TEOREMA INTEGRAL CAUCHY. Drs. GIM TARIGAN Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 TEOREMA INTEGRAL AUHY rs. GIM TARIGAN Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Jurusa Matematia Uiversitas umatera Utara PENAHULUAN alam tulisa ii daat ita lihat bahwa teorema Gree daat membutia erbedaa embutia teorema itegral auh ag megguaa teorema Gree da megguaa beberaa teorema riil variabel seerti teorema Weiestrass- Bolao, teorema Nested, teorema Heie-Borel da lai-lai. Oleh area itu tujua dalam tulisa ii meujua suatu studi embutia teorema itegral auh dega tujua memerlihata ersamaa da erbedaa egidetiiasia masalah. Persamaaa: idalam embutia sama-sama megguaa itegral garis. Perbedaaa: idalam embutia dega megguaa teorema Gree lebih meeaa itegral garis, sedag didalam embutia dega megguaa beberaa teorema riil variabel, lebih meeaa egertia-egertia seerti teorema Weiestrass-Bolao, teorema Nested, teorema Heie-Borel. Adau eguaa embahasa srisi ii adalah utu daat lebih mudah memelajari rumus itegral auh da rumus umum itegral auh dimaa hal ii, sebagai alat/eujag dalam memelajari teorema residu. METOA.. Beberaa teorema riil variabel alam bagia ii aa dibiaraa beberaa teorema ai teorema Weiestrass-Bolao, teorema umula Nested, teorema Heie-Borel ag meagut egertia-egertia titi limit, titi seutu, umula tertutu da terbatas. elajuta dibiaraa megeai otiu seragam uiorm otiue. Teorema...: Adaia suatu umula dalam bidag sedemiia sehigga umula ta berhigga da terbatas. Maa memuai alig sediit satu titi limit. Buti : Teorema ii aa dibutia utu R. ega [a,b;,d] dimasud umula Q dari semua titi,, dimaa a b, d. area terbatas maa terdaatlah bilaga M sehigga < M utu semua. Ambil a -M; b d M, Q o [a,b;,d] Jadi Q o. Padag emat himua. [a, ½ ab;, ½ d], [a, ½ab; ½d, d] [½ ab, b;, ½d], [½ab, b; ½d, d] ag uioa adalah Q o. alah satu dari eemat himua ii diataa dega Q [a, b ;,d ] memuat ta berhigga bagia dari. 00 digitied b UU digital librar

2 Q dibagi samai dieroleh suatu barisa {Q },,3, sehigga Q [a, b ;, d ] a a < b b < d d b a b a d Q memuat ta berhigga bagia dari, memuai batas atas tereil da batas bawah terbesar sehigga, A su a, B i b su, i d area utu semua da m berlau : a a m < b m b, da A b m utu semua m maa A B. b a jelas bahwa B A b a,,,... Jia B > A aa berlau; b a B A utu semua ag tida mugi. Jadi A B. ega ara ag sama daat dibutia bahwa. Aa dierlihata bahwa titi A, adalah titi limit dari. Misala N suatu liguga dari dega jari-jari r, Q utu semua. Jia diilih sedemiia sehigga b a Maa Q N,r. area Q memuat ta berhigga baaa titi-titi dari, demiia juga N,r, maa terbuti bahwa titi limit dari. r, Teorema... umula Nested. Misala,,, seumula barisa ada suatu bidag ag memeuhi siatsiat sebagai beriut :., tertutu, φ., 3. lim diam 0 Maa I terdiri atas satu da haa satu titi seutu Buti : lim diam 0 o N > o diam < 00 digitied b UU digital librar

3 Misala, Jia maa - d > 0. lim s diam o diam o 0 d Aibat, o otradisi dega o Jadi harus atau memuat satu da haa satu titi erseutua. Jadi : ara lai : I terdiri atas satu da : umula ta berhigga : umula terbatas haa satu titi seutu laim I terdiri atas satu da haa satu titi seutu. ega teorema.. maa memuai seurag-uraga satu titi limit. Ambil ; ditijau asus : asus. Z terdiri dari titi-titi ag sama. Jia terdiri dari titi-titi ag sama, maa jelas da haa satu titi seutu. I terdiri atas satu asus. Jia terdiri dari titi-titi ag berlaia maa terbatas, da ta berhigga, meurut teorema. maa memuai seuraguraga satu titi limit. Misala titi limita. P Z,, ; ' tertutu ' imaa umula titi-titi limit Aibat ',. terdiri atas satu da haa satu titi erseutua. I 00 digitied b UU digital librar 3

4 Teorema..3. Heie-Borel. Adaia umula tertutu, terbatas ada suatu bidag da Φ olesi dis ag meutu. Maa ada suatu bagia olesi ag terbatas baaa meutu. Buti : ibutia seara otradisi. iagga bahwa ta terhigga baaa dis ag dierlua meutu. Padag R seerti ada gambar. R RRRR R Gbr.: is ag meutui bidag s terbatas, R. R dibagi mejadi 4 emat emat ersegi ajag maa R telah terbagi mejadi emat umula bagia ag masig-masig mejadi bagia dari emat ersegi ajag tersebut, da masig-masig bagia ditutui ta terhigga baaa dis. Padag R memuat bagia. R dibagi seerti ada R dieroleh R R ag memuat umula bagia juga memerlua ta terhigga baaa dis meutu. Proses dilajuta samai ta terhigga sehigga dieroleh : R, R, R 3,,R, atau R R R 3 R,.. ag memuat umula bagia, dimaa masig-masig bagia ditutui ta berhigga baaa dis. Barisa ii memeuhi siat :. etia R tertutu alig sediit memuat satu titi. R R - utu,3, 3. diam R 0 bila Meurut teorema., meruaa titi seutu dari R. area diam R 0 maa N,r memuat beberaa R. R memuat ta berhigga baaa titi-titi, area itu jelas N,r memuat ta berhigga baaa titititi. Jadi meruaa titi limit dari. tertutu maa. umula bagia dari N,r ditutui beberaa dis. Jadi ada alig sediit satu dis ag memuat. Ambil diam R m uu eil sedemiia sehigga R m berada dalam dis. Jadi satu dis meutu bagia R m otradisi dega erataa. Teorema :..4. Adaia R suatu daerah ada bidag, da ath sembarag dalam R. Maa ada suatu bilaga riil ositi λ sedemiia sehigga utu setia ada, da utu setia w ada R berlau : 00 digitied b UU digital librar 4

5 Buti : - w > λ Z R seerti ada gambar W Gbr.: liguga N q ag memuat didalam ath area R umula terbua tida memuat batas R maa ada liguga N Z R. iari suatu N Z sedemiia sehigga utu setia ada ath da ambil liguga M Z ag lai dari dega jari-jari ½ N Z. olesi M Z jelas meutu. umula tertutu da terbatas maa meurut teorema..3; M Z jumlaha berhigga da uu meutu amaa : M, M,, M. Jari- jari dis dari olesi M Z adalah bilaga riil ositi da selajuta daat diari jari-jari M Z ag tereil amaa λ. elajuta dibutia bahwa bilaga λ memeuhi esimula teorema diatas. Adaia suatu titi ada da w suatu titi dalam R, harus berada ada satu dari setia M ag usata q, maa : q < λ da q w > λ aa dibutia : w > λ. dari q w > λ λ < q w q w λ < q w q - w λ < λ w λ - λ < w λ < w sehigga : w > λ. 00 digitied b UU digital librar 5

6 Teorema..5. Misala otiu ada setia titi dari umula B B : umula tertutu da terbatas. Maa otiu seragam ada B. Buti : Utu membutia otiu seragam dari,ada B diberia >0 δ>0 < bila : < δ.. Ambil q B, area otiu ada B maa otiu ada q, ii berarti : >0 λ q >0 q w < / bila q w < λ q. ega megulagi roses ag sama utu setia q B,dieroleh olesi dari N q satu utu setia q Bdega usat q da jari-jari λ q. Utu setia N q, erhatia suatu dis M q ag bua seusat deag N q da berjari-jari λ q/, maa meurut teorema.3 olesi M q meutu B terbatas baaa. Jari-jari M q diataa dega : λ λ λ3 λ,,,, adalah bilaga ositi, da diilih jari-jari M q tereil disebut δ. ibutia bahwa δ memeuhi. Utu titi da titi dalam B maa berlau < δ. area berada ada salah satu dari dis diamaa M v da usata v meutu B, dieroleh : v λ v / < λ v da v < / area < δ < λ v / maa dieroleh v v < λ v / λ v / λ v area v < / maa v F v < jadi <... Itegral Garis ari Fugsi omles Misala ugsi ag otiu ada setia titi ada ath ag berhigga. Path dibagi mejadi bagia dega memilih titi-titi o,,,..., - sembarag titi ada ath. elajuta ada setia bagia - da,,..., diilih titi t seerti ada gambar. 00 digitied b UU digital librar 6

7 Y a o Gbr.: 3 Path ag dibagi atas bagia sembarag iataa bahwa : - o 3 3 M - eiisia : t t... t ega meebut : -,,..., dieroleh : t Utu maa 0, maa : b a d d lim Ζ 0 lim t Ζ imaa : ma {,,..., } disebut : itegral garis dari, ugsi omles. Jia u iv u, iv, da d d id maa itegral garis : X 00 digitied b UU digital librar 7

8 d u iv d id d ud vd i vd Teorema :... Misala ostata sembarag. suatu ath ag megadug dua ath da. da g daat diitegala seajag da, maa : d d ud { g } d g d d d d d d 5. Adaia bahwa daat diitegrala seajag, utu semua M>0, ugsi memeuhi M ada da adaia seajag adalah L maa berlau : d ML Buti : Meurut deiisi berlau : d area berlau : t lim Ζ Maa : Ζ M ML t Ζ Ζ d lim t Ζ ML 00 digitied b UU digital librar 8

9 .3. Teorema Gree Teorema :.3.. Teorema Gree ada Bidag. Misala : P, da Q, dua ugsi ag otiu da memuai turua arrsial ag otiu ada suatu daerah, da ada batas daerah. Maa teorema Gree meataa bahwa : Q P P d Q d Teorema ii berlau utu daerah terhubug sederhaa siml oegted regio da daerah terhubug ta sederhaa multile oeted regio. Buti: Y H F g e X Gbr.: 4 Path ag tertutu sederhaa Misala ath tertutu sedrhaa ag memeuhi bahwa setia garis sejajar dega sumbu oordiat ada bidag aa memotog ath alig baa di dua titi seerti ada gambar diatas. Aa dibutia : P. P d d d Q. Q d d d Buti : Misala ersamaa ath dari E,G,F adalah ;, da ersamaa ath dari E,H,F adalah. 00 digitied b UU digital librar 9

10 e e e e e d P d P d P d P P d P d d P dd P,,,,, d d P d P Jadi : Buti : Misala ersamaa ath dari G, E, H adalah Persamaa ath dari G, F, H adalah. d d Q dd Q h g d Q h g, d Q Q h g ],, [ g h h g d Q d Q,, Qd d d Q Qd Jadi 00 digitied b UU digital librar 0

11 Aibata : Pd Qd Q P d d Misala ath tertutu, utu ath memeuhi bahwa garis-garis ag sejajar sumbu-sumbu oordiat memotog ath lebih dari dua titi seerti ada gambar dibawah ii. Y U T T V X Gbr.:5. Path tertutu ta sederhaa Buat garis T sedemiia sehigga daerah daerah ag dibatasi oleh ath mejadi dua daerah da daerah dega batas edua daerah tersebut meruaa ath tertut sederhaa. Path ertama adalah T U da edua V T, sehigga meurut teorema Gree berlau : area : TU TU VT Maa berlau : Pd Qd Pd Qd Q P d d Q P d d, da T TU VT VT T T T TU VT T TU VT T TU TUVT VT 00 digitied b UU digital librar

12 ari Jadi : Pd Qd Q P d d ibutia teorema Gree ada bidag juga berlau utu daerah tersambug ta sederhaa seerti ada gambar dibawah ii : Y A H L Gbr.:6.aerah tersambug Pilih titi utu A L J H I G F E sedemiia sehigga ath A I E F G I A L J H A adalah suatu ath tertutu sederhaa, da daerah ag dibatasi oleh ath ii adalah tersambug sederhaa, sehigga teorema Gree berlau : X Q P Pd Qd d d area maa berlau : AI IA AIEFGIALJHA AI IEFGI IEFGI IA ALJHA ALJHA Jadi bila adalah ath ALJHA da ath IEFGI adalah ath ag memuat da maa: ehigga berlau : 00 digitied b UU digital librar

13 Pd Qd Q P d d Teorema.3. Teorema Gree dalam betu omles Adaia B, ugsi otiu da memuai turua-turua arsial ag otiu ada daerah da batasa ath, dega i, i maa : B, d i dimaa da d d. B da Buti : Misala B, P, iq, maa meurut teorema Gree berlau :, d P iq d id B Pd Qd i Qd Pd Q P dd i P Q d d P Q P Q i[ i ] d d B i d d PEMBUTIAN TEOREMA INTEGRAL AUHY alam bab ii dibiaraa megeai embutia teorema itegral auh, ag maa embutiaa daat digologa atas dua ara: Pertama dibutia dega megguaa teorema Gree. a edua dibutia dega megguaa beberaa teorema riil variabel. Teorema: Misala aaliti ada daerah terhubug. adalah ath tertutu dalam daerah terhubug maa : d 0 Teorema itegral auh ii berlau utu daerah terhubug sederhaa da daerah terhubug ta sederhaa. 00 digitied b UU digital librar 3

14 Pada mulaa auh membutia teorema tersebut dega memaai embatasa bahwa mmemeuhi juga otiu di daerah. elajuta Goursat membutia teorema tersebut dega meghilaga sarat tambaha embatasa tadi utu. eja itu teorema tersebut diamaa sebagai teorema auh-goursat. 3.. Pembutia Teorema Itegral auh ega Megguaa Teorema Gree. Teorema : Misala aaliti ada daerah terhubug R. adalah ath tertutu dalam daerah terhubug, maa: d 0 Buti : area u iv dietahui aaliti da memuai urua otiu maa : ' u i v v i u ehigga : u v v u L L L L L L L L L L L L otiu di dalam da ada ath. Jadi teorema Gree daat diguaa, sehigga dieroleh : d u iv d id ud vd i d vd ud ega megguaa ersamaa da dieroleh : v u d dd i d d d d 0 u v dd ara lai : Hasil ag sama aa dieroleh aitu dega memaai betu omles teorema Gree sebagai beriut : 00 digitied b UU digital librar 4

15 , 0 ega meulisa B, da area bebas dari maa sehigga : B d d d 0 B elajuta teorema itegral auh dibutia dega megguaa beberaa teorema dari riil variabel. 3.. Pembutia Teorema Itegral auh ega Megguaa Beberaa Teorema Riil Variabel. Misala aaliti ada daerah tersambug sederhaa R da suatu ath tertutu termuat dalam R. Maa : d 0 Buti : asus. Path suatu segitiga. Path dibagi mejadi beberaa segitiga ai,, 3 da 4 seerti dalam gambar beriut. A B Gbr. : 7. Path dalam betu segitiga Perhatia bahwa sisi 3 dijalai dua ali dega arah ag berlaia, maa: FE EA BF FE FEF FE EAE E BF F FEF EAE BF FEF EF EF EA E E BF F F digitied b UU digital librar 5

16 ega megguaa hubuga ii, selajuta bahwa alig sediit satu adalah bear bahwa: ega megguaa sebagai salah satu dari segitiga, dimaa etidasamaa adalah bear maa dieroleh: elajuta erhatia ; dibagi seerti ada dieroleh suatu segitiga sedemiia sehigga : 4 ari betu da 3 dieroleh : Jia roses dilaua samai ali dieroleh : Perhatia bahwa bagia-bagia segitiga,, 3,, adalah umula tertutu da terbatas ag lim diam 0, jia. Maa,,, adalah Nested. Meurut teorema.. : I terdiri atas satu da haa satu titi seutu. maa atau titi dalam. I area aaliti ada aaliti ada, jadi ada, maa meurut deiisi dari turua : 00 digitied b UU digital librar 6

17 > 0 δ > 0 sedemiia sehigga : < δ bila, Maa ada suatu bilaga omles q tergatug ada harga dega siat q < sedemiia sehigga : - - q q - - q- 5 atau : q area lim diam 0 da I ; umula terbatas da ta terhigga, maa meurut teorema.. meruaa titi limit. Aibata ada N,δ atau liguga N dega titi usat, δ jari-jari. N, δ Gbr.: 8. Leguga N, δ Aibata utu setia dalam atau ada memuai siat - < δ da area itu 5 dieuhi utu setia, maa : [ ] d q d d q d d d q d d d area lim diam 0 maa ; 00 digitied b UU digital librar 7

18 d 0 d 0 d 0 Jadi : d q d ; q q < 6 elajuta disebuta dua ata ag aa dierlua sebagai beriut :. megeai elilig ligara-ligara ;,,,. Nataa elilig ligara da, dieroleh :,,,. Jara atara dua titi ada segitiga ½ elilig segitiga atau - ½. elajuta guaa teorema.. da dua ata diatas ada ersamaa 6 dieroleh: d q Jadi : d q q d q d d 4 d, q 4 Telah dibutia : 4 Maa dieroleh : 00 digitied b UU digital librar 8

19 d 4 d d 4 4 area > 0, da terbatas maa : d 0 asus : ath adalah olgo tertutu. alam hal ii diataa bahwa olgo daat dibagi mejadi segitigasegitiga ag terbatas jumlaha ai :,,, sedemiia sehigga setia sisi dari setia segitiga ag tida berimit dega beberaa sisi dari sebahagia dari adaa aa terleta dalam. ega mejalai setia segitiga ii seerti ada Gbr.9 dega arah ag ditetua ada ath da megguaa hasil asus, dieroleh : L 0 N Gbr.: 9. Path dalam betu olgo Tetai setia sisi dari segitiga ii mejadi iterior oligo tersebut dijalai dua ali dalam arah ag berlaia, maa ilai itegral seajag sisi dalam iterior ii tida meambah erjumlaha dari itegral tersebut, da haa sisi-sisi ag asli dari oligo tersebut ag berera dalam itegral tersebut maa : d 0 asus 3 : sembarag ath tertutu. Misala ath terleta ada daerah R, dimaa aaliti. Pilih buah titi ada ath :,,, sebut o, dega meghubuga titi-titi ada ath tersebut dieroleh suatu oligo tertutu seerti ada gambar 0 dihalama beriut. 00 digitied b UU digital librar 9

20 Gbr.: 0. Path sembaraga Maa membutia asus ii dierlua emat hal ag mejadi ladasa sebagai beriut :. Meurut deiisi :. d lim Σ t µ 0 ebut Σ t - d lim µ 0 s > 0 N d s, > N. Meurut teorema..4. sembarag ath dalam R λ > 0, λ R da w ada batas R, maa berlau -w > λ. Perhatia Q adalah umula ag terdiri dari semua titi-titi dalam R ag jaraa dari batas R λ/ atau ditulis : Q { ; -w λ/. Jelas Q ; tertutu da terbatas. aaliti otiu ada Q. Meurut teorema..5 maa otiu seragam ada Q, aibata : > 0, δ > 0 :, Q berlau : <, bila - < δ. 3. Beria > 0, sembarag, ambil artisi P; o,,,, dari memeuhi : a. < b. Bagia ath [ -, ] dega ; -, λ/.. Pajag setia bagia ath juga < δ, dimaa δ ditetua otiu seragam dijami oleh. odisi a s/d berlau ada artisi P. uatu tali daat digambara sebagai ajag - e utu,,3, ag semuaa terleta dalam Q R. area ajag dari tia bagia ath [ -, ] lebih eil dari < δ maa - < δ. Oleh area itu tia ali hord - e lebih eil dari δ, area itu jia adalah tia titi ada tali hord e maa : < δ, area itu <. Aibata ;,, da tia titi < ada hord e < ag bebas dari da :. 4. Ahira, ditulis bahwa artisi P dari oligo disebut, sebagai hubuga e, e,, e 3,, - e da e o. 00 digitied b UU digital librar 0

21 0 Berdasara s/d 4 diatas, maa uu dibutia ; ari asus 0 Jia artisi P meuju garis legug, misala : µ 0 ahira dieroleh utu mudaha misala o ; d d [ ] d d d d d d d d < < d 00 digitied b UU digital librar

22 imaa meataa ajag elilig oligo ag terbatas, dega meguaa relasi 3a dieroleh : < Jadi : area > 0 sembarag, da besara ag terbatas: 0 sehigga : d d 0 00 digitied b UU digital librar

23 AFTAR PUTAA orad o, R., Theor o Futios, Part Oe, Elemets o the Geeral Theor o Aalti utios, New Yor, over Publiatio, I, 945. Margha M, rs., Fugsi dega Peubah omles, Armio, Badug, Edisi Pertama, 98. Paliouras, Joh., omle Variable or ietists Ad Egieers, Ma Milla Publishig, o., 975. iegel, Murra, Ph.., Theor ad Problema o omle Variable, haum s, Out Lie eries, M Graw-Hill Boo oma, New Yor, Lodo, de, Toroto. iegel, Murra, Ph.., Theor ad Problema o Riel Variable, haum s, M Graw- Hill Boo oma, New Yor, Lodo, de, Toroto. Wlie,.R.,Jr., Advaed Egieerig Mathematis, eod Editio, M Graw-Hill Boo oma, I., New Yor, Toroto, Lodo, digitied b UU digital librar 3