III TRANSFORMASI. = ; (ad bc). Jika

Transkripsi

1 10 III TRANSFORMASI 3.1 Tranformai Bilinear a + b Dari peramaan (2.30), yaitu = T( = ; (ad bc). Jika c + d maka peramaan terebut dapat dikalikan dengan c + d, ehingga diperoleh c + d = a + b. Selanjutnya peramaan di ata, dikurangkan dengan a + b, maka diperoleh c a + d b = 0. d, c Dengan memialkan A = c, B = a, C = d, dan D = b, maka peramaan (2.30) dapat dituli dalam bentuk A + B + C + D = 0; (AD BC). (3.1) Jadi peramaan (2.30) dapat dituli dalam bentuk peramaan (3.1), demikian juga ebaliknya. Karena bentuk peramaan (3.1) adalah linear dalam dan, maka tranformai pecahan linear atau tranformai Möbiu diebut juga tranformai bilinear. Sebagai ilutrai akan ditunjukkan bahwa = T( = memetakan daerah = { : < 1} pada daerah + = { : Re() > 0}. Tranformai = T( = adalah tranformai Möbiu dengan a = 1, b = j, c = 1, dan d = j. Untuk menunjukkan bahwa daerah = { : < 1} dipetakan pada daerah + = { : Re() > 0} oleh = T( =, maka terlebih dahulu dicari 1 ( 1) inver dari = T(, yaitu = j T ( ) + 1 Pada Gambar 1, andaikan adalah embarang titik di dalam lingkaran j( 1) atuan pada bidang, maka < 1. Dengan menubtituikan =, maka + 1 j( 1) < 1 ehingga diperoleh + 1 j ( 1) < + 1. (3.2)

2 11 Gambar 1 Daerah pada bidang dengan < 1. Dengan menubtituikan = σ + ke peramaan (3.2), kemudian bagian real dan bagian imajinernya dikelompokkan, maka diperoleh ω + j ( σ 1) < ( σ + 1) +. (3.3) Selanjutnya dengan menghitung jaraknya, maka ω + ( σ 1) < ( σ + 1) + ω, ehingga diperoleh σ > 0 atau Re() > 0. (3.4) Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa = T( = memetakan daerah di dalam lingkaran atuan terbuka dengan puat titik aal; = { : < 1} pada daerah di ebelah kanan umbu khayal; + = { : Re() > 0}, eperti yang dapat dilihat pada Gambar 2. = σ Gambar 2 Pemetaan = T(

3 12 Ilutrai di ata menunjukkan pemetaan dari bidang ke bidang dari uatu tranformai Möbiu. Berikut ini akan diberikan pula ilutrai dari bidang ke bidang dari tranformai Möbiu lainnya. Akan ditunjukkan bahwa = T( ) = memetakan daerah () > 0 pada daerah di dalam lingkaran atuan < 1. = T( ) = adalah tranformai Möbiu dengan a = 1, b = j, c = 1, d = j. Untuk menunjukkan bahwa daerah () > 0 dipetakan pada daerah di dalam lingkaran atuan < 1 oleh = T( ) =, maka terlebih dahulu dicari inver dari = T(), yaitu = T 1 (1 ) ( σ Gambar 3 Daerah pada bidang dengan () > 0. Pada Gambar 3, andaikan adalah embarang titik di daerah () > 0, maka 2 2 ω > 0, ehingga 2ω > 2ω. Dengan menambahkan σ +ω + 1 pada kedua ii, maka diperoleh σ + ( ω + 1) > σ + ( ω 1). (3.5) Peramaan (3.5) merupakan repreentai jarak dari σ + j ( ω + 1) > σ + j( ω 1). (3.6) atau ( σ + ) + j > ( σ + ) j (3.7) Dengan menubtitui j(1 = σ + = ke dalam peramaan (3.7), maka j(1 j(1 + j > j, ehingga diperoleh < 1. (3.8)

4 13 Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa = T( ) = memetakan daerah di ata umbu real; () > 0 pada daerah di dalam lingkaran atuan terbuka denganpuat titik aal; < 1, eperti yang dapat dilihat pada Gambar 4. = σ Gambar 4 Pemetaan = T( ) 3.2 Tranformai Tutin a + b Dari peramaan 2.30, yaitu = T( = ; (ad bc). Jika dipilih b = 1 c + d dan a = c = d = 1, maka tranformai Möbiu menjadi = T( (3.9) Bentuk tranformai pada peramaan (3.9) ini diebut dengan tranformai Tutin. Dengan demikian, tranformai Tutin merupakan bentuk khuu dari tranformai Möbiu. Berikut ini akan diberikan ilutrai dari tranformai Tutin, yaitu akan ditunjukkan bahwa = T( = memetakan daerah C = { : > 1} pada daerah + = { : Re() > 0}. Untuk menunjukkan bahwa daerah C = { : > 1} dipetakan pada daerah + = { : Re() > 0} oleh = T( =, + maka terlebih dahulu dicari inver dari = T(), yaitu = T 1 1 ( ) 1

5 14 Gambar 5 Daerah pada bidang dengan > 1. Pada Gambar 5, andaikan adalah embarang titik di daerah > 1.Dengan menubtituikan =, maka > 1 ehingga diperoleh > 1. (3.10) Dengan menubtitui = σ + ke dalam peramaan (3.10), maka > 1, (3.11) ehingga diperoleh > 1. (3.12) Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa = T( ) = memetakan daerah di luar lingkaran atuan terbuka dengan puat titik aal; C = { : > 1} pada daerah di ebelah kanan umbu khayal; + = { : Re() > 0}, eperti yang dapat dilihat pada Gambar 6. 1 = σ Gambar 6 Pemetaan = T(