II. LANDASAN TEORI. fungsi yang dicari dan turunannya. Suatu persamaan diferensial biasa (PDB)

Transkripsi

1 II. LANDASAN TEORI. Persamaa Diferesial Persamaa diferesial merupaa suatu persamaa ag melibata suatu fugsi ag dicari da turuaa. Suatu persamaa diferesial biasa PDB jia fugsi ag dietahui haa terdiri dari satu variabel bebas. Jia fugsi ag dicari terdiri dari dua atau lebih variabel bebas disebut persamaa diferesial parsial PDP Braso da Costa, 7... Persamaa Diferesial Liier Orde- Betu persamaa diferesial sebagai beriut: d d d P P P P... d d d d P Q d dimaa P, P, P,., P, Q adalah fugsi dari atau ostata. Suatu persamaa diferesial orde- ag tida dapat ditulis dalam betu seperti di atas disebut tida liier. Peulisa persamaa diferesial liier orde- juga dapat megguaa operator D, dimaa: d d D, D,., D d d d, sebagai beriut: d P D P D P D P D P Q

2 5 atau: P D P D P D P D P Q da F D P D P D P D P D P diamaa poliomial operator dalam D. Jia semua P P, P,., P, adalah ostata maa disebut persamaa diferesial liier orde- dega oefisie ostata, jia tida semua P P, P,., P, merupaa ostata ada atau semuaa merupaa fugsi dari maa disebut persamaa diferesial liier orde- dega oefisie variabel, jia Q maa disebut persamaa diferesial liier homoge orde- da jia Q disebut persamaa diferesial liier ta homoge orde-. Solusi umum persamaa diferesial liier ta homoge orde- adalah jumlah dari fugsi omplemeter solusi omplemeter Y c dega solusi partiuler solusi husus Y p dari persamaa diferesial ii, ag berarti bahwa: Y Y c p fugsi omplemeter solusi omplemeter Y c merupaa solusi umum persamaa diferesial liier homoge Kartoo,... Persamaa Diferesial Cauch Euler. Salah satu betu persamaa diferesial liier dega oefisie variabel adalah pada persamaa diferesial liier Cauch, ag berbetu:

3 6 d d d d P P P... P P Q d d d d Atau betu dalam poliomial operator D, aitu: P D P D P D... P D P Q dimaa d D, da P, P,..., P adalah osta Kartoo,. d.. Persamaa Diferesial Legedre Persamaa diferesial liier Legedre mempuai betu umum sebagai beriut: d d d P a b P a b... P a b P Q d d d Atau dalam betu poliomial operator D : P a b D P a b D... P a b D P Q dimaa d D, da P, P,..., P adalah osta Kartoo,. d. Teorema Biomial Pejumlaha suu seperti dalam aljabar disebut biomial. Teorema biomial adalah rumus pejabara bilaga bulat ta egatif. Utu ag ecil, pejabara dapat dilaua dega mudah da serig dijumpai. Utu, Utu,

4 7 Utu, Utu, Utu , 4 da seterusa. Koefisie oefisie sama dega apa ag dilihat pada tabel segitiga pascal. Utu 4 misala, oefisie berturut-turut adalah, 4, 6, 4,, ag semuaa sama dega ilai segitiga pascal utu 4. Koefisie oefisie merupaa suatu ombiasi, seperti ag diataa dalam teorema Biomial beriut ii. Teorema. Misala a da b adalah bilaga bilaga rill da adalah bilaga bulat ta egatif, maa: Buti: Teorema Biomial aa dibutia dega idusi matematia. Basis : aa dibutia bahwa teorema utu, aitu bahwa: Ruas iri : berapapu harga da.

5 8 Ruas aa:. Terlihat bahwa Idusi : misala teorema bear utu. Jadi: Aa dibutia bahwa teorema juga bear utu, aitu bahwa: Dega megguaa ebeara hipotesis maa didapat:

6 9.. meurut idetitas pascal, r r r sehigga : Aa tetapi da sehigga: Terbuti bahwa teorema juga bear utu, sehigga terbuti bahwa: Jog, JK,.. Formula Biomial Leibiz utu Turua. Misala f da g mempuai turua e-,,,,, maa : g f fg Formula ii dieal sebagai formula Biomial Leibiz turua.

7 . Deret Pagat Metode deret pagat aa meghasila peelesaia persamaa diferesial dalam betu deret pagat. Suatu deret dalam pagat dari merupaa deret ta higga ag berbetu: a a a a dimaa a, a, a, adalah oefisie deret, disebut pusat dari deret da peubah. Jia maa diperoleh suatu deret pagat dalam aitu: a a a a..kartoo,... Metode Deret Talor. Deret Talor dapat meghasila suatu deret, emudia deret tersebut dapat diguaa sebagai peelesaia dari suatu persamaa diferesial. Beberapa emugia deret aa meghasila deret ag legap, da emugia ag lai tida dapat area dimugia deret tersebut tida dapat dierjaa dega mudah utu memperoleh deret ag legap. Deret Talor dapat diguaa dega cara lai utu memperoleh suatu hampira pada ilai peelesaia dari suatu masalah ilai awal pada ilai-ilai tertetu. Diberia masalah ilai awal: ' f,, b..

8 Aa diperoleh barisa i, i i ag terleta deat pada urva peelesaia pada selag,b. Igat bahwa perataa deret Talor dari peelesaia diseitar berbetu:! dega megambil h, didapat: h h! ' f, h h ''! ''! h h '''! '''! h h.... l l Jia deret Talor dihampiri ' h.. h, l! diataa bahwa hampira itu adalah suatu hampira Talor orde l. Meurut etetua ii, metode Euler adalah hampira dari Talor orde l. Jia dimisala turua parsial f, dari tiap orde ujud pada, maa persamaa diferesial. dapat diguaa utu meetua tiap,,,. da ahira Fiizio da Ladas, 988.

9 .4 Keovergea Defiisi. Deret ta terhigga barisa jumlah-jumlah parsial a overge da mempuai jumlah S, apabila S overge meuju S. Apabila S diverge, maa deret diverge. Suatu deret ag diverge tida memilii jumlah. Defiisi. Barisa u diataa overge jia lim u ada da terbatas. Jumlah suu pertama barisa ta terhigga u disebut jumlah bagia, sehigga S u i i, sedaga jumlah suu-suu sisaa diberi otasi R, aitu R u u... Atau R u i, berarti : u u u. S R i. Barisa deret-deret: S, S, S,..., S, S,, diataa overge jia lim S ada da terbatas. S Sifat-sifat deret ta higga: a. Jia deret S u overge maa lim u b. S u, lim u, maa deret diverge.

10 c. Jia deret S u, u da mempuai batas maa dereta overge. Defiisi. Deret f overge jia deret tersebut mempuai limit jumlah ag juga merupaa fugsi, misal F pada daerah defiisia Gazali da Soedadatmodjo, 7. Teorema. Uji Keovergea Mutla. Apabila u overge maa u overge. Buti: Adaia v u u, sehigga u v u Oleh area v u maa v overge meurut uji badig biasa. Sehigga meurut Teorema Keliiera v u u overge. Sebuah deret u diamaa overge mutla apabila u overge. Jadi meurut teorema uji eovergea mutla, eovergea mutla megaibata eovergea. Semua pegujia utu eovergea deret ag suu-suua positif berlau pula utu eovergea mutla deret ag megadug suu-suu egatif.

11 4 Teorema. Himpua eovergea sebuah deret uasa deret pagat a selalu berbetu selag ag berupa salah satu dari etiga jeis beriut: i Satu titi. ii Selag,, mugi mecaup salah satu titi ujuga atau dua ujuga. iii Seluruh himpua bilaga. Dalam i, ii, da iii diataa bahwa radius eovergea masigmasig adalah,, da. Buti: Adaia deret overge di. Maa lim a, sehigga ada N dega a utu N, jadi utu setiap dega diperoleh: a a Hubuga ii berlau utu semua N. Oleh area / deret geometri dega hasil bagi urag dari, maa deret ii overge. Jadi berdasara uji badig biasa, a overge. Telah diperlihata apabila sebuah deret uasa overge di, deret tersebut overge mutla utu setiap sedemilia sehigga.

12 5 Teorema.4 Uji Jumlah Terbatas. Suatu deret a ag suua ta egatif, adalah overge, jia da haa jia jumlah parsiala terbatas di atas. Buti Misala S a a a. Oleh area a... a, maa S S ; jadi S adalah barisa a tida turu meurut teorema barisa mooto ag berbui : Apabila U suatu batas atas utu suatu barisa ta turu a, maa barisa ii overge meuju suatu limit A ag urag dari atau sama dega U. Begitu pula, apabila L suatu batas bawah utu suatu barisa ag ta ai b, maa barisa b itu overge meuju suatu limit B lebih dari atau sama dega L. Maa barisa S aa overge, apabila ada bilaga U sehigga S U utu semua. Apabila tida, S aa melampaui tiap bilaga da dalam hal ii, S diverge. Sebuah deret ag suu-suua urag dari suu ag seleta dari suatu deret overge seharusa overge, sebuah deret ag suu-suua lebih besar dari pada suu-suu ag seleta deret diverge seharusa diverge. Dega ata lai, dituaga dalam teorema beriut: Teorema.5 Uji Badig. Adaia utu N berlau a b i ii jia b overge, maa a overge. jia a diverge, maa b diverge.

13 6 Buti: Adaia N ; apabila N, butia haa lebih suar sediit utu membutia i, adaia S a... a a a da perhatia bahwa barisa S adalah barisa ag tida turu. Jia b overge misala dega jumlah B - maa: S b b b b b B Meurut uji jumlah terbatas, maa a overge. Sifat ii dapat dibutia berdasara i; sebab jia b overge, maa a overge. Suatu deret berbetu deret geometri. ar a ar ar., dega a diamaa Jia ada suatu deret geometri berbetu r, maa deret tersebut aa overge apabila r da diverge utu r. Jia deret geometri berbetu p, maa deret tersebut aa overge utu p da aa diverge utu p Purcell d, 99.