MATEMATIKA IV. MODUL 9 Transformasi Laplace. Zuhair Jurusan Teknik Elektro Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 )

Transkripsi

1 MATEMATIKA IV MODUL 9 Tranformai Laplace Zuhair Juruan Teknik Elektro Univerita Mercu Buana Jakarta 2007 年 2 月 6 日 ( 日 )

2 Tranformai Laplace Tranformai Laplace adalah ebuah metode yangdigunakan untuk menyeleaikan peramaan diferenial yang berkaitan dengan problema nilai awal dan nilai bata. Proe penyeleaiannya terdiri ata 3 langkah utama, yaitu:. Problema rumit yang diberikan ditranformaikan ke dalam peramaan ederhana (peramaan tambahan). 2. Peramaan tambahan dieleaikan emata-mata dengan manipulai aljabar. 3. Penyeleaian peramaan tambahan ditranformaikan kembali untuk memperoleh penyeleaian problema yang diberikan. Dalam ituai ini tranformai Laplace mengubah problema penyeleaian peramaan diferenial ke dalam problema aljabar. Langkah ketiga dibuat lebih mudah dengan tabel yang peranannya erupa dengan tabel integral dalam problema integrai. Tabel ini juga bermanfaat dalam langkah pertama. Metode tranformai Laplace digunakan lua dalam matematika teknik untuk aplikai numerik berbagai problema mekanika dan elektrika. Metode ini ecara khuu digunakan untuk problema, mialkan gaya gerak mekanika yang mempunyai dikontinuita yang bekerja pada waktu ingkat atau periodik yang bukan emata-mata berbentuk inu atau koinu. Keunggulan lain dari metode ini adalah tranformai Laplace dapat menyeleaikan problema ecara langung. Tentu aja problema nilai awal dapat dieleaikan tanpa haru menentukan penyeleaian umumnya terlebih dahulu. Demikian pula, peramaan diferenial tak homogen dapat dieleaikan tanpa haru menyeleaikan peramaan homogennya terlebih dahulu. Tranformai Laplace Andaikan f(t) adalah fungi yang diberikan dan didefiniikan untuk emua waktu t lebih bear dari nol (t 0). Fungi f(t) dikalikan dengan e -t dan diintegraikan terhadap t dari nol hingga tak hingga. Lalu jika hail integralnya ada, dan merupakan fungi dari, katakanlah F(), maka, F() = e -t f(t) dt 0 2

3 diebut tranformai Laplace dari fungi original f(t) dan akan dinotaikan dengan (f). Jadi, F() = (f) = e-t f(t) dt...() 0 Operai yang baru ditunjukkan, yang menghailkan F() dari fungi f(t) yang diberikan, diebut tranformai Laplace. Tranformai Inver Selanjutnya fungi original f(t) dalam peramaan () diebut tranformai inver dari F() dan akan dinotaikan dengan - (F) ehingga dapat ditulikan, f(t) = -(F)...(2) Pada umumnya fungi original dinyatakan dengan huruf kecil dan tranformainya dengan huruf kapital yang ama ehingga F() menyatakan tranformai dari f(t) dan Y() menyatakan tranformai dari y(t), dan ebagainya. CONTOH. Jika f(t) = untuk t 0, tentukanlah F(). Penyeleaian: Dengan menggunakan peramaan () dapat diperoleh, F() = (f) = () = e -t dt = e -t 0 0 Selang integrai dalam peramaan () adalah tak hingga dan integral emacam ini diebut integral tak wajar. Oleh karena itu menurut definii haru dihitung dengan aturan, T e -t f(t) dt = lim e -t f(t) dt 0 T 0 Maka penulian yang tepat adalah, T e -t dt = lim [ e -t ] 0 T 0 3

4 Jadi, CONTOH 2. = lim [ e - + e 0 ] = T () = Jika f(t) = e at untuk t 0, dimana a adalah kontanta, tentukan F(). Penyeleaian: Sekali lagi, dengan menggunakan peramaan () dapat diperoleh, F() = (f) = (e at ) = e -t e at dt 0 = e -(-a)t a 0 Oleh karena itu, jika a > 0, maka F() = (e at ) = a Kita tidak haru mendapatkan tranformai Laplace dengan cara langung dari definii dalam peramaan () karena tranformai Laplace mempunyai banyak ifat umum yang berguna untuk tujuan di ata. Linearita Tranformai Laplace Salah atu ifat yang angat penting dari tranformai Laplace adalah ifat linearita eperti yang dimiliki difereniai dan integrai. Tranformai Laplace adalah operai linear untuk ebarang fungi f(t) dan g(t) yang tranformai Laplacenya ada dan ebarang kontanta a dan b, {a f(t) + b g(t)} = a {f(t)} + b {g(t)}.....(3) 4

5 CONTOH 3. Jika f(t) = coh at = ½(e at + e -at ), tentukanlah F(). Penyeleaian: Dari ifat linearita dan CONTOH 2, diperoleh, yaitu jika > a (a 0). Jadi, F() = {f(t)} = (coh at) = ½ (e at ) + ½ (e -at ) = ½ [/( a) + /(+a)] F() = (coh at) = 2 a 2 CONTOH 4. Tentukanlah tranformai Laplace dari fungi berikut: Dengan menggunakan peramaan (), didapatkan tranformai Laplace, F() = e -t f(t) dt 0 c = k e -t dt + 0 e -t f(t) dt 0 c k c = e -t 0 = k [e -c e 0 ] / = k [ e -c ] / 5

6 CONTOH 5. Jika f(t) = coh at = ½(e at + e -at ), tentukanlah F(). Penyeleaian: Dari ifat linearita dan CONTOH 2, diperoleh, yaitu jika > a (a 0). Jadi, CONTOH 6. F() = {f(t)} = (coh at) = ½ (e at ) + ½ (e -at ) = ½ [/( a) + /(+a)] F() = (coh at) = 2 a Tentukanlah tranformai inver Laplace dari fungi F() = Penyeleaian: Penyebut fungi F(), dapat difaktorkan menjadi ( 3)( 2) dan fungi F() dapat diubah ke dalam bentuk, F() = = ( 3)( 2) Fungi F() haru dipiahkan menjadi, 3 7 A B F() = = + ( 3)( 2) 3 2 dengan A dan B adalah kontanta, ehingga, 3 7 A ( 2) B( 3) = + ( 3)( 2) ( 3)( 2) ( 3)( 2) 3 7 (A + B) (2A + 3B) = ( 3)( 2) ( 3)( 2) Kontanta A dan B dapat ditentukan dengan mempertimbangkan keamaan, 3 7 = (A + B) (2A + 3B) 6

7 maka, A + B = 3 2A + 3B = 7, dan didapatkan A = 2 dan B =. Dari CONTOH akhirnya kita peroleh tranformai inver Laplace, f(t) = - { F() } = - { } = - { + } = { } + - { } = 2 e 3t + e 2t 3 2 Beberapa fungi elementer f(t) dan tranformai Laplacenya diajikan dalam Tabel. Formula, 2 dan 3 dalam Tabel merupakan kau khuu. Formula 4 mengikuti formula 5 dan Г(n+) = n! dimana n adalah bilangan bulat tak negatif. Formula 5 dapat dibuktikan dengan mengerjakannya dari definii. Formula 6 dibuktikan dengan CONTOH 2. Formula 7 dan 8 dibuktikan dengan memaukkan a = iω ke dalam formula 6. Formula 9 dibuktikan dalam CONTOH 3 dan formula 0 dapat dibuktikan dengan cara erupa. Tabel. Beberapa fungi elementer f(t) dan tranformai Laplace {f(t)}. f(t) f(t) (f) (f) t t 2 t n (n=,2,...) t a (a poitif) 2 2! 3 n! n+ Г(a+) a e at co ωt in ωt coh at inh at a 2 + ω 2 ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 - a 2 7

8 SOAL-SOAL Tentukanlah tranformai Laplace dari fungi berikut (a, b, T, ω dan Θ adalah kontanta).. 3t at + b 3. t 2 + at + b 4. (a + bt) 2 5. in (2nπt/T) 6. in (ωt + Θ) 7. co (ωt + Θ) 8. in 2 t 9. co 2 t 0. coh 2 3t. e at+b 2. inh 2 2t 8

9 Tentukanlah f(t) bila F() = (f) diketahui ebagai berikut: π 7. + π (+ )( + 2) p q r