LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

Transkripsi

1 LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara lai : Titik c adalah suatu titik limit di A, jika utuk setiap persekitara-δ dari c atau ditulis δ ( c) yaitu : ( c) = ( c δ c δ ) δ + δ ( c ) = { R; c < δ} = δ < c < δ = c δ < < c + δ V, memuat palig sedikit satu titik dalam A yag berbeda dega c. Catata : A R, c titik limit dari A jika Vδ ( c) = A yag berbeda dari c. Teorema 4.. Bilaga real c adalah titik limit dari A, ( ) a dalam A da c N A R, jika da haya jika ada barisa, sedemikia higga Lim( a ) = c ( ) A R. Bilaga real c adalah titik limit dari A maka aka ditujukka ada barisa (a ) dalam A da, sedemikia higga Lim( a ) = c c N c adalah titik limit dari A, artiya utuk sembarag N, persekitara dari c, yaitu V ( c) memuat palig sedikit satu titik dalam A yag berbeda dega c. Jika a, a A c da Lim( a ) = c (terbukti) N merupaka titik-titik tersebut, maka a Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

2 ( ) Jika ada barisa (a ) dalam A da c, N sedemikia higga Lim( a ) = c aka ditujukka bahwa c adalah titik limit dari A (a ) dalam A da a c maka (a ) dalam A berbeda {c}, da lim (a ) = c, artiya utuk sembarag δ > 0, K N, sehigga jika K( δ ), maka a δ ( c). Dega kata lai, terdapat persekitara-δ dari c, δ ( c) memuat titik-titik a, K( ), a A limit dari A. yag δ da a c. Jadi, c merupaka titik DEFINISI LIMIT Defiisi A R, f : A R, da c merupaka titik limit dari A. Bilaga real L merupaka limit dari f di c, jika ε > 0 ada δ > 0 sedemikia higga utuk sembarag da 0 < c < δ maka f ( L < ε A Catata : a. Pegambila ilai δ bergatug pada pegambila ε, sehigga kadagkadag δ ditulis dega δ(ε). b. Ketaksamaa 0 < c adalah ekuivale dapat dikataka c Jika L merupaka limit f di c, maka dikataka f koverge ke L di c, da ditulis : L = Lim f ( atau L = Lim f dikataka f( meuju L utuk meuju c Teorema 4..5 Jika f : A R, da c titik limit dari A, maka f haya mempuyai satu limit di c. Adaika f mempuyai dua ilai limit di c, yaitu L da L, L L Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

3 Pilih ε > 0, sehigga L merupaka limit f di c maka ada δ ( ε ) 0 da 0 < c < δ( δ ) f ( L < ε > L mer upaka limit f di c maka ada δ ( ε ) 0 da 0 < c < δ( δ ) > maka maka f ( L < ε Ambil { δ ( ε ), δ ( ) } δ = mi ε maka jika A da 0 < c < δ, dega ketaksamaa segitiga didapatka : L L L f + f ( < ε + ε = ε ( L Karea ε > 0 dapat disimpulka bahwa : L L = 0 jadi L = L Defiisi limit dapat dideskripsika dalam betuk persekitara karea ( c) = ( c δ, c + δ ) = { R c δ} V ; δ < Ketaksamaa segitiga 0 < c < δ adalah ekuivale dikataka bahwa c da f L berbeda ke persekitara V δ (c) dari c. sama dega ketaksamaa ( ) < ε adalah ekuivale dikataka bahwa f ( berbeda ke persekitara V δ (L) dari L. 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

4 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

5 4..6 Teorema Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivale dega peryataa dibawah ii :. Lim f ( = L. Diberika persekitara-ε V ε (L) dari L, ada persekitara-ε V ε (c) sedemikia sehigga jika c adalah titik Vε ( L) A, c maka f ( Vε (L) Cotoh :. Lim b = b Tampak bahwa f ( b R = aka ditujukka Lim b = b Jika ε > 0, ambil δ =, sehigga jika 0 < c < diperoleh f ( b = b b = 0 < ε Lim b = b. Lim = c g ( R. Terbukti karea ε > 0 maka dapat disimpulka =, Jika ε > 0, ambil δ = ε, sehigga jika 0 < c < δ maka diperoleh g ( c = c < ε. Karea ε > 0 maka terbukti bahwa Lim = c. 3. Lim = c h( = R. Utuk meujukka Lim = c, maka harus ditujukka h ( c = c < ε Ambil sembarag ε > 0 da yag cukup dekat dega c. 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

6 Dimaa c = ( c)( + c) Jika c <. Perguaka teorema ketidaksamaa diperoleh : c + sehigga + c + c c + Jika + c <, maka aka diperoleh : (*) ( c + ) c c = + c c da harus ditujukka ilaiya lebih kecil dari ε. Hal tersebut aka dipeuhi jika c < ε ( c +) Oleh karea itu, pilih δ ( c) sehigga jika < c < δ ( ε ) ε = if, c maka memeuhi : c < da megakibatka (*) valid, da diperoleh (*) c ( c + ) c < ε Karea ilai δ(ε) > 0 diperoleh dega megambil sembarag ilai ε > 0, maka terbukti bahwa Lim c = c 4. tujukka Lim( + = 5 3 Ambil f( = +, R Maka f ( 5 < ε Akdib : + 5 = ( + 5)( 3) < Misal δ= 3 < atau (,4) Jadi + 5 (7,9) atau + 5 < = ( + 5)( 3) < 9 jika 0 3 < δ 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

7 Ambil sebarag εδ > 0, pilih mi, ε 9 Jadi, Jadi terbukti 5δ ε 5. 5 ε Kriteria Barisa Utuk Limit 4..8 Teorema (Kriteria Barisa) f : A R, da c merupaka titik limit dari A maka : (i) Lim f ( = L (ii) Utuk setiap barisa ( ) dalam A yag koverge ke c, sedemikia higga c, N, maka barisa ( f ( )) koverge ke L (i) (ii). Aggap f mempuyai limit L di c, serta ( ) merupaka barisa dalam A dega ( f ( )) lim( ) = c c, N. Kita harus meujukka bahwa barisa koverge ke L. f mempuyai limit L di c, (meurut defiisi 4..4), jika diambil sembarag ε > 0 aka terdapat δ > 0, sehigga jika 0 < c <δ, maka f ( memeuhi f ( L < ε. A memeuhi lim( ) = c, artiya utuk sembarag δ > 0, K( δ ) N, sehigga utuk K(δ ) berlaku c Tetapi setiap memeuhi maka berlaku K(δ ) artiya barisa ( ( )) f ( L < ε. Jadi, jika K(δ ) f koverge ke L. (ii) (i). Pembuktia aka megguaka kotra positif, yaitu dega megadaika (i) tidak bear aka diperoleh juga bahwa (ii) tidak bear. 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

8 Adaika Lim f ( L maka aka ada persekitara-ε 0 dari L, V ε ( ) sehigga 0 L utuk setiap persekitara-δ dari c, V ε ( ) yag diambil, terdapat palig sedikit 0 c satu ilai, δ A V ( c) dega V c, f ( V ( L). Oleh karea itu, N 0 0 ε, persekitara-(/) dari c, memuat bilaga, sedemikia higga 0 < c < da A Tetapi, f L ε, N. δ ( 0 Dega demikia dapat disimpulka, terdapat barisa ( ) termuat dalam A { c} koverge ke c, tetapi barisa ( ( )) f tidak koverge ke L. Jadi, dega megambil (i) tidak bear diperoleh (ii) tidak bear, sesuai sifat kotra positif, maka (ii) (i) berilai bear. ε Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fugsi dapat dibuktika dega megguaka sifat-sifat kekovergesia barisa. Cotoh : Jika ( ) merupaka sembarag barisa yag koverge ke suatu bilaga c, maka ( ) koverge ke c. Oleh karea itu, dega megguaka Kriteria Barisa, fugsi h ( = mempuyai limit : Limh( = c Kriteria Divergesi Berikut aka ditujukka (i) suatu bilaga tertetu buka merupaka limit dari suatu fugsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fugsi tidak mempuyai limit pada suatu titik Kriteria Divergesi A R, f : A R da c merupaka titik limit dari A. a. Jika L R, maka f tidak mempuyai limit L di c, jika da haya jika ada barisa ( ) dalam A, tetapi ( ( )) f tidak koverge ke L. c, N, sehigga barisa ( ) koverge ke c, 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

9 b. Fugsi f tidak mempuyai limit di c, jika da haya jika ada barisa ( ) dalam A, c, N, sehigga barisa ( ) koverge ke c, tetapi ( f ( )) Cotoh : tidak koverge di R.. Lim( ) 0 tidak ada di R. Jika diambil barisa ( ) dega = / utuk tetapi ( ) = /(/) =, da barisa ( ( )) = ( ) N, maka lim ( ) = 0, ϕ merupaka barisa yag tidak koverge karea tidak terbatas Oleh karea itu meurut teorema 4..9 (b) disimpulka bahwa Lim( ). Lim sg( tidak ada. 0 0 tidak ada di R. Fugsi sigum didefiisika sebagai berikut : + utuk > 0 sg( ) = 0 utuk = 0 utuk < 0 Igat bahwa sg( ) = utuk 0 (lihat gambar 4..). Aka ditujukka bahwa sg tidak mempuyai limit di = 0. Karea aka ditujukka Lim sg( tidak ada, maka harus ditujukka ada barisa ( ) 0 Lim, tetapi ( )) da l sg( = 0 sg( tidak koverge. Fugsi sigum 9 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

10 Ambil ( ) utuk N = utuk N, maka lim( ) = 0 da ( ) sg( = Lihat cotoh 3.4.6(a) bahwa sg( tidak koverge. Jadi, Lim sg( tidak ada. 3. Lim si( ) 0 tidak ada di R. Jika g ( = si( ), utuk 0. (lihat gambar 4..3) Aka ditujukka bahwa g( tidak mempuyai limit di c = 0, dega meetapka dua barisa 0 ( ) da (y ), dimaa 0 da y 0, N sedemikia higga lim( ) = 0 da lim( y ) = 0 tetapi lim( g( )) = 0 lim( g( y )) hal itu meujukka bahwa Lim 0 g tidak ada. Fugsi ( ) = si( ( 0) g Igat : si t = 0 jika t = π, da si t = + jika t = π + π utuk Z Ambil = π N, maka lim( ) = 0 da g( ) = siπ = 0 N, sehigga lim ( ( )) = 0 g Ambil y π + π = utuk N, maka lim( y ) = 0 0 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

11 g = π π N da y ) si( + ) = 0 ( ( ) Lim si tidak ada di R. sehigga lim ( ( )) = g maka y 4. TEOREMA LIMIT 4.. Defiisi Diberika A R, f : A R, da diberika c R titik limit dari A. Kita kataka bahwa f terbatas pada persekitara c jika terdapat persekitara δ, V δ (c) da kostata M > 0 seperti yag kita miliki f ( M utuk semua A V (c). δ 4.. Teorema Jika A R da f : A R mempuyai sebuah limit di c R, maka f terbatas pada suatu persekitara pada c Jika L : = lim f, maka utuk e =, terdapat δ > 0 sedemikia higga jika 0 < c < δ, kemudia f ( < ( oleh corollary..4(a)), f ( L f ( L < Karea itu, jika A V δ ( c), c, maka ( L + ambil M = L +, semetara jika A bila ada A V ( c), kemudia ( M pada suatu persekitara pada c. δ f. Jika c A, kita c kita ambil M : = sup{ f ( c), L + }. Maka f. Ii meujukka bahwa f terbatas Berikut aka diberika defiisi, pejumlaha, selisih, perkalia da pembagia dari fugsi, seperti halya dalam barisa Defiisi Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

12 Diberika A R, f da g fugsi yag terdefiisi pada A ke R. Didefiisika jumlah utuk semua f + g, selisih f g da perkalia fg pada A ke R dega fugsi fugsi ( )( bf ( ( f + g)( = f ( + g( ( f g)( = f ( g( ( fg )( = f ( g( A. Selajutya jika b R didefiisika perkalia bf dega bf = utuk semua A. Akhirya, jika ( 0 f h fugsi ( h utuk A, kita defiisika pembagi f / h dega f = h ( ( utuk semua A 4..4 Teorema Diberika diberika A R, diberika f da g merupaka fugsi pada A ke R, da c R tertimbu dari A. Lebih lajut diberika b R. a. Jika lim f = L da lim g = M, maka : b. Jika h A R maka lim ( f + g) = L + M, lim ( f g) = L M lim ( fg ) = LM lim ( bf ) = bl :, jika ( 0 lim h utuk semua A, da jika lim h = H 0, f h = L H Salah satu bukti teorema ii persis sama dega teorema Alteratif, dapat dibuktika dega megguaka teorema 3..3 da Sebagai cotoh, Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

13 biarka ( ) mejadi uruta apapu di A sehigga c utuk N, da c = lim( ). Megikuti dari teorema 4..8 bahwa lim ( f ( ) = L, lim ( g ( ) = M Di sisi lai, defiisi 4..3 meyiratka bahwa ( )( ) f ( ) g( ) fg = utuk N Oleh karea itu aplikasi dari teorema 3..3 hasilya (( fg)( )) lim( f ( ) g( )) lim = = [ lim ( f ( ))][ lim( g( ))] LM = Bagia lai dari teorema ii terbukti dega cara yag sama. Kita meiggalka ricia utuk pembaca. Kometar. Catata kita, bahwa bagia b, asumsika pejumlaha bahwa H = lim h 0 dibuat. Jika diasumsika ii tidak dipeuhi, maka limit lim f h ( ( mugki atau mugki tidak ada. Tetapi bahka jika limit ada, kita dapat megguaka teorema 4..4 b utuk megevaluasiya.. Diberika A R, da f, f,... f dega fugsi A ke R, da diberika c titik timbu dari A. Jika L k = lim f utuk k =,.... k Maka berikut teorema 4..4 oleh argume iduksi bahwa Da ( f + f f ) L L... L lim = + = ( f f f ) L L... L lim... 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

14 Khususya, kami meyimpulka bahwa jika L = lim f da N, maka L = lim ( f ( ) 4..5 Cotoh. Beberapa dari limit di bagia 4. dapat dibuktika dega megguaka teorema Sebagai cotoh, megikuti dari hasil ii bahwa lim = c, kemudia lim = c da jika c > 0, maka lim = = lim c 3. lim( + )( 4) = 0 Ikuti dari teorema4..4 bahwa lim 3 ( + )( 4) = lim( + ) 3 ( )( lim( 4 ) 3 = ( + )( 4) = ( 4 + )( 8 4) = 5 4 = lim = Jika berlaku teorema 4..4 b, maka 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

15 lim 3 4 lim = + lim 3 ( 4) 4 = ( + ) 5 Catata bahwa limit dega peyebut (i.e lim( + ) = 5 0, maka teorema 4..b berlaku. ) tidak sama dega lim =, Jika diberika f ( = 4 da ( = 3 6 h utuk R maka tidak dapat diguaka teorema 4..4b utuk megevaluasi lim( f ( h( ) karea H = lim h ( = lim(3 6) = 3lim 6 = 3. 6 = 0 Bagaimapu, jika, maka 4 ( + )( ) = 3 6 3( ) Maka dari itu = ( + ) 3 lim 3 4 = lim 6 ( 3 + ) = 3 4 ( lim + ) = 3 Catata bahwa fugsi g ( = ( 4) (3 6) mempuyai limit di = meskipu tidak ada defiisiya. 5. lim tidak terdapat di R 0 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

16 Tetu saja lim = da H = lim = 0 0. Bagaimaapu, ketika H = 0, tidak dapat diguaka teorema 4..4b utuk megevaluasi lim(. Dalam 0 faktaya, lihat cotoh 4..0a, fugsi ϕ ( = tidak mempuyai sebuah limit di = 0. Kesimpula megikuti juga dari teorema 4.. ketika fugsi ϕ ( = tidak terbatas dipersekitara = 0 6. Jika p adalah sebuah fugsi polyomial, maka lim p( = p( c) Biarka p mejadi fugsi polyomial di R maka + a a + 0 utuk semua R p( = a a. Berdasarka teorema 4..4 da fakta bahwa k k lim = c, maka lim p( = lim[ a + a a + a 0 lim( a ) + lim( a ) lim( a + lima = 0 = a c + a c ac + a0 = p (c) Kareaya lim p( = p( c) utuk setiap fugsi polyomial p 7. Jika p da q adalah fugsi polyomial di R da jika q ( c) 0 maka p( lim q( = p( c) q( c) Ketika q( adalah sebuah fugsi polyomial, berdasarka dari sebuah teorema di aljabar bahwa ada palig bayak bilaga terbatas bilaga real α,...α m [bilaga real ol di q ( ] maka q( α ) = 0 da jika α,... α ), maka q ( 0. Kareaya, jika α,... α ) kita dapat ( m defiisika j ( m 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

17 r ( = Jika c tidak ol di q (, maka q ( c) 0 p( q(, da megikuti dari bagia vi bahwa lim q( = q( c) 0. Oleh karea itu kita dapat meerapka teorema 4..4b utuk meyimpulka bahwa p( lim p( lim = = q( lim q( p( c) q( c) Hasil berikutya adalah aalog lagsug dari teorema Teorema Diberika A R, f : A R, da diberika c R titik limit dari A. Jika a f ( b utuk semua A, c da jika terdapat lim f, maka a lim f b. Memag, jika lim f, maka berdasarka dari teorema 4..8 bahwa jika ) ( adalah setiap barisa bilaga real berlaku bahwa da jika barisa ( ) Ketika c A utuk semua N koverge ke c, maka barisa ( ( ) f koverge ke L. a f ( b utuk semua N, berdasarka dari teorema 3..6 bahwa a L b. Sekarag kita bagia aalog dari teorema squeeze membuktikaya kita serahka kepada pembaca. utuk 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

18 4..7 Teorema Squeeze Diberika A R, f, g, h : A R, da c R titik limit di A. Jika f ( g( h( utuk semua A, c, da jika lim f = L = lim h, maka lim g = L 4..8 Cotoh 3 lim = 0 ( > 0) 3 Diberika f ( = utuk > 0 sejak ketidaksamaa < memegag utuk 0 <. Hal berikut bahwa f ( = utuk 0 <. Maka 3 lim 0 = 0 da lim = 0 0 Berdasarka dari teorema 4..7 squeeze bahwa lim = Teorema Diberika A R, f : A R da diberika c R cmempuyai sebuah limit di A, c 3 jika lim f > 0 [masig-masig, lim f < 0 ]. Maka terdapat sebuah persekitara V δ (c) di c sehigga f ( > 0 [masig-masig, f ( < 0 semua A V ( c), c Diberika δ. ] utuk L = lim f da meduga bahwa L > 0. Kita ambil ε = L > 0 di defiisi 4..4, da memperoleh sebuah δ > 0 sehigga jika 0 < c < δ da A, maka f ( L < L. Oleh karea itu berikut bahwa jika 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

19 A V δ ( c), c, maka f ( > L > 0. Jika L < 0 berlaku argume yag sama. 4.3 Beberapa Tambaha Kosep Limit 4.3. Defiisi Diberika A R da f : A R i. Jika c R adalah titik limit dari bagia A ( c, ) = { A : > c} maka kita kataka bahwa L R adalah limit kaa f di c da kita tulis lim f = L lim f ( = L + + Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ = δ ( ε ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( L < ε. ii. Jika c R adalah titik limit dari bagia A (, c) = { A : < c} maka kita kataka bahwa L R adalah limit kiri f di c da kita tulis lim f = L lim f ( = L Jika diberi ε > 0 terdapat sebuah δ > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( L < ε Teorema Diberika A R da f : A R da diberika c R titik limit di A ( c, ). Maka peryataa berikut adalah ekuivale : i. lim f = L + ii. Utuk setiap barisa ( ) koverge ke c sehigga A da > c utuk semua N f ( koverge ke L. Barisa ( ) Teorema 9 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

20 Diberika A R, f : A R da diberika c R merupaka titik limit dari himpua A ( c, ) da A (, c). Maka L = lim f jika da haya jika lim f = L = lim f + Terdapat lim f ( = L Ambil sembarag ε > 0 pilih δ > 0 sehigga f ( L < ε apabila c < δ Jelas c < δ c δ < < + δ Jadi c < < Jadi + ε > 0 δ > 0 f ( L < ε apabila c δ < < + δ da + δ lim f = L = lim f Terdapat lim f = L = lim f + Ambil sembarag ε > 0 pilih δ > 0 sehigga f ( L < ε apabila c δ < < c da c < < c δ jelas c δ < < c da c < < c δ Jadi ε > 0 δ > 0 f ( L < ε apabila c < δ Jadi lim f ( = L Cotoh (a). Diberika f ( = sg( Kita telah melihat cotoh 4..0(b) bahwa sg tidak mempuyai limit di 0. Jelas bahwa lim sg( = da lim sg( =. Karea limit ii satu sisi 0 yag berbeda. Itu juga megikuti dari teorema bahwa sg( tidak mempuyai limit di 0. (b). Diberika g ( = e utuk 0 0 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

21 Gambar 4.3. grafik g ( = e utuk 0 Kami pertama meujukka g tidak mempuyai sebuah limit kaa berhigga di c = 0 karea tidak dibatasi pada setiap persekitara kaa ( 0, δ ) di 0. kita wajib memafaatka ketidaksamaa () t 0 < t < e utuk t > 0 Yag aka dibuktika kemudia (lihat collary 8.3.3). megikuti dari () bahwa jika > 0, kemudia 0 < < e. Maka jika kita megambil =, kemudia g( ) > utuk semua N. Maka dari itu lim e + tidak terdapat di R. 0 Namu, lim e = 0. Memag jika < 0 da kita ambil 0 t = di () kita medapatka 0 < < e. Ketika < 0, ii berarti 0 < e < utuk semua < 0. Megikuti dari ketidaksamaa bahwa lim e = 0. 0 LIMIT TAK HINGGA Defiisi Diberika A R da f : A R da diberika c R titik limit di A. (i) Kita kataka bahwa f cederug sebagai c, da ditulis Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

22 lim f = Jika utuk setiap α R terdapat δ = δ ( α ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ, maka f ( > α (ii) Kita kataka bahwa f cederug sebagai c, da ditulis lim f = Jika utuk setiap β R terdapat δ = δ ( β ) > 0 sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ, maka f ( < β Iterpretasi geometri limit di tak higga: lim f ( = + lim f ( = lim f ( = + lim f ( = Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

23 f y δ(α) δ(α) α α δ(α) f y f( Cotoh (a). lim( ) = 0 Jika α > 0 diberika δ = maka bila ada 0 < < δ, maka α < α sehigga > α Teorema Ambil A R da ambil f, g : A R. da ambil c R mejadi titik limit dari A. diduga f ( g( utuk A, c :. Jika Lim f = maka Lim g =. Jika Lim g = maka Lim f = c a. Jika Lim f = da α R diberika, maka ada δ(α) > 0 sedemikia c sehigga jika < c < δ ( α ) 0 da A maka f ( > a. tetapi karea f ( g( utuk semua A, c A maka g ( > α. Terbukti Lim g =, berarti jika < c < δ ( α ) 0 da 3 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

24 Defiisi Ambil A R da f : A R ( c ) = { A c} Jika c R adalah titik limit dari himpua A,, > maka dikataka f cederug ke seperti c + da ditulis Lim f = (masig-masig Lim f = ) Jika utuk setiap α ada δ ( ) 0 R δ = α > sedemikia sehigga utuk semua A dega 0 < c < δ maka f ( > α (masig-masig f ( < α ) Cotoh :. Ambil g( bahwa Lim 0 = utuk 0. Kita mempuyai catata dari cotoh 4.3.6(b) g tidak ada. Cotoh ii meujukka : Lim(/ = da 0+ Lim(/ = 0. Lihat cotoh 4.3.4(b) bahwa fugsi terbatas di iterval ( 0,δ ). Limit kaa dari g ( = e utuk 0 e seperti 0 + adalah tidak tidak ada defiisi, karea < e utuk > 0 Maka Lim e = dari defiisi INFINITI LIMIT Defiisi Ambil A R da f : A R. Jika c R. ada (a, ) A utuk semua a R. dikataka bahwa Jika diberika > 0 L R adalah limit dari f seperti da ditulis Lim f = L atau Lim f ( = L ε maka ada K( ) a K = ε > sedemikia sehigga utuk > K maka f ( L < ε. 4 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

25 4.3. Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R maka peryataa dibawah ii ekuivale :. Lim f = L c. ada ( a ) A, utuk semua a R.. Utuk barisa ( ) di A ( a, ) sedemikia sehigga limit (, ) barisa f ( )) koverge ke L. ( a, Cotoh :. Ambil g( = utuk 0 Jawab : Ditujukka Lim( / 0 = Lim( /. Ambil = lihat f ( = utuk 0 Ditujukka bahwa Lim( / ) 0 = Lim( / ) = (lihat 4.3.3). Jika maka 0. dari bagia () terbukti bahwa Lim( / ) = Defiisi Ambil A R da f : A R. Jika R dikataka bahwa f cederug ke seperti Jika diberika maka f ( > α. R c. ada ( a ) A, utuk semua a A. da ditulis Lim f = (masig-masig Lim α maka ada K( ) a f = ) K = ε > sedemikia sehigga utuk > K Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R c. ada ( a ) A, utuk semua a A. peryataa dibawah ii ekuivale : 5 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

26 . Lim f = L. Utuk barisa ( ) di ( a, ) ( ( )) = f. sedemikia sehigga ( ) = lim maka lim Teorema Ambil A R da f : A R. Jika R dimaa ( 0 c. ada ( a ) A g > utuk > a da utuk L R, L 0 maka f ( Lim = L g(, utuk semua a A.. Jika L > 0 maka Lim f = jika da haya jika Lim g =. Jika L < 0 maka Lim f = Karea L > 0 Hipotesis ii ada a > a maka : Karea L) g( f ( ( 3L ) g( ) terbukti. ( jika da haya jika Lim g = f ( 3 0 < L < L utuk > a g( < < utuk > a dari kesimpula ii maka Cotoh :. Lim = Utuk N Jawab : Ambil ( utuk ( 0, ) g =. Diberika R α, ambil K = sup,α [ ] Kemudia utuk semua > K. Maka g( = > α. Karea α R maka Lim =. Lim = Utuk N, geap da Lim = Utuk N, gajil Jawab : 6 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

27 Karea gajil maka = k + dega k = 0,,... Diberika α R, ambil K = if{ α, } Utuk K Terdapat = ( ) < α k 3. Ambil p : R R adalah fugsi poliomial : p( = a a kemudia + a a +. Karea ε R maka Lim = 0 > karea ( ) Lim p = jika a > 0 da Lim p = jika a > 0 ambil g( = da guaka teorema karea p( = a + a a + a 0 g( sedemikia sehigga teorema Lim ( p( / g( ) = a karea Lim g = berlaku 4. Ambil p fugsi poliom dari bagia (3). Ada Lim p = (masig-masig - ) Jika geap da a > 0. k 7 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya

28 DAFTAR PUSTAKA Bartle, R.G, da Sherbert, D.E., 994. Itroductio To Real Aalysis, Third Editio. New York:Joh Wiley & Sos. Chotim. Moch Diktat Baha Ajar Aalisis Real. 8 Aalisis Real, 0 Malalia (005008) Febria Bidasari (00508) Mahasiswa Program Studi Pedidika Matematika Pasca Sarjaa Uiversitas Sriwijaya