ESTIMASI HARGA MULTI-STATE EUROPEAN CALL OPTION MENGGUNAKAN MODEL BINOMIAL

Transkripsi

1 ESTIMASI HARGA MULTI-STATE EUROPEAN CALL OPTION MENGGUNAKAN MODEL BINOMIAL Mila Krniawaty an Enah Rokhmati Jrsan Matematika, Universitas Brawijaya, Malang. mila Jrsan Matematika, Institt Teknologi Selh Noember, Srabaya ABSTRAK Otion merakan kontrak yang memberikan hak keaa emiliknya ntk membeli (call otion) ata menjal (t otion) sejmlah aset asar tertent (nerlying asset) engan harga tertent (strike rice) alam jangka wakt tertent (sebelm ata saat exiration ate). Perkembangan otion belakangan ini memnclkan banyak moel ricing ntk mengestimasi harga otion, salah sat moel yang ignakan aalah formla Black-Scholes. Mlti-state otion merakan sebah otion yang ayoff-nya iasarkan aa a ata lebih aset asar. Aa beberaa metoe yang aat ignakan alam mengestimasi harga call otion, salah satnya masyarakat finance sering menggnakan moel binomial ntk estimasi berbagai moel otion yang lebih las seerti mlti-state call otion. Selanjtnya, ari hasil estimasi call otion engan moel binomial iaatkan formla terbaik berasarkan enghitngan eror engan mean sqare error. Dari enghitngan eror iaatkan eror rata-rata ari masing-masing formla aa moel binomial. Hasil eror rata-rata mennjkkan bahwa estimasi menggnakan formla 5 titik lebih baik ari aa estimasi menggnakan formla 4 titik. Kata knci: otion, formla Black-Scholes, mlti-state otion, moel binomial. PENDAHULUAN Perkembangan nia erekonomian sekarang ini semakin esat, seiring engan kebthan masyarakat yang ters meningkat sehingga menorong ara elak ekonomi termask ara investor ntk bersaing memeroleh kentngan semaksimal mngkin. Dengan membayar sejmlah ang tertent ntk investasi awal, investor aat mengasai saham yang nilainya berliat gana ari investasi awal. Oleh karena it, ierlkan alat investasi yang bera otion. Paa asarnya, otion merakan kontrak yang memberikan hak keaa emiliknya ntk membeli ata menjal sejmlah aset asar tertent engan harga tertent (strike rice) alam jangka wakt tertent. Aset asarnya aat bera saham, krs, ineks, ata komoitas. Menrt wakt exercise-nya, aa beberaa jenis otion. Salah satnya aalah Eroean otion, yang hanya aat i-exercise aa saat jath temo. Jika sebah otion yang ayoff-nya berasarkan aa a ata lebih aset asar maka inamakan mlti-state otion. Moel binomial aling banyak ignakan alam komnitas finance ntk estimasi berbagai moel otion yang lebih las seerti aa mlti-state Eroean otion Dalam mengkaji mengenai estimasi harga mlti-state Eroean call otion menggnakan moel binomial, akan ieroleh sat emahaman yang menalam mengenai estimasi tersebt an menjai alternatif lain bagi komnitas finance, khssnya ara investor ntk mengestimasi harga otion i saming moelmoel lain yang telah aa agar aat memaksimmkan kentngan an meminimmkan kergian. PENDEKATAN PROSES RETURN Dalam mengestrimasi harga mlti-state Eroean call otion engan moel binomial ignakan sat enekatan roses retrn. Dalam melakkan enekatan roses retrn ierlkan emahaman mengenai fngsi ayoff an formla Black-Scholes. Fngsi ayoff Berasarkan wakt exercise-nya, aa beberaa jenis otion. Salah satnya aalah Eroean otion, yang hanya aat i-exercise aa saat jath temo. Fngsi ayoff ari Eroean call otion aalah sebagai max, Ata aat ijabarkan sebagai,, imana aalah stock rice aa saat jath temo an aalah strike rice.

2 Estimasi Harga Mlti-State Eroean Call Otion Menggnakan Moel Binomial Formla Black-Scholes ntk Eroean otion Persamaan Black-Scholes ari otion ricing aalah sebagai () Berasarkan asmsi moel Black-Scholes aa ersamaaan (), ersamaan Black-Scholes ntk Eroean vanilla call otion aat ibentk sebagai,, () imana, merakan nilai Eroean call otion, aalah harga aset asar, aalah jath temo, aalah sk bnga bebas resiko an aalah volatilitas. Konisi awal (ayoff saat jath temo) aat inyatakan sebagai, max, engan aalah strike rice. Solsi ari ersamaan () ieroleh sebagai, max ex ln ln Oerasi eksektasi, max, aat inyatakan sebagai, max ; (3) engan. ; merakan transition ensity fnction ari harga aset yang aat inyatakan sebagai ; ex (4) Dari ersamaan tersebt terlihat bahwa fngsi ensitas beristribsi normal engan variabel ln, yang memnyai mean an varians. Moel yang ignakan aalah two-state otion an ensitas bersama ari harga a aset asar an aalah lognormal bivariate. Dalam nia netral resiko, retrn aset asar iberikan sebagai ln, i, imana merakan harga ari aset asar i aa saat ini, merakan harga aset asar i aa sat erioe nya an aalah retrn aset asar. Sesai erhitngan aa (4), variabel acak normal memnyai mean an varians. imana aalah tingkat bnga bebas resiko an aalah varians ari roses lognormal. merakan koefisien korelasi antara an an aalah volatilitas harga aset asar,,. Proses normal bivariate bersama, iekati oleh seasang variabel acak iskrit, engan mengikti istribsi Tabel. Distribsi variabel iskrit, robabilitas imana Δ,,. HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai Probabilitas Untk menaatkan nilai robabilitas,, 3, an 4, mean, varian, an covarian 5 ari, isamakan engan,. Sehingga iaatkan ersamaan yang bersesaian sebagai E a v + r ( ζ ) ( ) 3 4 E a v + r ( ζ ) ( ) 3 4 a var( ζ ) v ( (5) 3 4) a ) v ( + + 4) a a ζ, ζ ) v v ( 4 ) var( ζ (6) cov( ρ Agar ersamaan (5) an (6) konsisten, hars itentkan λ λ λ sehingga ieroleh emat ersamaaan ineenen ntk lima nilai robabilitas sebagai r t λ r t λ λ ρ 4 λ Karena jmlahan robabilitas hars sama engan sat, maka iberikan konisi Jrnal CAUCHY ISSN:

3 Mila Krniawaty an Enah Rokhmati Sehingga iaatkan enyelesaian ersamaan tersebt an ieroleh nilai masing-masing robabilitas yang terjai + + ρ + λ λ + ρ λ λ + ρ 3 + λ λ + + ρ 4 λ λ 5, λ engan λ aalah arameter bebas. Estimasi Harga Mlti-state Eroean Call Otion Menggnakan Moel Binomial. Dalam moel binomial, erbahan harga saham tia erioe ari interval wakt Δ iasmsikan memnyai a kemngkinan hasil, yait engan robabilitas an engan robabilitas seerti aa gambar robabilitas robabilitas Gambar. Kontrksi ohon binomial Jika harga saham (stock otion) saat ini, maka harga saham aa saat aalah sebagai,,,, imana an,,,. Harga call saat ini inotasikan engan, an an mennjkkan harga call setelah sat erioe (wakt jath temo alam konteks sekarang) yang bersesaian engan ergerakan naik an trnnya harga aset, Misal menyatakan strike rice ari call, maka ayoff ari call aa saat jath temo aalah sebagai max, engan robabilitas (7) max, engan robabilitas Nilai terkini ari call iberikan sebagai engan an. Jika an menyatakan harga aset saat ini an harga aset sat erioe setelah, maka mean an varians ari aalah an. Dengan erajat akrasi nilai ari arameter an aalah an. Karena teraat a aset asar yang menasari harga Eroean call otion yait an, maka kemngkinan yang terjai aat igambarkan sebagai Gambar. Kontrksi ohon binomial a aset asar Jika,,,, menyatakan harga aset asar an,,,, menyatakan nilai ari sekritas erivatif, maka secara mm fngsi ayoff-nya inyatakan sebagai fngsi linier, max, (8) imana an,,,, aalah konstanta. Dengan menggnakan fngsi ayoff ntk mlti-state otion aa (8) an ersamaan (7), maka aat ijabarkan sebagai Δ max,, engan elang Δ max,, engan elang Δ max,, engan elang Δ max,, engan elang Δ, max,, engan elang engan,,,. Sehingga menrt formla binomial, ieroleh harga ari mlti-state call otion sebagai c + c + c + c + c 3 4 5, c (9) R Jika λ, maka 5 an formla 5 titik berkrang menjai 4 titik sebagai c + c + c + c 3 4 c () R imana R. Simlasi ntk Mengestimasi Harga Otion Hasil estimasi call otion engan moel binomial engan. an.3, ntk λ bernilai. samai. aat igambarkan sebagai : 84 Volme No. 4 Mei

4 Estimasi Harga Mlti-State Eroean Call Otion Menggnakan Moel Binomial Gambar 3. Grafik Call Otion Moel Binomial ntk beberaa nilai lama Dari grafik terlihat bahwa ertambahan nilai λ menrnkan harga call otion. Hal ini berarti, enggnaan formla 5 titik aat menrnkan harga call otion ari aa formla 4 titik. Mean Sqare Error (MSE) Penghitngan eror menggnakan Mean Sqare Error itliskan sebagai : ηn n RMSE m imana η market otion rice moel otion rice. Error ari moel binomial berasarkan Mean Sqare Error sesai enghitngan aabila itamilkan alam grafik sebagai Data keharga call otion Harga call otion Grafik harga call otion ntk 6 nilai lama Data ke- Grafik call otion formla 4 titik c_market c_formla 4 titik Gambar 4. Grafik harga call an mean sqare error moel binomial formla 4 titik an 5 titik Dari hasil enghitngan eror menggnakan Mean Sqare Error iaatkan rata-rata eror sebagai : Tabel. Tabel hasil average MSE ari moel binomial 4 titik an 5 titik Moel Binomial lama. lama. lama.4 lama.6 lama.8 lama. m Average MSE Formla 4 titik.4487 Formla 5 titik.77 Harga call otion Grafik call otion formla 5 titik c_market MSE formla 4 titik an 5 titik Data ke- c_formla 5 titik Formla 4 titik D at a ke- Formla 5 titik Berasarkan hasil enghitngan eror ari a formla aa moel binomial aat isimlkan bahwa formla 5 titik memnyai eror yang lebih kecil ariaa formla 4 titik. Oleh karena it Formla 5 titik aa moel binomial aat inyatakan sebagai formla yang yang lebih baik ariaa formla 4 titik. PENUTUP Berasarkan hasil embahasan mengenai estimasi harga mlti-state Eroean call otion engan moel binomial aat isimlkan bahwa estimasi harga mlti-state Eroean call otion engan moel Binomial ieroleh engan enekatan roses retrn yang memnyai variabel acak normal iekati engan seasang variabel acak iskrit ntk menaatkan nilai robabilitas yang terjai aa masing-masing aset asar sehingga aat iestimasi menggnakan moel binomial. Estimasi harga mlti-state Eroean call otion menggnakan moel binomial ieroleh a formla, yait:. Formla 5 titik Δ Δ Δ Δ Δ,. Formla 4 titik Δ Δ Δ Δ Formla terbaik alam moel binomial aa mlti-state otion aalah formla 5 titik karena memnyai eror rata-rata yang lebih kecil ariaa formla 4 titik. Dari hasil simlasi aat ilihat bahwa estimasi harga mlti-state Eroean call otion menggnakan moel binomial sangat iengarhi oleh besarnya sat arameter bebas λ. Semakin tinggi nilai λ maka harga ari call otion akan semakin trn. DAFTAR PUSTAKA [] Kwok, Ye-Ken Mathematical Moels of Financial Derivatives. Singaore: Sringer. [] Pliska, R. Stanley Introction tomathematical Finance: Discrete Time Moel. Oxfor: Blackwell. [3] Boie, Kane, Marcs. 5. Investment. Sixth Eition. McGraw-Hill, International Eition. [4] Sembel, Roy, an Fariansyah, Tey.. Sekritas Derivatif: Ma ata Racn. Jakarta: Salemba emat. Jrnal CAUCHY ISSN:

5 Mila Krniawaty an Enah Rokhmati [5] Riger, Seyel.. Tools for Comtational Finance. Koln: Sringer. [6] Higham, Desmon J. 4. An Introction to Financial Otion Valation: Mathematics, Stochastics, an Comtation. Cambrige: Cambrige University Press. [7] Rahay, S.K.T. 6. Estimasi Nilai Eroean Call Otion Menggnakan Metoe Historical Data an Filter Kalman. Skrisi ITS Srabaya. [8] Hll, John C.. Otion Ftre an Other Derivatives. New Jersey: Prentice Hall. [9] Ross, Shelon M. 4. An Introction to Mathematical Finance: Otions an Other Toics. Cambrige: Cambrige University Press. 86 Volme No. 4 Mei