BAB I BILANGAN KOMPLEKS

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB I BILANGAN KOMPLEKS"

Transkripsi

1 BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN Bilaga kompleks dapat didefiisika melalui pasaga terurut (,) dari bilaga real ag diiterprestasika melalui bidag kompleks, dega koordiat empat persegi pajag da. Bilaga dapat digambarka melalui titik (,) pada sumbu real. Dari sii terlihat bahwa himpua bilaga real termuat dalam himpua bilaga kompleks. Bilaga kompleks ag berbetuk (,) berhubuga dega titik pada sumbu da disebut bilaga imajier muri. Sumbu disebut juga sumbu imajier. Bilaga kompleks (,) biasaa diotasika dega, sehigga () = (,) Bilaga real da masig-masig merupaka bagia real da bagia imajier dari ; da ditulis () Re =, Im = Dua bilaga kompleks = (, ) da = (, ) dikataka sama apabila mempuai bagia real da bagia imajier ag sama. Jadi = jika da haa jika merupaka titik-titik ag sama dibidag kompleks atau dibidag. Pejumlaha + da perkalia dari dua bilaga kompleks =(, ) da = (, ) didefiisika sebagai berikut : () (, ) + (, ) = ( +, + ) (4) (, )(, ) = ( -, + ) Sebagai catata, bahwa operasi ag didefiisika pada (.) da (.4) berasal dari operasi pejumlaha da perkalia pada bilaga real, ag dibatasi pada:

2 (,) + (,) = ( +,) (,)(,) = (,) Dari uraia di atas meujukka bahwa sistim bilaga kompleks merupaka perluasa dari sistim bilaga real. Setiap bilaga kompleks = (,) dapat ditulis = (,) + (,), da juga (,)(,) = (,), jadi = (,) + (,)(,). Jika =(,) da i bagia imajier muri (,), maka jelas bahwa (5) = + i Juga, akibat dari =, =, da seterusa, kita dapatka bahwa i = (,)(,) = (-,), atau (6) i = - Dari persamaa (5), defiisi () da (4) diperoleh (7) ( +i ) + ( +i ) = ( + ) + i( + ) (8) ( +i )( +i ) = ( - ) + i( + ). SIFAT-SIFAT ALJABAR Umuma sifat pejumlaha da perkalia pada bilaga kompleks sama dega bilaga real. Kita daftar sifat-sifat aljabar ag palig medasar, sedagka ag laia sebagai latiha. Hukum komutatif () + = +,. =. da hukum assositif () ( + ) + = + ( + ), ( ) = ( ) pembuktia dari hukum ii sagat mudah berdasarka defiisi dari pejumlaha da perkalia pada bagia. Sebagai cotoh, jika = (, ) da = (, ), maka + = ( +, + ) + ( +, + ) = + Pembuktia utuk hukum ag lai di atas kita tiggalka, selajuta hukum distributif

3 () ( + ) = + da pembuktiaa serupa dega hal di atas. Hukum komutatif utuk perkalia, i = i juga berlaku. Akibata kita juga dapat meuliska = + i da hukum-hukum di atas terdefiisi dega baik, sebab sama saja dega kasus pada bilaga real. Pejumlaha idetitas = (,) da perkalia idetitas = (,) utuk bilaga real sama dega utuk sistim bilaga kompleks, aitu (4) + = da. = utuk setiap bilaga kompleks. Selajuta, pembuktia ketuggala da ii pada bilaga kompleks ditiggalka utuk latiha. Hubuga bilaga kompleks = (,) dega ivers pejumlaha (5) - = (-,-) memeuhi persamaa + (-) =. Selajuta, ivers pejumlaha dari setiap bilaga adalah tuggal, karea persamaa (,) + (u,v) = (,) megakibatka u = - da v = -. Persamaa (5) dapat juga ditulis mejadi = --i, utuk pembuktia (i) = (- i) = i(-) kita tiggalka sebagai latiha. Ivers pejumlaha diguaka utuk medefiisika peguraga bilaga kompleks berikut : (6) - = + (- ) Juga, jika = (, ) da = (, ), maka (7) = ( -, - ) = ( - ) + i( - ). Utuk setiap bilaga kompleks tak ol = (,), terdapat bilaga kompleks - sehigga. - =. Utuk medapatka bilaga kompleks - perhatika ekspresi berikut dega memisalka bilaga real u da v, sehigga (,)(u,v) = (,). Dari persamaa (4) bagia, sifat perkalia dari bilaga kompleks u da v harus memeuhi pasaga berikut u-v =, u+v = dari persamaa liier simulta, kita peroleh

4 4, v u Jadi ivers perkalia dari = (,) adalah (8), Ivers perkalia - tidak didefiisika utuk =. Keataaa bahwa, = megakibatka + =, da ii tidak terdefiisi pada persamaa (8). Keberadaa dari ivers perkalia diguaka utuk meujukka bahwa jika perkalia =, maka palig sedikit salah satu faktor atau sama dega ol. Utuk bukti perataa ii, kita misalka saja. = da. Akibata - ada. Dari defiisi perkalia bilaga kompleks, diperoleh (9) =. = ( - ) = - ( ) = -. =. Hal ii meujukka bahwa, jika =, maka salah satu = atau =, atau mugki keduaa da sama dega ol. Perataa ii ekivale dega megataka bahwa, jika bilaga kompleks da tak ol maka hasil perkalia tidak sama dega ol. Pembagia dega bilaga kompleks tak ol adalah didefiisika sebagai berikut (). Jika = (, ) da = (, ), persamaa (.) da (.8) memberika (),, i Utuk medapatka persamaa () dapat dilakuka dega cara () i i i i

5 5 Selajuta, dari sifat perkalia da pembagia di atas kita peroleh () Terakhir, hubuga (4) diperoleh melalui persamaa () dega meggati =. Sebagai cotoh, persamaa () dapat ditulis sebagai berikut (5) Selajuta, dapat juga diselidiki bahwa, Hal ii meujukka bahwa. Selajuta, kita dapat megguaka persamaa (4) utuk meujukka (6), da juga (7), Cotoh. Nataka bilaga kompleks berikut dalam betuk + i, dimaa da bilaga real. i i i i i i i i i i i

6 Latiha.. Buktika bahwa a. i i i; b.,-,,8; i i d. - 4i 5i i c.,,,, 5 5 e. ; f. - i 4 i 5 4 i. Tujukka bahwa (+) = + + i. Buktika bahwa dua bilaga kompleks = i memeuhi persamaa + = 4. Tujukka bahwa a. Im(i) = Re b. Re (i) = -Im c. d. (-) = - 5. Buktika bahwa perkalia dalam bilaga kompleks adalah komutatif. 6. Guaka hukum assosiatif da komutatif perkalia bilaga kompleks utuk meujukka bahwa ( )( 4 ) = ( )( 4 ). 7. Buktika bahwa jika =, maka palig sedikit salah satu dari ketiga faktor adalah ol. 8. Buktika : a. Hukum assosiatif utuk pejumlaha memeuhi persamaa () bagia. b. Hukum distributif persamaa () bagia. 9. Guaka hukum assosiatif utuk pejumlaha da hukum distributif utuk meujukka bahwa ( + + ) = Dega meuliska i = (,) da = (,), tujukka bahwa (i) = (-i) = i(-).. a. Tulis (,) + (u,v) = (,) utuk meujukka ketuggala bilaga kompleks = (,) dalam pejumlaha. b. Demikia juga, tulis (,)(u,v) = (,) utuk meujukka ketuggala bilaga kompleks = (,) dalam perkalia.. Selesaika persamaa + + = utuk = (,) dega meuliska (,)(,) + (,) + (,) =(,) da selesaika persamaa simulta dalam da. i 6

7 . Turuka persamaa () bagia utuk pembagia dijelaska. seperti cara ag telah 4. a.dega megguaka hubuga persamaa (5) da (6) bagia, turuka persamaa (7) bagia. b. Guaka peurua bahagia (a) utuk membuktika hukum pembatala berikut,. Modulus da Sekawa Sebagai dasar utuk meghubugka setiap bilaga kompleks tak ol = + i dega arah segme garis atau vektor, dari titik asal ke titik (,) ag diataka dega dalam bidag kompleks. Keataa ii, kita selalu megguaka melalui titik atau vektor. Di dalam gambar bilaga = + i da + i digambarka di dua titik da jari-jari vektor. (-,) -+i - (,) +i Gambar Dari defiisi pejumlaha dua bilaga kompleks = + i da = +, bilaga + berhubuga dega titik ( +, + ). Ii juga berhubuga dega vektor ag koordiata sebagai kompoea. Juga + merupaka sebuah vektor ag ditujukka pada gambar. Peguraga meataka jumlah dari vektor 7

8 da (dalam gambar ), - dapat diiterprestasika melalui arah segme garis dari titik (, ) ketitik (, ). Selajuta, perkalia dari dua buah bilaga kompleks da adalah bilaga kompleks itu sediri ag diataka dega vektor, aitu vektor ag terletak dibidag ag sama melalui vektor da. Jelas bahwa, perkalia ii buka skalar atau perkalia vektor ag biasa diguaka dalam aalisis vektor. + - (, ) Gambar Gambar (, ) - Iterprestasi vektor dalam bilaga kompleks sagat membatu dalam memperluas kosep dari ilai mutlak dari bilaga real ke bidag kompleks. Modulus atau ilai mutlak dari bilaga kompleks = + i didefiisika sebagai bilaga real o egatif da diataka dega ; aitu () Secara geometri, bilaga adalah jarak atara titik (,) da titik asal, atau pajag dari vektor ag diataka dega. Ii merupaka peurua dari ilai mutak didalam sistim bilaga real dimaa =. Sebagai catata, ketaksamaa < mempuai arti keduaa da adalah bilaga real, perataa mempuai arti titik lebih dekat dega titik asal dibadigka dega titik. 8

9 Cotoh. i da 4i 7, titik + i lebih dekat dari titik asal dibadigka dega titik + 4i. Jarak dari titik = + i da = + i adalah. Ii jelas dari gambar, dimaa adalah pajag dari vektor. Sebagai akibat dari defiisi () da diekspresika - = ( ) + i( - ) bahwa Bilaga kompleks ag berhubuga dega titik-titik pada ligkara dega pusat da berjari-jari R memeuhi persamaa R. Cotoh. Persamaa i meataka ligkara ag mempuai pusat = (,-) da mempuai jari-jari R =. Dari defiisi () bilaga real, Re =, da Im =, hubugaa dega persamaa () = (Re ) + (Im ). adalah () Re Re da Im Im Sekawa kompleks atau sekawa dari bilaga kompleks = + i adalah didefiisika dega i da diataka dega, aitu; (4) = i. Bilaga adalah diataka dega titik (,-) ag merupaka pecermia terhadap sumbu real dari titik (,) ag diataka dega (gambar 4). Sebagai catata da utuk setiap. 9

10 Jika = + i da = + i, maka i i i. Jadi, pejumlaha dua buah sekawa sama dega jumlah dari sekawa-sekawaa. (5) (,) (,-) Gambar 4 Dega cara serupa mudah ditujukka bahwa, (6) (7) (8), Pejumlaha dari bilaga kompleks = + i da sekawaa = i adalah bilaga real da peguragaa i. Jadi adalah bilaga imajier muri (9) Re, Im. i Suatu hubuga ag sagat petig atara sekawa dari suatu bilaga kompleks = + i dega modulus adalah ()

11 Metode ii ag diguaka utuk megitug hasil bagi pada persmaa () bagia. Metode ii adalah jelas dega megalika kedua peebut da pembilag dari dega, sehigga peebuta mejadi bilaga real. Cotoh. Melalui suatu ilustrasi, i i i i i i 5 5i 5 5i i i 5. Juga, lihat cotoh terakhir bagia. Dari persamaa (), dapat dega mudah meuruka sifat ag lai dari modulus da sekawa pada catata di atas. () () Sifat () dapat diperoleh melalui da igat bahwa modulus adalah tidak perah egatif. Sifat () dapat dituruka dega cara serupa. 4. KETAKSAMAAN SEGITIGA Sifat dari modulus da sekawa di bagia memugkika utuk meuruka sifat aljabar dari ketaksamaa segitiga, dega meetuka suatu batas atas utuk modulus dari pejumlaha dua bilaga kompleks da : () Ketaksamaa ii sagat petig dalam geometri (lihat gambar. bagia ). Tetu saja, perataa bahwa pajag suatu sisi pada suatu segitiga adalah lebih kecil atau sama

12 dega jumlah pajag dua sisi ag laia. Sebagai catata dari gambar bahwa (4.) adalah suatu kesamaa apabila titik, da adalah koliier. Tetapi da juga Kita mulai meuruka secara aljabar dega meuliska ; Re, atau karea modulus oegatif maka, ketaksamaa () berlaku. Suatu akibat dari ketaksamaa segitiga adalah jelas bahwa () Utuk meuruka ketaksamaa (), kita tulis Yag berarti bahwa. (). Ketaksamaa () ii berlaku jika. Jika, kita haa meukar dega dalam ketaksamaa () utuk medapatka. Persamaa () memberika arti bahwa pajag suatu sisi segitiga adalah lebih besar atau sama dega selisih dari pajag kedua sisi ag lai. Sebagai akibat dari () da (), dimaa digati dega (- ) adalah; (4)

13 (5) Cotoh. Jika titik terletak pada ligkara satua = ag berpusat di titik asal, maka da Ketaksamaa segitiga dapat diperumum dega iduksi matematika sebagai jumlah higga dari suku-suku : (6)...,,, Berikut ii aka diberika pembuktia iduksi secara rici, kita catat bahwa utuk = ketaksamaa (6) dijami oleh ketaksamaa pada (). Selajuta kita asumsika ketaksamaa (6) bear utuk =m, kita aka buktika bear utuk = m +. Dari ketaksamaa segitiga diperoleh,... m m... m... m m Cotoh. Jika adalah titik di dalam ligkara ag berpusat di titik asal dega jarijari, aki, maka 5 Latiha.. Gambarka bilaga + da - dalam betuk vektor jika a. = i, = / i b.,,, c. = (-,), = (,4) d. = + i, = i. Guaka sifat sekawa da modulus utuk meujukka bahwa a. i i b. i i c. i 4i d. 5 i 5

14 . Buktika ketaksamaa pada persamaa () bagia megeai hubuga Re, Im da. 4. Buktika bahwa Re Im. 5. Buktika sifat pada persamaa (6) da (7) bagia. 6. Guaka sifat utuk meujukka (a). da 4 (b) Buktika sifat dari modulus pada persamaa () bagia. 8. Guaka hasil dibagia utuk meujuka bahwa jika da tidak ol maka (a). ; (b). 9. Dega megguaka ketaksamaa pada bagia 4, tujukka bahwa jika 4 maka 4 4. Dalam setiap kasus, gambarka himpua dari titik-titik dega sarat ag diberika : (a). i ; (b). i ; (c). Re i ; (d). - i 4. Guaka ketaksamaa dalam bagia da 4 utuk meujukka bahwa Jika maka Im-. Dega pemfaktora dalam dua faktor kuadrat da dega megguaka ketaksamaa pada persamaa (5) bagia 4, tujukka bahwa jika terletak pada ligkara, maka 4 4. Telah ditujukka pada bagia bahwa jika = maka palig sedikit satu dari bilaga da harus ol. Berika suatu bukti ag lai, berdasarka hasil hubuga utuk bilaga real, dega megguaka persamaa (.). 4

15 4. Buktika bahwa (a). adalah real jika da haa jika =; (b). adalah salah satu real atau bagia imajier jika da haa jika. 5. Guaka iduksi matematika utuk meujukka bahwa jika =,, maka (a) (b) Misalka a, a, a,, a ( ) meataka bilaga real, da misalka suatu bilaga kompleks. Dega megguaka hasil pada soal o. 5, tujukka bahwa a a a... a a a a Tujukka bahwa persamaa o R dari suatu ligkara ag berpusat di da berjari-jari R, dapat ditulis Re R. 8. Guaka persamaa (9) bagia, utuk Re da Im, Kemudia tujukka bahwa hperbola = dapat ditulis 9. Guaka keataa bahwa suatu iterprestasi geometri bahwa a adalah jarak atara dua titik da, berika (a). Persamaa 4i 4i fokus, 4; meataka suatu elips ag mempuai titik (b). Persamaa i meataka garis lurus ag melalui titik asal da kemiriga. 5. KOORDINAT POLAR DAN RUMUS EULER Misalka r da merupaka koordiat polar dari titik (,) ag berhubuga dega bilaga kompleks tak ol = + i. Dimaa = r cos da = r si, dapat ditulis dalam betuk polar melalui () = r(cos + i si ). Jika =, maka koordiat tak terdefiisi. 5

16 Di dalam aalisis kompleks, bilaga real r tidak perah egatif da didefiisika sebagai pajag dari jari-jari vektor utuk ; aki r =. Bilaga real meataka sudut ag diukur dalam radia, dibuat dega ais real positif dimaa diiterprestasika sebagai jari-jari vektor (gambar 5). Dalam kalkulus, mempuai ilai ag tak berhigga baaka, aitu merupaka kelipata bilaga bulat. Nilaia dapat ditetuka dari persamaa ta = /, dimaa kuadra memuat titik ag berhubuga dega harus diperhatika. Setiap ilai dari disebut argume dari, da himpua semua ilaia diotasika dega arg. Nilai utama dari arg, diataka dega Arg, adalah ilai tuggal sehigga. Sebagai catata bahwa () arg = Arg + ( =,,, ) Juga, jika bilaga real egatif, Arg mempuai ilai, buka -. r =+i Gambar 5 Cotoh. Bilaga kompleks i, terletak dikuadra ketiga da mempuai argume utama -/4, aitu Arg i ; 4 da dari sii diperoleh arg 4 i ( =,,, ) 6

17 Pegguaa simbol e i, atau ep(i) adalah didefiisika dega rumus Euler utuk setiap bilaga real dari melalui () e i = cos + i si, kita dapat meuliska betuk polar pada persamaa () dalam betuk ekspoesial melalui (4) = r e i Cotoh. Bilaga --i dalam cotoh mempuai betuk ekspoesial (5) i epi 4 Dega perjajia bahwa e -i = e i(-) 4, kita dapat juga meuliska i e. Persamaa (5) haa salah satu dari sejumlah tak berhigga kemugkia utuk betuk ekspoesial dari i ; (6) i epi ( =,,, ). 4 Sekarag padag suatu titik = re i, terletak pada suatu ligkara ag berpusat di titik asal da dega jari-jari r (gambar 6). aka meigkat, kalau digeraka megeliligi ligkara dega arah berlawaa dega arah jarum jam. Khususa jika diaika sampai, sampai dititik asal; da sama jika dituruka sampai dega. i =re i r Gambar 6 7

18 Oleh karea itu, dari gambar 6 meujukka bahwa dua bilaga kompleks tak ol r e da r e i i adalah sama jika da haa jika r = r da = +, dimaa suatu bilaga bulat ( =,,, ). Sebagai catata, ilai dari e i dega jelas terlihat pada gambar 6. Dega merujuk pada rumus Euler (persamaa ()) dimaa r = da adalah suatu kelipata bilaga bulat dari /. Utuk kasus ii, secara geometri dapat diselidiki i i e, e i, da e -i4 =. Gambar 6, dega r = R, juga meujukka bahwa persamaa (7) = Re i ( ) adalah meataka suatu persamaa parameter dari suatu ligkara = R, ag berpusat dititik asal da berjari-jari R. Melalui persamaa parameter dalam gambar 6. aik dari = pada iterval, titik mulai dari sumbu real positif da melewati ligkara dega arah berlawaa dega jarum jam. Secara umum, ligkara =R, mempuai pusat di da berjari-jari R, mempuai persamaa parameter (8) = + Re i ( ). Re i Gambar 7 Hal ii dapat ditujukka dega vektor (gambar 7) dega catata bahwa suatu titik melalui ligkara =R dega arah berlawaa jarum jam ag berkorespodesi 8

19 dega jumlah suatu vektor tetap da suatu vektor dega pajag R da mempuai sudut ag berubah-ubah dari = sampai dega =. 6. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DALAM BENTUK EXPONENSIAL Telah kita ketahui dalam trigoometri sederhaa e i merupaka sifat pejumlaha ag sudah umum dari fugsi ekspoesial dalam kalkulus : e cos isi cos i i i e si = cos cos si si isi cos cos si i = cos i si i i Jadi, jika r e da r e () Selai itu, r e r e i i r r e e, perkalia mempuai betuk epoesial i e i r r e i () r e r e i i i i e i i i re r e e r e r Karea, = e i, maka dari persamaa () ivers dari suatu bilaga kompleks tak ol =re i adalah () e r i Persamaa (), () da () adalah mudah diigat dega megguaka hukum aljabar utuk bilaga real dari e. Hasil lai ag sagat petig ag dirumuska dega megguaka atura dari bilaga real adalah (4) = r e i ( =,,, ). Utuk bilaga bilaga bulat positif, persmaa (4) sagat mudah dibuktika dega megguaka iduksi matematika. Utuk bukti secara rici, kita mulai dega = re i utuk =. Selajuta, misalka bear utuk = m, dimaa m suatu bilaga bulat 9

20 positif. Dari persamaa () utuk perkalia dua bilaga kompleks tak ol dalam betuk ekspoesial, maka bear utuk = m+; m+ = m = re i r m e im = r m+ e i(m+) Persamaa (4) telah dibuktika utuk bilaga bulat positif. Juga Persamaa (4) bear utuk =, aki =. Jika = -, -, -,, pada hal lai, kita defiisika betuk sebagai perkalia ivers dari dega meuliska m, dimaa m = - =,,, Maka, dari persamaa (4) adalah bear utuk pagkat bilaga bulat positif, dari sii betuk ekspoesial pada persamaa () dari - diperoleh e r m m i r im i i r e e r Persamaa (4) telah dibuktika utuk semua pagkat bilaga bulat. Jika r = pada persamaa (4) maka diperoleh e ( = -, -, ) i i (5) Jika kita tuliska dalam betuk e e ( =,,, ). (6) cos isi cos i si ( =,,, ) Persamaa ii merupaka rumus de Moivre. Persamaa (4) dapat diguaka dalam meghitug pagkat dari bilaga kompleks jika diberika betuk empat persegi pajag da hasila adalah dalam betuk persegi pajag. Cotoh. Rubahlah i 7 dalam betuk empat persegipajag. Kita tuliska 7 i 7 i 7 i i 6 i e e e e 64 i 64 64i Selajuta, sekarag aka dibahas sifat petig ag medasari argume (bagia 5) dari perkalia (7) arg( ) = arg +arg,

21 Persamaa ii diiterprestasika melalui perataa bahwa ilai dari dua argume atau tiga arugume atau argume berilai baak, maka terdapat ilai dari ketiga ilai tersebut sehigga persamaa di atas bear. Kita mulai membuktika persmaa (7) dega memisalka da meataka suatu ilai dari arg da arg masig-masig. Dari persamaa (6.) kita ketahui bahwa + merupaka ilai dari arg( ). (Lihat Gambar 8). Jika pada hal lai, ilai dari arg ( ) da arg diberika, maka ilai ag berhubuga dega pemiliha da diekspresika berikut ii; arg ( ) = ( + ) + ( =,,, ) da arg = + ( =,,, ) karea ( + ) + = ( + ) + ( + ( ) ), Persamaa (7) jelas dipeuhi jika dipilih ilai arg = + ( ) Peelidika ilai dari arg ( ) da arg adalah khusus simetri. + Gambar 8 Persamaa (7) terkadag bear jika ilai arg digati dega Arg (lihat latiha 6). Tetapi, melalui ilustrasi cotoh berikut ii, bahwa tidak selalu bear kasus utuk tersebut.

22 Cotoh. Jika = - da = i, maka Arg ( ) = Arg (-i) = tetapi Arg + Arg = +. Bagaimaapu, kita meetuka ilai dari arg da arg masih tepat diguaka ilai arg ( ) = /, kita dapatka bahwa persamaa (7) dipeuhi. Perataa lai ag aalog dega perataa pada persamaa (7) adalah (8) arg arg arg. Persamaa ii dapat dibuktika dega batua persamaa (). Latiha. Carilah argume utama Arg jika ; i i (b). ; - - i (a). 6 (c). i. Dega meuliska masig-masig faktor dalam betuk ekspoesial da kemudia rubahlah kembali dalam betuk koordiat empat persegi pajag, tujukka bahwa 5i i (a). i i i i; (b). i 7 (c). i 8 i; (d). i i. Tujukka bahwa (a). e i ; (b).e e ;...,,... i i i i (c). e e...e e i i i 4. Selesaika persamaa utuk peelesaiaa secara geometri. e da tujuka 5. Guaka rumus De Moivre utuk meuruka rumus trigoometri berikut : (a). cos = cos - cos si (b). si = cos si - si. 6. Tujukka bahwa jika Re > da Re >, maka Arg( ) = Arg + Arg, dimaa Arg( ) meataka argume utama dari arg( ), da seterusa.

23 7. Tujukka bahwa arg arg arg. 8. Dari bagia, peguraga dari dua bilaga kompleks ag berbeda dapat diiterprestasika dega vektor. (Lihat gambar 9, dimaa meataka sudut ikliasi dari vektor - ). Dega traslasi vektor utuk -, tujukka bahwa ilai dari arg adalah sama dega ilai dari arg(- ). Guaka metode ag sama utuk meujukka bahwa Arg = Arg(- ) jika da haa jika - buka bilaga real egatif Diberika, guaka betuk ekspoesial dari da utuk membuktika bahwa Re jika da haa jika - = ( =,,, ), dimaa = arg da = arg. Gambar 9. Diberika da guaka hasil pada soal o. 9, modifikasi peurua dari ketaksamaa segitiga utuk meujukka bahwa jika da haa jika - = ( =,,, ), dimaa = arg da = arg. Iterprestasika perataa ii secara geometri.. Misalka bilaga kompleks tak ol da suatu bilaga egatif ( = -, -, ). Juga tulis = re i da m = - =,,. Guaka persamaa m = r m e im da

24 - = (/r)e i(-), buktika bahwa ( m ) - = ( - ) m da juga defiisi = ( - ) m dalam bagia 6 dapat dituliska mejadi = ( m ) -.. Buktika bahwa dua bilaga kompleks tak ol da mempuai modulus ag sama jika da haa jika terdapat bilaga kompleks c da c sedemikia sehigga = c c da = c c. (petujuk : ep i ep i ep i juga soal omor bahagia b]. ep i ep i ep i. Buktika bahwa... ( ) ) da [lihat da rumus ii utuk meujukka peurua rumus trigoometri Lagrage +cos +cos + +cos = si si S=... persamaa pertama. ( < < ). (petujuk : Utuk ag pertama, tulis da hitug S S. Utuk ag kedua, tulis = e i dalam 4. Guaka iduksi matematika utuk meujukka rumus Biomial utuk bilaga k k k k Kompleks :,,,) da! =. ( =,, ), dimaa! k k! k! ( k =, 5. Guaka iduksi matematika utuk meujukka rumus De Moivre (pada bagia 6), aki cos isi cos isi,, ). dimaa adalah bilaga bulat positif ( = 6. (a). Guaka rumus Biomial (soal No. 4) da rumus De Moivre (lihat soal o. 5) da tulis cos isi cos k i si k k k ( =,, ). Maka defiisika bilaga bulat m dega, m = - jika geap jika gajil da jumlah di 4

25 atas utuk meujukka (badigka dega soal 5 (a)) m cos k k k k k cos si ( =,, ). (b). Tulis = cos da misalka bahwa, dalam kasus ii -. Bagaimaa merubah betuk hasil terakhir pada bagia (a) bahwa setiap fugsi cos cos T variabel. 7. AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS ( =,,, ) adalah poliom berderajat dalam Betuk = r e i pada bagia 6 utuk pagkat bilaga bulat dari bilaga kompleks = re i adalah diguaka utuk meemuka akar pagkat dari setiap i bilaga kompleks tak ol = r e, dimaa salah satu dari =,,. Metode awal utuk meelidiki suatu akar pagkat dari adalah dega memisalka suatu bilaga = re i tak ol sedemikia sehigga =, atau i i r e r e. Sekarag, berdasarka perataa pada bagia 5 tetag kesamaa dua bilaga kompleks, diperoleh r = r da = + k, dimaa k suatu bilaga bulat (k =,,, ). Jadi r r, hal ii meataka ketuggala akar pagkat dari bilaga real positif r, da k Akibata, bilaga kompleks k (k =,,, ) = k r epi (k =,,, ) adalah akar pagkat dari. Kita dapat melihat dega jelas dari betuk epoesial di atas bahwa semua akar-akara terletak pada ligkara r ag berpusat dititik 5

26 asal. da setiap titika adalah sama dega / radia dari asala, mulai dari argume /. Maka jelas bahwa semua akara ag berbeda dapat diperoleh jika k =,,, -, da ilai akar ag lai dari k tidak diambil. Kita misalka c k (k =,,, -) meataka akar ag berbeda da ditulis k () c k r epi (k =,,, -). Bilaga r adalah pajag dari setiap jari-jari vektor akar pagkat. Akar pertama c mempuai argume /; da akar pagkat jika = terletak berhadapa titik akhira dari suatu diameter ligkara r, serta akara ag kedua c. Jika, akara terletak dititik sudut segi beratura ag dituliska dalam ligkara. Kita misalka merupaka himpua akar ke- dari. Khususa, jika adalah bilaga real positif r, simbol r meataka himpua semua akar-akara; da simbol r ag diguaka dalam persamaa () haa utuk akar positif. Jika ilai ag diguaaka pada persamaa () adalah ilai utama dari argume, bilaga c kita sebut akar utama. Selajuta, jika adalah bilaga real positif r maka akar utamaa adalah r. Akhira, salah cara utuk megigat persamaa () kita tulis dalam betuk ekspoesial ag sudah diketahui (badigka cotoh. bagia 5). = r ep[i( + k)] (k =,,, ) da kita guaka sifat umum ekspoesial ag ada pada bilaga real, bahwa terdapat buah akar; r ep i k 6

27 r i k ep k r epi (k =,,, -). Cotoh. Dalam uruta utuk meetuka akar pagkat dari, kita tulis = ep [i( + k)] (k =,,, ) da diperoleh () k k i epi (k =,,, ). Jika =, maka jelas bahwa akar-akara adalah. Jika, akar-akara terletak dititik sudut poligo ag beratura dalam ligkara satua =, dega titik sudut ag pertama merupaka akar utama = (k =). Jika kita tulis () w epi maka dari persamaa (5) bagia 6, da sifat e i bahwa w k k ep i (k =,,, ) Jadi diperoleh akar pagkat ag berbeda dari adalah, w, w,..., w. Perhatika gambar, dimaa utuk kasus =, 4 da 6 diilustrasika. Perlu dicatat bahwa w =. Terakhir, hal ii aka bermafaat jika c merupaka akar pagkat dari bilaga kompleks tak ol, maka himpua dari akar pagkat diperoleh dalam betuk c, cw, cw,..., cw. 7

28 Hal ii disebabka karea perkalia dari bilaga kompleks tak ol dega w mempuai argume ag aik dega peambahaa sebesar / sedagka modulusa tidak berubah. w w 4 w6 w 6 w w 4 w 4 w 6 4 w 6 5 w 6 Cotoh. Misalka aka dicari semua ilai dari 8i, atau aka dicari akar pagkat tiga dari 8i. Pertama-tama kita tulis maka akar-akara adalah i 8i 8ep k k (4) c epi k 6 (k =,,, ) (k =,, ) Akar-akar ii terletak pada titik sudut segitiga sama sisi ag terletak dalam ligkara =, da jarak atara setiap titik megeliligi ligkara sebesar / radia, ag dimulai dari akar utama (lihat gambar ) c i cos isi i ep Gambar c c c Gambar 8

29 Dega tapa meghitug lebih lajut, maka aka diperoleh c = i; da c simetri dega c pada sumbu imajier, kita ketahui bahwa c i. Jadi, akar-akara dapat ditulis c, c w, c w, dimaa w i (rigkasa, lihat bagia akhir cotoh ) Latiha ep. Carilah akar kuadrat dari (a). i; (b). i da ataka dalam betuk koordiat empat persegi pajag.. Dalam setiap kasus, carilah semua akara dalam betuk koordiat empat persegi pajag, gambarka pula hasila dalam betuk geometri. : (a) ( c ). 8 ; (d) i. ; (b). -6 ;. Misalka = re i suatu bilaga kompleks tak ol da bilaga bulat egatif ( = -, -, ). Maka defiisika m dega m m, dimaa m = -. Tujukka bahwa.tujukka pula bahwa m. (badigka dega soal o. latiha ). 4.(a). Misalka a meataka suatu bilaga real tetap, da tujukka bahwa dua akar kuadrat dari a + i adalah epi, dimaa A a, da Arga i (b).dari rumus trigoometri A. cos cos, cos s i. Tujukka bahwa akar kuadrat pada bagia (a) dapat ditulis A a i A a. 5. Dari bagia 7., akar pagkat tiga dari bilaga kompleks dapat ditulis c, c w, c w, dimaa c akar utama dari da w = epi i. Tujukka 9

30 bahwa jika = 4 i; maka c i 4 da dua akar pagkat tiga ag i i laia c w, c w. 6. Carilah akar pagkat 4 dari persamaa = da faktorka dalam faktor kuadrat dega koefisiea bilaga real. 7. Tujukka bahwa jika akar pagkat dari c adalah sama dega satu, tetapi c tidak sama dega satu, maka c c... c (petujuk : guaka rumus pertama pada latiha. omor ) 8. (a). Buktika bahwa peelesaia dari persamaa kuadrat a +b+c = (a), dimaa a, b da c adalah bilaga kompleks. Khususa dega pelegkapa b b 4ac kuadrat pada bagia kiri turuka rumus kuadratik. a Dimaa kedua akar kuadrata adalah b 4ac. (b). Guaka hasil pada bagia (a) utuk mecari akar dari persamaa ++(-i)= 8. DAERAH DALAM BIDANG KOMPLEKS Dalam bagia ii, kita aka memperkealka himpua dari bilaga kompleks atau titik dalam bidag, da berhubuga sagat dekat atara satu dega ag laia. Kami aka meperkealka kosep dasar dari suatu ligkuga () dari suatu titik ag diberika. Ligkuga dari terdiri dari semua titik dalam ligkara ag berpusat di da berjari-jari tetapi buka pada ligkara tersebut. (gambar ). Jika ilai dari diketahui, maka himpua pada persamaa (8.) serig juga disebut suatu ligkuga. Berdasarka hal di atas maka dapat juga diketahui suatu ligkuga peghilaga dari () <

31 ag terdiri dari semua titik dalam suatu ligkuga dari kecuali titik itu sediri. Gambar Suatu titik dikataka titik dalam (titik iterior) dari suatu himpua S jika terdapat suatu ligkua dari ag haa memuat titik-titik di S; disebut titik luar (titik eksterior) dari S jika terdapat ligkuga dari ag tidak memuat titik-titik di S. Jika buka titik dalam atau titik luar dari S maka disebut titik batas dari S. Jadi titik batas adalah semua titik ag ligkugaa memuat titik di S da titik ag buka di S. Kumpula semua titik batas disebut pembatas (boudar) dari S. Ligkara =, merupaka pembatas dari setiap himpua () da. Suatu himpua dikataka terbuka jika himpua tersebut tidak memuat titik batas. Sebagai latiha dapat ditujukka bahwa suatu himpua dikataka terbuka jika da haa jika setiap titik-titika merupaka suatu titik dalam. Suatu himpua dikataka tertutup jika memuat semua titik batas; da peutup (closure) dari suatu himpua S adalah himpua tertutup ag terdiri dari semua titik di S bersama-sama dega pembatas dari S. Sebagai catata bahwa pada persamaa (8.) ag pertama adalah himpua terbuka da ag kedua adalah himpua tertutup. Suatu himpua boleh jadi tidak terbuka atau tidak tertutup. Utuk himpua ag tidak terbuka harus terdapat suatu titik batas ag dimuat oleh himpua tersebut; da suatu himpua dikataka tidak tertutup jika tidak memuat suatu titik batas dari himpua tersebut. Sebagai cotoh dapat diselidiki bahwa cakram tidak

32 terbuka da juga tidak tertutup. Himpua dari semua bilaga kompleks adalah terbuka da juga tertutup sebab tidak mempuai titik batas. Suatu himpua terbuka S dikataka terhubug jika setiap pasag titik-titik da dapat dihubugka oleh garis patah, ag terdiri dari sejumlah higga peggal garis ag dihubugka dari awal sampai akhir da semuaa terletak dalam S. Himpua terbuka adalah terhubug. Himpua adalah terbuka da juga terhubug. (lihat gambar ). Suatu himpua terbuka ag terhubug disebut domai. Sebagai catata bahwa setiap ligkuga adalah domai. Suatu domai bersama-sama dega sebagia atau seluruh titik batasa disebut daerah. Gambar Suatu himpua S dikataka terbatas jika setiap titika terletak dalam suatu ligkara R ; selai itu dikataka tak terbatas. Kedua himpua pada persamaa () adalah daerah ag terbatas, da setegah bidag Re adalah tidak terbatas. Suatu titik dikataka titik akumulasi dari himpua S jika setiap ligkuga peghilaga dari memuat palig sedikit satu titik dari S. Dari sii, jika suatu himpua adalah tertutup, maka memuat semua titik-titik akumualsi. Jika suatu titik akumulasi buka titik di S, maka tetulah titik tersebut merupaka titik batas dari S; tetapi bertetaga dega keataa bahwa suatu himpua tertutup memuat semua titik batas. Hal ii dapat ditujukka pada latiha bahwa sebalika perataa ii juga adalah bear.

33 Selajuta, suatu titik adalah buka suat titik akumulasi dari suatu himpua S jika terdapat suatu ligkuga peghilaga dari ag tidak memuat titik di S. Sebagai catata bahwa titik ol saja ag merupaka titik akumulasi dari himpua = i/, ( =,, ). Latiha. Gambarlah himpua berikut da tetuka ag maa merupaka domai. (a). i ; (b). 4; (c).im ; (d).im (e). arg, ; (f) Yag maa himpua pada soal o. ag tidak buka atau tidak tutup?. Yag maa himpua pada soal o. ag terbatas? 4. Dalam kasus ii, gamabarlah peutup dari himpua: (a). arg, ; ( b). Re ; (c). Re ; (d). Re. 5. Misalka S adalah himpua terbuka ag terdiri dari semua titik sehigga atau. Apakah S tidak terhubug? 6. Tujukka bahwa himpua S adalah terbuka jika da haa jika setiap titik di S adalah titik iterior. 7. Tetuka titik akumulasi dari setiap himpua berikut : (a). i ( b)., (,,...); (c). arg, i ( d)., (,,...). ; i ( =,, ); 8. Buktika bahwa jika suatu himpua memuat setiap titik akumulasi, maka himpua tersebut tertutup. 9. Tujukka bahwa setiap titik pada daerah adalah titik akumulasi dari domai.

34 . Buktika bahwa suatu himpua higga dari titik-titik,,, tidak mempuai titik akumulasi. 4

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI

MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI 1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I. Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam. Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA

ANALISIS REAL I. Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam. Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA Had Out MATA KULIAH ANALISIS REAL I Disusu Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam Diperguaka utuk Mahasiswa S Prog. Studi Ped. Matematika Jurusa PMIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN : JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri

Lebih terperinci

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3

Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 3 Matematika Terapa Dose : Zaid Romegar Mair ST. M.Cs Pertemua 3 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Koloel Wahid Udi Lk. I Kel. Kayuara Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel.

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Waktu : 0 Meit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakag Dalam keadaa dimaa meghadapi persoala program liier yag besar, maka aka berusaha utuk mecari peyelesaia optimal dega megguaka algoritma komputasi, seperti algoritma

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n)

BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n) BAB IV ERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI 1- Stadar Kometesi Setelah memelajari okok bahasa ii diharaka mahasiswa daat memahami ara-ara meetuka selesaia umum ersamaa dieresial tigkat satu derajat tiggi.

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI

EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

SISTEM LINIER. Oleh : Kholistianingsih, S.T., M.Eng. lts 1

SISTEM LINIER. Oleh : Kholistianingsih, S.T., M.Eng. lts 1 SISTEM LINIER Oleh : Kholistiaigsih, S.T., M.Eg. lts 1 2 Isyarat Waktu Diskrit di kawasa waktu. 2.1 Represetasi Isyarat Waktu Diskrit 2.2 Klasifikasi Rutu 2.3 Rutu rutu Dasar 2.4 Operasi di kawasa waktu

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang. SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka

Lebih terperinci

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L.

DIFERENSIAL. diferensial pada c. Sehingga dapat kita tulis menjadi f (c) untuk L. DIFERENSIAL 6. Usur Turua 6.. Deiisi Diketahui I R mempuyai iterval : I. Kita dapat megataka bahwa bilaga real L adalah turua dari jika pada c diberika >, maka aka ada > sehigga jika da haya jika x h

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci