CATATAN KULIAH Pertemuan IX: Optimasi Pertumbuhan dan Aplikasinya

Transkripsi

1 CATATAN KULIAH Peremuan IX: Opimasi Perumbuhan dan Aplikasinya A. Fungsi Eksponensial Benuk Fungsi Eksponesial: y f() b di mana basis b >, adalah eksponen, f() R Noe: Isilah eksponen () berari pangka erhadap sebuah basis bilangan (b). Baasan Nilai b: b dan b, karena f() ; f(), konsan < b < dikecualikan, karena dapa dinyaakan dalam eksponen negaif b< dikecualikan, karena berakiba banyak nilai f() dengan adalah bilangan real menjadi bilangan imajiner, conohnya (-b) ½ Basis yang populer adalah: e dan Secara umum fungsi eksponensial dirumuskan dalam benuk: y variabe ak bebas b basis variabel bebas a fakor skala verikal / akor penekan c fakor skala horisonal / fakor pemerluas Grafiknya: c y ab

2 e adalah basis yang disukai (preferred base) (e).788, merupakan bilangan irasional, yang mempunyai karakerisik sbb: Derivaif dari y b + / b b b b b f ( ) lim lim b b lim b (?) di, apa basis b yang mempunyai kemiringan f / ( ) keika Jawabnya : / b f () b lim ln b Perhaikan abel basis b, mana yang menghasilkan f / ( ) keika? Jadi bilangan ersebu adalah (e).788 e sehingga : lim / e f () e lim e ( ) e

3 Grafik for f()e f() e dimana b e domain dari : (-, ) jangkauan dari y : (, ) perpoongan sb - y : perpoongan sb - : idak ada asimpo horisonal : y keika - / Pada (,), nilai dari f ( ) Karakerisik fungsi eksponensial naural: Derivaif dari y e adalah : dy d d( e ) d e d d d() d d y d d d e e e d d d d () ( e )() e y Sedang derivaif dari V dv d dae d r d d r ( Ae ) ( r) Ae ( r) r r( Ae ) rv d d r (fungsi eksponen naural secara umum) B. Fungsi Eksponensial Naural dan Masalah Perumbuhan Bilangan e mempunyai hubungan dengan fungsi f()(+/m) m Basis e lim + m m m

4 Unuk mencari bilangan e dapa digunakan aproksimasi dengan dere maclaurin: Dere maclaurin dari e dikeahui : f() e f( ) + f '( + f() f e f() e + e () + ()! karena e e f 3 e + + () + () + + R 6 pada dere Maclaurin konvergen ke bilangan e e (n) + )( / () f : ) + ( )/n! ( ) 6 keika Bunga majemuk dan Fungsi Ae r Rumus bunga majemuk : m r V ( m) A + m Dengan Ainvesasi awal, rsuku bunga nominal, mjumlah pemajemukan dalam ahun, dan jumlah ahun Denga memanipulasi rumus bunga majemuk di aas sbb: V ( m) A + // + R (), maka : e + + () n! r m A + w n f "( )/! ( ) m / r w r n r + R w + m r Dikeahui bahwa koninu adalah: m lim + e maka proses pemajemukan m m ( m) m r A + m m / r V Lim r Ae r

5 Jadi inrepreasi dari y Ae r : adalah nilai dari sebuah invesasi $A pada suku bunga nominal r, dan dimajemukkan secara koninu dalam kali aas periode invesasi (# hari, bulan, aau ahun) (perumbuhan dalam invesasi) Laju Perumbuhan Sesaa Misal V adalah nilai di masa depan dari invesasi awal (A) aas waku () pada suku bunga (r) yang dimajemukkan secara koninu, maka didapa : V Ae r dv r rae rv d dv / d r V dv / d V r Fuure value (V) Tingka Perubahan V Laju Perumbuhan (r) ( dv d) Hubungan V dengan ( dv d) Perumbuhan Koninu vs. Perumbuhan Diskri Misal proses pemajemukan bunga diskri sbb: A, A(+i), A(+i), A(+i) 3 Dengan Ainvesasi awal, isuku bunga. Misalkan b(+i), maka secara umum dapa diringkas menjadi A(b), dengan jumlah periode. Selanjunya dapa dicari bilangan r sehingga didapa: (+i)be r Sehingga kia dapa mengubah benuk diskri dalam benuk koninu dengan fungsi eksponen naural : A(+i) A(b) A(e) r Akibanya kasus diskri dapa dianalisis melalui kasus koninu. Ini menjelaskan mengapa fungsi eksponensial naural digunakan secara luas dalam analisis ekonomi Pendiskonoan dan Perumbuhan Negaif Nilai masa depan (fuure) : Vf(pemajemukan dari nilai sekarang (presen) A) V r Ae

6 Nilai Sekarang (presen) A f(pendiskonoan nilai masa depan (fuure) V) r Di sini e disebu fakor diskono (discoun facor) dan r disebu fakor penuaan (rae of decay) C. arima A Ve r Ari arima Conoh: Yb b (Y) Biasa dan Naural Eksponen biasa : Y b biasa : Eksponen naural : Y e biasa : logb Y log e Y lny Auran-auran logarima o Hasil kali : ln uv lnu + ln ( ) v o Hasil Bagi : ln ( u / v) lnu lnv o Pangka : ln u a a ln( u) o Pembalikan Basis (Base inversion) : o Konversi Basis (Base conversion) : log b e log b ln b e ( log e)( log u) logb u b e ln( u) ln( b)

7 D. Fungsi arima Y e log e Y lny Karakerisik fungsi logarima: Monoon Naik Jika ln y ln y, maka y y dan Jika ln y > ln y, maka y > y Benuk Grafik : Noe : ye (biru), y (merah-aas), yln() (merah), sudu 45 (hijau) Konversi Basis Misal e r b c maka ln e r ln b c r ln b c c ln b sehingga: e r e c ln b dan y Ab c Ae (c ln b) Ae r Conoh: Carilah pemajemukan koninu dengan suku bunga nominal per ahun r yang ekuivalen dengan pemajemukan diskri dengan suku bunga i5% perahun [dimajemukkan per seengah ahun (semiannually)] c r i y ab ae dimana a, i.5, c,, b +.5 c

8 misal e r b r ln e c lnb r c lnb ln % y e c c ln b () ln.5() e.565 Aplikasi Kegunaan uama dari ransformasi logarima dalam rise ekonomi adalah keika mengesimasi fungsi produksi aau perkalian fungsi nonlinear lainnya. Transformasi fungsi produksi ke dalam fungsi logarima membuanya dapa diesimasi dengan meode regresi linier. Misal Q banyak oupu, L pegawai (labor) dan K capial (capial inpus): Fungsi Produksi Q AL α K β Diambil ransformasi logarimanya menjadi: lnq lna + α lnl + β lnk Di sini nilai α dan β diesimasi dengan regresi linier. E. Derivaif Fungsi Eksponensial dan Fungsi arima Auran fungsi Derivaif dari fungsi log dengan basis e Biasa: d ln d Umum: ( ) f ( ) f () d ln f d Auran fungsi Eksponensial Derivaif dari fungsi eksponensial dengan basis e Biasa: dy de e d d Umum: dy d de d e

9 Kasus unuk Basis b Derivaif dari fungsi ransenden dalam basis b Fungsi eksponensial: db b ln b d Fungsi arima: d log d b ln b Derivaif dari fungsi ransenden dalam basis e Fungsi eksponensial: de e d Fungsi arima: d loge d ln d d Derivaif yang lebih inggi Derivaif dari fungsi ransenden dalam basis e Eksponensial: de e d d e e d 3 d e e 3 d 4 d e e 4 d arma: d loge d ln d d d loge d d d 3 d loge d 3 d d 4 d loge d 4 d d ( ) ( ) ( ) 3 ( ) Aplikasi Carilah diferensial oal dari Fungsi Produksi Q dengan ransformasi arima: Q AK lnq lna + αlnk + β lnl d ( ln Q) d( ln A) + αd( ln K ) + βd( ln L) dq Q α L da A dq Q β α β + dk + dl K L α β + dk + dl K L da A

10 D. Opimasi Keepaan Waku (Timing) Masalah Penyimpanan Anggur Nilai sekarang (Presen value): A() Ve -r dan Perumbuhan nilai (V) sebagai fungsi waku: V ke Maka nilai sekarang dari V dapa dinyaakan sebagai: A( ) ke e Transformasi arimanya: Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapa: da r d A ( ) lna lnk + ln k + da A d Karena A, kondisi da/d da d da d Dapa dipenuhi jika dan hanya jika : r * r * adalah waku penyimpanan yang opimum r ½ ( r) ½ ( r) ke lnk + lne A lne r r ½ r ½ r r Masalah penebangan kayu Misal nilai kayu (yang elah dianam pada suau lahan) merupakan fungsi waku: V

11 Kemudian V diubah menjadi nilai sekarangnya: r A ( ) Ve Didapa: r ( ) e A Transformasi arimanya: r lna() ln() + ln( e) ln() r Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapa: d ln A( ) da ln r d A d Karena A, kondisi da/d da A ln r ln r d Dapa dipenuhi jika dan hanya jika : r ln r ln * ln r * adalah waku penebangan yang opimum Laihan :. Jika nilai anggur berkembang sesuai dengan fungsi lama pembua anggur akan menyimpan anggurnya? V Ke, berapa