BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU

Transkripsi

1 BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan Diferensial merupakan alat ang ampuh dalam menelesaikan berbagai macam masalah praktis ang sering muncul di dunia nata Pada pembahasan berikut, pertama akan diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta penelesaian Persamaan Diferensial Selanjutna dibahas berbagai teknik penelesaian Persamaan Diferensial order satu Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat embedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat Persamaan Diferensial engidentifikasi dan menentukan penelesaian Persamaan Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak, serta Persamaan Diferensial Linier order satu enentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial menjadi Eksak engidentifikasi dan menentukan penelesaian Persamaan Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli ereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk Persamaan Diferensial Homogen enentukan traektori ortogonal

2 PEGERTIA PERSAAA DIFERESIAL Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana menentukan derivatif d (turunan ' f '( dari suatu fungsi f ( isalna, jika d e cos, maka d d e sin ( Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk g (, C dengan C konstanta, d kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk memperoleh isalkan d dipunai fungsi implisit 9 maka akan diperoleh d 0 d d d ( Persamaan ( dan ( di atas merupakan contoh persamaan diferensial Definisi : Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang menatakan hubungan fungsi ang tidak diketahui beserta turunanna Jika hana ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB, sebagai contoh adalah persamaan ( dan ( Contoh PDB laina adalah sebagai berikut :

3 d 4 e d d d sin d d d d 0 Sedangkan jika persamaan memuat dua lebih peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP isalkan : v v v o t u u t u u u 0 z Pembahasan tentang PDP akan dibicarakan dalam bab tersendiri Bentuk Umum dan Order PDB Bentuk umum PDB order n adalah ( n ( n f (,, ', '',, ( ang menatakan adana keterkaitan antara peubah bebas dan peubah tak bebas beserta turunan-turunanna dalam bentuk persamaan ang identik nol Beberapa (n buku menulis persamaan ini dalam bentuk f (,, ', '',, 0 Order dari Persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan ang ada dalam persamaan isalkan d sin d adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan d 0 d merupakan persamaan diferensial order dua

4 Penelesaian PDB asalah kita selanjutna adalah bagaimana menemukan penelesaian PDB, aitu suatu fungsi ( ang memenuhi PDB tersebut Definisi : Suatu fungsi ( ang didefinisikan pada suatu interval disebut penelesaian PDB jika secara identik memenuhi persamaan ( pada interval ang diberikan Contoh : Fungsi d ke adalah penelesaian persamaan diferensial pada interval d d < <, karena ( ke ke Jadi jika disubstitusikan ke dalam d persamaan diperoleh ke ke, ang berlaku untuk semua Tidak semua penelesaian PDB dapat disajikan secara eksplisit seperti Contoh Beberapa kasus ditemukan penelesaian ang disajikan dalam bentuk implisit, seperti contoh berikut Contoh : Persamaan C, untuk suatu konstanta C > 0, merupakan penelesaian d bentuk implisit dari d Contoh : Persamaan e sin, merupakan penelesaian bentuk implisit dari asalah ilai Awal d d e e sin cos isalkan akan dicari penelesaian ( dari PDB order satu ' f (, (4

5 ang memenuhi ( 0 0 (5 Persamaan (5 disebut kondisi awal dari PDB order satu PDB (4 dengan kondisi awal (5 disebut asalah ilai Awal (A Penelesaian ang memenuhi kondisi awal ini disebut penelesaian khusus, sedangkan jika tidak diberikan kondisi awal dinamakan penelesaian umum, seperti Contoh Jadi pada penelesaian umum masih memuat konstanta sebarang C, sedangkan pada penelesaian khusus sudah tidak memuat konstanta sebarang Contoh 4 : Persamaan Latihan : adalah penelesaian khusus dari A ', ( 0 0 Tunjukkan bahwa fungsi ang diberikan merupakan penelesaian dari Persamaan diferensial ', Ce '' ' 0, ( c c e '' sec, sec 4 '' ' sin e, c e ( c sin e e 5 ', 4 6, (4 0 4

6 PERSAAA DIFERESIAL BIASA ORDER SATU Pada Bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penelesaian PDB order satu Untuk PDB order satu ang berbentuk ' f (, dimana f fungsi kontinu dari satu peubah bebas, maka kita dapat mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penelesaianna Selanjutna akan dicari penelesaian PDB order satu d ' f (, (6 d dimana f fungsi kontinu dari dua peubah bebas dan Penelesaian (6 tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung Untuk memperoleh penelesaianna dapat dilakukan dengan pemisahan peubah, seperti dibahas dalam bagian berikut PD dengan Peubah terpisah Untuk mencari penelesaian umum dari persamaan (6, terlebih dahulu kita pisahkan peubah dan, sehingga kita peroleh fungsi f (, p( q( Persamaan (6 berubah menjadi dapat ditulis d d p( q( d p( d (7 q( d '( Dengan asumsi bahwa adalah fungsi dari, maka kita puna d, q( q( ( sehingga persamaan (7 menjadi '( d p( d q( (

7 Selanjutna dengan menuliskan u ( dan du ' (, maka dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh penelesaian umum persamaan (7, aitu dengan C konstanta sebarang du C q( u p( d Berikut ini beberapa contoh PDB dengan peubah ang dapat dipisahkan (8 Contoh 5: d Selesaikan e cos d Penelesaian : Dengan melakukan pemisahan peubah diperoleh Integralkan kedua ruas e d cos d e sin C Sehingga kita peroleh Penelesaian umumna adalah ln( sin C Untuk mengecek kebenaran penelesaian ini, perhatikan bahwa Substitusikan ke PDB, kita peroleh Karena e ln( sin C ' (cos sin C ln( sin C (cos e sin C sin C cos, persamaan di atas terpenuhi untuk setiap sin C > 0 Dengan demikian adalah penelesaian PDB tersebut Contoh 6

8 d Selesaikan ( d Penelesaian : PDB dapat kita tulis dalam bentuk Pemisahan peubah memberikan Integralkan kedua ruas diperoleh d d d ( ( d ln C e C Dalam beberapa kasus akan kita jumpai persamaan diferensial dalam bentuk (, d (, d 0 (9 Contoh 7 : Selesaikan e d d 0 Penelesaian : Persamaan dapat kita bawa ke bentuk d e d Integralkan keuda ruas, diperoleh ( e C ( e C

9 Contoh 8 : d Selesaikan d Penelesaian PD d d Dapat ditulis dalam bentuk, d d d d Integralkan kedua ruas, diperoleh, Dalam hal ini d d c c, c, c c konstanta Jadi penelesaian umumna adalah [ c ] Contoh 9 : Selesaikan d dt t Penelesaian

10 PD dapat ditulis dalam bentuk d dt ( t ( t, d ( t dt Integralkan kedua ruas, diperoleh d t dt c ( 4, t t c, 4 4, dengan c 4 4c, t 4t c Latihan : Selesaikan soal berikut dengan pemisahan peubah d d ( d e d d ( d 4 e d ( d 5 cos d sin d 0 6 e d ( d 0 7 d sec( d d 0 8 d 9 d (ln 0 d ( d 0 d Selesaikan A berikut : d e d, ( 0 0, d e d ( dp t P Pte, P( 0 dt 5 t d ( dt 0, ( dp p p 4, p( dq q

11 Persamaan Diferensial Linier Order Satu Persamaan linier order satu adalah persamaan ang berbentuk d a ( a ( b( (0 d dimana a (, a(, dan b ( hana bergantung pada peubah bebas isalna, d Persamaan e 0 d d d ( dipisahkan Sedangkan persamaan dan peubah tidak dapat dipisah e d d,, d (sin tan d bukan persamaan linier, meskipun peubah dapat d ( bukan persamaan linier d Pada persamaan (0, diasumsikan bahwa a (, a(, dan b( kontinu pada suatu interval tertentu dengan a ( 0 aka persamaan dapat kita bawa ke bentuk d a ( b( d a( a( d P( Q( ( d ang merupakan Bentuk Standar PDB linier order satu Penelesaian PDB Linier Langkah-langkah penelesaian PDB Linier order satu adalah sebagai berikut : Langkah Tuliskan PDB dalam bentuk standar

12 Langkah Tentukan faktor integral d P( Q( d P( d ( e Langkah Kalikan Q ( dengan dan integralkan ( Q( d C Langkah 4 Tuliskan penelesaian umum ( ( Q( C ( Q( C ( Contoh 0 : Tentukan penelesaian umum dari Penelesaian d d Langkah Tulis persamaan dalam bentuk standar: Jadi P( dan Q ( d d Langkah Tentukan faktor integral P( d ( e e ln e d Langkah Kalikan Q ( dengan dan integralkan, sehigga diperoleh

13 ( Q( d d d ln C Langkah 4 Penelesaian umumna adalah ln C Contoh : ln C Selesaikan PD d cos sin d Penelesaian PD dapat dinatakan dalam d d sin cos cos d d tan sec Yang merupakan bentuk PD linier d d p( q(, dengan p( tan, q( sec Selanjutna diperoleh faktor integral e pd e tan d e ln sec sec Kalikan PD dengan faktor integral, diperoleh

14 d sec sec tan sec d d ( sec sec d Integralkan kedua ruas, sec sec d c Jadi penelesaian PD adalah,, Contoh : Selesaikan PD Penelesaian sec tan c tan sec d ( d c sin c cos sec Perhatikan bahwa PD memuat,jadi ini bkan PD linier, tetapi jika kita lihat sebagai fungsi, dan PD dapat kita tulis dalam bentuk Atau d d d d aka diperoleh bentuk PD linear dengan sebagai fungsi,

15 d d p( q( dengan p( d an q( Selanjutna dapat kita selesaikan dengan langkah-langkah seperti pada contoh sebelumna Faktor integralna adalah e p ( d e d ln e Kalikan PD dengan, d d Atau d d Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh c, Jadi penelesaian PD adalah, ( c Ada dan tunggalna penelesaian PDB linier order satu ang memenuhi sarat awal tertentu diberikan dalam sifat berikut Sifat :

16 isalkan P( dan Q ( fungsi kontinu pada interval α < < β aka d terdapat satu dan hana satu fungsi ( ang memenuhi P( Q( d pada interval tersebut dengan kondisi awal 0, dimana < < β ( 0 α 0 Latihan : Selesaikan PDB linier order satu berikut d d e, > 0 e d d d π π d (tan cos, < < 4 ln d d d 5 d d ( d 6 e d Selesaikan A berikut d d 7 ln, > 0, ( 8 4, ( 0 d d d 9, ( 0 d 0 d ( cos d 0, ( 0 π Persamaan Diferensial Eksak Perhatikan kembali persamaan diferensial order satu ang dituliskan dalam bentuk diferensial (, d (, d 0 Definisi : Persamaan (, d (, d 0 dikatakan PD Eksak jika terdapat fungsi Q (, sedemikian sehingga Q (, dan Q (,

17 Dengan mengingat diferensial total dari fungsi Q (,, maka dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa persamaan (, d (, d 0 eksak jika dan hana jika Adapun langkah-langkah untuk menelesaikan PD Eksak adalah sebagai berikut Langkah Tuliskan PD dalam bentuk diferensial : (, d (, d 0 Langkah Tes ke-eksak-an PD; Apakah? Langkah Jika eksak, integralkan terhadap terhadap isal dipilih, maka : Q (, d g( Langkah 4 Turunkan Q terhadap dan samakan hasilna dengan ( d g' ( Langkah 5 Integralkan g '( untuk memperoleh g Langkah 6 Tuliskan penelesaian umum dalam bentuk implisit: Q (, C Langkah 7 Tentukan C jika diberikan kondisi awal tertentu Contoh : d Selesaikan PD, ( 0 d Penelesaian : Langkah Bentuk diferensial PD adalah : ( d ( d 0 Langkah PD ini eksak, karena

18 Langkah isal dipilih untuk diintegralkan, maka : Q(, d Q Langkah 4 Samakan dengan, maka : g( ( d g( g( dg 0 d g '( Langkah 5 Integralkan g '(, diperoleh : g ( Langkah 6 Penelesaian umum dalam bentuk implisit: C Langkah 7 Dengan kondisi awal ( 0, diperoleh C 9, sehingga penelesaian khususna adalah : 9 Contoh 4 : Selesaikan persamaan ( d ( d 0 Penelesaian : Akan kita selesaikan mengikuti langkah-langkah di atas, tanpa menuliskan masing-masing item Persamaan sudah dalam bentuk diferensial, selanjutna tes ke-eksak-an: ( (

19 Jadi persamaan tersebut eksak Selanjutna Q(, ( d g( g( Q Untuk memperoleh g (, gunakan fakta Jadi g' ( 4, Sehingga penelesaian umumna adalah Q g' ( g( C : Pada bagian sebelumna, kita mencari faktor integral ( e P( d untuk menelesaikan persamaan diferensial linier order satu dalam bentuk standar Ternata faktor integral d P( Q( d P( d ( e akan membawa persamaan diferensial d linier order satu P( Q( menjadi PD eksak (Tunjukkan! d Secara umum suatu faktor integral adalah faktor (, ang membawa persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak Contoh 5 :

20 Tunjukkan bahwa d ( e d 0 tidak eksak, tetapi dengan mengalikan dengan faktor PD tersebut menjadi eksak Kemudian selesaikan Penelesaian : Tes ke-eksak-an, kita punai ( e dan ( Jadi persamaan tidak eksak Dengan mengalikan dengan faktor integral diperoleh d ( e d 0 Persamaan menjadi eksak, karena Selanjutna kita punai dan Jadi g '( 0 sehingga g ( C ( e ( Q(, e e e g( Q g'( Dengan demikian penelesaian umumna adalah e e e C enemukan faktor integral Seperti terlihat pada contoh, faktor integral adalah suatu fungsi ang jika dikalikan dengan PD non eksak, maka PD tersebut menjadi PD eksak Bagaimana menemukan foaktor integral tersebut akan dijelaskan sebagai berikut: isal (, d (, d 0 PD non eksak dan (, faktor integral, maka d d 0 adalah PD eksak, sehingga

21 Ada beberapa kasus, aitu (i, ( ( ( Faktor integral hana merupakan fungsi saja Pada kasus ini dipunai 0 d e d d ln Jadi jika menghasilkan fungsi saja maka ( (ii, ( ( ( Faktor integral hana merupakan fungsi saja Pada kasus ini dipunai secara sama akan dipunai

22 (iii Jika Jadi jika d e menghasilkan fungsi saja, maka ( menghasilkan fungsi, maka ( (iv Jika menghasilkan fungsi (, maka ( (v Jika (vi Jika menghasilkan fungsi ( -, maka ( menghasilkan fungsi (, maka ( Jadi untuk mencari faktor integral kita harus menghitung terlebih dahulu, kemudian kita tentukan pembagina ( pembagina apa sehingga diperoleh fungsi ang mandiri Contoh 6: Tunjukkan faktor integral dari PD d ( e d 0 sehingga menjadi PD eksak Penelesaian: Pada contoh 5 telah ditunjukkan bahwa PD ini tidak eksak, kemudian dengan mengalikan PD dengan, PD menjadi eksak ( Jadi adalah faktor integral Disini kita akan mengetahui dari mana itu didapat

23 (, ( e dan, ( ( e dan ( Sehingga diperoleh dan fungsi dari saja aka faktor integralna adalah e d e d e ln ( Contoh 7 : Tentukan solusi umum PD 0 ( (4 d d Penelesaian : 4, ( dan, ( dan 4 Sehingga diperoleh Selanjutna kita pilih pembagina, aitu, sehingga diperoleh ( ( ( ( ( ( ( fungsi dari ( saja

24 Selanjutna misalkan z z z z z Integralkan, diperoleh z z ln ln Faktor integralna adalah PD menjadi 0 ( ( (4 ( d d 0 4 ( 6 (4 d d Bukti bahwa PD ini eksak: 6 4, ( , ( Jadi terbukti Eksak Solusi PD adalah (, ( g d Q ( 6 (4 g d ( 4 g 4, ( '( 4 g Q Diperoleh ( ' g ( g Dengan demikian penelesaian umum PD adalah

25 4 C Latihan : Selesaikan PD eksak berikut d d 4, ( 0 d d ( e d ( e d 0, ( 0 5 ( e e d ( e d 0 d cos 4 d sin 6 ( sin d ( sin d 0 7 Tentukan (, sehingga ( d (, d 0 eksak 8 Tentukan (, sehingga (, d ( sin ln e d 0 eksak Tunjukkan bahwa PD berikut adalah non eksak, kemudian tentukan faktor integralna sehigga PD tersebut menjadi eksak dan selesaikan 9 d ( d 0 0 ( d ( d 0 ( d ( d 0 ( d ( d 0

26 4 PERSAAA HOOGE, PERSAAA BEROULLI, DA PERSAAA RICCATI Pada bagian ini, kita akan menelesaikan tiga tipe persamaan diferensial tidak linier, aitu persamaan homogen, persamaan Bernoulli, dan persamaan Riccati Teknik penelesaian ketiga tipe PD tersebut menggunakan substitusi ang mengubah PD tersebut menjadi linier ang dapat diselesaikan dengan metode ang telah kita pelajari sebelumna 4 Persamaan Homogen d Suatu persamaan diferensial f (, dikatakan homogen jika fungsi d f (, dapat dinatakan dalam fungsi dari, aitu f (, g Jadi akan kita punai ang dengan substitusi dipisah d d g ( ( v akan menjadi persamaan dengan peubah dapat dv d g( v v Sebagai contoh, persamaan-persamaan d, d d cos d d 4 d (, merupakan persamaan homogen, sedangkan persamaan

27 d d bukan tipe persamaan homogen, karena tidak dapat dinatakan dalam fungsi saja Contoh 8 : Selesaikan Penelesaian : d ( d 0, > 0 Persamaan ini tidak dapat dipisah, tidak linier, dan juga tidak eksak Secara langsung tidak terlihat bahwa ini adalah PD homogen, tetapi dengan membagi persamaan dengan, kita peroleh d ( d 0 Substitusi v, menjadi d d dv v v d v v d dv v Kemudian integralkan, kita peroleh penelesaian umum Karena > 0, maka ln( v ln C v ln C

28 dengan C C e C C Catatan : - Suatu fungsi F disebut fungsi homogen berderajat n jika n F( λ, λ λ F(, - PD (, d (, d 0 disebut PD homogen jika (, dan (, merupakan fungsi-fungsi homogen berderajat sama Contoh 9 Selesaikan d d Penelesaian PD ini adalah PD homogen, karena f (, dan merupakan fungsi homogen berderajad PD dapat ditulis dalam bentuk d d dv v v, where v, d v g (, dv v ( v v v d v v diperoleh, ( v d dv c v ( v Dengan c adalah konstanta integrasi, dapat ditulis sebagai

29 v v v dv d c ln v ln ( v ln ln A, Dimana A adalah konstanta, sedemikian sehingga c ln A v Jadi diperoleh ln ln A v v v A Selanjutna, natakan v sebagai, diperoleh penlesaian umum PD A or A Contoh 0 : Selesaikan PD Penlesaian ( d d 0 d PD dapat ditulis dalam bentuk, ang merupakan PD d homogen Substitusi v, diperoleh ( v d v ( vd dv 0 (since d vd dv ( v v d vdv 0 d v 0 ( v dv Integralkan, diperoleh v d dv c, c konstanta ( v v ln dv c, ( v v Untuk menentukan integral, ( v dv substitusi v t, seingga dv dt dan diperoleh t ln dt c t

30 t t ln dt dt c t ln ln ( t c v ln ln ( v c (Karena (v t Persaman terakhir dapat ditulis sebagai ln ( v c Selanjutna mengingat v v, diperoleh penelesaian umum PD ln c 4 Persamaan Bernoulli Persamaan Bernoulli berbentuk d n P( Q( d Untuk n 0,, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi PD linier tingkat satu dengan penelesaian umum berbentuk ze (n dz ( n P( z ( n Q( d P( d (n P( d ( n e Q( d C n ( n P( d ( n e n P( d ( e Q( d C z ( n akan diperoleh Contoh Selesaikan persamaan Penelesaian d d e PD dapat ditulis dalam entuk d

31 d d e Yang merupakan PD bentuk d d P( Q( n dengan P(, Q( e and n Untuk meneelesaikan PD ini, pertama bagi persamaan dengan, sehigga diperoleh d d Subtitusi z aka, jadi, diperoleh d d dz ( d dz d d d e d d dz z e d dz d 4z e ang merupakan PD Linier order satu Faktor integral dari PD linier ini adalah diperoleh e dz d 4ze d d sehingga diperoleh ze ( ze e e e e e d c 4 d e e

32 Atau ze e c z e e ce e ce Selanjutna dengan mengingat z, diperoleh penelesaian umum PD e ce e c e dimana c c Contoh : d Selesaikan d Penelesaian : Dengan substitusi υ diperoleh dυ d Sehingga Penelesaian umumna adalah υ e ( e C 4 Persamaan Riccati Persamaan Riccati berbentuk d P( Q( d R( (4 Jika adalah fungsi ang memenuhi persamaan Riccati, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi akan diperoleh PD linier tingkat satu u

33 du d [ ( Q( P( ] u Q( dengan penelesaian umum berbentuk [ Q( P( ] ue ( d ( Q( P( e Q( d C [ ( Q( P( ] d ( Q( P( e e Q( d C Contoh : d Selesaikan, > 0 d Penelesaian : Jika, maka dengan substitusi Sehingga penelesaian umumna adalah diperoleh u du u d C Latihan 4 Selesaikan PD homogen berikut d d ( d d d ( 4 ( d ( d 0 d d d 5 e 6 ln ln d d d 7 cos, > 0 d 8 d d 0

34 Selesaikan PD Bernoulli berikut d d 9 0 d d d d, > 0 e d d d d ( d 0 4 e 0, > 0 d Selesaikan Persamaan Riccati berikut d d 5,, > 0 6 0, d d d 7 (,, > 0 d 5 PD O HOOGE BETUK KHUSUS DA TRAYEKTORI ORTOGOAL Pada bagian ini dibahas tentang Persamaan diferensial non homogen ang dapat direduksi menjadi persamaan homogen serta tentang traektori orthogonal 5 PD on Homogen Bentuk Khusus Bagian ini membahas PD non homogen bentuk ( a b c d ( p q r d 0 (5 a b c Kasus, k, (k konstanta p q r aka persamaan (5 menjadi ( kp kq kr d ( p q r d 0 kd d 0 sehingga penelesaianna dengan mudah dapat diselesaikan Kasus, a b c k p q r

35 PD ( menjadi ( kp kq c d ( p q r d 0 ( k( p q c d ( p q r d 0 Kemudian gunakan substitusi u p q Contoh 4 : Selesaikan PD ( d ( d 0 Penelesaian : PD dapat ditulis dalam bentuk ( d (( d 0 isal z d d dz d dz d diperoleh ( z d (z ( dz d 0 ( z d (z dz (z d 0 ( z z d (z dz 0 zd ( z dz 0 (z d dz 0 z Selanjutna penelesaian umum diperoleh dengan mengintegralkan, (z 0 z d dz dz z d dz z ln z C ( ln( C ln( C ln( C dapat ditulis ln( C Contoh 5 C

36 Selesaikan ( d (4 6 d 0 Penelesaian Substitusikan u, diperoleh Sehingga penelsaianna adalah Kasus, a p b q c r u d du 0 u ln( C PD (5 dapat diselesaikan melalui dua cara, aitu Pertama, mengubah variabel u dan v variabel u k v l k dan l dapat dicari dengan substitusi persamaan ak bl c 0 pk ql r 0 Dengan mengubah variabel ini PD ( akan menjadi PD homogen Cara kedua adalah dengan substitusi u a b c v p q r sehingga PD (5 menjadi PD homogen dalam u dan v Contoh 6 : Tentukan solusi umum PD ( 4 d ( d 0 Penelesaian: isal u 4 du d d v dv d d Ini adalah Sistem Persamaan Linier dalam peubah d dan d Diperoleh dv du d dan dv du d

37 PD menjadi ud vd 0 dv du dv du u v 0 u ( dv du v( dv du 0 ( u v du ( u v dv 0 ini adalah bentuk PD tipe homogen Selanjutna, misalkan PD menjadi ( u uz du ( u uz( zdu udz 0 ( u ( z du u( z zdu u v z v uz dv zdu udz u ( z dz 0 ( z z du u( z dz 0 ini adalah PD dengan peubah dapat dipisah du u du u ( z ( z z ( z dz ( z dz z integralkan, diperoleh lnu ln( z z C ln u ln( z u ( z z C 0 0, z ln C v v u C u u v uv u C ( ( ( 4 ( 4 C Atau 8 4 C Contoh 7: Tentukan penelesaian umum PD ( d ( d 0

38 Penelesaian: isal u, du d d Diperoleh v, dv d d du dv d dan 5 Sehingga PD menjadi du dv d 5 du dv du dv ud vd 0 u v isal PD menjadi udu udv vdu vdv 0 ( u v du (u v dv 0 PD tipe homogen dalam u dan v u z u zv du zdv vdz v ( zv v( zdv vdz (zv v dv 0 v ( z z z dv v ( z 4z dv v( z dz 0 dv ( z dz v ( z 4z Integralkan, diperoleh ln v ln z 4z C Atau ln v ln z Diperoleh 0 4z ln C ( z dz 0 u u v ( z 4z C v 4 C v v Jadi penelesaian umumna adalah u 4 uv v C u 4 uv v C dengan u dan v

39 Contoh 8: Selesaikan PD ( d (4 6 d 0 Penelesaian : Dengan cara pertama u k v l Diperoleh k dan l, sehingga PD menjadi u u du 4 dv 0 v v ang merupakan tipe PD homogen Akhirna diperoleh penelesaian umum berbentuk Silahkan coba dengan cara kedua! 5 ( 9 C( Latihan 5 : Selesaikan PD berikut ( d (6 d 0 ( 4 d ( d 0 ( 4 d ( d 0 4 ( d ( d 0 5 Traektori Ortogonal Dalam atematika terapan, seringkali dijumpai permasalahan untuk mendapatkan keluarga kurva ang tegak lurus terhadap suatu keluarga kurva ang diberikan asalah ini disebut Traektori Ortogonal Pengertian dari ortogonal / tegak lurus dari dua keluarga kurva adalah pada titik potongna kedua garis singgung kurva saling tegak lurus isal diberikan keluarga kurva F (, C dengan C merupakan parameter aka untuk mendapatkan traektori ortogonal dilakukan langkah sebagai berikut : (i Turunkan F (, C secara implisit terhadap, diperoleh

40 (ii d d f (, enggunakan fakta bahwa gradien dari garis garis singgung traektori ortogonal fungsi tersebut adalah d d f (, (iii Persamaan kurva traektori adalah penelesaian PD pada (ii Contoh 9 : Tentukan traetori ortogonal dari k Penelesaian : Dari k diperoleh d d k f (, Gradien dari traektori adalah k Persamaan traektori adalah penelesaian dari PD d d f (,, aitu C Contoh 0: Tentukan traektori orthogonal dari Penelesaian : Turunkan, Diperoleh d d 0 d d Traektori orthogonal merupakan penelesaian dari PD d d d d 0 Integralkan, diperoleh: c

41 C Latihan 5 : Tentukan traektori ortogonal dari keluarga kurva ang diberikan berikut C C C 4 C 5 - C 6 C 7 4 C 8 4 C 9 C