MATEMATIKA IV. MODUL 12 Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace

Transkripsi

1 MATEMATIKA IV MODUL 2 Difereniai dan Integrai Tranformai Laplace Zuhair Juruan Teknik Elektro Univerita Mercu Buana Jakarta 2008 年 0 月 3 日 ( 日 )

2 Difereniai dan Integrai Tranformai Laplace Tranformai Laplace memiliki banyak ifat umum yang cukup menakjubkan yang kita dapat gunakan untuk mendapatkan tranformai atau tranformai inver Laplace-nya. Tentu aja, metode-metode untuk mencapai tujuan itu didaarkan pada ifat-ifat itu endiri eperti integrai langung, pemanfaatan linearita, pergeeran dan difereniai atau integrai dari fungi original ƒ(t). Dalam modul ini kita mempertimbangkan difereniai dan integrai dari tranformai Laplace F() dan mendapatkan operai yang berkorepondeni untuk fungi original ƒ(t). Difereniai Tranformai Laplace Dapat diperlihatkan bahwa bila ƒ(t) memenuhi kondii teorema yang ada dalam modul 9 dan derivatif dari tranformai Laplace yang berkorepondeni, F() = (f) = e -t ƒ(t) dt 0 Berkenaan dengan dapat diperoleh dengan difereniai di bawah tanda integral berkenaan dengan. Jadi, Konekueninya, bila (ƒ) = F(), maka, F () = e -t { t ƒ(t) } dt 0 { t ƒ(t) } = F ()...() Difereniai tranformai fungi yang berkorepondeni dengan multiplikai fungi dengan t. Sifat tranformai Laplace ini memungkinkan kita memperoleh tranformai baru dari yang telah diberikan. CONTOH. t in ωt Carilah tranformai Laplace dari ƒ(t) = Penyeleaian: Dari peramaan () di ata dan formula 8 dalam Tabel, created by zuhair 2

3 kita peroleh, ω (in ωt) = 2 + ω 2 d ω d (t in ωt) = { } = {ω ( 2 + ω 2 ) - } = d 2 + ω 2 d ω ( 2 + ω 2 ) -2 2 = ( 2 + ω 2 ) 2 Dengan membagi hail di ata dengan, kita dapatkan, t in ωt { } = ( 2 + ω 2 ) 2 CONTOH 2. in ωt ωt co ωt Carilah tranformai Laplace dari ƒ(t) = 3 Penyeleaian: Serupa dengan CONTOH, dari peramaan () dan formula 7 dalam Tabel, (co ωt) = 2 + ω 2 kita peroleh, d (t co ωt) = { } d 2 + ω 2 ( 2 + ω 2 ) 2 2 = { } ( 2 + ω 2 ) 2 2 ω 2 = ( 2 + ω 2 ) 2 ehingga, in ωt ωt co ωt { } = (in ωt ωt co ωt) = 3 3 created by zuhair 3

4 ω ω( 2 ω 2 ) { (in ωt) ω (t co ωt) } = { } = ω 2 ( 2 + ω 2 ) 2 ω( 2 + ω 2 ) ω( 2 ω 2 ) 3 = { } = = 3 ( 2 + ω 2 ) 2 3 ( 2 + ω 2 ) 2 ( 2 + ω 2 ) 2 CONTOH 3. in ωt + ωt co ωt Carilah tranformai Laplace dari ƒ(t) = Penyeleaian: Tranformai Laplace dari ƒ(t) adalah, in ωt + ωt co ωt { } = (in ωt + ωt co ωt) = ω ω( 2 ω 2 ) { (in ωt) + ω (t co ωt) } = { + } = 2 + ω 2 ( 2 + ω 2 ) 2 ω( 2 + ω 2 ) + ω( 2 ω 2 ) 2 ω 2 2 = { } = = ( 2 + ω 2 ) 2 ( 2 + ω 2 ) 2 ( 2 + ω 2 ) 2 Tabel 5 memperlihatkan tranformai Laplace yang diperoleh dari CONTOH, 2 dan Tabel 5. Aplikai difereniai tranformai Laplace. ƒ(t) (in ωt ωt co ωt) 3 t in ωt (in ωt + ωt co ωt) (ƒ) ( 2 + ω 2 ) 2 ( 2 + ω 2 ) 2 2 ( 2 + ω 2 ) 2 created by zuhair 4

5 Integrai Tranformai Laplace Dengan cara erupa, jika f(t) memenuhi kondii yang ada dalam teorema di ƒ(t) modul 9 dan limit dimana t mendekati 0 dan limit terebut eki, maka, t ƒ(t) { } = F(š) dš.....(2) t dalam model ini, integrai tranformai fungi ƒ(t) berkorepondeni dengan pembagian ƒ(t) dan t. Dari definii tranformai Laplace, peramaan (2) dapat dituli ke dalam bentuk, F(š) dš = { e-št ƒ(t) dt } dš 0 dan dapat diperlihatkan bahwa integrai peramaan di ata dapat ditukar, yaitu, Integral terhadap š dapat dihitung ebagai berikut, F(š) dš = { e -št ƒ(t) dš } dt = ƒ(t) { e -št dš } dt = 0 0 ehingga, e -št dš = e -št = (e - e -t ) = e -t t t t ƒ(t) ƒ(t) F(š) dš = e -t { } dt = { } 0 t t dan tranformai inver Laplacenya adalah, CONTOH 4. ƒ(t) - { F(š) dš } = t ω 2 Carilah tranformai inver Laplace dari fungi ln ( + ) 2 Penyeleaian: Kita tulikan, created by zuhair 5

6 Dengan difereniai, ω 2 F(š) dš = ln ( + ) 2 d d ω 2 { F(š) dš } = { ln ( + ) } d d 2 d 2 + ω 2 F() = { ln ( ) } d 2 d = { ln ( 2 + ω 2 ) ln ( 2 ) } d 2 2 = 2 + ω 2 dimana ekualita terakhir dapat diverifikai ecara mudah dengan perhitungan langung. Dari Tabel, kita peroleh, 2 2 ƒ(t) = - { F() } = - { } = 2 2 co ωt 2 + ω 2 Fungi ini memenuhi kondii yang ditampilkan dalam peramaan (2), Karena itu, Hail kita adalah, ƒ(t) { } = F(š) dš t ω 2 f(t) - {ln ( + )} = - { F(š) dš } = 2 t ω {ln ( + )} = ( co ωt) 2 t CONTOH 5. Carilah tranformai inver Laplace dari fungi F() = arc cot ( / ω) created by zuhair 6

7 Penyeleaian: Dengan cara erupa kita tulikan, Dengan difereniai, F(š) dš = arc cot ω d d { F(š) dš } = {arc cot } d d ω Mialkan, Θ = arc cot ( / ω) cot Θ = / ω, in Θ = ω / ( 2 + ω 2 ), co Θ = / ( 2 + ω 2 ) Difereniai ekprei ini menghailkan, d(cot Θ) = d( / ω) coec 2 Θ dθ = d / ω dθ / d = / (ω coec 2 Θ) = in 2 Θ / ω = in 2 Θ / ω ehingga, Dari Tabel, kita peroleh, = ω / ( 2 + ω 2 ), d d { F(š) dš } = {arc cot } d d ω F() = dθ / d = ω / ( 2 + ω 2 ) ƒ(t) = - { F() } = - { ω / ( 2 + ω 2 ) } = in t Fungi ini memenuhi kondii yang ditampilkan dalam peramaan (2), Karena itu, Hail kita adalah, ƒ(t) { } = F(š) dš t ƒ(t) - {arc cot ( / ω)} = - { F(š) dš } = t created by zuhair 7

8 CONTOH 6. in t - {arc cot } = ω t Carilah tranformai inver Laplace dari fungi F() = ln [ ] 2 + Penyeleaian: Dengan cara erupa kita tulikan, F(š) dš = ln [ ] 2 + Ekprei ini didiferenialkan, d d { F(š) dš } = { ln [ ] } d d 2 + d F() = { ln ln ( 2 + ) } d 2 = 2 + Dengan memanfaatklan Tabel, diperoleh, ƒ(t) = - { F() } = - { 2 / ( 2 + ) } = 2 co t Fungi ini memenuhi kondii yang ditampilkan dalam peramaan (2), Karena itu, ƒ(t) { } = F(š) dš t ƒ(t) - {ln [ ]} = - { F(š) dš } = 2 + t Hail kita akhirnya adalah, 2 co t - {ln [ ]} = 2 + t created by zuhair 8

9 SOAL-SOAL Tentukanlah tranformai Laplace dari fungi ƒ(t) berikut,. t co 2t 2. t e 2t 3. t coh t 4. t 2 e t 5. t inh 2t 6. t 2 inh 2t 7. t 2 co ωt 8. t e -2t in ωt Tentukanlah ƒ(t) bila (ƒ) didefiniikan ebagai berikut, 9. ( + ) ( a) 3 2. ( 2 4) 2 + a 2. ln + b 3. ln ln ( ) 2 5. arc cot ( + ) created by zuhair 9