Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Transkripsi

1 Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret

2 Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga Riil {a } dega a adalah suku ke-. Betuk peulisa dari barisa :. betuk eksplisit suku ke-. ditulis barisaya sejumlah berhigga suku awalya.. betuk rekursi a,,, 4,... a, a a a 7/6/007 [MA 4]

3 Kekovergea Barisa Defiisi: Barisa {a } dikataka koverge meuju L atau berlimit L da ditulis sebagai lim a L Jika utuk tiap bilaga positif ε, ada bilaga positif N sehigga utuk N Sebalikya, barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge. a L < ε 7/6/007 [MA 4]

4 Catata Aka kita jumpai bayak persoala kovergesi barisa. Kita aka megguaka fakta berikut. Jika lim f ( ) L, maka lim f ( ) L Fakta ii memudahka karea kita dapat memakai kaidah I Hospital utuk soal peubah kotiu. 7/6/007 [MA 4] 4

5 Sifat Limit Barisa Sifat dari limit barisa, jika barisa {a } koverge ke L da barisa {b } koverge ke M, maka. lim( a ± b ) lim( a ) ± lim( b ) L ± M. lim( a.b ) lim( a ).lim( b ) L. M. a lim b lim a lim b ( ) L ( ) M Barisa {a } dikataka, utuk M 0 a. Mooto aik bila a a b. Mooto turu bila a a 7/6/007 [MA 4] 5

6 Cotoh Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii:. a Jawab: Ambil f ( ), Dalam hal ii meurut kaidah I Hospital, Jadi, lim f ( ) lim lim artiya barisa a koverge meuju ½. 7/6/007 [MA 4] 6

7 7/6/007 [MA 4] 7 Cotoh Cotoh e e lim ep. a Jawab: Ambil f ) (, Dalam hal ii meurut kaidah I Hospital, artiya barisa a koverge meuju e. e lim Jadi,.l lim ep l lim ep. lim ep lim

8 Latiha Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii: 4. a a 7. (a ), a a a a a ( π) 4 l() a a, a , 4,, ,,,, ,,,... 4, a, 4 4 4, /6/007 [MA 4] 8

9 Deret Tak Higga Betuk deret tak higga diotasika dega otasi sigma, sebagai berikut: 0 a a a a a 4 a dega a adalah suku ke-. 7/6/007 [MA 4] 9

10 Barisa Jumlah Parsial Misalka S meyataka jumlah parsial ke- suku deret i0 a i, maka S a S a a... S a a a a 4 a Barisa {S }, diamaka barisa jumlah parsial deret i0 Dari jumlah parsial ii di dapat bahwa S S - a. i 0 a i a i 7/6/007 [MA 4] 0

11 Kekovergea Deret Tak Higga a i Deret tak higga koverge da mempuyai i0 jumlah S jika barisa jumlah-jumlah parsialya {S } koverge ke S. Sebalikya apabila {S } diverge maka deret diverge. 7/6/007 [MA 4]

12 Deret Geometri Betuk umum deret geometri adalah dega a 0. ar a ar a r... a r -... Jumlah parsial deret ii adalah i S ar a ar a r... a r - i ( a r ) da dapat ditulis sebagai S r, r. 7/6/007 [MA 4]

13 Sifat Deret Geometri. Jika lim r r < maka barisa {r } koverge ke 0 karea 0, maka deretya koverge ke. Jika maka barisa {r } diverge karea r > maka deretya juga diverge a r lim r, 7/6/007 [MA 4]

14 Cotoh (Selidiki kekovergeaya). 4 8 Jawab: 6... Kalau kita perhatika S - S ( ) S ( ) Sehigga kita peroleh jumlah parsial ke--ya Da lim S S ( ) lim ( ( ) ) Jadi karea barisa jumlah-jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. 7/6/007 [MA 4] 4

15 Cotoh (). i(i i ) Jawab: Kalau kita perhatika - i(i ) i i Dari sii kita peroleh bahwa jumlah parsial ke--ya S Da (Deret Kolaps) / / / / / /... / / / / 4/ / lim S lim Jadi karea barisa jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge. 7/6/007 [MA 4] 5

16 7/6/007 [MA 4] 6 Cotoh Cotoh () ().. Jawab: Dari sii kita dapatka Sehigga aka kita dapatka limit utuk S utuk meuju tak higga hargaya adalah tak higga juga. Jadi deret harmoik di atas adalah deret diverge. i i S S (Deret Harmoik)

17 Uji kedivergea dega suku ke-. Apabila a koverge maka lim a 0, ekivale 0 lim a 0 maka deret diverge. Cotoh: Buktika bahwa diverge. 4 Bukti lim 4 Jadi terbukti bahwa lim 4 4 (Tidak Nol) diverge. 7/6/007 [MA 4] 7

18 Masalah Baru Dalam bayak kasus bahwa lim a 0, tetapi dari sii kita sagat sulit meetuka apakah deret tersebut koverge atau diverge. Sebagai cotoh deret harmoik, Jelas bahwa lim a deret yag diverge. 0, tetapi deret harmoik adalah Oleh karea itu perlu dilakuka uji-uji utuk deret positif. 7/6/007 [MA 4] 8

19 Uji Deret Positif. Tes Itegral Misalka fugsi f kotiu mooto turu da f() > 0 pada selag [, ) a. Jika itegral tak wajar b. Jika itegral tak wajar f () f () koverge. diverge. f () f () d d koverge, maka deret diverge, maka deret 7/6/007 [MA 4] 9

20 Cotoh. Selidiki kekovergea dari Jawab. Kita ambil e d Jadi karea b e f () e, sehigga b lim e d lim b b b e lim d( lim e b juga koverge. b e b e d koverge, maka e ) e e 7/6/007 [MA 4] 0

21 Cotoh. Selidiki kekovergea dari l Jawab. Kita ambil f ( ), sehigga l d b d lim b l d(l ) lim l b l lim l l lim l lb l l b ( ) ( ) ( ) b Jadi karea juga diverge. d l diverge, maka l 7/6/007 [MA 4]

22 Latiha.. Selidiki kekovergea deret berikut:. ( ) l 4 ( ) /6/007 [MA 4]

23 Uji Deret Positif. Uji Deret -p Deret-p atau deret hiperharmoik mempuyai betuk umum p i i Dega megguaka tes itegral, kita dapatka lim t p d p lim t p Kalau kita perhatika, utuk t lim t t p p. p diperoleh deret harmoik, sehigga utuk p deret diverge. p. p > maka lim t 0, sehigga diperoleh deret t yag koverge. 7/6/007 [MA 4]

24 Uji Deret Positif lim t p. p < maka, sehigga diperoleh deret yag t diverge. 4. p < 0, suku ke- deret P, yaitu, P tidak meuju 0. i i Jadi deret diverge meurut Uji Suku ke- Sehigga dapat kita simpulka utuk uji deret-p, yaitu:. Deret-p koverge apabila p >. Deret-p diverge apabila 0 p 7/6/007 [MA 4] 4

25 Cotoh Apakah deret berikut koverge atau diverge?.,00 Berdasarka uji deret-p, deret,00 koverge karea p,00 >. Berdasarka uji deret-p, deret diverge karea p ½ < 7/6/007 [MA 4] 5

26 Uji Deret Positif. Tes Perbadiga dega deret lai Adaika ` a da ` b deret positif, jika a b maka ` a `. Jika b koverge, maka ` b ` a koverge. Jika diverge, maka diverge 7/6/007 [MA 4] 6

27 Cotoh Selidiki Kekovergea deret berikut:. Jawab: 5 Aka kita badigka deret ii dega a da b kita tahu bahwa adalah deret harmoik da, Sehigga karea deret diverge, maka 5 5 deret yag diverge. 5, 7/6/007 [MA 4] 7

28 Cotoh. 5 Jawab: Aka kita badigka deret ii dega b da a kita tahu bahwa adalah deret hiperharmoik dega p > da, Sehigga karea 5 deret koverge, maka 5 deret yag koverge. 5 7/6/007 [MA 4] 8

29 Latiha Selidiki kekovergea deret berikut ( ) 7/6/007 [MA 4] 9

30 Uji Deret Positif 4. Tes Badig limit Adaika a da b deret positif da. Jika 0 < L < maka a ` koverge atau diverge da b ` a lim L b sama-sama. Jika L 0 da ` b koverge maka a ` koverge. 7/6/007 [MA 4] 0

31 Cotoh Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 5 7 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b sehigga a lim lim 5 7 lim b 5 7 Jadi karea L da koverge, maka deret koverge /6/007 [MA 4]

32 Cotoh Selidiki kekovergea dari deret berikut :. 4 Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b sehigga a lim lim 4 b lim 4 Jadi karea L da diverge, maka deret diverge. 4 7/6/007 [MA 4]

33 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut: l 4. 7/6/007 [MA 4]

34 Uji Deret Positif 5. Tes Hasil Bagi Diketahui k a k merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif, misalka a lim a k k k ρ ρ k ρ k. Jika < maka deret a k koverge. Jika > maka deret. Jika a k diverge ρ maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 7/6/007 [MA 4] 4

35 Cotoh Selidiki kekovergea deret berikut:.! Jawab: Misalka suku ke- adalah a, maka suku ke-! adalah a sehigga ( )! a lim a lim ( )!!! lim ( )! lim ( ) Karea ilai limit r0 (< ), maka deret! 0 koverge 7/6/007 [MA 4] 5

36 Cotoh. Jawab: Misalka suku ke- adalah a, maka suku ke- adalah a sehigga ( ) a lim a lim ( ) lim ( ) lim Karea ilai limit r (> ), maka deret ( ) diverge 7/6/007 [MA 4] 6

37 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut:...!! ( ) 4! ! ( )! 7/6/007 [MA 4] 7

38 Uji Deret Positif 6. Tes Akar Diketahui k a k merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif, misalka limk a k k a a k k. Jika a < maka deret koverge. Jika a > maka deret. Jika a a k k diverge maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 7/6/007 [MA 4] 8

39 Cotoh Selidiki kekovergea deret. Jawab: Misalka suku ke- adalah a limitya adalah, maka ilai lim a lim Karea ilai limit r (> ), maka deret diverge 7/6/007 [MA 4] 9

40 Cotoh. Jawab: Misalka suku ke- adalah a limitya adalah, maka ilai lim a lim Karea ilai limit r ½ (< ), maka deret koverge 7/6/007 [MA 4] 40

41 Latiha Selidiki kekovergea dari deret berikut:. l /6/007 [MA 4] 4

42 Deret Gati Tada da Kekovergea Mutlak Deret Gati Tada Deret ii mempuyai betuk sebagai berikut ( ) a a a a a... 4 dega a > 0, utuk semua. Cotoh petig adalah deret harmoik bergati tada, yaitu ( ) /6/007 [MA 4] 4

43 Uji Deret Gati Tada Adaika deret gati tada, deret tersebut dikataka koverge jika. a < a. lim a 0 Cotoh Tetuka kekovergea deret gati tada berikut !! 4! 7/6/007 [MA 4] 4

44 Cotoh. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a, da a tersebut koverge jika a a. > a >a a b. lim lim 0 a, deret Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. 7/6/007 [MA 4] 44

45 Cotoh. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a! tersebut koverge jika a! a. > a >a a! ( )! b. lim lim 0 a, da a ( )!, deret Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge. 7/6/007 [MA 4] 45

46 Latiha Selidiki kekovergea dari deret gati tada berikut:.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )! 7/6/007 [MA 4] 46

47 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Suatu deret dikataka koverge mutlak bila harga mutlak deret tersebut koverge. b dikataka koverge mutlak jika Da dikataka koverge bersyarat jika tetapi b koverge. Atau dega kata lai b b koverge. diverge, 7/6/007 [MA 4] 47

48 Pegujia Kekovergea Mutlak Misalka a dega a 0 da a lim a r. Maka. bila r < maka deret koverge mutlak. bila r > maka deret diverge. bila r maka tes gagal.` 7/6/007 [MA 4] 48

49 Cotoh Selidiki deret berikut koverge bersyarat, koverge mutlak atau diverge!. ( ) Jawab: Dari soal diatas kita puya a ( ), da a ( ) sehigga! ( )! r lim a a lim ( ) ( ) ( ) ( )!!! lim ( )! lim 0 Meurut uji hasilbagi mutlak, deret ii koverge mutlak 7/6/007 [MA 4] 49

50 . ( ) Jawab: Cotoh Dega uji deret gati tada deret ( ) (buktika!!), Jadi deret sedagka ( ) (karea merupaka deret-p dega p ½ < ) a koverge adalah deret diverge adalah koverge bersyarat. 7/6/007 [MA 4] 50

51 . Latiha Selidiki apakah deret tersebut koverge mutlak, koverge bersyarat atau diverge: ( ) 5 4. ( ) ( ). ( 4) 5. ( ) l. ( ) 6. ( ) 7/6/007 [MA 4] 5

52 Deret Pagkat Deret pagkat secara umum ada dua betuk. Deret pagkat dalam didefiisika 0 a a 0 a a.... Deret pagkat dalam ( b) didefiisika 0 a ( b) a 0 a (-b) a (-b)... Utuk kali ii kita bicara selag kekovergea / utuk harga berapa saja deret pagkat tersebut koverge. 7/6/007 [MA 4] 5

53 Selag Kekovergea Selag kekovergea ditetuka dega uji hasilbagi mutlak sebagai berikut: 0 Misalka ( b) a ( b) a da L lim a ( b). Jika L <, maka deret koverge.. Jika L, tidak dapat diambil kesimpula guaka uji deret sebelumya. 7/6/007 [MA 4] 5

54 Soal Tetuka selag kekovergea deret.. ( ) 0 0 ( )!. 0 ( )! 7/6/007 [MA 4] 54

55 Jawab. Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L ( ) ( ) lim : lim ( ) ( ) Jadi deret tersebut koverge mutlak apabila L<, yaitu < < Kemudia aka kita cek utuk titik ujug itervalya yaitu atau -. Pada ( ) ( ) deret ii adalah deret harmoik yag diverge. 7/6/007 [MA 4] 55

56 Jawab Pada ( ) ( ) ( ) ( ) deret ii adalah deret harmoik bergati tada yag koverge. Sehigga selag kekovergeaya adalah < 7/6/007 [MA 4] 56

57 Jawab(). Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L lim : ( )! ( )! lim ( ) 0 Karea L 0 <, maka deret selalu koverge utuk semua ilai. Jadi selag kekovergeaya adalah (-, ) 7/6/007 [MA 4] 57

58 Jawab(). Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L lim ( )! ( )! ( ) lim 0,, jika jika 0 0 Jadi deret tersebut koverge haya utuk 0. 7/6/007 [MA 4] 58

59 Teorema a Himpua kekovergea deret pagkat 0 selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut:. satu titik 0. selag (-c, c), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya.. seluruh himpua bilaga riil berbetuk 7/6/007 [MA 4] 59

60 Teorema Himpua kekovergea deret pagkat a ( b) 0 berbetuk selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut :. satu titik b. selag (b-c, cb), mugki ditambah salah satu atau keduaya titik ujugya.. seluruh himpua bilaga riil 7/6/007 [MA 4] 60

61 Latiha Tetuka selag kekovergea deret pagkat berikut:... ( ) 0 ( ) ( ) l ( ) l ( ).9.7 ( ) ( ) ( )!!... 4 l /6/007 [MA 4] 6

62 Operasi deret pagkat Dalam pasal sebelumya utuk < < deret a a Pertayaa yag mucul megeai sifat-sifat deret kuasa di atas (misal S() a ) misalka bagaimaa jika S() didiferesialka da jika S() diitegralka. 7/6/007 [MA 4] 6

63 Teorema Adaika S() adalah jumlah sebuah deret pagkat pada sebuah selag I; jadi S() a a 0 a a a... 0 Maka. S () D[ a ] D[a 0 a a a...] 0 a a a S( t) dt 0 0 a t dt a 0 a 0 a a a a 7/6/007 [MA 4] 6

64 Cotoh Sesuai teorema di atas a. ( )... utuk -< <, tetuka Jawab: a. ( ) b. l( ) Dega meuruka suku demi suku, kita peroleh ( ) 4..., -< < D 7/6/007 [MA 4] 64

65 Cotoh a. l ( ) Sedagka dega megitegralka suku demi suku, kita peroleh juga l( ) dt t t t... dt t t t t t , -< <... 7/6/007 [MA 4] 65

66 7/6/007 [MA 4] 66 Latiha Latiha f ) ( f ) ( f l ) ( ( ) ) ( f f()ta - () ( ) f ) ( 7. ) ( f 4. Tetuka (Petujuk : Lihat cotoh a da b di atas)

67 Deret Taylor da Deret Macluri Deret Taylor Defiisi: Misalka f() dapat dituruka sampai kali pada b. Maka f() dapat diperderetka mejadi deret kuasa dalam betuk 0 f ( )! ( b) ( b) f() f(b) f (b)(-b)... deret di atas disebut Deret Taylor dega pusat b. Bila b 0, kita peroleh Deret Mac Lauri, yaitu ( ) f (0) f "(0) f() ( )! f(0) f (0)()...! 0 f ''( b) ( b)! 7/6/007 [MA 4] 67

68 Cotoh Perderetka fugsi berikut dega deret maclauri:. f() si Jawab: f() si f () cos f () - si f () - cos f lv () si f(0) 0 f (0) f (0) 0 f (0) - f lv (0) 0 Sehigga, f ( ) si! 5 5! 7/6/007 [MA 4] 7 7!... 0 ( ) ( )! 68

69 . f() e Cotoh Jawab: f() e f () e f () e f () e f lv () e f(0) f (0) f (0) f (0) f lv (0) Sehigga, f ( ) e!! 4 4!... 0! 7/6/007 [MA 4] 69

70 Cotoh. Perderetka f() e dega deret taylor dega pusat di Jawab: f() e f () e f () e f () e f lv () e f() e f () e f () e f () e f lv () e f ( ) e Sehigga, e e( ) e ( ) ( )! e!... ( ) e 0! 7/6/007 [MA 4] 70

71 Latiha. Perderetka dega f() berikut deret maclauri a. f() cos e. f() si f. f() sec b. f() cos g. f() ta c. f() cos d. f() e si h. f() sec. Perderetka dega f() berikut deret taylor dega pusat a a. f() cos, a π/ c. f() e, a b. f() si, a π/ 7/6/007 [MA 4] 7