II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)"

Deddy Widjaja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real dari z da ditulis x = Re(z), (2.2) da bilaga y disebut bagia imajier dari z da ditulis y = Im(z). (2.3) Kojugat dari bilaga kompleks z = x + jy adalah z = x jy. (2.4) Dalam betuk polar, z = x + jy dapat diyataka sebagai z = z (cos θ + si θ) = z e jθ. (2.5) (Fisher 1990). Jika bagia real da/atau bagia imajier dari bilaga kompleks terdiri dari peubah-peubah, maka bilaga kompleks disebut suatu peubah kompleks. Pada trasformasi Laplace, otasi s meyataka sebuah peubah kompleks, yaitu s = σ + jω (2.6) dega σ bagia real, ω bagia imajier (Ogata 1997). Sebuah fugsi kompleks F( adalah suatu fugsi dari s yag mempuyai bagia real da bagia imajier, atau F ( = F x + jf y (2.7) dega F x da F y adalah kuatitas-kuatitas real (Ogata 1997). 2.2 Fugsi Aalitik Defiisi 1 Suatu fugsi dari peubah kompleks z adalah aalitik pada titik z 0, jika fugsi tersebut turuaya ada, tidak haya pada titik z 0, tetapi pada setiap titik z di sekitar z 0. Suatu fugsi adalah aalitik di daerah R, jika fugsi tersebut aalitik pada setiap titik di dalam R (Curchill & Brow 1990).

2 4 2.3 Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace adalah suatu metode yag bermafaat utuk meemuka peyelesaia dari suatu persamaa diferesial dega lebih mudah, yaitu dega cara megubah betuk suatu persamaa diferesial mejadi suatu persamaa aljabar dalam peubah kompleks. Defiisi 2 Misalka f adalah suatu fugsi dari waktu t sedemikia sehigga f( = 0 utuk t < 0, da s adalah suatu peubah kompleks, maka trasformasi Laplace dari f( didefiisika: { } f = F( = e st L ( f ( dt. (2.8) Trasformasi Laplace suatu fugsi f( dikataka ada, jika itegral (2.8) koverge utuk suatu ilai s, jika tidak demikia maka trasformasi Laplace dikataka tidak ada (Ogata 1997). 0 Defiisi 3 (Kotiuitas Sebagia-Sebagia) Suatu fugsi f dari t dikataka kotiu sebagia-sebagia pada iterval [ a,b], jika: (i) iterval [ a,b] dapat dibagi mejadi subiterval-subiterval berhigga bayakya yag meyebabka f ( kotiu pada subiterval-subiterval tersebut, (ii) limit kiri da limit kaa dari f ( pada setiap ujug subiterval berilai higga (Adrews 1991). Defiisi 4 (Terbatas Ekspoesial) Suatu fugsi f mempuyai ekspoe berorder α, jika terdapat kostata M > 0 α t da α sedemikia sehigga utuk beberapa t 0 0, berlaku f () t Me ; t t0. (Schiff 1999).

3 5 Sifat-sifat trasformasi Laplace (1) Sifat liear. Jika L f ( } = F ( ) da L f ( } = F ( ), maka utuk suatu kostata c 1 { 1 1 s { 2 2 s da c 2 berlaku: L { c 1 f1( + c2 f2( } = c1f1 ( + c2f2 (. (2.9) (2) Sifat pergesera. Jika L { f ( } = F (, maka berlaku: L { e at f ( } = F( s a). (2.10) (3) Trasformasi Laplace dari turua fugsi. Jika f (, f& (, & f ( adalah fugsi-fugsi yag kotiu da terbatas ekspoesial, maka berlaku: L { f& ( } = sf( f (0), (2.11) da 2 L { & f ( } = s F( sf (0) f& (0). (2.12) Secara umum, jika 2 ( 1) df ( d f ( d f ( d f ( f (,,, K,, dt 2 ( 1) dt dt dt adalah fugsi-fugsi yag kotiu da terbatas ekspoesial, maka berlaku: 2 1 ( ) d f t 1 2 df (0) d f (0) d f (0) = s F( s f (0) s L s 2 1 dt dt dt dt L (2.13) dega F ( L { f ( } =. (4) Trasformasi Laplace dari itegral fugsi. Jika L { f ( } = F (, maka: (Ogata 1997). t F( L f ( u) du =. (2.14) s Fugsi Alih, Zeros, da Poles Sistem Kotiu Keguaa dari trasformasi Laplace adalah megubah suatu persamaa diferesial mejadi suatu persamaa aljabar. Persamaa aljabar ii selajutya diyataka dalam ekspresi fugsi rasioal. Sehigga ekspresi fugsi hasil

4 6 trasformasi Laplace disebut juga fugsi trasfer atau fugsi alih. Fugsi alih sistem persamaa liear parameter kosta didefiisika sebagai perbadiga dari trasformasi Laplace keluara (fugsi respo) da trasformasi Laplace masuka (fugsi peggera dega megaggap semua ilai awal adalah ol, diyataka dalam betuk: m m 1 Y ( b s + b s + + b s b H s m + ( ) = = 0 1 L 1 m ; m (2.15) U ( 1 s + a1s + L + a 1s + a dega Y( da U( tidak memiliki faktor persekutua (Ogata 1997). Jika pembilag (umerator) da peyebut (deomiator) dari H( pada persamaa (2.15) masig-masig difaktorka, serta keduaya tidak memiliki faktor persekutua (coprime), maka persamaa tersebut dapat diubah mejadi Y( K( s z )( s z ) ( s z H s m) ( ) = = 1 2 L ; dega m. (2.16) U ( ( s p1)( s p2) L( s p) Zeros da poles berturut-turut didefiisika sebagai akar-akar dari persamaa Y( = 0 da U( = 0. Sehigga s = z i dega i = 1,2,, m disebut zeros dari H(, da s = p i dega i = 1,2,, disebut poles dari H(. Jika Re(p i ) < 0, maka poles dikataka stabil, da selaiya poles dikataka takstabil. Jika Re(z i ) < 0, maka zeros mempuyai fase miimum, da selaiya zeros mempuyai fase tidak miimum (Sero et al. 1997). 2.5 Kestabila Sistem Kotiu Diberika sistem persamaa liear fugsi masuka da fugsi keluara sebagai berikut: x &( = Ax( + Bu( (2.17) ( Cx( Du( y = +. (2.18) Sistem persamaa (2.16) da (2.17) dapat ditulis dalam simbol = ( A, B, C, D) dega x A R, xm B R, rx C R, da rxm D R. Adapu x R adalah state dari sistem, u fugsi keluara (outpu. m R adalah fugsi masuka (ipu, da r y R adalah

5 7 Defiisi 5 Suatu sistem persamaa liear = ( A, B, C, D) adalah (1) stabil, jika limsup x( < t utuk setiap peyelesaia x( dari x &( = Ax( ; (2) stabil asimtotik, jika lim x( < 0 t utuk setiap peyelesaia x( dari x &( = Ax( ; (3) takstabil, jika sistem tidak stabil (Lewis 2004). Sistem = ( A, B, C, D) dapat diyataka dalam betuk fugsi alih berikut Y( 1 H ( = = C( si A) B + D (2.19) U ( dega U( meyataka fugsi masuka da Y( meyataka fugsi keluara. 2.6 Trasformasi Z Seperti halya trasformasi Laplace, trasformasi Z pu merupaka suatu metode yag bermafaat utuk megubah suatu persamaa. Trasformasi Z megubah suatu persamaa beda dalam peubah waktu diskret mejadi suatu persamaa aljabar dalam peubah kompleks. Defiisi 6 (Trasformasi Z Dua Sisi). Trasformasi Z dari barisa bilaga x( dega k = 0, ±1, ±2,... didefiisika: k X ( z) = Z ( x( ) = x( z. (2.20) k= (Ogata 1995). Sifat-sifat trasformasi Z Misalka x( dapat ditrasformasi Z ka da x( = 0 utuk k = 1, 2,. (1) Sifat liear. Misalka x( dapat dibetuk oleh kombiasi liear x( = c 1 f 1 ( + c 2 f 2 (. Jika F 1 (z) da F 2 (z) berturut-turut adalah trasformasi Z dari f 1 ( da f 2 (, serta c 1 da c 2 adalah skalar, maka trasformasi Z dari x( adalah X(z) = c 1 F 1 (z) + c 2 F 2 (z). (2.21)

6 8 (2) Perkalia dega a k. Jika X (z) adalah trasformasi Z dari x (, maka: z ( a k x( ) = X Z. (2.22) a (3) Teorema pergesera. Jika X (z) adalah trasformasi Z dari x ( da k = 0,1,2, L, maka: Z ( x( k ) ) = z X ( z) (2.23) 1 k Z. (2.24) da ( x( k + ) ) = z X ( z) x( z k = 0 (Ogata 1995). 2.7 Fugsi Alih, Zeros, da Poles Sistem Diskret Seperti hasil fugsi pada trasformasi Laplace, ekspresi hasil fugsi trasformasi Z juga serig diyataka dalam betuk fugsi rasioal berikut: m m 1 b z + b z + + b z b H z m + m d ( ) = 0 1 L 1 ; m (2.25) 1 z + a1 z + L + a 1 z + a (Sero et al. 1997). Pada persamaa (2.25) akar-akar dari pembilag diamaka zeros da akarakar dari peyebut disebut poles. 2.8 Kestabila Sistem Diskret Diberika suatu persamaa beda P Q Ak yk+ = Bkuk +, = 0,1,2,L. (2.26) k= 0 k= 0 P da Q adalah bilaga-bilaga bulat tak egatif; A 0,, A P da B 0,, B Q adalah bilaga-bilaga real atau kompleks. Barisa-barisa bilaga {u k } da {y k } berturut-turut disebut fugsi masuka (ipu da fugsi keluara (outpu sistem. Adapu y 0,, y P 1 adalah syarat awal yag ditetuka (Fisher 1990). Dega asumsi bahwa syarat awal adalah ol, yaitu y 0,, y P 1 = 0, masuka (ipu utuk u 0,, u Q 1 = 0, da P Q maka betuk eksplisit trasformasi Z dari persamaa (2.26) adalah

7 9 dega ( ) = = 0 Bk z d z = P k A z k = (Fisher 1990). Y d (z) = H d (z)u d (z) (2.27) Q k k f H k. (2.28) k k = 0 k 0 z Defiisi 7 Diberika sistem persamaa liear fugsi masuka {u j } da fugsi keluara {y } sebagai berikut: y = k = 0 fku k. (2.29) Sistem persamaa liear ii adalah stabil, jika diberika fugsi masuka yag terbatas meghasilka fugsi keluara yag terbatas juga (Fisher 1990). 2.9 Trasformasi Möbius Defiisi 8 Suatu trasformasi az + b s = T( z) = ;(ad bc) (2.30) cz + d dega a, b, c, da d adalah bilaga-bilaga kompleks disebut trasformasi pecaha liear atau dikeal dega trasformasi Möbius (Churchill & Brow 1990).

dokumen-dokumen yang mirip

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama