LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n"

Transkripsi

1 LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara lai : Titik c adalah suatu titik limit di A, jika utuk setiap persekitara-δ dari c atau ditulis δ ( c) yaitu : ( c) = ( c δ c δ ) δ + δ ( c ) = { R; c < δ} = δ < c < δ = c δ < < c + δ V, memuat palig sedikit satu titik dalam A yag berbeda dega c. Catata : A R, c titik limit dari A jika Vδ ( c) = A yag berbeda dari c. Teorema 4.. Bilaga real c adalah titik limit dari A, ( ) a dalam A da c N A R, jika da haya jika ada barisa, sedemikia higga Lim( a ) = c ( ) A R. Bilaga real c adalah titik limit dari A maka aka ditujukka ada barisa (a ) dalam A da, sedemikia higga Lim( a ) = c c N c adalah titik limit dari A, artiya utuk sembarag N, persekitara dari c, yaitu V ( c) memuat palig sedikit satu titik dalam A yag berbeda dega c. Jika a, a A c da Lim( a ) = c (terbukti) N merupaka titik-titik tersebut, maka a Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

2 ( ) Jika ada barisa (a ) dalam A da c, N sedemikia higga Lim( a ) = c aka ditujukka bahwa c adalah titik limit dari A (a ) dalam A da a c maka (a ) dalam A berbeda {c}, da lim (a ) = c, artiya utuk sembarag δ > 0, K N, sehigga jika K( δ ), maka a δ ( c). Dega kata lai, terdapat persekitara-δ dari c, δ ( c) memuat titik-titik a, K( ), a A limit dari A. yag δ da a c. Jadi, c merupaka titik DEFINISI LIMIT Defiisi A R, f : A R, da c merupaka titik limit dari A. Bilaga real L merupaka limit dari f di c, jika ε > 0 ada δ > 0 sedemikia higga utuk sembarag da 0 < c < δ maka f ( L < ε A Catata : a. Pegambila ilai δ bergatug pada pegambila ε, sehigga kadagkadag δ ditulis dega δ(ε). b. Ketaksamaa 0 < c adalah ekuivale dapat dikataka c Jika L merupaka limit f di c, maka dikataka f koverge ke L di c, da ditulis : L = Lim f ( atau L = Lim f dikataka f( meuju L utuk meuju c Teorema 4..5 Jika f : A R, da c titik limit dari A, maka f haya mempuyai satu limit di c. Adaika f mempuyai dua ilai limit di c, yaitu L da L, L L Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

3 Pilih ε > 0, sehigga L merupaka limit f di c maka ada δ ( ε ) 0 da 0 < c < δ( δ ) f ( L < ε > L mer upaka limit f di c maka ada δ ( ε ) 0 da 0 < c < δ( δ ) > maka maka f ( L < ε Ambil { δ ( ε ), δ ( ) } δ = mi ε maka jika A da 0 < c < δ, dega ketaksamaa segitiga didapatka : L L L f + f ( < ε + ε = ε ( L Karea ε > 0 dapat disimpulka bahwa : L L = 0 jadi L = L Defiisi limit dapat dideskripsika dalam betuk persekitara karea ( c) = ( c δ, c + δ ) = { R c δ} V ; δ < Ketaksamaa segitiga 0 < c < δ adalah ekuivale dikataka bahwa c da f L berbeda ke persekitara V δ (c) dari c. sama dega ketaksamaa ( ) < ε adalah ekuivale dikataka bahwa f ( berbeda ke persekitara V δ (L) dari L. 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

4 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

5 4..6 Teorema Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivale dega peryataa dibawah ii :. Lim f ( = L. Diberika persekitara-ε V ε (L) dari L, ada persekitara-ε V ε (c) sedemikia sehigga jika c adalah titik Vε ( L) A, c maka f ( Vε (L) Cotoh :. Lim b = b Tampak bahwa f ( b R = aka ditujukka Lim b = b Jika ε > 0, ambil δ =, sehigga jika 0 < c < diperoleh f ( b = b b = 0 < ε Lim b = b. Lim = c g ( R. Terbukti karea ε > 0 maka dapat disimpulka =, Jika ε > 0, ambil δ = ε, sehigga jika 0 < c < δ maka diperoleh g ( c = c < ε. Karea ε > 0 maka terbukti bahwa Lim = c. 3. Lim = c h( = R. Utuk meujukka Lim = c, maka harus ditujukka h ( c = c < ε Ambil sembarag ε > 0 da yag cukup dekat dega c. 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

6 Dimaa c = ( c)( + c) Jika c <. Perguaka teorema ketidaksamaa diperoleh : c + sehigga + c + c c + Jika + c <, maka aka diperoleh : (*) ( c + ) c c = + c c da harus ditujukka ilaiya lebih kecil dari ε. Hal tersebut aka dipeuhi jika c < ε ( c +) Oleh karea itu, pilih δ ( c) sehigga jika < c < δ ( ε ) ε = if, c maka memeuhi : c < da megakibatka (*) valid, da diperoleh (*) c ( c + ) c < ε Karea ilai δ(ε) > 0 diperoleh dega megambil sembarag ilai ε > 0, maka terbukti bahwa Lim c = c 4. tujukka Lim( + = 5 3 Ambil f( = +, R Maka f ( 5 < ε Akdib : + 5 = ( + 5)( 3) < Misal δ= 3 < atau (,4) Jadi + 5 (7,9) atau + 5 < = ( + 5)( 3) < 9 jika 0 3 < δ 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

7 Ambil sebarag εδ > 0, pilih mi, ε 9 Jadi, Jadi terbukti 5δ ε 5. 5 ε Kriteria Barisa Utuk Limit 4..8 Teorema (Kriteria Barisa) f : A R, da c merupaka titik limit dari A maka : (i) Lim f ( = L (ii) Utuk setiap barisa ( ) dalam A yag koverge ke c, sedemikia higga c, N, maka barisa ( f ( )) koverge ke L (i) (ii). Aggap f mempuyai limit L di c, serta ( ) merupaka barisa dalam A dega ( f ( )) lim( ) = c c, N. Kita harus meujukka bahwa barisa koverge ke L. f mempuyai limit L di c, (meurut defiisi 4..4), jika diambil sembarag ε > 0 aka terdapat δ > 0, sehigga jika 0 < c <δ, maka f ( memeuhi f ( L < ε. A memeuhi lim( ) = c, artiya utuk sembarag δ > 0, K( δ ) N, sehigga utuk K(δ ) berlaku c Tetapi setiap memeuhi maka berlaku K(δ ) artiya barisa ( ( )) f ( L < ε. Jadi, jika K(δ ) f koverge ke L. (ii) (i). Pembuktia aka megguaka kotra positif, yaitu dega megadaika (i) tidak bear aka diperoleh juga bahwa (ii) tidak bear. 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

8 Adaika Lim f ( L maka aka ada persekitara-ε 0 dari L, V ε ( ) sehigga 0 L utuk setiap persekitara-δ dari c, V ε ( ) yag diambil, terdapat palig sedikit 0 c satu ilai, δ A V ( c) dega V c, f ( V ( L). Oleh karea itu, N 0 0 ε, persekitara-(/) dari c, memuat bilaga, sedemikia higga 0 < c < da A Tetapi, f L ε, N. δ ( 0 Dega demikia dapat disimpulka, terdapat barisa ( ) termuat dalam A { c} koverge ke c, tetapi barisa ( ( )) f tidak koverge ke L. Jadi, dega megambil (i) tidak bear diperoleh (ii) tidak bear, sesuai sifat kotra positif, maka (ii) (i) berilai bear. ε Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fugsi dapat dibuktika dega megguaka sifat-sifat kekovergesia barisa. Cotoh : Jika ( ) merupaka sembarag barisa yag koverge ke suatu bilaga c, maka ( ) koverge ke c. Oleh karea itu, dega megguaka Kriteria Barisa, fugsi h ( = mempuyai limit : Limh( = c Kriteria Divergesi Berikut aka ditujukka (i) suatu bilaga tertetu buka merupaka limit dari suatu fugsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fugsi tidak mempuyai limit pada suatu titik Kriteria Divergesi A R, f : A R da c merupaka titik limit dari A. a. Jika L R, maka f tidak mempuyai limit L di c, jika da haya jika ada barisa ( ) dalam A, tetapi ( ( )) f tidak koverge ke L. c, N, sehigga barisa ( ) koverge ke c, 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

9 b. Fugsi f tidak mempuyai limit di c, jika da haya jika ada barisa ( ) dalam A, c, N, sehigga barisa ( ) koverge ke c, tetapi ( f ( )) Cotoh : tidak koverge di R.. Lim( ) 0 tidak ada di R. Jika diambil barisa ( ) dega = / utuk tetapi ( ) = /(/) =, da barisa ( ( )) = ( ) N, maka lim ( ) = 0, ϕ merupaka barisa yag tidak koverge karea tidak terbatas Oleh karea itu meurut teorema 4..9 (b) disimpulka bahwa Lim( ). Lim sg( tidak ada. 0 0 tidak ada di R. Fugsi sigum didefiisika sebagai berikut : + utuk > 0 sg( ) = 0 utuk = 0 utuk < 0 Igat bahwa sg( ) = utuk 0 (lihat gambar 4..). Aka ditujukka bahwa sg tidak mempuyai limit di = 0. Karea aka ditujukka Lim sg( tidak ada, maka harus ditujukka ada barisa ( ) 0 Lim, tetapi ( )) da l sg( = 0 sg( tidak koverge. Fugsi sigum 9 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

10 Ambil ( ) utuk N = utuk N, maka lim( ) = 0 da ( ) sg( = Lihat cotoh 3.4.6(a) bahwa sg( tidak koverge. Jadi, Lim sg( tidak ada. 3. Lim si( ) 0 tidak ada di R. Jika g ( = si( ), utuk 0. (lihat gambar 4..3) Aka ditujukka bahwa g( tidak mempuyai limit di c = 0, dega meetapka dua barisa 0 ( ) da (y ), dimaa 0 da y 0, N sedemikia higga lim( ) = 0 da lim( y ) = 0 tetapi lim( g( )) = 0 lim( g( y )) hal itu meujukka bahwa Lim 0 g tidak ada. Fugsi ( ) = si( ( 0) g Igat : si t = 0 jika t = π, da si t = + jika t = π + π utuk Z Ambil = π N, maka lim( ) = 0 da g( ) = siπ = 0 N, sehigga lim ( ( )) = 0 g Ambil y π + π = utuk N, maka lim( y ) = 0 0 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

11 g = π π N da y ) si( + ) = 0 ( ( ) Lim si tidak ada di R. sehigga lim ( ( )) = g maka y 4. TEOREMA LIMIT 4.. Defiisi Diberika A R, f : A R, da diberika c R titik limit dari A. Kita kataka bahwa f terbatas pada persekitara c jika terdapat persekitara δ, V δ (c) da kostata M > 0 seperti yag kita miliki f ( M utuk semua A V (c). δ 4.. Teorema Jika A R da f : A R mempuyai sebuah limit di c R, maka f terbatas pada suatu persekitara pada c Jika L : = lim f, maka utuk e =, terdapat δ > 0 sedemikia higga jika 0 < c < δ, kemudia f ( < ( oleh corollary..4(a)), f ( L f ( L < Karea itu, jika A V δ ( c), c, maka ( L + ambil M = L +, semetara jika A bila ada A V ( c), kemudia ( M pada suatu persekitara pada c. δ f. Jika c A, kita c kita ambil M : = sup{ f ( c), L + }. Maka f. Ii meujukka bahwa f terbatas Berikut aka diberika defiisi, pejumlaha, selisih, perkalia da pembagia dari fugsi, seperti halya dalam barisa Defiisi Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

12 Diberika A R, f da g fugsi yag terdefiisi pada A ke R. Didefiisika jumlah utuk semua f + g, selisih f g da perkalia fg pada A ke R dega fugsi fugsi ( )( bf ( ( f + g)( = f ( + g( ( f g)( = f ( g( ( fg )( = f ( g( A. Selajutya jika b R didefiisika perkalia bf dega bf = utuk semua A. Akhirya, jika ( 0 f h fugsi ( h utuk A, kita defiisika pembagi f / h dega f = h ( ( utuk semua A 4..4 Teorema Diberika diberika A R, diberika f da g merupaka fugsi pada A ke R, da c R tertimbu dari A. Lebih lajut diberika b R. a. Jika lim f = L da lim g = M, maka : b. Jika h A R maka lim ( f + g) = L + M, lim ( f g) = L M lim ( fg ) = LM lim ( bf ) = bl :, jika ( 0 lim h utuk semua A, da jika lim h = H 0, f h = L H Salah satu bukti teorema ii persis sama dega teorema Alteratif, dapat dibuktika dega megguaka teorema 3..3 da Sebagai cotoh, Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

13 biarka ( ) mejadi uruta apapu di A sehigga c utuk N, da c = lim( ). Megikuti dari teorema 4..8 bahwa lim ( f ( ) = L, lim ( g ( ) = M Di sisi lai, defiisi 4..3 meyiratka bahwa ( )( ) f ( ) g( ) fg = utuk N Oleh karea itu aplikasi dari teorema 3..3 hasilya (( fg)( )) lim( f ( ) g( )) lim = = [ lim ( f ( ))][ lim( g( ))] LM = Bagia lai dari teorema ii terbukti dega cara yag sama. Kita meiggalka ricia utuk pembaca. Kometar. Catata kita, bahwa bagia b, asumsika pejumlaha bahwa H = lim h 0 dibuat. Jika diasumsika ii tidak dipeuhi, maka limit lim f h ( ( mugki atau mugki tidak ada. Tetapi bahka jika limit ada, kita dapat megguaka teorema 4..4 b utuk megevaluasiya.. Diberika A R, da f, f,... f dega fugsi A ke R, da diberika c titik timbu dari A. Jika L k = lim f utuk k =,.... k Maka berikut teorema 4..4 oleh argume iduksi bahwa Da ( f + f f ) L L... L lim = + = ( f f f ) L L... L lim... 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

14 Khususya, kami meyimpulka bahwa jika L = lim f da N, maka L = lim ( f ( ) 4..5 Cotoh. Beberapa dari limit di bagia 4. dapat dibuktika dega megguaka teorema Sebagai cotoh, megikuti dari hasil ii bahwa lim = c, kemudia lim = c da jika c > 0, maka lim = = lim c 3. lim( + )( 4) = 0 Ikuti dari teorema4..4 bahwa lim 3 ( + )( 4) = lim( + ) 3 ( )( lim( 4 ) 3 = ( + )( 4) = ( 4 + )( 8 4) = 5 4 = lim = Jika berlaku teorema 4..4 b, maka 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

15 lim 3 4 lim = + lim 3 ( 4) 4 = ( + ) 5 Catata bahwa limit dega peyebut (i.e lim( + ) = 5 0, maka teorema 4..b berlaku. ) tidak sama dega lim =, Jika diberika f ( = 4 da ( = 3 6 h utuk R maka tidak dapat diguaka teorema 4..4b utuk megevaluasi lim( f ( h( ) karea H = lim h ( = lim(3 6) = 3lim 6 = 3. 6 = 0 Bagaimapu, jika, maka 4 ( + )( ) = 3 6 3( ) Maka dari itu = ( + ) 3 lim 3 4 = lim 6 ( 3 + ) = 3 4 ( lim + ) = 3 Catata bahwa fugsi g ( = ( 4) (3 6) mempuyai limit di = meskipu tidak ada defiisiya. 5. lim tidak terdapat di R 0 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

16 Tetu saja lim = da H = lim = 0 0. Bagaimaapu, ketika H = 0, tidak dapat diguaka teorema 4..4b utuk megevaluasi lim(. Dalam 0 faktaya, lihat cotoh 4..0a, fugsi ϕ ( = tidak mempuyai sebuah limit di = 0. Kesimpula megikuti juga dari teorema 4.. ketika fugsi ϕ ( = tidak terbatas dipersekitara = 0 6. Jika p adalah sebuah fugsi polyomial, maka lim p( = p( c) Biarka p mejadi fugsi polyomial di R maka + a a + 0 utuk semua R p( = a a. Berdasarka teorema 4..4 da fakta bahwa k k lim = c, maka lim p( = lim[ a + a a + a 0 lim( a ) + lim( a ) lim( a + lima = 0 = a c + a c ac + a0 = p (c) Kareaya lim p( = p( c) utuk setiap fugsi polyomial p 7. Jika p da q adalah fugsi polyomial di R da jika q ( c) 0 maka p( lim q( = p( c) q( c) Ketika q( adalah sebuah fugsi polyomial, berdasarka dari sebuah teorema di aljabar bahwa ada palig bayak bilaga terbatas bilaga real α,...α m [bilaga real ol di q ( ] maka q( α ) = 0 da jika α,... α ), maka q ( 0. Kareaya, jika α,... α ) kita dapat ( m defiisika j ( m 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

17 r ( = Jika c tidak ol di q (, maka q ( c) 0 p( q(, da megikuti dari bagia vi bahwa lim q( = q( c) 0. Oleh karea itu kita dapat meerapka teorema 4..4b utuk meyimpulka bahwa p( lim p( lim = = q( lim q( p( c) q( c) Hasil berikutya adalah aalog lagsug dari teorema Teorema Diberika A R, f : A R, da diberika c R titik limit dari A. Jika a f ( b utuk semua A, c da jika terdapat lim f, maka a lim f b. Memag, jika lim f, maka berdasarka dari teorema 4..8 bahwa jika ) ( adalah setiap barisa bilaga real berlaku bahwa da jika barisa ( ) Ketika c A utuk semua N koverge ke c, maka barisa ( ( ) f koverge ke L. a f ( b utuk semua N, berdasarka dari teorema 3..6 bahwa a L b. Sekarag kita bagia aalog dari teorema squeeze membuktikaya kita serahka kepada pembaca. utuk 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

18 4..7 Teorema Squeeze Diberika A R, f, g, h : A R, da c R titik limit di A. Jika f ( g( h( utuk semua A, c, da jika lim f = L = lim h, maka lim g = L 4..8 Cotoh 3 lim = 0 ( > 0) 3 Diberika f ( = utuk > 0 sejak ketidaksamaa < memegag utuk 0 <. Hal berikut bahwa f ( = utuk 0 <. Maka 3 lim 0 = 0 da lim = 0 0 Berdasarka dari teorema 4..7 squeeze bahwa lim = Teorema Diberika A R, f : A R da diberika c R cmempuyai sebuah limit di A, c 3 jika lim f > 0 [masig-masig, lim f < 0 ]. Maka terdapat sebuah persekitara V δ (c) di c sehigga f ( > 0 [masig-masig, f ( < 0 semua A V ( c), c Diberika δ. ] utuk L = lim f da meduga bahwa L > 0. Kita ambil ε = L > 0 di defiisi 4..4, da memperoleh sebuah δ > 0 sehigga jika 0 < c < δ da A, maka f ( L < L. Oleh karea itu berikut bahwa jika 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

19 A V δ ( c), c, maka f ( > L > 0. Jika L < 0 berlaku argume yag sama. 4.3 Beberapa Tambaha Kosep Limit 4.3. Defiisi Diberika A R da f : A R i. Jika c R adalah titik limit dari bagia A ( c, ) = { A : > c} maka kita kataka bahwa L R adalah limit kaa f di c da kita tulis lim f = L lim f ( = L + + Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ = δ ( ε ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( L < ε. ii. Jika c R adalah titik limit dari bagia A (, c) = { A : < c} maka kita kataka bahwa L R adalah limit kiri f di c da kita tulis lim f = L lim f ( = L Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( L < ε Teorema Diberika A R da f : A R da diberika c R titik limit di A ( c, ). Maka peryataa berikut adalah ekuivale : i. lim f = L + ii. Utuk setiap barisa ( ) koverge ke c sehigga A da > c utuk semua N f ( koverge ke L. Barisa ( ) Teorema 9 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

20 Diberika A R, f : A R da diberika c R merupaka titik limit dari himpua A ( c, ) da A (, c). Maka L = lim f jika da haya jika lim f = L = lim f + Terdapat lim f ( = L Ambil sembarag ε > 0 pilih δ > 0 sehigga f ( L < ε apabila c < δ Jelas c < δ c δ < < + δ Jadi c < < Jadi + ε > 0 δ > 0 f ( L < ε apabila c δ < < + δ da + δ lim f = L = lim f Terdapat lim f = L = lim f + Ambil sembarag ε > 0 pilih δ > 0 sehigga f ( L < ε apabila c δ < < c da c < < c δ jelas c δ < < c da c < < c δ Jadi ε > 0 δ > 0 f ( L < ε apabila c < δ Jadi lim f ( = L Cotoh (a). Diberika f ( = sg( Kita telah melihat cotoh 4..0(b) bahwa sg tidak mempuyai limit di 0. Jelas bahwa lim sg( = da lim sg( =. Karea limit ii satu sisi 0 yag berbeda. Itu juga megikuti dari teorema bahwa sg( tidak mempuyai limit di 0. (b). Diberika g ( = e utuk 0 0 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

21 Gambar 4.3. grafik g ( = e utuk 0 Kami pertama meujukka g tidak mempuyai sebuah limit kaa berhigga di c = 0 karea tidak dibatasi pada setiap persekitara kaa ( 0, δ ) di 0. kita wajib memafaatka ketidaksamaa () t 0 < t < e utuk t > 0 Yag aka dibuktika kemudia (lihat collary 8.3.3). megikuti dari () bahwa jika > 0, kemudia 0 < < e. Maka jika kita megambil =, kemudia g( ) > utuk semua N. Maka dari itu lim e + tidak terdapat di R. 0 Namu, lim e = 0. Memag jika < 0 da kita ambil 0 t = di () kita medapatka 0 < < e. Ketika < 0, ii berarti 0 < e < utuk semua < 0. Megikuti dari ketidaksamaa bahwa lim e = 0. 0 LIMIT TAK HINGGA Defiisi Diberika A R da f : A R da diberika c R titik limit di A. (i) Kita kataka bahwa f cederug sebagai c, da ditulis Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

22 lim f = Jika utuk setiap α R terdapat δ = δ ( α ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ, maka f ( > α (ii) Kita kataka bahwa f cederug sebagai c, da ditulis lim f = Jika utuk setiap β R terdapat δ = δ ( β ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ, maka f ( < β Iterpretasi geometri limit di tak higga: lim f ( = + lim f ( = lim f ( = + lim f ( = Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

23 f y δ(α) δ(α) α α δ(α) f y f( Cotoh (a). lim( ) = 0 Jika α > 0 diberika δ = maka bila ada 0 < < δ, maka α < α sehigga > α Teorema Ambil A R da ambil f, g : A R. da ambil c R mejadi titik limit dari A. diduga f ( g( utuk A, c :. Jika Lim f = maka Lim g =. Jika Lim g = maka Lim f = c a. Jika Lim f = da α R diberika, maka ada δ(α) > 0 sedemikia c sehigga jika < c < δ ( α ) 0 da A maka f ( > a. tetapi karea f ( g( utuk semua A, c A maka g ( > α. Terbukti Lim g =, berarti jika < c < δ ( α ) 0 da 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

24 Defiisi Ambil A R da f : A R ( c ) = { A c} Jika c R adalah titik limit dari himpua A,, > maka dikataka f cederug ke seperti c + da ditulis Lim f = (masig-masig Lim f = ) Jika utuk setiap α ada δ ( ) 0 R δ = α > sedemikia sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( > α (masig-masig f ( < α ) Cotoh :. Ambil g( bahwa Lim 0 = utuk 0. Kita mempuyai catata dari cotoh 4.3.6(b) g tidak ada. Cotoh ii meujukka : Lim(/ = da 0+ Lim(/ = 0. Lihat cotoh 4.3.4(b) bahwa fugsi terbatas di iterval ( 0,δ ). Limit kaa dari g ( = e utuk 0 e seperti 0 + adalah tidak tidak ada defiisi, karea < e utuk > 0 Maka Lim e = dari defiisi INFINITI LIMIT Defiisi Ambil A R da f : A R. Jika c R. ada (a, ) A utuk semua a R. dikataka bahwa Jika diberika > 0 L R adalah limit dari f seperti da ditulis Lim f = L atau Lim f ( = L ε maka ada K( ) a K = ε > sedemikia sehigga utuk > K maka f ( L < ε. 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

25 4.3. Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R maka peryataa dibawah ii ekuivale :. Lim f = L c. ada ( a ) A, utuk semua a R.. Utuk barisa ( ) di A ( a, ) sedemikia sehigga limit (, ) barisa f ( )) koverge ke L. ( a, Cotoh :. Ambil g( = utuk 0 Jawab : Ditujukka Lim( / 0 = Lim( /. Ambil = lihat f ( = utuk 0 Ditujukka bahwa Lim( / ) 0 = Lim( / ) = (lihat 4.3.3). Jika maka 0. dari bagia () terbukti bahwa Lim( / ) = Defiisi Ambil A R da f : A R. Jika R dikataka bahwa f cederug ke seperti Jika diberika maka f ( > α. R c. ada ( a ) A, utuk semua a A. da ditulis Lim f = (masig-masig Lim α maka ada K( ) a f = ) K = ε > sedemikia sehigga utuk > K Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R c. ada ( a ) A, utuk semua a A. peryataa dibawah ii ekuivale : 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

26 . Lim f = L. Utuk barisa ( ) di ( a, ) ( ( )) = f. sedemikia sehigga ( ) = lim maka lim Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R dimaa ( 0 c. ada ( a ) A g > utuk > a da utuk L R, L 0 maka f ( Lim = L g(, utuk semua a A.. Jika L > 0 maka Lim f = jika da haya jika Lim g =. Jika L < 0 maka Lim f = Karea L > 0 Hipotesis ii ada a > a maka : Karea L) g( f ( ( 3L ) g( ) terbukti. ( jika da haya jika Lim g = f ( 3 0 < L < L utuk > a g( < < utuk > a dari kesimpula ii maka Cotoh :. Lim = Utuk N Jawab : Ambil ( utuk ( 0, ) g =. Diberika R α, ambil K = sup,α [ ] Kemudia utuk semua > K. Maka g( = > α. Karea α R maka Lim =. Lim = Utuk N, geap da Lim = Utuk N, gajil Jawab : 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

27 Karea gajil maka = k + dega k = 0,,... Diberika α R, ambil K = if{ α, } Utuk K Terdapat = ( ) < α k 3. Ambil p : R R adalah fugsi poliomial : p( = a a kemudia + a a +. Karea ε R maka Lim = 0 > karea ( ) Lim p = jika a > 0 da Lim p = jika a > 0 ambil g( = da guaka teorema karea p( = a + a a + a 0 g( sedemikia sehigga teorema Lim ( p( / g( ) = a karea Lim g = berlaku 4. Ambil p fugsi poliom dari bagia (3). Ada Lim p = (masig-masig - ) Jika geap da a > 0. k 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

28 DAFTAR PUSTAKA Bartle, R.G, da Sherbert, D.E., 994. Itroductio To Real Aalysis, Third Editio. New York:Joh Wiley & Sos. Chotim. Moch Diktat Baha Ajar Aalisis Real. 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L.

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L. DIFERENSIAL 6. Usur Turua 6.. Deiisi Diketahui I R mempuyai iterval : I. Kita dapat megataka bahwa bilaga real L adalah turua dari jika pada c diberika >, maka aka ada > sehigga jika da haya jika x h

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT

Mariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA

KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA 055400597 Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim :

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 MINIMUM PENUTUP TITIK DAN MINIMUM PENUTUP SISI PADA GRAF KOMPLIT DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Yessi Riskiada Kusumawardai Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu

Lebih terperinci

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I DAN II

ANALISIS REAL I DAN II Catata Selama Kuliah ANALISIS REAL I DAN II Sebuah terjemaha dari sebagia buku Itroductios to Real Aalysis karaga Robert G. Bartle Drs. Jafar., M.Si Prited by: Abu Musa Al Khwarizmi KOMUNITAS STUDI AL

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I. Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam. Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA

ANALISIS REAL I. Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam. Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA Had Out MATA KULIAH ANALISIS REAL I Disusu Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam Diperguaka utuk Mahasiswa S Prog. Studi Ped. Matematika Jurusa PMIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Ruag Barisa BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membicaraka barisa da deret aka dibicaraka lebih dahulu tetag bilaga real karea barisa da deret yag aka dibicaraka adalah barisa da deret bilaga real. Sistem

Lebih terperinci

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II

SINYAL WAKTU Pengolahan Sinyal Digital Minggu II SINYAL WAKTU Pegolaha Siyal Digital Miggu II 24 Goodrich, Tamassia PENDAHULUAN Defiisi Siyal x(t) Fugsi dari variabel bebas yag memiliki ilai real/skalar yag meyampaika iformasi tetag keadaa atau ligkuga

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak

Lebih terperinci