Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret"

Transkripsi

1 Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret

2 Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga Riil {a } dega a adalah suku ke-. Betuk peulisa dari barisa :. betuk eksplisit suku ke-. ditulis barisaya sejumlah berhigga suku awalya.. betuk rekursi a,,, 4,... a, a a a 7/6/007 [MA 4]

3 Kekovergea Barisa Defiisi: Barisa {a } dikataka koverge meuju L atau berlimit L da ditulis sebagai lim a L Jika utuk tiap bilaga positif ε, ada bilaga positif N sehigga utuk N Sebalikya, barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge. a L < ε 7/6/007 [MA 4]

4 Catata Aka kita jumpai bayak persoala kovergesi barisa. Kita aka megguaka fakta berikut. Jika lim f ( ) L, maka lim f ( ) L Fakta ii memudahka karea kita dapat memakai kaidah I Hospital utuk soal peubah kotiu. 7/6/007 [MA 4] 4

5 Sifat Limit Barisa Sifat dari limit barisa, jika barisa {a } koverge ke L da barisa {b } koverge ke M, maka. lim( a ± b ) lim( a ) ± lim( b ) L ± M. lim( a.b ) lim( a ).lim( b ) L. M. a lim b lim a lim b ( ) L ( ) M Barisa {a } dikataka, utuk M 0 a. Mooto aik bila a a b. Mooto turu bila a a 7/6/007 [MA 4] 5

6 Cotoh Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii:. a Jawab: Ambil f ( ), Dalam hal ii meurut kaidah I Hospital, Jadi, lim f ( ) lim lim artiya barisa a koverge meuju ½. 7/6/007 [MA 4] 6

7 7/6/007 [MA 4] 7 Cotoh Cotoh e e lim ep. a Jawab: Ambil f ) (, Dalam hal ii meurut kaidah I Hospital, artiya barisa a koverge meuju e. e lim Jadi,.l lim ep l lim ep. lim ep lim

8 Latiha Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii: 4. a a 7. (a ), a a a a a ( π) 4 l() a a, a , 4,, ,,,, ,,,... 4, a, 4 4 4, /6/007 [MA 4] 8

9 Deret Tak Higga Betuk deret tak higga diotasika dega otasi sigma, sebagai berikut: 0 a a a a a 4 a dega a adalah suku ke-. 7/6/007 [MA 4] 9

10 Barisa Jumlah Parsial Misalka S meyataka jumlah parsial ke- suku deret i0 a i, maka S a S a a... S a a a a 4 a Barisa {S }, diamaka barisa jumlah parsial deret i0 Dari jumlah parsial ii di dapat bahwa S S - a. i 0 a i a i 7/6/007 [MA 4] 0

11 Kekovergea Deret Tak Higga a i Deret tak higga koverge da mempuyai i0 jumlah S jika barisa jumlah-jumlah parsialya {S } koverge ke S. Sebalikya apabila {S } diverge maka deret diverge. 7/6/007 [MA 4]

12 Deret Geometri Betuk umum deret geometri adalah dega a 0. ar a ar a r... a r -... Jumlah parsial deret ii adalah i S ar a ar a r... a r - i ( a r ) da dapat ditulis sebagai S r, r. 7/6/007 [MA 4]

13 Sifat Deret Geometri. Jika lim r r < maka barisa {r } koverge ke 0 karea 0, maka deretya koverge ke. Jika maka barisa {r } diverge karea r > maka deretya juga diverge a r lim r, 7/6/007 [MA 4]

14 Cotoh (Selidiki kekovergeaya). 4 8 Jawab: 6... Kalau kita perhatika S - S ( ) S ( ) Sehigga kita peroleh jumlah parsial ke--ya Da lim S S ( ) lim ( ( ) ) Jadi karea barisa jumlah-jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. 7/6/007 [MA 4] 4

15 Cotoh (). i(i i ) Jawab: Kalau kita perhatika - i(i ) i i Dari sii kita peroleh bahwa jumlah parsial ke--ya S Da (Deret Kolaps) / / / / / /... / / / / 4/ / lim S lim Jadi karea barisa jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. 7/6/007 [MA 4] 5

16 7/6/007 [MA 4] 6 Cotoh Cotoh () ().. Jawab: Dari sii kita dapatka Sehigga aka kita dapatka limit utuk S utuk meuju tak higga hargaya adalah tak higga juga. Jadi deret harmoik di atas adalah deret diverge. i i S S (Deret Harmoik)

17 Uji kedivergea dega suku ke-. Apabila a koverge maka lim a 0, ekivale 0 lim a 0 maka deret diverge. Cotoh: Buktika bahwa diverge. 4 Bukti lim 4 Jadi terbukti bahwa lim 4 4 (Tidak Nol) diverge. 7/6/007 [MA 4] 7

18 Masalah Baru Dalam bayak kasus bahwa lim a 0, tetapi dari sii kita sagat sulit meetuka apakah deret tersebut koverge atau diverge. Sebagai cotoh deret harmoik, Jelas bahwa lim a deret yag diverge. 0, tetapi deret harmoik adalah Oleh karea itu perlu dilakuka uji-uji utuk deret positif. 7/6/007 [MA 4] 8

19 Uji Deret Positif. Tes Itegral Misalka fugsi f kotiu mooto turu da f() > 0 pada selag [, ) a. Jika itegral tak wajar b. Jika itegral tak wajar f () f () koverge. diverge. f () f () d d koverge, maka deret diverge, maka deret 7/6/007 [MA 4] 9

20 Cotoh. Selidiki kekovergea dari Jawab. Kita ambil e d Jadi karea b e f () e, sehigga b lim e d lim b b b e lim d( lim e b juga koverge. b e b e d koverge, maka e ) e e 7/6/007 [MA 4] 0

21 Cotoh. Selidiki kekovergea dari l Jawab. Kita ambil f ( ), sehigga l d b d lim b l d(l ) lim l b l lim l l lim l lb l l b ( ) ( ) ( ) b Jadi karea juga diverge. d l diverge, maka l 7/6/007 [MA 4]

22 Latiha.. Selidiki kekovergea deret berikut:. ( ) l 4 ( ) /6/007 [MA 4]

23 Uji Deret Positif. Uji Deret -p Deret-p atau deret hiperharmoik mempuyai betuk umum p i i Dega megguaka tes itegral, kita dapatka lim t p d p lim t p Kalau kita perhatika, utuk t lim t t p p. p diperoleh deret harmoik, sehigga utuk p deret diverge. p. p > maka lim t 0, sehigga diperoleh deret t yag koverge. 7/6/007 [MA 4]

24 Uji Deret Positif lim t p. p < maka, sehigga diperoleh deret yag t diverge. 4. p < 0, suku ke- deret P, yaitu, P tidak meuju 0. i i Jadi deret diverge meurut Uji Suku ke- Sehigga dapat kita simpulka utuk uji deret-p, yaitu:. Deret-p koverge apabila p >. Deret-p diverge apabila 0 p 7/6/007 [MA 4] 4

25 Cotoh Apakah deret berikut koverge atau diverge?.,00 Berdasarka uji deret-p, deret,00 koverge karea p,00 >. Berdasarka uji deret-p, deret diverge karea p ½ < 7/6/007 [MA 4] 5

26 Uji Deret Positif. Tes Perbadiga dega deret lai Adaika ` a da ` b deret positif, jika a b maka ` a `. Jika b koverge, maka ` b ` a koverge. Jika diverge, maka diverge 7/6/007 [MA 4] 6

27 Cotoh Selidiki Kekovergea deret berikut:. Jawab: 5 Aka kita badigka deret ii dega a da b kita tahu bahwa adalah deret harmoik da, Sehigga karea deret diverge, maka 5 5 deret yag diverge. 5, 7/6/007 [MA 4] 7

28 Cotoh. 5 Jawab: Aka kita badigka deret ii dega b da a kita tahu bahwa adalah deret hiperharmoik dega p > da, Sehigga karea 5 deret koverge, maka 5 deret yag koverge. 5 7/6/007 [MA 4] 8

29 Latiha Selidiki kekovergea deret berikut ( ) 7/6/007 [MA 4] 9

30 Uji Deret Positif 4. Tes Badig limit Adaika a da b deret positif da. Jika 0 < L < maka a ` koverge atau diverge da b ` a lim L b sama-sama. Jika L 0 da ` b koverge maka a ` koverge. 7/6/007 [MA 4] 0

31 Cotoh Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 5 7 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b sehigga a lim lim 5 7 lim b 5 7 Jadi karea L da koverge, maka deret koverge /6/007 [MA 4]

32 Cotoh Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 4 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b sehigga a lim lim 4 b lim 4 Jadi karea L da diverge, maka deret diverge. 4 7/6/007 [MA 4]

33 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut: l 4. 7/6/007 [MA 4]

34 Uji Deret Positif 5. Tes Hasil Bagi Diketahui k a k merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif, misalka a lim a k k k ρ ρ k ρ k. Jika < maka deret a k koverge. Jika > maka deret. Jika a k diverge ρ maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 7/6/007 [MA 4] 4

35 Cotoh Selidiki kekovergea deret berikut:.! Jawab: Misalka suku ke- adalah a, maka suku ke-! adalah a sehigga ( )! a lim a lim ( )!!! lim ( )! lim ( ) Karea ilai limit r0 (< ), maka deret! 0 koverge 7/6/007 [MA 4] 5

36 Cotoh. Jawab: Misalka suku ke- adalah a, maka suku ke- adalah a sehigga ( ) a lim a lim ( ) lim ( ) lim Karea ilai limit r (> ), maka deret ( ) diverge 7/6/007 [MA 4] 6

37 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut:...!! ( ) 4! ! ( )! 7/6/007 [MA 4] 7

38 Uji Deret Positif 6. Tes Akar Diketahui k a k merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif, misalka limk a k k a a k k. Jika a < maka deret koverge. Jika a > maka deret. Jika a a k k diverge maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 7/6/007 [MA 4] 8

39 Cotoh Selidiki kekovergea deret. Jawab: Misalka suku ke- adalah a limitya adalah, maka ilai lim a lim Karea ilai limit r (> ), maka deret diverge 7/6/007 [MA 4] 9

40 Cotoh. Jawab: Misalka suku ke- adalah a limitya adalah, maka ilai lim a lim Karea ilai limit r ½ (< ), maka deret koverge 7/6/007 [MA 4] 40

41 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut:. l /6/007 [MA 4] 4

42 Deret Gati Tada da Kekovergea Mutlak Deret Gati Tada Deret ii mempuyai betuk sebagai berikut ( ) a a a a a... 4 dega a > 0, utuk semua. Cotoh petig adalah deret harmoik bergati tada, yaitu ( ) /6/007 [MA 4] 4

43 Uji Deret Gati Tada Adaika deret gati tada, deret tersebut dikataka koverge jika. a < a. lim a 0 Cotoh Tetuka kekovergea deret gati tada berikut !! 4! 7/6/007 [MA 4] 4

44 Cotoh. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a, da a tersebut koverge jika a a. > a >a a b. lim lim 0 a, deret Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. 7/6/007 [MA 4] 44

45 Cotoh. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a! tersebut koverge jika a! a. > a >a a! ( )! b. lim lim 0 a, da a ( )!, deret Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. 7/6/007 [MA 4] 45

46 Latiha Selidiki kekovergea dari deret gati tada berikut:.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )! 7/6/007 [MA 4] 46

47 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Suatu deret dikataka koverge mutlak bila harga mutlak deret tersebut koverge. b dikataka koverge mutlak jika Da dikataka koverge bersyarat jika tetapi b koverge. Atau dega kata lai b b koverge. diverge, 7/6/007 [MA 4] 47

48 Pegujia Kekovergea Mutlak Misalka a dega a 0 da a lim a r. Maka. bila r < maka deret koverge mutlak. bila r > maka deret diverge. bila r maka tes gagal.` 7/6/007 [MA 4] 48

49 Cotoh Selidiki deret berikut koverge bersyarat, koverge mutlak atau diverge!. ( ) Jawab: Dari soal diatas kita puya a ( ), da a ( ) sehigga! ( )! r lim a a lim ( ) ( ) ( ) ( )!!! lim ( )! lim 0 Meurut uji hasilbagi mutlak, deret ii koverge mutlak 7/6/007 [MA 4] 49

50 . ( ) Jawab: Cotoh Dega uji deret gati tada deret ( ) (buktika!!), Jadi deret sedagka ( ) (karea merupaka deret-p dega p ½ < ) a koverge adalah deret diverge adalah koverge bersyarat. 7/6/007 [MA 4] 50

51 . Latiha Selidiki apakah deret tersebut koverge mutlak, koverge bersyarat atau diverge: ( ) 5 4. ( ) ( ). ( 4) 5. ( ) l. ( ) 6. ( ) 7/6/007 [MA 4] 5

52 Deret Pagkat Deret pagkat secara umum ada dua betuk. Deret pagkat dalam didefiisika 0 a a 0 a a.... Deret pagkat dalam ( b) didefiisika 0 a ( b) a 0 a (-b) a (-b)... Utuk kali ii kita bicara selag kekovergea / utuk harga berapa saja deret pagkat tersebut koverge. 7/6/007 [MA 4] 5

53 Selag Kekovergea Selag kekovergea ditetuka dega uji hasilbagi mutlak sebagai berikut: 0 Misalka ( b) a ( b) a da L lim a ( b). Jika L <, maka deret koverge.. Jika L, tidak dapat diambil kesimpula guaka uji deret sebelumya. 7/6/007 [MA 4] 5

54 Soal Tetuka selag kekovergea deret.. ( ) 0 0 ( )!. 0 ( )! 7/6/007 [MA 4] 54

55 Jawab. Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L ( ) ( ) lim : lim ( ) ( ) Jadi deret tersebut koverge mutlak apabila L<, yaitu < < Kemudia aka kita cek utuk titik ujug itervalya yaitu atau -. Pada ( ) ( ) deret ii adalah deret harmoik yag diverge. 7/6/007 [MA 4] 55

56 Jawab Pada ( ) ( ) ( ) ( ) deret ii adalah deret harmoik bergati tada yag koverge. Sehigga selag kekovergeaya adalah < 7/6/007 [MA 4] 56

57 Jawab(). Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L lim : ( )! ( )! lim ( ) 0 Karea L 0 <, maka deret selalu koverge utuk semua ilai. Jadi selag kekovergeaya adalah (-, ) 7/6/007 [MA 4] 57

58 Jawab(). Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L lim ( )! ( )! ( ) lim 0,, jika jika 0 0 Jadi deret tersebut koverge haya utuk 0. 7/6/007 [MA 4] 58

59 Teorema a Himpua kekovergea deret pagkat 0 selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut:. satu titik 0. selag (-c, c), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya.. seluruh himpua bilaga riil berbetuk 7/6/007 [MA 4] 59

60 Teorema Himpua kekovergea deret pagkat a ( b) 0 berbetuk selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut :. satu titik b. selag (b-c, cb), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya.. seluruh himpua bilaga riil 7/6/007 [MA 4] 60

61 Latiha Tetuka selag kekovergea deret pagkat berikut:... ( ) 0 ( ) ( ) l ( ) l ( ).9.7 ( ) ( ) ( )!!... 4 l /6/007 [MA 4] 6

62 Operasi deret pagkat Dalam pasal sebelumya utuk < < deret a a Pertayaa yag mucul megeai sifat-sifat deret kuasa di atas (misal S() a ) misalka bagaimaa jika S() didiferesialka da jika S() diitegralka. 7/6/007 [MA 4] 6

63 Teorema Adaika S() adalah jumlah sebuah deret pagkat pada sebuah selag I; jadi S() a a 0 a a a... 0 Maka. S () D[ a ] D[a 0 a a a...] 0 a a a S( t) dt 0 0 a t dt a 0 a 0 a a a a 7/6/007 [MA 4] 6

64 Cotoh Sesuai teorema di atas a. ( )... utuk -< <, tetuka Jawab: a. ( ) b. l( ) Dega meuruka suku demi suku, kita peroleh ( ) 4..., -< < D 7/6/007 [MA 4] 64

65 Cotoh a. l ( ) Sedagka dega megitegralka suku demi suku, kita peroleh juga l( ) dt t t t... dt t t t t t , -< <... 7/6/007 [MA 4] 65

66 7/6/007 [MA 4] 66 Latiha Latiha f ) ( f ) ( f l ) ( ( ) ) ( f f()ta - () ( ) f ) ( 7. ) ( f 4. Tetuka (Petujuk : Lihat cotoh a da b di atas)

67 Deret Taylor da Deret Macluri Deret Taylor Defiisi: Misalka f() dapat dituruka sampai kali pada b. Maka f() dapat diperderetka mejadi deret kuasa dalam betuk 0 f ( )! ( b) ( b) f() f(b) f (b)(-b)... deret di atas disebut Deret Taylor dega pusat b. Bila b 0, kita peroleh Deret Mac Lauri, yaitu ( ) f (0) f "(0) f() ( )! f(0) f (0)()...! 0 f ''( b) ( b)! 7/6/007 [MA 4] 67

68 Cotoh Perderetka fugsi berikut dega deret maclauri:. f() si Jawab: f() si f () cos f () - si f () - cos f lv () si f(0) 0 f (0) f (0) 0 f (0) - f lv (0) 0 Sehigga, f ( ) si! 5 5! 7/6/007 [MA 4] 7 7!... 0 ( ) ( )! 68

69 . f() e Cotoh Jawab: f() e f () e f () e f () e f lv () e f(0) f (0) f (0) f (0) f lv (0) Sehigga, f ( ) e!! 4 4!... 0! 7/6/007 [MA 4] 69

70 Cotoh. Perderetka f() e dega deret taylor dega pusat di Jawab: f() e f () e f () e f () e f lv () e f() e f () e f () e f () e f lv () e f ( ) e Sehigga, e e( ) e ( ) ( )! e!... ( ) e 0! 7/6/007 [MA 4] 70

71 Latiha. Perderetka dega f() berikut deret maclauri a. f() cos e. f() si f. f() sec b. f() cos g. f() ta c. f() cos d. f() e si h. f() sec. Perderetka dega f() berikut deret taylor dega pusat a a. f() cos, a π/ c. f() e, a b. f() si, a π/ 7/6/007 [MA 4] 7

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2:

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2: MAKALAH KALKULUS LANJUT DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA OLEH : KELOMPOK 2:. NI LUH PUTU SUARDIYANTI (0830005) 2. I WAYAN WIDNYANA (0830008) 3. LUH PUTU PRAJAYANTHI W. (0830027) JURUSAN

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA Fitriai Agustia, Math, UPI 1 Fiacial Derivative Opsi Mafaat Opsi Opsi Eropa Peetua Harga Opsi Kekovergea Model Biomial Fitriai Agustia, Math,

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT

METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Joas Lodewyk H 1, Zulkarai 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013

InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013 IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai : Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga

Lebih terperinci

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL

BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Ruag Barisa BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membicaraka barisa da deret aka dibicaraka lebih dahulu tetag bilaga real karea barisa da deret yag aka dibicaraka adalah barisa da deret bilaga real. Sistem

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK

RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN

PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim :

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci