MA4183 MODEL RISIKO Bab 5 Teori Kebangkrutan

Transkripsi

1 MA4183 MODEL RISIKO Bab 5 Teori Kebangkrutan Control your risk!

2 Konsep Surplus 1 Perusahaan asuransi memiliki modal awal atau initial surplus 2 Perusahaan menerima premi dan membayarkan klaim 3 Premi bersifat konstan sedangkan klaim/kerugian bersifat acak dan tidak pasti 4 Net surplus adalah modal awal + premi - klaim 5 Jika net surplus kurang dari atau sama dengan nol = Bangkrut atau Ruin

3 Fungsi surplus Misalkan perusahaan asuransi memiliki modal u saat waktu t = 0. Modal ini disebut initial surplus. Perusahaan menerima presmi setiap waktu (secara reguler). Klaim kerugian sebesar X i dibayarkan setiap akhir periode i, i = 1, 2,.... Asumsikan {X i } saling bebas dan berdistribusi identik.

4 Model yang merepresentasikan surplus pada waktu n dengan modal awal u adalah untuk n = 1, 2,.... U(n; u) = u + n n X i, i=1

5 Konsep Bangkrut Definisi Kebangkrutan akan terjadi pada waktu n jika U(n; u) 0 untuk pertama kali pada waktu n, n 1.

6 Waktu Bangkrut atau Time of Ruin Definisi Peubah acak T (u) yang menyatakan waktu bangkrut atau time of ruin adalah T (u) = min{n 1 : U(n; u) 0}

7 Definisi Diberikan suatu initial surplus u, peluang ultimate ruin adalah ψ(u) = P(T (u) < )

8 Definisi Diberikan suatu initial surplus u, peluang bangkrut pada waktu t adalah ψ(t; u) = P(T (u) < t) untuk t = 1, 2,...

9 Peluang Bangkrut Pandang kasus ψ(0) atau peluang bangkrut saat initial surplus u = 0: P(bangkrut saatu = 0) = ψ(0) = P(bangkrut saat u = 0 tidak ada klaim saat t = 1)P(tidak ada klaim s + P(bangkrut saat u = 0 ada 1 klaim saat t = 1)P(ada 1 klaim saat t + P(bangkrut saat u = 0 ada 2 klaim saat t = 1)P(ada 2 klaim saat t = ψ(1) f X (0) + 1 f X (1) + 1 f X (2) + = ψ(1) f X (0) + S X (0)

10 Untuk u = 1, ψ(1) = f X (0) ψ(2) + f X (1) ψ(1) + S X (1).

11 Untuk u 1, modelnya adalah atau ψ(u) = f X (0) ψ(u + 1) + ψ(u + 1) = 1 f X (0) ψ(u) u f X (j) ψ(u + 1 j) + S X (u) j=1 u f X (j) ψ(u + 1 j) S X (u). j=1

12 Ketaksamaan Lundberg Teorema Untuk fungsi surplus waktu diskrit, peluang ultimate ruin memenuhi ketaksamaan Lundberg: ψ(u) exp( r u), dimana r adalah adjustment coefficient, yaitu nilai r > 0 yang memenuhi persamaan E(e r(x 1) ) = 1.

13 Diskusi: Dapatkah anda menunjukkan bahwa log M X (r) = r?

14 Contoh. Misalkan klaim X setiap saat mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter θ. Peluang ultimate ruin saat u = 0, ψ(0) = ψ(1) f X (0) + S X (0) = ψ(1) (1 θ) + θ = θ = E(X ),

15 Sedangkan ψ(1) dapat dihitung dengan mudah dari persamaan diatas yaitu ψ(1) = 0. Dapatkah kita menghitung ψ(2)?

16 Latihan Pendahuluan 1 Tunjukkan bahwa untuk model surplus diskrit, ψ(0) = E(X ) 2 Diketahui p.a klaim X memiliki fungsi peluang: f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1 Hitung peluang ψ(u) untuk u 0.

17 Kebangkrutan Pada Waktu Hingga Diberikan initial surplus u = 0. Pada saat t = 1, kebangkrutan akan terjadi dengan peluang ψ(1; 0) = P(T (0) 1) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 2) + = S X (0) dimana X 1 menyatakan banyaknya klaim pada waktu t = 1.

18 Misalkan u = 1. Kebangkrutan pada saat t = 1 terjadi dengan peluang ψ(1; 1) = P(T (1) 1) = P(X 1 = 2) + P(X 1 = 3) + = S X (1)

19 Kita pandang kasus kebangkrutan saat t = 2, diberikan initial surplus u = 0. Kebangkrutan pada saat atau sebelum (at or before time) t = 2 akan terjadi karena Bangkrut saat t = 1 Rugi sebesar j saat t = 1 untuk j = 0, 1,..., u yang kemudian diikuti oleh kebangkrutan pada saat/periode t 1 sesudahnya

20 Kebangkrutan saat t, diberikan initial surplus u: u ψ(t; u) = ψ(1; u) + f X (j) ψ(t 1; u + 1 j) j=0

21 Latihan Pendahuluan 1 Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung peluang kebangkrutan saat atau sebelum waktu t = 1, 2, diberikan u = 0, 1. 2 Claim severity setiap periode berdistribusi geometrik dengan parameter 0.6. Hitung peluang bangkrut saat atau sebelum t = 2, diberikan initial surplus u = 2.

22 Model Surplus Kontinu Pandang model yang merepresentasikan surplus pada waktu t dengan modal awal u adalah U(t; u) = u + c t S(t),

23 dimana S(t) = X 1 + X X N(t) atau dengan kata lain total kerugian atau aggregate loss. Jika N(t) = 0 maka S(t) = 0. Kita akan memandang khusus saat N(t) adalah proses Poisson.

24 Proses Poisson Definisi N(t) adalah suatu proses Poisson dengan parameter λ, yaitu laju terjadinya events setiap unit waktu, jika (a) N(t 2 ) N(t 1 ) POI (λ (t 2 t 1 )) (b) N(t) memenuhi independent increments

25 Diskusi: S(t) merupakan compound Poisson process U(t; u) merupakan compound Poisson surplus process E(S(1)) = E(N(1))E(X ) = λ µ X c = (1 + θ)e(s(1)), dimana θ > 0 adalah loading factor

26 Latihan: 1 Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung r. Hitung ketaksamaan Lundberg untuk u = 0, 1. 2 Dapatkah anda menentukan ketaksamaan Lundberg untuk kasus waktu kontinu?