan 1 Dasar-dasar Probabilitas Latihan 1 1. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F (x) 2. Diketahui

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 5: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Waktu Antar Kedatangan Waktu Antar Kedatangan Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Misalkan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan

Lebih terperinci

STATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS WEEK 5 Hanung N. Prasetyo Kompetensi 1. Mahasiswa memahamikonsep dasar distribusi peluang kontinu khusus seperti uniform dan eksponensial 2. Mahasiswamampumelakukanoperasi hitungyang berkaitan

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat

Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik : Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan

Lebih terperinci

DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak

DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Dalam proses stokhastik yang mana kejadian dapat muncul kembali membentuk proses pembahauruan. Proses pembaharuan

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA

Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA. Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting. Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik : Dasar-dasar Probabilitas, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia April 13, 2017 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial

Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial 11 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Distribusi Gamma Distribusi Eksponensial 3 Distribusi Gamma Tidak selamanya

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso.

Learning Outcomes Sebaran Kontinu Nilai Harapan dan Ragam Beberapa Sebaran Kontinu. Peubah Acak Kontinu. Julio Adisantoso. Beberapa 27 April 2014 Beberapa Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat memahami dan menghitung

Lebih terperinci

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 13/11/2013

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 13/11/2013 3//203 STATISTIK INDUSTRI Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh:

Lebih terperinci

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari. 6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin

Lebih terperinci

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean

Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan

Lebih terperinci

DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah

Lebih terperinci

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 17/12/2014

Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 17/12/2014 STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh: Suatu

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

STK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak

STK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak STK 511 Analisis statistika Materi 3 Sebaran Peubah Acak 1 Konsep Peluang 2 Peluang Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X) Diskrit Seragam Binomial Hipergeometrik

Lebih terperinci

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan

Lebih terperinci

Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri

Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Model dan Simulasi Universitas Indo Global Mandiri Nomor random >> angka muncul secara acak (random/tidak terurut) dengan probabilitas untuk muncul yang sama. Probabilitas/Peluang merupakan ukuran kecenderungan

Lebih terperinci

Contoh Solusi PR 2 Statistika & Probabilitas. 1. Semesta dari kejadian adalah: pemilihan 5 soal dari 10 soal. Jumlah kemungkinannya ( 10 = 252.

Contoh Solusi PR 2 Statistika & Probabilitas. 1. Semesta dari kejadian adalah: pemilihan 5 soal dari 10 soal. Jumlah kemungkinannya ( 10 = 252. Contoh Solusi PR Statistika & Probabilitas Semesta dari kejadian adalah: pemilihan soal dari soal Jumlah kemungkinannya ( ) = (a) Kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih soal tes dari soal yang anak

Lebih terperinci

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2. Distribusi Hipergeometrik

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2. Distribusi Hipergeometrik DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-10 Distribusi Hipergeometrik Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. sebuah sampel random berukuran

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 3: Rantai Markov Diskrit Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Rantai Markov Rantai Markov Misalkan sebuah proses stokastik {X t } dengan t = 0, 1, 2,....

Lebih terperinci

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω

28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan

Lebih terperinci

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016

Lebih terperinci

STATISTIKA UNIPA SURABAYA

STATISTIKA UNIPA SURABAYA MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

STK511 Analisis Statistika. Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak

STK511 Analisis Statistika. Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak STK511 Analisis Statistika Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak Beberapa Konsep Dasar Percobaan statistika: kegiatan yang hasil akhir keluarannya tidak diketahui di awal, tetapi kemungkinan-kemungkinannya

Lebih terperinci

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided

MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK

BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK Pertemuan 6. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Variansi dan kovariansi. HARAPAN MATEMATIK Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(x) = (X µ). Rataan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1403)

Statistika (MMS-1403) Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Minggu ke- Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Pendahuluan 1 Perkuliahan

Lebih terperinci

KONSEP PROBABILITAS & DISTRIBUSI PROBABILITAS

KONSEP PROBABILITAS & DISTRIBUSI PROBABILITAS KONSEP PROBABILITAS & DISTRIBUSI PROBABILITAS 5 Pengendalian Kualitas Debrina Puspita Andriani Teknik Industri Universitas Brawijaya e- Mail : debrina@ub.ac.id Blog : hbp://debrina.lecture.ub.ac.id/ 2

Lebih terperinci

PENGANTAR PROBABILITAS STATISTIKA UNIPA SBY

PENGANTAR PROBABILITAS STATISTIKA UNIPA SBY PENGANTAR PROBABILITAS GANGGA ANURAGA POKOK BAHASAN Konsep dasar probabilitas Teori himpunan Permutasi Kombinasi Koefisien binomial Koefisien multinomial Probabilitas Aksioma probabilitas Probabilitas

Lebih terperinci

DISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI KONTINU. Uniform Normal Gamma & Eksponensial. MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar Distribusi Uniform 2 Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: f(x)

Lebih terperinci

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Hidup penuh dengan ketidakpastian

Hidup penuh dengan ketidakpastian BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

THEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP

THEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP THEORY By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK Variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari outcome beberapa percobaan / eksperimen VARIABEL

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

4.1.1 Distribusi Binomial

4.1.1 Distribusi Binomial 4.1.1 Distribusi Binomial Perhatikan sebuah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut : Hanya menghasilkan (diperhatikan) dua peristiwa atau kategori, misal S (sukses) dan G (gagal) Dilakukan sebanyak

Lebih terperinci

BAB III PROSES POISSON MAJEMUK

BAB III PROSES POISSON MAJEMUK BAB III PROSES POISSON MAJEMUK Pada bab ini membahas tentang proses stokastik, proses Poisson dan proses Poisson majemuk yang akan diaplikasikan pada bab selanjutnya. 3.1 Proses Stokastik Koleksi atau

Lebih terperinci