BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA"

Suparman Rachman
6 tahun lalu
Tontonan:

1 BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi meghasilka uruta atau bajar uku-suku... 5 bajar ii disebut Bajar Tak Berhigga utuk meujukka bahwa tak ada suku terakhir. Fugsi ke- dari bajar. disebut suku umum atau uatu bajar tak berhigga diyataka dega meutup suku umum dalam kurug kurawal seperti atau dapat ditulis : Cotoh lai:.. { U } U. { 6 9 U } U {...U } U a 5. 0 a - 5 Adiai / Kalkulus I / eptember 08

2 b (-) c (-) d Barisa { } dikataka terbatas jika terdapat bilaga-bilaga P da Q sehigga : P Q utuk semua. Cotoh: adalah terbatas karea utuk semua : Tetapi adalah tidak terbatas. Barisa { } dikataka tidak turu jika Da dikataka tidak aik jika Cotoh: Barisa adalah barisa tidak turu. 5. { - (-) } 7 7 adalah barisa tidak turu..... adalah barisa tidak aik.. {-} adalah barisa tidak aik Limit Barisa Jika titik-titik beruruta yag diperoleh dari barisa : (*) Adiai / Kalkulus I / eptember 08

3 terletak pada garis bilaga da utuk cukup besar aka terletak disekitar titik. Keadaa seperti ii dikataka bahwa Limit barisa adalah. Jika x adalah peubah yag jagkauaya barisa (*) maka dikataka bahwa x medekati sebagai it atau x meuju sebagai it da ditulis : x U ( - ) Kekovergea [ ] Barisa { } dikataka koverge ke bilaga berhigga sebagai it jika utuk setiap bilaga positif bagaimaapu kecilya terdapat bilaga bulat positif m sehigga utuk > m aka berlaku - < Jika suatu barisa memiliki it maka disebut barisa koverge. Jika suatu barisa tidak memiliki it maka disebut barisa diverge. Barisa { } dikataka diverge ke [ ] jika utuk setiap bilaga positif M bagaimaapu besarya terdapat bilaga bulat positif m sehigga utuk > m maka > M. Jika > M maka Jika < -M maka. -. Jadi dapat disimpulka: Defiisi - Barisa {a } diamaka koverge meuju L atau berit L da ditulis sebagai: a L - Apabila utuk tiap bilaga positif ε ada bilaga positif N sehigga utuk N > a L < ε Adiai / Kalkulus I / eptember 08

4 - uatu barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge. Teorema-Teorema Barisa. etiap barisa tidak turu atau tidak aik da terbatas adalah koverge.. etiap barisa yag tidak terbatas adalah diverge.. Barisa koverge atau diverge aka tetap koverge atau diverge sesudah suku pertama dihapus.. Limit dari barisa koverge adalah tuggal. Adaika {s } da {t } barisa-barisa yag koverge da k sebuah kosatata maka Jika s s da t t 5. Lim (k.s ) k s ks dimaa k kostata 6. ( s ± t ) s ± t s ± t 7. ( s. t ) s. t s. t 8. s s s t jika t 0 da t t t 0 utuk semua 9. Jika {s } adalah barisa suku-suku tidak ol da jika : s maka 0 0. Jika a > maka a. Jika r < maka r 0 Jumlah : s s s s... () Da barisa tak higga { } disebut deret tak higga. Utuk setiap deret terdapat sebarisa jumlah parsial : Adiai / Kalkulus I / eptember 08

5 s s s s s s s s s s Jika s suatu bilaga higga maka deret () dikataka koverge da s disebut jumlahya. Jika tidak ada maka deret () dikataka diverge. uatu deret adalah diverge karea atau jika membesar maka membesar da megecil tapa medekati suatu it. Cotoh : Deret :... Utuk deret ii : s s 0 s s 0 Cotoh-Cotoh:. Guaka Teorema utuk memperlihatka bahwa barisa { - } koverge. Peyelesaia : Barisa { - } Jika { - } adalah adalah terbatas karea 0 utuk semua. Karea : maka : Adiai / Kalkulus I / eptember 08 5

6 - - ( ) ( ) Berarti bahwa merupaka barisa yag tidak turu. Jadi barisa ii koverge ke s. Guaka Teorema utuk memperlihatka bahwa barisa adalah koverge. Peyelesaia : Barisa Karea : Jika Maka : ( -) () ( -) () ( ) ( ) ( -) () adalah terbatas karea 0 utuk semua.. Berarti barisa ii tidak aik jadi barisa koverge ke s 0. Limit dari barisa koverge adalah tuggal. Misalka berlaku kebalikaya sehigga: s da t dimaa s - t > ε > 0 Ligkuga ε dari s da t mempuyai sifat-sifat yag salig berkotradiksi : Adiai / Kalkulus I / eptember 08 6

7 i) Tidak memiliki titik-titik persekutua ii) Masig-masig memiliki semua suku-suku barisa kecuali sejumlah berhigga dari suku-suku tersebut. Jadi s t da itya adalah tuggal.. Jika a > maka a Ambil M > 0 betapapu besarya. Misalka a b dimaa b > 0 maka : a Jika ( b) > b M b ( -). Karea a > M da jika b... > b > M M > utuk M betapapu besarya maka b a 5. Deret aritmatika tak higga a (a d) (a d).. [a (-)d] diverge jika a d > 0 Utuk deret a (a d) (a d).. [a (-)d] ½ [a (-)d] da Kecuali utuk a d 0 Jadi deret diverge jika a d > 0 6. Deret geometri tak higga a ar ar.. ar -.. dimaa a 0 Koverge ke a - r Utuk deret a ar ar.. ar - : jika r < da diverge jika r Adiai / Kalkulus I / eptember 08 7

8 a - ar - r a - r - a - r r r Jika r < maka r 0 sehigga Jika r > maka r a - r sehigga diverge. Jika r deretya berbetuk a a a a a. Atau a a a a a yag diverge. 7. Utuk deret Jumlah bagiaya adalah : > 8 > ½ 6 > > ½ 6 >... Jadi barisa jumlah-jumlah bagiaya tidak terbatas da diverge Jadi deretya diverge. Uji Kovergesi da Divergesi dari Deret Positif Uji Itegral Misalka f() meyataka suku umum dari deret yag suku-sukuya semua positif. Jika f(x) > 0 da tidak perah aik dalam iterval x > ξ dimaa ξ suatu bilaga bulat positif maka deret koverge atau diverge tergatug kepada apakah ξ f(x) dx ada atau tidak ada. Uji Badig utuk Kovergesi Adiai / Kalkulus I / eptember 08 8

9 uatu deret positif adalah koverge jika setiap suku (mugki sesudah sejumlah berhigga) adalah lebih kecil atau sama dega suku yag bersesuaia dari suatu deret positif koverge yag diketahui c Uji Badig utuk Divergesi uatu deret positif adalah diverge jika setiap suku (mugki sesudah sejumlah berhigga) adalah sama dega atau lebih besar dari suku yag bersesuaia dari suatu deret positif diverge yag diketahui d Uji Rasio Deret positif koverge jika < da diverge jika >. Jika uji ii tidak dapat dipakai. Cotoh : elidiki kovergesi dari : Dega megguaka uji itegral. Peyelesaia : f()... Ambil f(x) x Pada iterval x > f(x) > 0 da meuru jika x aik. Ambil ξ da padag : Adiai / Kalkulus I / eptember 08 9

10 f(x) dx u u dx x u x u u u - Nilai itegralya tidak ada jadi deret diverge. oal : Dega megguaka uji itegral selidiki kekovergesia dari : si π si π si π si π (p > 0) p p p 5 p Uji Badig uku umum dari deret yag diketahui yag aka diuji kovergesiya aka dibadigka dega suku umum dari deret yag diketahui kovergesiya atau divergesiya. Deret-deret berikut aka bergua sebagai deret uji : a) Deret geometri a ar ar.. ar.. dimaa a 0 aka koverge jika 0 < r < da diverge jika p. Adiai / Kalkulus I / eptember 08 0

11 b) Deret p p p p koverge jika p > da diverge jika p Cotoh : elidiki kovergesi dari : Dega megguaka uji badig. Peyelesaia : uku umum < Jadi suku-suku deret ii adalah lebih kecil dari suku-suku deret : yag koverge karea p 9 Jadi deret yag diketahui juga koverge. (Uji itegral juga dapat diguaka disii) Lajut oal : Dega megguaka uji badig selidiki kovergesi dari :. 5.!!! Tugas elidiki kovergesi dari deret-deret dega megguaka uji badig : 5. Adiai / Kalkulus I / eptember 08

12 .. Uji Rasio Deret positif koverge jika < Da diverge jika >. Jika uji ii tidak dapat dipakai Cotoh : Dega megguaka uji rasio selidiki kovergesi dari : Peyelesaia : uku umum maka. Maka < sehigga deret koverge Lajut oal : Dega megguaka uji rasio selidiki kovergesi dari :!!! 6. Adiai / Kalkulus I / eptember 08

13 Tugas:. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji itegral : a). 50 b). ( ) c). l. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji badig : - a). b). - c).. Tetuka apakah koverge atau diverge dega uji rasio : a). ( )( )! 5 b). c).!. Tetuka apakah koverge atau diverge : a). b). c) d) 7 d). ( )( ) d). 5 - d). Adiai / Kalkulus I / eptember 08

dokumen-dokumen yang mirip

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,