Persamaan Differensial

Transkripsi

1 Persamaan Differensial Slide : Tri Harsono April, 2005 Polieknik Elekronika Negeri Surabaya ITS 1

2 Jenis PD Berdasarkan ruas kanannya: PD Homogin PD Non Homogin Berdasarkan independen variable-nya: PD Biasa PD Parsial Berdasarkan deraja differensialnya: PD Linier PD Non Linier 2

3 Isilah-Isilah dalam PD Derajad PD: pangka eringgi pada PD, Orde PD: urunan eringgi pada PD PUPD(: Penyelesaian Umum PD) adl: penyel. yg masih mengandung konsana esensiel, PKPD(: Penyelesaian Khusus PD) adl: penyel. yg idak mengandung konsana esensiel. Konsana esensiel (konsana dasar): konsana yang idak dapa disederhanakan lagi. 3

4 Benuk-Benuk PD Biasa Orde 1 PD Variabel Terpisah, PD Variabel yg dapa dipisah, PD Eksak, Inegraing Facors, Linear Firs-Order Differenial Equaion, Variaion of Paramaers, Picard s Ieraion Mehod 4

5 Soal : Newon s law of cooling A copper ball is heaed o a emperaure of 100 o C. Then a ime =0 i is placed in waer which is mainained a a emperaure of 30 o C. A he end of 3 minues he emperaure of he ball is reduced o 70 o C. Find he ime a which he emperaure of he ball is reduced o 31 o C. 5 Model maemaik dari hukum pendingin Newon: dt d = kt ( 30) Termasuk PD Variabel yang dapa dipisah Orde1 Tenukan PUPD-nya Carilah PKPD-nya

6 Iniial Value Problem Masalah Nilai Awal (Iniial Value Problem) digunakan unuk mencari nilai konsana dasar (= c), Dengan adanya iniial value problem maka PUPD akan menjadi PKPD. 6

7 Tugas: 1. Selesaikan Pers Diff beriku: dy 2 a. = (1 + x)(1 + y ) dx dy b. sin2x = ycos2x dx dy 2 cy. = 0.5sin ωx dx 2. Iniial Value Problem. Selesaikan PD di bwh ini. di al. + i = 0; i(0) = i0 d π bdr. sinθ = 2rcos θdθ; r( ) = 2 2 dr c. = r; r(0) = r0 d dv d. v = k ; k = kons an v( x ) = v dx 0 0 7

8 PD yang dapa dirubah ke Benuk PD Var Terpisah PD orde 1 erenu erkadang variabelnya idak dapa dipisah, Teapi dapa dibua erpisah dengan suau cara yg mudah, yaiu: Dengan merubah variabelnya menjadi dy dx y = g x..(1) Dimana g adalah fungsi y/x yang elah diberikan, Conoh:(y/x) 3, sin(y/x), dsb 8

9 PD yang dapa dirubah ke Benuk PD Var Terpisah - Seing y/x = u, - Bisa dinyaakan bahwa y dan u adalah fungsi dari x, - Maka dapa dibenuk fungsi y = ux, - Differensiasi dari y didapakan: dy = u+ ux..(2) dx - Subsiusi 2 ke dalam 1 dan g(y/x)=g(u), didapakan: u+ ux = g( u) 9

10 PD yang dapa dirubah ke Benuk PD Var Terpisah Akhirnya dapa dipisahkan var x dan u, sehingga : du dx = gu ( ) u x Dengan menginegralkan dan menggani u dengan y/x, didapakan PUPD-nya. 10

11 PD yang dapa dirubah ke Benuk PD Var Terpisah Conoh: 1. Selesaikan PD orde 1 beriku: a. 2xyy y 2 + x 2 = 0 b. (2x 4y + 5)y + x - 2y + 3 =0 2. Carilah PUPD dari PD orde 1 beriku: a. xy = x + y b. xy = (y - x) 3 + y c. x 2 y = y 2 + xy + x 2 d. y = (y - x)/(y + x) 11

12 PD yang dapa dirubah ke Benuk PD Var Terpisah 3. Selesaikan masalah nilai awal beriku: a. 2x 2 yy = g(x 2 y 2 ) 2xy 2 ; y(1)= (п/2) b. y = (y - x)/(y - x - 1) ; y(-5) = -5 12

13 PD Orde 1 Linier Benuk Umum : dy f( x) y r( x) dx + = Ciri linier PD iu ada pada y dan dy/dx f dan r erkadang fungsi dari x PUPD nya: h h y( x) = e e rdx+ c dimana h = f( x) dx 13

14 PD Orde 1 Linier Conoh: 1. Selesaikan PD Orde 1 beriku: a. y y = e 2x b. xy + y + 4 = 0 c. xy + y = sinx 2. Selesaikan masalah nilai awal beriku: a. y + y g(x) = sin(2x); y(0) = 1 b. x 2 y + 2xy x + 1 = 0; y(1) = 0 14

15 PD Orde 1 Linier 3. Hukum Pendingin Newon. dt d = kt ( T) 1 T = emperaur sebuah bola logam, dileakkan pada suau medium yang dijaga emperaurnya konsan T 1. Carilah penyelesaian umum dari emperaur bola bila emperaur awal bola T(0) = T o 15

16 PD Orde 1 Linier 4. Selesaikan PD Orde 1 beriku: a. y + y = sin(x) b. y + 2y = 6e x c. y + ky = e -kx, dimana k adalah koefisien d. xy 2y = x 3 e x e. y + y = (x + 1) 2 ; y(0) = 0 f. xy 3y = x 4 (e x + cos x) 2x 2 ; y(п)= п 3 e п +2п 2 16

17 Tugas2 Selesaikan Pers. Diff. beriku ini : 1. xy = 2x + 2y 2. y = (y+x)/(y-x) 3. xyy = 2y 2 + 4x 2 ; y(2) = 4 4. y y = e x ; y(1) = 0 5. An exended objec falling downward is known o experience a resisive force of he air (called drag). We assume he magniude of his force o be proporional o he speed v. Using Newon s second law, show ha : mv ' = kv mg g = 9.80 m/sec 2 Selesaikan model PD iu dengan meode: a. PD Orde1 Linier b. PD Var Terpisah 17

18 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) PD orde 1 linier mempunyai banyak aplikasi dalam bidang fisika dan eknik Unuk conoh adalah aplikasi pada rangkaian lisrik Tujuan: bagaimana kia memodelkan, yaiu menyaakan kondisi fisik menjadi relasi maemaik Transisi dari sisem fisik ke suau model maemaik yang bersesuaian selalu menjadi langkah perama dalam maemaika eknik Langkah perama ini pening, membuuhkan pangalaman dan laihan yang hanya dapa diperoleh dengan mencoba memodelkan conoh-conoh khusus dari berbagai plan (obyek fisik). 18

19 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) angkaian lisrik yang paling sederhana adalah sebuah rangkaian seri, Dimana kia mempunyai sebuah sumber energi lisrik (elecromoive force) misal sebuah generaor aau sebuah baerai dan sebuah resisor yang menggunakan energi. Sebagai conoh: sebuah lampu pijar elekrik pada gambar di bawah ini. source + - i resisor swich 19

20 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Bila swich diuup sebuah arus i akan mengalir melalui resisor dan menyebabkan egangan urun, yaiu: poensial elekrik pada kedua ujung resisor akan berbeda, Perbedaan poensial/egangan urun adi dapa diukur dengan menggunakan volmeer. Eksperimen menunjukkan bahwa penurunan egangan E yg melewai sebuah resisor proporsional erhadap arus i pada saa iu, dan diulis: E = i Hukum OHM = konsana proporsional disebu sebagai resisansi dari resisor 20

21 Dua elemen pening lainnya adalah indukor dan kapasior Sebuah indukor melawan suau perubahan dalam arus, Mempunyai efek inersia dalam elecriciy yang sama dengan masa dalam bidang mekanik (analogi bid lisrik dengan mekanik) Eksperimen menghasilkan hukum beriku: Penurunan egangan E L yg melewai sebuah indukor proporsional hd nilai perubahan arus i pada saa iu, dan diulis : E Aplikasi pada angkaian Lisrik L = di L d (PD Linier Orde 1) L = konsana proporsional disebu sebagai indukansi dari indukor 21

22 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Kapasior adalah suau elemen yg menyimpan energi, Eksperimen menghasilkan hukum beriku: Penurunan egangan E C yang melinasi sebuah kapasior proporsional erhadap muaan lisrik (elecric charge) Q pada kapasior, diulis : EC 1 = Q C C = kapasiansi (farad) dan muaan Q diukur dalam coulomb Sejak dq i = d 1 EC = i(*) d * C 0 22

23 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Unuk arus i() dalam suau rangkaian dapa dicari dari persamaan-persamaan yang didapakan dari hukum fisik beriku: Jumlah penurunan egangan pada suau loop eruup sama dengan NOL (KVL) Conoh 1: Perhaikan rangkaian L seri beriku E() + - i L Hiung arus yang mengalir, bila: a. E() = E 0 = Konsan b. E() = E 0 sinω Ke.: gunakan cara PD linier orde 1 23

24 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Jawab 1a. L seri : E()=E 0 =konsan (Consan Elecromoive Force) Dari KVL, E dan E L didapakan model maemaika dari L seri : di( ) L + i( ) = d E( ) 24 Dengan menggunakan PD linier orde 1, didapakan PUPDnya: i( ) i( ) = E L 0 = e e E 0 + ce L L d + c unuk yang lama maka i() konsankee 0 /

25 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Jadi dari persamaan arus lisrik i() yg didapakan di aas (baris erakhir) erliha bhw arus idak berganung dari konsana dasar c, arinya berapapun besar c, arus eap konsan ke E 0 /. Unuk Penyelesaian parikulir (penyelesaian khusus/pkpd) pada kondisi awal i(0)=0, didapakan persamaan arus: i( ) i( ) = = E 0 E 0 1 e 1 e L τ L τ L = L/ dinamakan konsana waku indukif dari rangkaian 25

26 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Skesa grafik kua arus i() persamaan erakhir: E 0 i() 26

27 27 Jawab 1b. L seri : E()= E 0 sinω (Periodic Elecromoive Force) Dengan menggunakan PD linier orde 1, didapakan PUPDnya: ( ) L L E ce i L L E ce i c d e L E e i L L L L ω δ δ ω ω ω ω ω ω ω arcan ) sin( ) ( cos sin ) ( sin ) ( = + + = + + = + = Pada suku perama, unuk yang besar (infiniy) nilainya menuju NOL, sehingga i() akhirnya mengalami gearan harmonisa. Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1)

28 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Skesa grafik dari fungsi arus yg didapakan: i() suku eksponensial L ce ω Seady sae 28

29 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Pengerian fisis dari soal L seri di aas adalah: Sebuah sisem elekrik aau dinamik dikaakan dalam kondisi seimbang (seady sae) pada saa variabel-variabelnya (misal arus) merupakan fungsi periodik aau konsan Sisem iu dikaakan dalam kondisi ransien (ransien sae) pada saa idak dalam kondisi seady sae (unseady sae) Variabel-variabel yg bersesuaian dinamakan : fungsi seady sae dan fungsi ransien Pada conoh 1 di aas: Fungsi seady sae uk soal 1a. adl: E 0 / Fungsi seady sae uk soal 1b. adl: E0 sin( ω δ ) ω L 29

30 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Pengerian fisis dari soal L seri di aas adalah: Sebelum arus mencapai sedy sae, pasi melalui kondisi ransien lebih dahulu Kondisi ransien ini erjadi karena indukor dan kapasior menyimpan energi, dan arus indukor sera egangan kapasior yg bersesuaian idak dapa diubah dengan iba-iba Secara prakis, kondisi/masa ransien ini erjadi dalam waku yang singka 30

31 Aplikasi pada angkaian Lisrik (PD Linier Orde 1) Conoh 2: Perhaikan rangkaian C seri beriku E() + - i C Hiung arus yang mengalir, bila: a. E() = E 0 = Konsan b. E() = E 0 sinω Ke.: gunakan cara PD linier orde 1 31

32 SOAL 1. Dapakan penyelesaian conoh 1a. yg memenuhi kondisi awal i(0)=0.5e 0 / dan gambarkan skesa grafiknya. 2. Dalam conoh 1a., bila =20 ohm, L=0.03 milihenry, dan i(0)=0, hiung waku pada saa arus i mencapai 99.9% dari nilai akhir. 3. Dalam conoh 1a., bila E 0 =100 vol, =1000 ohm, dan L=4 henry. Hiung τ L, gambarkan skesa grafik i(), hiung E dan E L. 4. Berapa nilai L yang dipilih, dalam sebuah L seri dengan =100 ohm unuk arus yang mencapai 99.9% dari nilai akhir saa =0.01 deik? 5. Sebuah C seri dengan =200 ohm dan C=0.1 farad diberi muaan (dari sumber E()=E 0 =12 vol).hiung egangan pada kapasior E C dengan anggapan bahwa saa =0 kapasior belum diberi muaan. 6. Tenukan arus i() dalam rangkaian C seri dengan asumsi E=100 vol, C=0.25 farad, dan adalah variabel yg mengikui persamaan =(100-) ohm unuk de, dan =0 unuk >100 de. Kondisi awal i(0)=1 ampere. 32

33 SOAL 7. Tunjukkan bahwa persamaan differensial C seri (dalam arus i()) dapa dirubah menjadi persamaan dalam muaan Q(): C(dQ/d) + (1/C)Q = E() Selesaikan persamaan sb uk E()=0 dengan asumsi Q(0)=Q Dari persamaan muaan pada C seri, bila =20 ohm, C=0.01 farad dan E()=60e-2 vol, dengan asumsi Q(0)=0, hiung Q() dan ampilkan skesa grafiknya. Tenukan juga waku yg dibuuhkan unuk Q() yang maksimum. 9. Hiunglah arus i() dari rangkaian L seri, dengan =1ohm, L=100 henry, kondisi awal i(0)=0, dan sumber egangan E() seperi pada gambar di bawah ini E()

34 SOAL 10.Tenukan oupu dari L seri bila nilai awal i(0) = 0 34

35 Tugas 3 Kerjakan soal-soal di aas 4 nomer dari 9 nomer (pilih sembarang). Kumpulkan 2 mingg. Lagi. 35

36 36