Simulasi Dinamika Gelombang Berjalan Pada Model Invasi Tumor

Transkripsi

1 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Simlasi Dinamika Gelombang Berjalan Pada Model Invasi Tmor Habib Abdllah, a), Dian Nraiman dan Esih Skaesih Jrsan Matematika UIN Snan Gnng Djati Bandng a) habibabdllahble@gmail.om Abstrak Invasi adalah penjalaran sel tmor ke daerah sekitarnya yang menimblkan kersakan pada jaringan di sekitarnya. Penelitian ini menganalisis proses keberhasilan invasi sel tmor dengan ara menginvestigasi keberadaan solsi gelombang berjalan pada model haptotaksis sel tmor ganas dengan tidak mengabaikan proses difsi. Model tersebt diselesaikan seara nmerik menggnakan metode Rnga- Ktta Orde 4 ntk mengetahi dinamika gelombang berjalan dan pengarh parameter aal terhadap dinamika gelombangnya. Hasil penelitian mennjkkan gelombang berjalan enderng smooth ketika nilai aal konsentrasi matriks ekstraseller (ECM) lebih besar dari nilai aal poplasi sel tmor dan sebaliknya gelombang berjalan enderng shok ketika nilai aal konsentrasi matriks ekstraseller (ECM) lebih keil daripada nilai aal poplasi sel tmor. Kata kni: sel tmor, haptotaksis, gelombang berjalan, matriks ekstraseller, metode rnge-ktta Pendahlan Sel merpakan kmplan materi sederhana yang hidp dan merpakan nit penysn sema makhlk hidp yang ada pada setiap bagian dari mahklk hidp, baik mahklk hidp bersel tnggal seperti bakteri ata yang mltiselllar seperti mansia, hean dan tmbhan. Di dalam tbh mansia sendiri terdapat lebih dari triliyn sel yang menysn tbh mansia. Sel di tbh mansia disebt mltiseller karena mereka tidak bisa berdiri sendiri, mereka hars bersat sat sama lain ntk membentk sat organ, ontohnya organ jantng yang terdiri dari banyak sekali sel. Sel jga mempnyai tgas masing-masing, seperti pergerakan sel ata invasi sel ke sat daerah ntk menyembhkan lka, sel yang ini akan berpindah ata bermigrasi ke tempat yang terlka dan sel tersebt akan berkembang biak dan berbah bentk menjadi bentk yang lain. Dalam biologi, invasi adalah penjalaran sel ke daerah di sekitarnya sehingga menimblkan pengarh pada jaringan di sekitarnya tersebt. Invasi sel melibatkan proliferasi sel gabngan dan motilitas sel, dan sangat penting ntk pengembangan, penyembhan lka dan perkembangan ganas (kanker). Beberapa jenis pengamatan eksperimental dapat dibat ntk menggambarkan invasi sel. Salah sat dari gerakan ata migrasi sel merpakan haptotaksis. Haptotaksis adalah proses penyembhan lka yang berada pada permkaan klit yang mempnyai sifat adveksi. Haptotaksis memainkan peran tama dalam penyembhan lka yang efisien. Penelitian ini membahas simlasi gelombang berjalan pada model haptotaksis dari invasi sel tmor ganas, di mana difsi tidak diabaikan. Selain it, penelitian ini jga menganalisis pengarh nilai aal terhadap pergerakan dinamika gelombang berjalan. 4

2 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Teori Invasi Sel Invasi adalah penjalaran sel tmor ke daerah di sekitarnya sehingga menimblkan kersakan pada jaringan di sekitarnya tersebt. Jaringan mansia terssn menjadi serangkaian kompartemen yang dipisahkan sat sama lain oleh da jenis matriks ektrasel (ECM), yait membrane basalis dan jaringan ikat interstisim. Walapn tertata seara berlainan, tiap-tiap komponen ECM ini terdiri atas kolagen, glikoprotein, dan proteoglikan. Sel tmor hars berinteraksi dengan ECM di beberapa tahapan dalam jenjang invasi dan metastati. Sel akan melakkan proliferasi (berkembang biak) dan diferensiasi (bentk yang lebih khss). Dalam beberapa sistem biologis, invasi sel dapat berdiferensiasi menjadi jenis sel selama proses invasi. Dalam sistem ini, di mana jenis sel prekrsor (sel indk) bermigrasi dan proliferatif dan jenis sel diferensiasi tidak bermigrasi dan tidak berproliferasi. Invasi sel melibatkan proliferasi sel gabngan dan motilitas sel. Model Matematika Model ini mempelajari perilak rata-rata sel melanoma di arah invasi saja dan mengabaikan variasi dalam bidang tegak lrs terhadap arah invasi. Dalam mempelajari invasi ganas diperhatikan gerakan spasial sel dan proliferasi mereka. Dinamika spasial dimodelkan dengan mempertimbangkan gerakan sel yang diarahkan ke sebah matriks gradien ekstraseller. Model ini adalah perilak sel A58 setelah x pengobatan dengan toksin pertsis seperti dilansir Aznavoorian et al[8]. Mengarah ke pergerakan sel haptotati dengan bentk x ( x ) dimana flks dari sel-sel tmor sebanding dengan ( x ). Peningkatan proliferasi dari sel-sel ganas yang relatif terhadap sel-sel normal adalah fitr penting dari dinamika tmor. Dipelajari model aal yang diberikan di []. Model ini menggambarkan invasi sel haptotaktik dalam konteks pertmbhan tmor ganas, pada melanoma tertent (sejenis kanker klit) dan model ini merpakan perlasan dari persamaan Fisher dengan ada penambahan pergerakan dari sel haptotaksis. Diberikan model sebagai berikt, t = () t = ( ) x ( x dengan kondisi batas lim (x, t) = lim x (x, t) = û lim x ) () (x, t) = lim x (x, t) = x dan x R, t R +, disini (x, t) adalah konsentrasi matriks ekstraseller (ECM), dan (x, t) adalah poplasi sel tmor yang menyebar. Matriks ekstraseller (ECM) merpakan komponen paling besar pada klit normal, dan jga merpakan komponen paling besar pada lapisan klit dermis. ECM dapat mempengarhi bentk sel, kelangsngan hidp sel, perkembangbiakan sel, polaritas dan kelakan sel. Sebagian besar sel perl melekat ke matriks ekstraseller ntk tmbh dan berkembang biak. Model ini berbentk haptotaksis, dimana haptotaksis adalah tipe dari adveksi yang mirip dengan kemotaksis. Dan kedanya mengambarkan gerakan dari gradien sel yang naik(trn) akibat adanya beberapa bahan kimia ata kemoatraktan. Kemotaksis adalah istilah yang lebih dikenal yang mnl ketika kemoatraktan tersspensi dalam airan. Haptotaksis jga mempnyai mekanisme yang sama dengan kemotaksis tetapi mnl ketika kemoataktran terikat pada permkaan. Diberikan transformasi koordinat gelombang berjalan yait z = x t, diperoleh d dz = (3) 5

3 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : ( ) d = ( ) 3 3 (4) dz Titik tetap persamaan (3) dan (4) ntk (, ) adalah (,) dan (, ), dimana () = lim z (z), R Selanjtnya ntk menari kestabilan dari, persamaan diberikan keadaan x = pada persamaan () didapat da kestabilan dari sistem tersebt, (,) stabil dan (, ) tidak stabil. Persamaan (3) dan (4) diselesaikan menggnakan metode Rnge-Ktta orde 4 dengan formla: di mana i+ = i k + k 3 + k 4 ) (5) i+ = i l + l 3 + l 4 ) (6) k = f(t r, r, r ) = l = q(t r, r, r ) = ( ) 33 k = f (t + h, + h k, + h l ) k = ( + h k ) ( + h l ) l = q (t + h, + h k, + h l ) l = ( + h l )( ( + h l (+ h )) k ) (+ h k ) (+ h l ) k 3 = f (t 3 + h, 3 + h k, 3 + h l ) k 3 = ( 3+ h k + h k ) (3 + h l + h l ) l 3 = q (t 3 + h, 3 + h k, 3 + h l ) 3 (+ h 3 l ) l 3 = ( 3+ h l + h l )( ( 3 + h l + h l (3+ h )) k + h k ) (3+ h k + h k ) (3+ h l + h l ) k 4 = f(t 4 + h, 4 + hk 3, 4 + hl 3 ) (4 +hl 3 + h l + h l ) k 4 = ( 4+hk 3 + h k + h k ) l 4 = q(t 4 + h, 4 + hk 3, 4 + hl 3 ) 3 (3+ h l + h 3 l ) l 4 = ( 4+hl 3 + h l + h l )( ( 4 +hl 3 + h l + h l (4+hk3+ h )) k + h k ) (4+hk3+ h k + h k ) (4+hl3+ h l + h l ) 3 (4+hl3+ h l + h 3 l ) Hasil dan Disksi Bagian ini berisi tentang hasil-hasil yang diperoleh menggnakan metode yang sdah dijelaskan di bagian sebelmnya. Bagian ini dapat berisi tabel, persamaan, dan gambar. a) Simlasi Gelombang Berjalan yang Shok Dengan parameter model =. dan x =. dan nilai aal yang diberikan () =. dan () =.9, hbngan antara konsentrasi ECM dan sel tmor ditnjkkan pada grafik di baah ini: 6

4 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Hbngan antara dan terhadap z konsentrasi ECM() Poplasi sel tmor() z Gambar. Hbngan antara konsentrasi ECM dan sel tmor Grafik di atas mennjkkan baha ke da garis konsentrasi ECM dan sel tmor meleati arrying apaity. Hal ini dikarenakan sistem persamaan mengalami keadaan diskontin yang menggambarkan kondisi gelombang berjalan shok dan tidak dapat diinterpretasikan dalam kondisi yang riil. Grafik berikt mennjkkan gelombang berjalan shok: Dinamika antara dan all Gambar. Gelombang berjalan shok Pada gambar di atas, terdapat titik lbang (hole) yang teripta dari perpotongan antara all dengan garis bant yang berarna hija. Pada kass gelombang berjalan yang shok akan terlihat gelombang berjalan yang terjadi bergerak dalam keadaan grafik yang naik trn setelah grafik tersebt menyenth garis all. Pada gambar di atas, gelombang berjalan dari titik (,) yang merpakan titik tidak stabil kemdian mengenai all lal bergerak mnj titik (,) yang merpakan titik stabil dan bergerak ke arah sebelah kanan dari tersebt dan kemdian berbelok arah lagi mendekati titik stabil (,). Sekarang akan ditnjkkan dinamika gelombang berjalan yang shok dengan parameter nilai aal yang berbeda-beda ntk mengetahi perbedaan grafik yang dihasilkan. 7

5 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Dinamika antara dan all.8.6 Dinamika antara dan all Gambar 3. Kondisi gelombang shok ketika nilai () =. dan () =.8 yang mendekati titik stabil Gambar 4. Kondisi gelombang shok ketika () =.3 dan () =.7 yang menjahi titik stabil.8.6 Dinamika antara dan all.8.6 Dinamika antara dan all Gambar 5. Kondisi gelombang shok ketika () =.4 dan () =.6 yang menjahi titik stabil Gambar 6. Kondisi gelombang shok ketika () =.5 dan () =.5 yang mendekati titik stabil Dinamika antara dan all Gambar 7. Kondisi gelombang shok ketika () =.6 dan () =.4 yang menjahi titik stabil Dapat dilihat baha dengan kondisi parameter nilai aal yang berbeda-beda akan menghasilkan dinamika gelombang berjalan yang shok yang berbeda pla di mana pada Gambar 3 dan Gambar 6 dinamika gelombang berjalan ketika bergerak dari titik tidak stabil lal mengenai all kemdian bergerak mendekati titik stabil, sedangkan pada Gambar 4, 5, dan 7 dinamika gelombang berjalan dari titik tidak stabil lal mengenai all kemdian bergerak menjahi titik stabil. b) Simlasi Gelombang Berjalan yang Smooth 8

6 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Dengan nilai parameter model =.5 dan x =., nilai aal dan keepatan gelombang yang di berikan akan membentk sat dinamika gelombang berjalan yang smooth. Pertama dengan nilai aal yang diberikan () =. dan () =.9, hasil simlasi dapat dilihat pada grafik dibaah ini:.5 Hbngan antara dan terhadap z konsentrasi ECM() Poplasi sel tmor().8.6 Dinamika antara dan all z Gambar 9. Kondisi gelombang smooth ketika =.5 () =. dan () =.9. Gambar 8. Hbngan antara dan terhadap z. Pada Gambar 9 dapat dilihat ntk dinamika gelombang berjalan yang berada di baah all mengalami gelombang berjalan yang smooth. Dan terdapat titik hole yang teripta dari perpotongan antara all dengan garis bant yang berarna hija. Dinamika bergerak dari arah titik (,) yang merpakan titik tidak stabil yang kemdian bergerak mendekati all tetapi berbelok mendekati titik (,) yang merpakan titik stabil. Dengan parameter nilai aal yang berbeda ketika nilai () =. dan () =.9, hasil simlasi dapat dilihat pada grafik dibaah ini: Dinamika antara dan all Gambar. Kondisi gelombang smooth ketika = () =. dan () =.9. Dapat dilihat dinamika gelombang berjalan yang smooth pada Gambar bergerak mendekati titik stabil (,) tetapi kemdian berbelok ke arah kiri menjahi titik stabil. Dengan parameter nilai aal yang berbeda ketika nilai () =.9 dan () =., hasil simlasi dapat dilihat pada grafik dibaah ini: 9

7 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Dinamika antara dan all Gambar. Kondisi gelombang smooth ketika = () =.9 dan () =.. Dengan nilai aal yang berbeda, Gambar 3 merpakan gelombang berjalan yang smooth, terjadi perbedaan pergerakan dinamika antara Gambar dan. Tabel di baah merpakan hasil dinamika gelombang berjalan dengan variasi nilai,, dan. Tabel. Gelombang Berjalan Smooth dan Shok =. =.9 =.3 =.7 =.5 =.5 =.7 =.3 =.9 =. Shok Wave Shok Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave.9 Shok Wave Shok Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave.8 Shok Wave Shok Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave.7 Shok Wave Shok Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave.6 Shok Wave Shok Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave.5 Smooth Wave Shok Wave - Smooth Wave Smooth Wave.4 Smooth Wave Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave.3 Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave. Shok Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave. Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Smooth Wave Dari tabel di atas, ketika nilai keepatan gelombang antara.6 dan nilai aal konsentrasi dari Ekstraseller Matriks (ECM) lebih keil dan sama dengan nilai aal sel tmor maka keenderngan gelombang berjalan akan mengalami shok. Keadaan gelombang yang shok adalah keadaan dimana gelombang akan mengalami keadaan diskontin dengan kestabilannya yang akan meleati arrying apaity sehingga kondisi gelombang berjalan yang shok tidak dapat diinterpretasikan ke dalam kondisi riil. Kesimplan Parameter yang mempengerhi sat dinamika berpa gelombang berjalan smooth ata shok pada simlasi adalah nilai aal dan keepatan gelombang. Keenderngan gelombang berjalan akan berjalan smooth ketika nilai aal konsentrasi matriks ekstraseller (ECM) lebih besar dari nilai aal poplasi sel tmor, dan sebaliknya keenderngan gelombang berjalan akan berjalan shok ketika nilai aal konsenrasi matriks ekstraseller (ECM) lebih keil daripada nilai aal poplasi sel tmor. Akan tetapi berdasarkan hasil simlasi pada Gambar dan 8, dapat dilihat baha ketiadaan konsentrasi ECM tidak menrnkan poplasi sel tmor sehingga model pada persamaan () dan () tidak ook dignakan ntk model invasi tmor.

8 Jrnal Kbik, Volme No. (7) ISSN : Referensi [] G. Hek, Geometri singlar pertrbation theory in biologial pratie, J. Math. Biol., 6 (), pp [] A.J. Permpanani, J.A. Sherratt, J. Norbry, and H.M. Byrne, A to parameter family of travelling aves ith a singlar barrier arising from the modelling of extraelllar matrix mediated elllar invasion, Phys. D, 6 (999), pp [3] J. Smoller, Shok Waves and Reation-Diffsion Eqations, nd ed., Springer-Verlag, Ne York, 994. [4] Landman,K.A, dkk. Diffsive and Chemotati Celllar Migration: Smooth and Disontinos Traveling Wave Soltions. Soiety for Indstrial and Applied Mathematis. 65(4): [5] Kreyzig, Erin. Advaned Engineering Mathematis Sixth edition. Ne York : John Wiley & Sons, In.,988. [6] Shepley L. Ross, Differential Eqations. Ne York: John Wiley & Sons, 984. [7] Edelstain, Leah., Keshet. Mathematial Models In Biology. Canada : Siam, 5. [8] W. Hirsh, Morris, Stephen Smale, Robert L. Devaney. Differential Eqations, Dynamial System,and an Introdtion to Chaos. Elsevier (USA), 4. [9] Anton, Hoard. Aljabar Linear Elementer. Edisi 5, Jakarta: Erlangga, 987. [] J. Gkenheimer, P. Holmes. Nonliear Osillations, Dnaial System, and Bifration of Vetor Fields. Ne York: Springer Verlag. 983.