BAB 2 LANDASAN TEORI
|
|
- Ridwan Kurniawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB LANDASAN TEORI. Persamaa Diferesial Defiisi. Persamaa diferesial adalah suatu persamaa diatara derivatif-derivatif ag dispesifikasika pada suatu fugsi ag tidak diketahui, ilaia, da diketahui jumlah serta fugsia (Birkhoff, 978). Berdasarka jumlah variabel bebasa persamaa diferesial dibagi dalam dua kelas aitu persamaa diferesial biasa (PDB) da persamaa diferesial parsial (PDP). Defiisi. Persamaa diferesial parsial (PDP) adalah persamaa diferesial ag meagkut turua parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. (Ross, 984: 4) Cotoh : ) u u u t, ) z z z 0.
2 Defiisi.3 Persamaa diferesial biasa (PDB) adalah persamaa diferesial ag meagkut turua biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. (Ross, 984: 4) Cotoh : d ) e si( ) ) ( ) ( ) d 0 Defiisi.4 Tigkat (order) dari persamaa diferesial didefiisika sebagai tigkat dari derivatif tertiggi ag mucul dalam persamaa diferesial. (Nugroho, D.B, 0: ) Cotoh : ) ' 3 0 : PD tigkat ) d 3 d 3 si 3 : PD tigkat 3 Defiisi.5 Derajat (degree) dari suatu persamaa diferesial adalah pagkat dari suku derivatif tertiggi ag mucul dalam persamaa diferesial. (Nugroho, D.B, 0: ) Cotoh : ) 4 3 d d 3 : PD derajat ) 3 4 ( '') ( ') 5 : PD derajat 3
3 Istilah persamaa diferesial pertama kali diguaka oleh Leibiz pada tahu 676 utuk meujukka sebuah hubuga atara diferesial da d dari dua variabel da. Suatu persamaa diferesial biasa ordo satu adalah suatu persamaa ag memuat satu variabel bebas, biasaa diamaka, satu variabel tak bebas, biasaa diamaka, da derivatif dapat diataka dalam betuk d. Suatu persamaa diferesial biasa ordo satu tersebut d f (, ) (.) Dega f (, ) adalah kotiu di da. serigkali persamaa (.) dituliska dalam betuk diferesial baku M(, ) N(, ) d 0 (.) PDB dega ordo, merupaka persamaa dega satu variabel ag dapat dituliska dalam betuk : d d d F(,,,,..., ) 0 (.3) dega f ( ) Jika diambil () sebagai suatu fugsi satu varibel, dega diamaka varibel bebas da diamaka variabel tak bebas, maka secara umum sebuah persamaa diferesial biasa liier da o-liier dapat dituliska sebagai : f,,,..., d d d (Rao, 00) (.4)
4 . Persamaa Diferesial Biasa Liier Defiisi.6 Suatu persamaa diferesial dikataka liier jika tidak ada perkalia atara varibel-variabel tak bebas da turua-turuaa. Dega kata lai, semua koefisiea adalah fugsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 0: 3) Persamaa diferesial liier dapat diklasifikasika berdasarka tigkat (ordo) tertiggi dari turua ag terkadug dalam persamaa diferesial. Pada setiap persama diferesial ag sudah diklasifikasika berdasarka ordo, persama diferesial tersebut juga dapat diklasifikasika mejadi persamaa diferesial liier homoge da persamaa diferesial liier tak homoge... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Satu Suatu persamaa diferesial tigkat satu dikataka liier dalam jika persamaa tidak dapat memuat hasil kali, pagkat atau kombiasi o-liier laia dari atau. Dipuai betuk ag palig umum aitu d F( ) G( ) H( ) Atau mucul dalam betuk ag lebih biasa dega membagika setiap fugsi dega F() sehigga diperoleh d P( ) Q( ) (.5) dimaa P ( ) G ( ) F ( ) da Q ( ) H( ) F ( ) adalah adalah fugsi kotiu atau kostata sembarag. Jika P ( ) 0, maka persamaa dapat diselesaika dega itegrasi
5 lagsug, atau jika Q ( ) 0, maka persmaa adalah terpisahka da juga merupaka persamaa diferesial liier ag homoge. Persamaa (.5) memiliki beberapa kemugkia peelesaia ag terjadi, aitu :. Utuk P ( ) 0 maka persamaa (.5) mejadi persamaa d Q ( ) (.6) Persamaa (.6) dapat diselesaika dega itegrasi lagsug sehigga peelesaia diperoleh Q( ) c (.7). Utuk Q ( ) 0 maka persamaa (.5) mejadi persamaa d P( ) 0 (.8) Persamaa (.8) adalah persamaa diferesial terpisahka. Persamaa diferesial terpisahka (separable differetial equatio) adalah suatu persamaa diferesial biasa tigkat satu ag secara aljabar dapat direduksi ke suatu betuk diferesial baku dega setiap suku tak ol memuat secara tepat satu variabel. 3. Utuk P ( ) da Qadalah ( ) fugsi kotiu maka solusi persamaa (.5) adalah sebagai berikut : Misalka adalah perkalia dua parameter U() da V() sehigga diperoleh U( ) V( ) (.9) d ( ) ( ) U( ) dv V ( ) du (.0)
6 Subtitusika persamaa (.0) ke persamaa (.5) maka dv ( ) du ( ) U( ) V ( ) P( ) U( ) V ( ) Q( ) dv ( ) du ( ) U( ) P( ) V ( ) V ( ) Q( ) (.) Dari persamaa (.) dapat diambil dua persamaa aitu :. dv ( ) P( ) V ( ) 0, sehigga dv ( ) P( ) V ( ) dv ( ) V( ) P( ) (.) dega megitegralka kedua sisi persamaa (.) dv ( ) V( ) P( ) l V ( ) P( ) P( ) V ( ) e (.3). V ( ) du ( ) Q( ), sehigga du ( ) Q( ) V ( ) (.4) Subtitusika persamaa (.3) ke persamaa (.4) diperoleh du ( ) Q( ) e P( )
7 du ( ) Q( ) e P( ) P( ) du ( ) Q( ) e (.5) itegralka persamaa persamaa (.5) P( ) du ( ) Q( ) e P( ) U( ) Q( ) e + c (.6) subtitusika persamaa (.3) da (.6) ke persamaa (.9) P( ) P( ) Q( ) e c e l P( ) P( ) e Q( ) e c e (.7) Berikut merupaka cotoh persamaa diferesial liier tigkat satu. 3 ' e d. ta( ) sec( ).. Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Defiisi.7 Persamaa diferesial biasa tigakat dua dikataka liier jika persamaa diferesial berbetuk d d P( ) Q( ) H( ) (.8)
8 dega P, ( ) Qda ( ) H( ) adalah fugsi dari peubah bebas. (Muzir, said da Marwa, 009).... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Homoge Secara khusus, persamaa diferesial liier tigkat dua homoge mempuai betuk d d P( ) Q( ) 0 (.9) Persamaa diferesial tigkat dua homoge selalu mempuai dua peelesaia ag bebas liier. Jika ( ) da ( ) adalah dua peelesaia ag bebas liier utuk persamaa (.9), maka ( ) c ( ) c ( ) adalah peelesaia umum utuk persamaa (.9) Persamaa Diferesial Liier Homoge Dega Koefisie Kosta Suatu persamaa diferesial dikataka persamaa diferesial liier tigkat dua homoge dega koefisie kostata apabila H ( ) 0, berarti betuka mejadi d d p q 0 (.0) dimaa p da q adalah kostata riil. Persamaa diferesial liier homoge tigkat satu dega koefisie kosta mempuai peelesaia c e. Utuk memperoleh suatu ide megeai perkiraa peelesaia dalam kasus tigkat dua, dicoba utuk meemuka peelesaia
9 persamaa (.0) dalam betuk m e dega m adalah suatu kostata. Didiferesialka peelesaia m e diperoleh m e (.a) m ' me (.b) m '' m e (.c) Persamaa (.a),(.b) da (.c) disubtitusika ke persaamaa (.0) diperoleh akar-akar karakteristik sebagai berikut : m m m m e pme qe 0 m m pm q e 0 m pm q 0 m, p p 4q p p 4q m ; m p p 4q Ada beberapa variasi dari akar-akar karakteristik ag diperoleh dari peelesaia homoge tergatug pada jeis persamaa ag diselesaika. Berikut variasi akar-akar karakteristik ag aka dibahas cara peelesaiaa. a. Bila akar karakteristik m m da bilaga riil ag berbeda, maka peelesaia homogea adalah sebagai berikut : c e c e m m b. Bila akar karakteristik m m da bilaga riil ag tidak berbeda, maka peelesaia homogea adalah sebagai berikut :
10 c c e m c. Bila akar karakteristik bilaga kompleks m, i maka peelesaia homogea adalah : c e c e ( i) ( i) i i ce e ce e c e cos isi c e cos isi c e ( c c )cos ( c c ) isi e Acos Bi si Persamaa Diferesial Liier Homoge Dega Koefisie Peubah Suatu persamaa diferesial dikataka persamaa diferesial liier tigkat dua homoge dega koefisie peubah apabila H ( ) 0, berarti betuka mejdi d d P( ) Q( ) 0 dimaa Pda ( ) Qadalah ( ) fugsi ag kotiu. Pada umuma tidak ada cara utuk meelesaika persamaa diferesial liier homoge dega koefisie peubah secara eksplisit, kecuali persamaa diferesial ag berbetuk khusus, misala persamaa dfieresial tipe Euler da persamaa diferesial tigkat dua ag telah diketahui salah satu peelesaiaa. Pada bagia ii ag aka dibicaraka adalah persamaa diferesial Euler khususa persamaa diferesial Euler tigkat dua. berbetuk Suatu persamaa diferesial Euler adalah suatu persamaa diferesial a a... a ' a 0 (.) ( ) ( ) 0
11 dimaa a, a,..., a, a 0 merupaka kostata-kostata da a 0. Karea koefisie pertama a tidak aka perah ol, selag defiisi persamaa diferesial (.) ialah salah satu dari dua selag terbuka (0, ) atau (,0). Ii berarti, persamaa diferesial itu aka diselesaika utuk 0 atau 0. Persamaa diferesial Euler mugki merupaka tipe termudah dari persamaa diferesial liier dega koefisie peubah. Alasa utuk ii ialah bahwa perubaha peubah bebas t e jika t e jika 0 0 meghasilka suatu persamaa diferesial dega koefisie kostata. Fakta ii dilukiska utuk kasus tigkat dua. Jika maka pada persamaa (.) aka diperoleh a '' a ' 0 (.3) 0 Pada persamaa (.3) merupaka suatu betuk dari persamaa diferesial tigkat dua dimaa a, a da a 0 adalah kostata.... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Tidak Homoge Dega Koefisie Kosta kosta adalah Betuk umum persamaa diferesial liier tigkat dua dega koefisie d d p q H( ) (.4) dimaa :
12 . p da q adalah kostata da H ( ) 0. Liier dalam 3. Turua tigkat dua Utuk meelesaiaka persamaa (.4), dapat dicari peelesaia umum dega jala mejumlahka peelesaia homoge h da peelesaia partikuler p. Tetapi dalam meelesaika persamaa (.4) terlebih dahulu mecari peelesaaia homoge. Dari persamaa (.4) terdapat berbagai betuk kasus H( ) ag mugki terjadi diataraa adalah :. H( ) P ( ), dimaa P ( ) adalah suatu polomial berpagkat.. H( ) P ( ) e, dimaa adalah kostata. 3. H( ) e P ( )cos Q ( )si, dimaa P( ) da Q ( ) adalah suatu polomial berpagkat sedagka da adalah kostata. 4. H( ) M cos N si, dimaa M, N da adalah kostata...3 Persamaa Diferesial Liier Tigkat Tiggi Defiisi.6 Persamaa diferesial liier tigka adalah persamaa difreesial ag memiliki betuk umum: d d d... d 0 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a( ) b( ) (.5) dega a 0, a,..., a, ada b fugsi-fugsi kotiu pada iterval I ag haa bergatug pada saja da a ( ) 0 0. (Ross, 984: 5)
13 .3 Masalah Nilai Awal ( Iitial Value Problem) Suatu persamaa diferesial biasa dega sarat tambaha pada fugsi ag tidak diketahui da derivatif-derivatifa, semua diberika ilai ag sama utuk variabel bebas, merupaka suatu masalah ilai awal (iitial value problem). Sarat tambaha tersebut diamaka sarat awal (iitial coditio). Jika sarat tambaha diberika pada lebih dari satu varibel bebas, diamaka masalah ilai batas (boudar value problem) da sarata diamaka sarat batas. Secara umum, problem persamaa diferesial biasa selalu melibatka ilai awal (iitial-value), ag dapat ditulis sebagai berikut : ( ) f (, ( )), ( 0 ) 0,, 0, (.6) dega kodisi awal ( 0) 0 ag dipaggil sebuah masalah ilai awal (iitial value problem).(verer, 00)..4 Kesalaha (Error) Dalam suatu perhituga matematik, kita selalu berusaha utuk memperoleh jawaba ag eksak, misala utuk meghitug suatu variabel tertetu dari suatu persamaa matematik. Aka tetapi, jawaba ag demikia jarag kita peroleh, maka sebagai solusia diguaka metode umerik. Dalam metode umerik pada tiap lagkah peelesaiaa dari formulasi higga komputasia haa aka meghasilka solusi pedekata (buka solusi eksak). Oleh karea itu peelesaia secara umerik memberika hasil pedekata ag berbeda dega peelesaia secara aalitis. Adaa perbedaa iilah ag serig disebut sebagai error. Dalam metode umerik error serig juga disebut dega istilah error. Hubuga atara ilai eksak, ilai pedekata da error dapat dirumuska sebagai berikut:
14 Nilai eksak = pedekata + error Error absolut suatu bilaga adalah selisih atara ilai sebeara dega ilai pedekata. Secara matematis, jika adalah solusi hampira da solusi eksak, error diataka oleh a adalah a error dapat berilai positif atau egatif. Jika tada error tidak dipertimbagka, error absolut didefiisika sebagai a (.7) dega : a = ilai sebeara = ilai perkiraa = kesalaha absolut (kesalaha terhadap ilai sebeara) Ugkapa kesalaha megguaka rumus di atas kurag begitu bermaka karea tidak meujukka secara lagsug seberapa besar error itu dibadigka dega ilai eksaka. Sebagai cotoh, jika ilai eksaka a = 0 da ilai hampiraa = 0,, error absoluta adalah 0,. Error ag sama aka diperoleh jika a = 8 da = 7,8. Ketika seseorag melaporka hasil perhitugaa 0,, tapa meebutka ilai eksaka, kita tidak medapatka iformasi ag legkap. Istilah kesalaha relatif mucul utuk meghidari salah iterpretasi terhadap ilai error. Kesalaha relatif didefiisika sebagai r a (.8)
15 Aka tetapi, dalam metode umerik, kita tidak megetahui ilai sejatia sehigga sulit utuk medapatka error relatif ii. Utuk megatasi hal tersebut, error dibadigka dega ilai hampiraa (disebut error relatif hampira), aitu r 00% dega : r = kesalaha relatif = kesalaha absolut = ilai perkiraa Di dalam metode umerik serig dilakuka pedekata secara iteratif. Pada pedekata tersebut perkiraa sekarag dibuat berdasarka perkiraa sebeluma. Dalam hal ii, kesalaha adalah perbedaa atara perkiraa sebeluma da perkiraa sekarag, da kesalaha relatif dapat dituliska dalam betuk : dega : r ( - ) : ilai perkiraa pada iterasi ke 00% : ilai perkiraa pada iterasi ke +.4. Pembagia Kesalaha Kesalaha dalam metode umerik disebabka oleh hal-hal berikut, aitu :. Kesalaha Pemotoga (Trucatio Error) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat pegguaa metode itu sediri dalam meelesaika suatu persoala matematika. Kesalaha pemotoga aitu kesalaha ag disebabka karea kita meghetika suatu deret atau rutua dega suku-suku ag tidak berhigga mejadi deret dega suku-suku ag
16 berhigga. Kesalaha ii timbul akibat pegguaa hampira sebagai peggati formula eksak. Biasaa serig terjadi dalam peelesaia umerik dega megguaka deret Talor. Utuk peederhaaa permasalaha biasaa perhatia haa ditujuka pada beberapa suku dari deret Talor tersebut, sedagka suku ag laia diabaika. Pegabaia iilah ag meebabka terjadia kesalaha. Cotoha, hampira fugsi cos() dega Deret Talor : Cos() = /! + 4 /4! + 6 /6! + 8 /8! + 0 /0! +... Pemotoga ilai hampira error pemotoga. Kesalaha Pembulata (Roud-off Error) Kesalaha pembulata merupaka suatu keharusa pada batas ketilitia (batas/titik ambag) aritmatika ag biasaa diguaka dalam metode ag diimplemetasika terhadap komputer. Kesalaha tersebut bergatug pada bilaga da tipe dari operasi aritmatika ag diguaka pada sebuah lagkah. Kesalaha pembulata aitu kesalaha ag disebabka oleh keterbatasa jumlah digit komputer dalam meataka bilaga riil. Bilaga riil ag pajaga melebihi jumlah digit komputer dibulatka ke bilaga terdekat. Secara ormal, kesalaha pembulata tidak begitu diperhitugka pada algoritma aalisis umerik, karea bergatug pada komputer ag algoritma diimplemetasika da merupaka algoritma umerik eksteral. Cotoha, bilaga riil tapa akhir , pada komputer 7 digit diataka sebagai Kesalaha pada data masuka (error i origial data) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat dari gaggua ag ada pada data masuka ag aka diproses, atau adaa iformasi tertetu ag tidak diketahui (ukow iformatio) terikut dalam proses perhituga. Misala pada
17 kebaaka pemodela matematika suatu sistem fisik, biasaa ada suatu faktor ag tidak kelihata pegaruha terikut dalam proses. Hal ii aka meebabka kesalaha pada outputa. 4. Bluders (gross error) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat kesalaha mausia atau mesi hitug ag diguaka, Kesalaha jeis ii bisa dikuragi dega melakuka pekerjaa ag berulag-ulag da memilih mesi hitug ag baik kualitasa..5 Metode Deret Talor Metode deret Talor adalah metode ag umum utuk meuruka rumus-rumus solusi PDB. Metode ii pada dasara adalah merepresetasika solusia dega beberapa suku deret Talor. Metode deret talor juga berkaita dega masalah ilai awal aitu : d f (, ), ( 0) 0 (.9) Disii, kita asumsika bahwa f (, ) adalah fugsi ag dapat dideferesialka sedemikia mugki ag berkeaa dega da. Jika ( ) adalah solusi eksak dari persamaa (.9), kita dapat memperluas ( ) dega deret Talor pada titik 0 da memperoleh ( ) 3 ( 0) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) '( 0) ''( 0) '''( 0)! 3! ( ) 4! 4 0 IV 0 ( )... Jika kita diberika h 0, kita dapat meuliska deret sebagai berikut: ( ) 3 h h ( 0 ) h '( 0 ) ''( 0 ) '''( 0 )! 3!
18 (Gerald, 004) 4 h IV ( 0)... (.30) 4! Persamaa (.30) meiratka bahwa utuk meghitug hampira, ( ) kita perlu meghitug '( 0), ''( 0), '''( 0), IV ( 0),..., ( 0),... ag dapat dikerjaka dega rumus ( k) ( k ) P f ( ) (, ) (.3) ag dalam hal ii k adalah ordo da P adalah operator turua aitu, P f (.3) (Muir, 00) Sehigga dega megguaka persamaa diferesial parsial diperoleh '( ) f (, ) f f d ''( ) f ff (.33a) (.33b) '''( ) f ff f ( ff ff ) f ( f ff ) f ff f f f f ff (.33c) ( ) f ff f f f f ff f f IV ( ) 3 3 ( ) (.33d) 3( f ff )( f ff ) f ( f ff ) da seterusa. Melajutka cara ii, kita dapat meataka turua apa saja dari ag berkeaa f (, ) da turua parsiala.
19 .6 Metode Ruge Kutta Secara perhituga komputer, metode ag palig efisie ag berkeaa dega keakurata dari solusi persamaa diferesial biasa dikembagka oleh dua orag ahli matematika Jerma sekitar tahu 900. Mereka adalah Carl David Tolmé Ruge da Marti Wilhelm Kutta. Metode tesebut dikeal sebagai Metode Ruge-Kutta (RK). Metode ii juga dibedaka dega ordo-ordoa. Metode Ruge-Kutta memperoleh akurasi dari pedekata deret Talor tapa memerluka perhituga derivatif ag lebih tiggi. Peelesaia PDB dega metode deret Talor tidak praktis karea metode tersebut membutuhka perhituga turua f (, ). Lagi pula, tidak semua fugsi mudah dihitug turuaa, terutama bagi fugsi ag betuka rumit. Semaki tiggi ordo metode deret Talor, semaki tiggi turua fugsi ag harus dihitug. Karea pertimbaga ii, metode deret Talor ag berordo tiggi pu tidak dapat diterima dalam masalah praktek. Metode RK adalah alteratif lai dari metode deret Talor ag tidak membutuhka perhituga turua. Metode ii berusaha medapatka tigkat ketelitia ag lebih tiggi, da sekaligus meghidarka keperlua mecari turua ag lebih tiggi dega jala megevaluasi fugsi f (, ) pada titik terpilih dalam setiap selag lagkah. Metode RK adalah metode PDB ag palig popular karea baak dipakai dalam masalah duia ata. Metode Ruge-Kutta meghitug pedekata utuk ( ) dega i i i ilai awal ( ), dimaa i, megguaka ekspasi deret Talor. Utuk i i memperoleh sebuah tahap- metode Ruge-Kutta (fugsi i megevaluasi setiap lagkah) kita peroleh i i h ( i, i; h ), (.34) dimaa (, ; h) a k, i i j j j
20 Sehigga diperoleh i i j j j h a k (.35) Persamaa (.35) merupaka rumus metode Ruge-Kutta Ordo- utuk mecari solusi dari suatu persamaa diferesial, dimaa k adalah j i j i jl l l j k f h p, h q k, (.36) p 0 dari pejabara persamaa (.38) diperoleh k f ( i, i) k f ( p h, q k ) i i k f ( p h, q k q k ) 3 i 3 i 3 3 k f ( p h, q k q k... q k ) i i ( ) ( ) Utuk keamaa, koefisie p,q, da a dari metode Ruge-Kutta dapat ditulis dalam betuk arra Jagal : p q a T Utuk lebih jelasa arra jagal diperlihatka sebagai berikut 0 p q p q q q, a a a a
21 T dimaa p p, p,..., p, a a, a,..., a da q q jl. T Nilai a, p, q dipilih sedemikia rupa sehigga memiimumka error per j j jl lagkah, da persamaa (.35) aka sama dega metode deret Talor dari ordo setiggi mugki. Perhatika bahwa k adalah hubuga ag selalu berulag, k hadir dalam persamaa utuk k, k hadir dalam persamaa k 3, da seterusa. a, p, q merupaka parameter-parameter ag diguaka pada metode Ruge Kutta. j j jl.6. Metode Ruge Kutta Ordo- Dega megambil = pada persamaa (.35) maka metode Ruge Kutta ordo- dapat dituliska dalam betuk umum sebagai berikut : ( a k a k ) h (.37) i i dega k f ( i, i) (.38a) k f ( p h, q k h ) (.38b) i i Supaa dapat megguaka persamaa (.37), kita harus meetuka hargaharga parameter a, a, pda q. Utuk melakuka ii, kita igat bahwa Deret Talor ordo kedua utuk i ag diataka oleh i da f ( i, i) ditulis sebagai berikut : h i i f ( i, i ) h f '( i, i ) (.39)
22 dimaa fugsi f '(, ) harus ditetuka melalui atura ratai diferesiasi : i i f '(, ) i i f f d (.40) Subtitusika persamaa (.39) ke persamaa (.40), diperoleh : i i f ( i, i ) h f f d h (.4) Strategi dasar ag meggarisbawahi meode Ruge-Kutta ialah bahwa metode tersebut megguaka maipulasi aljabar utuk meelesaika harga-harga a, a, p da q, ag mejadika persamaa (.37) da persamaa (.4) ekuivale. Utuk melakuka ii, pertama-tama kita megguaka sebuah Deret Talor utuk memperluas persamaa (.39). Deret Talor utuk suatu fugsi dua variabel didefiisika sebagai : g g( r, s) g(, ) r s g... (.4) memberika : Dega meerapka metode ii utuk memperluas persamaa (.38.b) aka f f f p h q k h f p h q k h h ( i, i ) ( i, i) 0( ) (.43) Hasil ii dapat disubtitusika bersama-sama dega persamaa (.38a) da (.38b) utuk memberika : f f 3 i i ahf ( i, i ) ahf ( i, i ) a ph aqh f ( i, i) 0( h ) (.44)
23 Dega megelompokka suku-sukua diperoleh : f f a f a f h a p a q f h h 3 i i [ ( i, i) ( i, i)] ( i, i) 0( ) (.45) Sekarag badigka persamaa (.44) dega persamaa (.45), sehigga aka diperoleh : a a a p a q Karea ada empat parameter dalam tiga persamaa, maka harus diasumsika satu ilai parameter utuk meetuka tiga parameter laia. Misala ditetuka suatu ilai parameter a, maka diperoleh : a a (.46a) p q a Sarat a 0. (.46b) Karea dapat dipilih tak higga ilai utuk a, maka ada baak solusi utuk metode Ruge-Kutta ordo-. Tiap versi memberika hasil ag sama dega eksaka jika solusi dari persamaa diferesial adalah kuadratik, liier, atau kosta. Tiga versi ag serig diguaka dari metode Ruge-Kutta ordo- adalah :
24 a. Metode Heu dega Korektor Tuggal Jika a diambil sama dega ½, maka dari persamaa (.46) diperoleh pula a, p q. Nilai-ilai ii disubtitusika ke persamaa (.47), maka diperoleh : dega i i ( k k) h k f ( i, i) k f ( h, h k ) i i Perhatika bahwa k adalah slope pada awal iterval, da k adalah slope pada akhir iterval. b. Metode Poligo ag Diperbaiki (Improve Polgo Method) Jika a diambil sama dega 0, maka dari persamaa (.46) diperoleh pula a, p q. Nilai-ilai ii disubtitusika ke persamaa (.47), maka da diperoleh: k h i i dega k f ( i, i) k f ( i h, i h k)
25 c. Metode Ralsto Ralsto (96) da Ralsto & Rabiowitz (978) meataka bahwa pemiliha a aka memberika batas miimum trucatio error utuk Ruge Kutta ordo 3 dua. Jika a, maka 3 a 3 da p 3 q sehigga diperoleh : 4 4 i i k k h 3 3 dega : k f ( i, i) 3 3 k f ( i h, i h k) Metode Ruge Kutta Ordo-3 Seperti hala versi orde dua, maka versi Ruge-Kutta ordo-3 pu ada baak macama. Salah satu versi Ruge Kutta ordo-3 ag dapat dipakai adalah : i i k 4k k3 h 6 dega: k f ( i, i) k f ( i h, i h k) k f ( h, h k h k ) 3 i i
26 .6.3 Metode Ruge Kutta Ordo-4 Metode Ruge Kutta ordo-4 ii juga terdapat dalam baak versi, amu persamaa berikut ii ag serig dipakai, da disebut sebagai metode Ruge-Kutta ordo-4 klasik : i i k k k3 k4 h 6 dega : k f ( i, i) k f ( i h, i h k) k3 f ( i h, i h k) k f ( h, h k ) 4 i i Metode Ruge Kutta Ordo Tiggi Metode Ruge Kutta ordo-5 dituruka oleh Butcher (964) sebagai berikut : i i 7 k 3 k3 k4 3 k5 7 k6 h 90 dega : k f ( i, i) k f ( i h, i h k) 4 4
27 k3 f ( i h, i h k h k) (, ) k4 f ( i h, i h k h k3) k5 f i h i h k h k4 3 8 k5 f ( i h, i h k h k h k3 h k4 h k5)
Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial
Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciAplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital
Aplikasi Iterpolasi Biliier pada Pegolaha Citra Digital Veriskt Mega Jaa - 35408 Program Studi Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 403, Idoesia veriskmj@s.itb.ac.id
Lebih terperinciSolusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP
( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciMETODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM07
METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM07 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pd metode ii, utuk meetuka
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciMETODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09
METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM09 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pada metode ii, utuk
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciBAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL
BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan
Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciPersamaan Non-Linear
Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
Lebih terperinciBAB I BILANGAN KOMPLEKS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN
Lebih terperinciProbabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata
Probabilitas da Statistika da Adam Hedra Brata Dua Peubah Acak dua perubah acah X da Y dega rata-rata da diberika oleh rumus : E(XY) - - - Sifat Sifat Sifat kovariasi utuk X da Y diskrit : f(, ) f(, )
Lebih terperinciB A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
8 B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka d/d dalam iterval,
Lebih terperinciSTATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,
Lebih terperinciGalat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Lebih terperinciPENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR
PENGARUH JENIS TUMPUAN TERHADAP FREKUENSI PRIBADI PADA GETARAN BALOK LENTUR Naharuddi 1 1 Staf Pegajar Jurusa Tekik Mesi, Utad Abstrak. Tujua peelitia ii adalah utuk meetuka ilai frekuesi pribadi getara
Lebih terperincioleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
Lebih terperinciBab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL
Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL 3. Tipe-tipe model Model matematika da model siyal Model matematika adalah deskripsi sistem dimaa hubuga atara variael da siyal model diyataka dalam betuk-betuk
Lebih terperinciBab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
Lebih terperinciBAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARSA DAN FAKTOR DISKON
BAB III ECONOMIC ORDER QUANTITY MULTIITEM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN WAKTU KADALUARA DAN FAKTOR DIKON 3.1 Ecoomic Order Quatity Ecoomic Order Quatity (EOQ) merupaka suatu metode yag diguaka utuk megedalika
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Pengertian
TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciREGRESI DAN KORELASI
REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas
Lebih terperinciAji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperinciPOSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan
POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciPENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.
3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :
JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN TUGAS AKHIR
PENYEESAIAN PERSAMAAN RICCATI DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN TUGAS AKHIR Diajuka Sebagai Salah Satu Sarat Utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais Pada Jurusa Matematika oleh : U K M A N 5565 FAKUTAS
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciIV. METODE PENELITIAN
IV. METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu peelitia Peelitia dilakuka pada budidaya jamur tiram putih yag dimiliki oleh usaha Yayasa Paguyuba Ikhlas yag berada di Jl. Thamri No 1 Desa Cibeig, Kecamata Pamijaha,
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperincix = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.
SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Maajeme risiko merupaka salah satu eleme petig dalam mejalaka bisis perusahaa karea semaki berkembagya duia perusahaa serta meigkatya kompleksitas aktivitas perusahaa
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut
Lebih terperinciBAB IV METODE PENELITIAN
BAB IV METODE PENELITIAN 4.1 Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia sikap kosume terhadap kopi ista Kopiko Brow Coffee ii dilakuka di Wilaah Depok. Pemiliha dilakuka secara segaja (Purposive) dega pertimbaga
Lebih terperinciREGRESI LINIER GANDA
REGRESI LINIER GANDA Secara umum, data hasil pegamata Y bisa terjadi karea akibat variabelvariabel bebas,,, k. Aka ditetuka hubuga atara Y da,,, k sehigga didapat regresi Y atas,,, k amu masih meujukka
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT
Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Transport
Solusi Numerik Persamaa Trasport M. Jamhuri December 16, 2013 Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diskretka persamaa trasport 1) dega megguaka persamaa
Lebih terperinciC (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...
4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciKarakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran
Karakteristik Diamik Eleme Sistem Pegukura Kompetesi, RP, Materi Kompetesi yag diharapka: Mahasiswa mampu merumuskaka karakteristik diamik eleme sistem pegukura Racaga Pembelajara: Miggu ke Kemampua Akhir
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciDasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :
Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral
Lebih terperinci(The Method of Separation of Variables). Metode ini dapat digunakan pada PDP linier, khususnya PDP dengan koefisien konstan.
METODE PEMISAHAN PEUBAH (The Method of Separatio of Variales) Metode ii dapat diguaka pada PDP liier, khususya PDP dega koefisie kosta Tujua Istruksioal : Setelah megikuti perkuliaha mahasiswa dapat: 1
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciContoh Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut :
I. OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA Utuk fugsi dua peubah ) f ag terdiferesial dua kali. Jika di titik ) P dipeuhi :. sarat stasioer)... > maka mecapai ekstrim di ) P. Jika : ekstrim maksimum mecapai maka
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciBAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)
BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu
Lebih terperinciRange atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab
Lebih terperinciOleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal
BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciMETODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR
Buleti Ilmia Mat. Stat. da Terapaa (Bimaster) Volume 0, No. (0), al 07 6. METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR Apriadi, Bau Priadoo, Evi Noviai INTISARI Metode
Lebih terperinciSelang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan
Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN TEORI
BAB 2 TINJAUAN TEORI 2.1 ISTILAH KEENDUDUKAN 2.1.1 eduduk eduduk ialah orag atatu idividu yag tiggal atau meetap pada suatu daerah tertetu dalam jagka waktu yag lama. 2.1.2 ertumbuha eduduk ertumbuha peduduk
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER
Vol.1 No.1 (16) Hal. 38-45 METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER Siar Ismaya, Yui Yulida *, Na imah Hijriati Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi
Lebih terperinci