BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
|
|
- Sudirman Chandra
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan real atau kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolomkolom). Skalar-skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya menggunakan : ( ) Contoh II.A.1 Matriks real: Baris ( ) Kolom Matriks diberi nama dengan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain. Secara lengkap ditulis matriks ( ) artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut. 4
2 5 Pandang sebuah matriks ( ) dan yang berarti bahwa banyaknya baris = m serta banyaknya kolom = n. ( ) Boleh ditulis sebagai matriks ( ), disebut ukuran (ordo) dari matriks tersebut. Berikut adalah beberapa hal tentang matriks yang berkaitan dengan pembahasan mengenai irisan tabung lingkaran tegak dengan bidang datar. 1. Operasi Perkalian pada Matriks Dua buah matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Secara definisi adalah sebagai berikut Definisi II.A.1 Misal matriks A sebagai matriks pertama dan B matriks kedua. Pandang berukuran dan berukuran maka perkalian AB adalah suatu matriks berukuran di mana: Untuk setiap dan
3 6 Contoh II.A.2 ( ) dan ( ) Ukuran matriks dan sehingga ada dan berukuran sehingga ( ) di mana Jadi, ( ). Secara singkat dapat ditulis ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Transpose dari Suatu Matriks Pandang suatu matriks ( ) berukuran maka transpose dari A adalah matriks A T berukuran yang diperoleh dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, sebagai kolom ke-i dari. Dengan kata lain ( ). Contoh II.A.3 Misal ( ) maka ( )
4 7 3. Beberapa Jenis Matriks Khusus Suatu matriks terdiri dari berbagai jenis dengan karakteristik khusus pada masing-masing matriks tersebut. Berikut adalah beberapa jenis matriks khusus. a. Suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom yaitu n disebut matriks persegi berordo n. Barisan elemen disebut diagonal utama dari matriks persegi tersebut. b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol atau untuk. c. Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen-elemen diagonal utamanya = 1. d. Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. e. Matriks hermitian adalah matriks yang transpose konjugatnya sama dengan dirinya sendiri (A H = A). 4. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matris. Anggota dari suatu matriks atau disebut sebagai elemen matriks dapat diubah menurut aturan tertentu. Perubahan tersebut berkaitan dengan baris dan kolom sehingga disebut sebagai transformasi elementer pada baris dan kolom yang diberikan oleh a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j (baris ke-i dijadikan baris kej dan baris ke-j dijadikan baris ke-i), ditulis.
5 8 Contoh II.A.4 Misal ( ) maka ( ) b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j (kolom ke-i dijadikan kolom ke-j dan kolom ke-j dijadikan kolom ke-i), ditulis. Contoh II.A.5 Untuk A pada contoh II.A.4, ( ) c. Mengalikan baris ke-i dengan skalar, ditulis. Contoh II.A.6 Jika ( ) maka ( ) d. Mengalikan kolom ke-i dengan skalar, ditulis. Contoh II.A.7 Jika ( ) maka ( ) e. Menambah baris ke-i dengan p kali baris ke-j, ditulis. Contoh II.A.8 Jika ( ) maka ( )
6 9 f. Menambah kolom ke-i dengan p kali kolom ke-j, ditulis. Contoh II.A.9 Jika ( ) maka ( ) Catatan: Operasi c, d, e, dan f dapat dilakukan dalam satu langkah yaitu (m) a. Menambah m kali baris ke-i dangan n kali baris ke-j, ditulis H (n) i j (A). b. Menambah m kali kolom ke-i dangan n kali kolom ke-j, ditulis (m) K (n) i j (A). dengan skalar m 0 dan n 0. Contoh II.A.10 a. Jika ( ) maka H 2 (2) 3 (1) (A) = ( ) b. Jika ( ) maka K 2 (2) 3 (2) (A) = ( ) 5. Rank matriks Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A dan rank kolom dari matriks A adalah dimensi ruang kolom matriks A. Rank baris sama dengan rank kolom dari matriks A tersebut, ditulis r(a). Catatan: a. Rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/ kolom yang bebas linier.
7 10 b. Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer karena matriks-matriks yang ekuivalen baris/ kolom mempunyai ruang yang sama. Diusahakan mengubah sebanyak mungkin baris/ kolom menjadi vektor nol karena vektor nol bergantung linier. Contoh II.A.11 Cari rank dari ( ) Dikerjakan secara baris ( ) ( ) ( ) ( ) Baris ke-3 adalah adalah vektor nol, jadi r(a) = Determinan Setiap matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis sebagai det(a). Berikut adalah determinan untuk matriks persegi berordo dua dan berordo tiga. Determinan dari matriks persegi A berordo 2 adalah ( )
8 11 Determinan dari matriks persegi B berordo 3 adalah ( ) (Suryadi, 1991) B. Transformasi Sistem Koordinat di R 2 Transformasi sistem koordinat di R 2 adalah suatu fungsi yang memetakan ruang vektor di R. Secara sederhana bahwa transformasi ini merupakan fungsi untuk memperoleh suatu persamaan baru pada sistem koordinat yang telah ditransformasikan. Berikut ini adalah dua hal pokok yang perlu diketahui sebelum melakukan transformasi sistem koordinat 1. Akar dan Vektor Karakteristik Suatu akar karakteristik diperlukan untuk mencari vektor karakteristik. Vektor karakteristik inilah yang akan digunakan sebagai basis natural sistem koordinat yang baru setelah dilakukan transformasi sistem koordinat. Definisi II.B.1 suatu matriks persegi dan λ adalah skalar yang memenuhi persamaan (*): untuk suatu vektor kolom maka dikatakan λ adalah suatu akar karakteristik dari dan yang memenuhi persamaan (*) disebut vektor karakteristik yang bersangkutan dengan λ.
9 12 Contoh II.B.1 Hitunglah akar karakteristik dari ( ) Penyelesaian: Misalkan λ skalar dan ( ) adalah vektor yang memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...II.B.1 Persamaan II.B.1 adalah suatu sistem persamaan linier homogen yang dibutuhkan jawaban nontrivial sehingga rank ( ) atau (disebut persamaan karakteristik) Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, masukkan harga λ ke persamaan II.B.1, diperoleh Untuk ( ) ( ) ( ) atau } Cukup ambil 1 persamaan, misal. Apabila maka. Jadi, ( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan.
10 13 Untuk ( ) ( ) ( ) atau } Cukup ambil 1 persamaan, misal. Apabila maka. Jadi, ( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan. 2. Transformasi Simetris Pada transformasi ini digunakan matriks simetris. Suatu transformasi linier T pada R 2 dan R 3 dikatakan suatu transformasi simetris jika untuk setiap R 2 dan R 3 berlaku Teorema II.B.1 Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektorvektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang berbeda saling tegak lurus. Hal khusus: Jika adalah matriks simetris berordo 2 maka diperoleh 2 vektor karakteristik yang saling tegak lurus dan panjangnya 1. Bukti: Misalkan dan adalah akar-akar karakteristik dari A maka }... II.B.2 Karena A simetris maka
11 14 Lakukan transpose konjugat ( ) ( )... II.B.3 Kalikan persamaan II.B.3 dengan dan persamaan II.B.2 dengan dan Oleh karena itu ( ), jika diambil maka adalah panjang di mana. Jadi, yang berarti setiap akar karakteristik adalah real. Jika diambil maka karena akar karakteristik yang berbeda sehingga (saling tegak lurus). Untuk A 2 berordo 2, jika maka jelas dari bukti di atas terdapat dan yang saling tegak lurus dan ambil yang panjangnya 1. Jika maka pandang persamaan karakteristik Diskriminan : Jumlah dua bilangan non-negatif = 0 berakibat masing-masing bilangan = 0. Jadi, dan. Persamaan karakteristik menjadi Semua koefisien dari persamaan } adalah nol. Jadi semua vektor di R 2 merupakan vektor karakteristik dan dapat dipilih 2 vektor yang saling tegak lurus dengan panjang = 1.
12 15 Catatan: Persamaan karakteristik dari matriks Jika disebut dan maka persamaan menjadi (Suryadi, 1991) C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R 2 ) 1. Persamaan Standar Irisan Kerucut Persamaan standar irisan kerucut pada sistem koordinat adalah a., yaitu suatu elips dengan pusat dengan panjang setengah sumbunya masing-masing adalah dan. Apabila maka persamaan menjadi yaitu suatu persamaan lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari. Untuk bentuk adalah suatu elips khayal dengan pusat. b., yaitu suatu persamaan hiperbola berpusat di dengan sumbu riil dan setengah sumbu khayalnya. Apabila konstanta 1 pada diganti dengan 0, diperoleh persamaan-persamaan garis asimtot yaitu
13 16 Dapat diuraikan menjadi atau garis-garis dan c., yaitu suatu parabola dengan puncak dan sumbu sebagai sumbu simetris. Fokus parabola adalah dan direktrisnya. Parabola terbuka ke kanan ketika dan terbuka ke kiri ketika. 2. Transformasi Irisan Kerucut pada Sumbu-sumbu Utamanya Diketahui persamaan umum irisan kerucut:... II.C.1 Persamaan di atas dapat ditulis dengan matriks atau ( ) ( ) ( ) di mana ( ) ( ) dan ( ) dinamakan bagian homogen kuadrat dinamakan bagian linier bilangan tetap dari persamaan derajat dua
14 17 Untuk mengetahui jenis suatu irisan kerucut, persamaan II.C.1 perlu diubah ke persamaan standar dengan cara translasi atau rotasi sistem koordinat kartesius. a. Translasi Definisi II.C.1 Translasi sistem koordinat ke adalah perubahan sistem koordinat di mana sumbu-sumbu dan sedangkan vektorvektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang tetap. Misalkan titik awal yang baru berkoordinat terhadap sistem koordinat lama. Suatu titik lama akan mempunyai koordinat terhadap sistem koordinat terhadap sistem koordinat baru dengan hubungan: } Y Y y y j P j O p p i x X O i x X Gambar II.C.1:Translasi sistem koordinat di R 2 Bagian linier dari persamaan II.C.1 dapat dihilangkan melalui translasi dan titik awal sistem koordinat baru akan menjadi pusat irisan kerucut tersebut. (Surjadi, 1982)
15 18 b. Rotasi Untuk melenyapkan suku kembar dari bagian homogen kuadratis dilakukan rotasi sistem koordinat ke sistem koordinat baru di mana vektor-vektor karakteristik dari (matriks simetris) yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus dijadikan vektor-vektor basis dari sistem tersebut. (Suryadi, 1991) Teorema II.C.1 Diketahui transformasi linier dan simetris dengan vektor-vektor karakteristik, sehingga dan, di mana Jika diadakan rotasi ke yaitu sistem koordinat dengan dan sebagai vektor-vektor satuan maka bentuk homogen kuadrat: menjadi Bukti ( ) Pada sistem koordinat baru : dan
16 19 Jadi, karena dan Akibat II.C.1 Persamaan derajat dua dapat diubah menjadi, jika dan ialah akar-akar dari persamaan karakteristik dari transformasi linier dan simetris 3. Jenis-jenis Irisan Kerucut yang Dinyatakan Oleh a. Jika,, dan atau,, dan maka persamaan dapat dijabarkan menjadi b. dan yang satu positif dan yang lain negatif,. Persamaan dapat dijabarkan menjadi atau dan. Dikatakan bahwa irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus yang saling berpotongan.
17 20 c. dan keduanya positif atau negatif dan, persamaan dapat dijabarkan menjadi atau dan Irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus imaginer yang berpotongan dan hanya mempunyai satu titik yang real yaitu titik 0. d. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan negatif, persamaan dapat dijabarkan menjadi, atau Irisan kerucut berubah corak menjadi sepasang garis lurus sejajar. e. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan positif, persamaan dapat dijabarkan menjadi atau, yaitu dua garis lurus imaginer yang sejajar. f. Salah satu bilangan karakteristik, yang lain sama dengan dan. Dalam hal ini persamaan dapat ditulis sebagai atau. Jadi, irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus yang berimpit. (Surjadi, 1982)
18 21 4. Penjabaran Persamaan Derajat Dua yang Umum Menjadi Bentuk Standar Diketahui persamaan umum derajat dua: Bentuk standar dari garis lengkung dapat ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan translasi sistem koordinat ke untuk melenyapkan bagian liniernya dan rotasi sistem koordinat ke untuk melenyapkan suku. Translasi garis lengkung pada sistem koordinat baru di mana diperoleh atau Bagian homogen kuadrat tidak berubah terhadap translasi sedangkan bilangan tetapnya menjadi. Tentukan sehingga koefisien dan menjadi Jadi, }... (II.C.2) atau dengan matriks Persamaan II.C.2 adalah persamaan pusat irisan kerucut.
19 22 Susunan tersebut hanya memberi jawaban jika dan hanya jika matriks ( ) dan ( ) mempunyai rank yang sama. Jika kedua matriks mempunyai rank 2 maka Dalam hal ini hanya ada satu titik saja yang memenuhi persamaan II.C.2. Jika rank = 1 maka akan diperoleh satu garis pusat irisan kerucut. Jika rank tidak sama maka translasi tidak dapat dilakukan. Jika dihitung dari persamaan II.C.2 maka irisan kerucut tersebut terhadap mempunyai persamaan :... (II.C.3) di mana. Menurut teorema II.C.1 persamaan II.C.3 dapat diubah menjadi... (II.C.4) dengan suatu rotasi ke sistem koordinat baru di mana dan adalah akar-akar karakteristik dari Jenis-jenis irisan kerucut yang dinyatakan oleh persamaan derajat dua dapat diketahui dengan menggunakan poin C.3. (Suryadi, 1991)
20 23 Teorema II.C.2 Jika dan maka Bukti Jadi, }...(II.C.5) karena maka ada dan yang memenuhi persamaan II.C.5 atau rank ( ) sehingga Atau
21 24 Catatan: Persamaan II.C.4 sekarang dapat ditulis sebagai di mana dari persamaaan karakteristik Jika dan maka dan dan jika maka irisan kerucut adalah suatu elips. (jika dan maka irisan kerucut juga elips). Jadi, Jika dan elips dan elips imaginer. Jika (tanda dan berlawanan) hiperbola. (Surjadi, 1982) 5. Irisan Kerucut yang Berubah Corak Misal persamaan irisan kerucut Persamaan irisan kerucut akan berupa sepasang garis lurus bila Kedudukan dari sepasang garis lurus tersebut tergantung dari determinan
22 25 Berikut klasifikasi irisan kerucut ketika a. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis yang berpotongan. b. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis imaginer. c. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis sejajar atau berimpit. Sejajar apabila dan berimpit apabila (Suryadi, 1991) D. Vektor di dalam R 3 Pada dimensi tiga, vektor adalah vektor posisi titik. Panjang dari vektor dimensi tiga adalah Jika diberikan titik dan titik maka vektor yang diwakili oleh adalah Jika dan maka,dengan skalar.
23 26 Sifat-sifat vektor Jika,, dan adalah vektor di R 3, dan adalah skalar, maka ( ) ( ) ( ) (Spiegel, 1999) Vektor-vektor,, dan disebut vektor basis standar, mempunyai panjang 1 dan mengarah pada X, Y, dan Z positif. Misalkan tiga vektor pada memiliki aturan khusus z x y Gambar II.D.1: Vektor Basis Standar Jika maka dapat ditulis
24 27 Definisi II.D.1 Jika dan maka dot product (perkalian titik) dan yang ditulis (. ) dinyatakan sebagai (Purcell, 1984) Sifat-sifat perkalian titik (dot product): Jika,, dan adalah vektor dalam R 3 dan skalar maka 1) 2) 3) ( ) 4) ( ) Teorema II.D.1 Jika adalah sudut diantara vektor dan maka Bukti: Z B X O θ A Y Gambar II.D.2: Sudut antara dua vektor
25 28 Jika diaplikasikan aturan cosinus segitiga OAB pada gambar, diperoleh... (II.D.1) Pada gambar dinyatakan,, dan sehingga persamaan II.D.1 menjadi... (II.D.2) Menggunakan sifat perkalian titik 1, 2, dan 3, ruas kiri persamaan II.D.2 dapat ditulis sebagai berikut: ( ) ( ) Dengan demikian, persamaan II.D.2 menjadi = Akibat II.D.1 Jika adalah sudut tak nol vektor dan maka Dua vektor dan tegak lurus jika dan hanya jika (Suryadi, 1984)
26 29 Definisi II.D.2 Jika dan maka cross product dan adalah vektor Teorema II.D.2 Vektor tegak lurus terhadap dan Bukti: Untuk menunjukkan tegak lurus terhadap, dihitung dot productnya sebagai berikut: ( ) Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan tegak lurus terhadap adalah sebagai berikut: ( ) (Spiegel, 1999)
27 30 Teorema II.D.3 Jika adalah sudut antara dan maka Bukti: Dari definisi cross product dan besar vektor ( ) ( ) Akibat II.D.2 Dua vektor tak nol dan sejajar jika dan hanya jika Bukti: Dua vektor tak nol dan sejajar jika dan hanya jika atau. Untuk keduanya, jadi oleh karena itu
28 31 Sifat sifat cross product: Jika,, dan adalah vektor di R 3 dan m skalar maka 1) 2) ( ) ( ) 3) ( ) 4) ( ) 5) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) (Suryadi, 1984) E. Geometri Analitik Ruang 1. Sistem Koordinat Siku-siku di R 3 Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z (aplikat).
29 32 Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut. Z O Y X Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R 3 Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z. Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut: Oktan I berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0 Oktan II berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0 Oktan III berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0 Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0 Oktan V berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0 Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0
30 33 Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0 Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0 (Suryadi, 1984) 2. Jarak Dua Titik dalam Ruang Rumus jarak dua titik dalam ruang: Jarak antara titik dan adalah ( ) (Hambali, 1986) Bukti: Z X O L A C P M Q B N Y Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R 3 Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti gambar. Jika koordinat dan maka dan karena bidang ANBP, berarti
31 34 sehingga : ( ) (Suryadi, 1984) 3. Transformasi Sistem Koordinat Definisi II.E.1 Translasi adalah pergeseran sistem koordinat di mana sumbu-sumbu dan sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang sama. Dengan demikian, jika sumbu bergeser menjadi dengan mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap kedua sistem koordinat adalah atau ( ) ( ) ( ) Z Z X O (p p p ) Y O Y X Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R 3
32 35 Definisi II.E.2 Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0). Jika sistem koordinat dirotasikan ke sistem koordinat maka dimisalkan cosinus arah dari,, dan secara berturut-turut adalah,, dan. Jika adalah koordinat titik P terhadap sistem koordinat dan adalah koordinat titik P terhadap sistem koordinat maka hubungan kedua sistem koordinat adalah Z Z P x y z O Y X Y X Gambar II.E.4: Rotasi sistem koordinat di R 3
33 36 Dalam matriks : ( ) ( ) ( ) Di mana matriks ( ) disebut matriks rotasi dan dinotasikan dengan R. Catatan: Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v R 3 tanpa mengubah panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh Di mana matriks ( ) adalah orthogonal. Bukti ( ) ( ) ( )
34 37 Karena,, dan adalah vektor unit tegak lurus, diperoleh ( ) Oleh karena itu, R disebut orthogonal. (Chatterje, 2003) 4. Bidang Datar di R 3 Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui tiga titik pada bidang datar V, yaitu,, dan. Z P R Q S O Y X Gambar II.E.5: Bidang di R 3 Berdasarkan gambar di atas diperoleh
35 38 Untuk setiap sebarang titik pada bidang rata V berlaku :, dengan dan skalar. Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah...(ii.e.1) Selanjutnya, dan disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik dan diketahui kedua vektor arahnya dan adalah... (II.E.2) Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata sebagai berikut:...(ii.e.3)...(ii.e.4)...(ii.e.5) Apabila dieliminasi dan pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4), diperoleh persamaan: Dimana... (II.E.6)
36 39 Subtitusi dan ke persamaan (II.E.5), diperoleh: { } { } atau ( ) ( )... (II.E.7) Misalkan : dan Persamaan (II.E.7) menjadi ( )... II.E.8 Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar. (Suryadi, 1984) Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh dan. Oleh karena itu, disebut vektor normal dari bidang datar V = 0
37 40 tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam pembahasan bidang datar. Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui melalui titik dengan vektor normal berbentuk: 5. Garis Lurus dalam R 3 (Suryadi, 1984) Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya dan. Z P Q R X O l Y Gambar II.E.6 : Garis di R 3 Diperoleh,,. Untuk sebarang titik pada l berlaku Jelas bahwa sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus yaitu
38 41 Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan. Oleh karena itu, sehingga Persamaan vektoris l dapat ditulis Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan parameter sebagai berikut: Dengan mengeliminasi diperoleh (Suryadi, 1984) 6. Konikoida Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh di mana adalah polinomial berderajat dua pada dan. Persamaan umum konikoida ditampilkan sebagai berikut (Chatterje, 2003)
39 42 Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai berikut a) : elipsoida. b) : elipsoida khayal. c) : hiperboloida daun satu. d) : hiperboloida daun dua. e) : kerucut khayal. f) : kerucut. g) : paraboloida eliptik. h) : paraboloida hiperbolik. i) : tabung eliptik. j) : tabung hiperbolik. k) : tabung khayal. l) : silinder parabolik. m) : sepasang bidang rata berpotongan. n) : sepasang bidang rata khayal berpotongan. o) : sepasang bidang rata sejajar.
40 43 p) : sepasang bidang rata khayal sejajar. q) : sepasang bidang rata berimpit. Dengan dan merupakan bilangan positif. (Suryadi, 1984) 7. Tabung Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida dengan persamaan Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut {...(*) Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika Rank A= Rank (A,b) = 2 Rank ( ) rank ( )
41 44 Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan { Persamaan karakteristiknya adalah Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan di mana dan Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan dan sehingga akan diperoleh atau dengan. (Suryadi, 1984)
GEOMETRI ANALIT DI R3
GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Geometri Analitik/ PMK 708 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciIdentikasi Jenis Konik dan Kuadrik Berdasarkan Bentuk Matriks A dan Elemen Matriks K pada Persamaan Kuadratik x 0 Ax + Kx + j = 0
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 3(A) 1431 Identikasi Jenis Konik dan Kuadrik Berdasarkan Bentuk Matriks A dan Elemen Matriks K pada Persamaan Kuadratik x Ax + Kx + j = Putra B. J. Bangun, Irmeilyana,
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII
PETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII ix Tinjauan Mata Kuliah G eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar.
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciPeta Kompetensi Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang dan Ruang (PEMA4317) xiii
ix G Tinjauan Mata Kuliah eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar. Kita telah mengetahui bahwa himpunan semua titik pada suatu garis lurus berkorespondensi
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciKriteria Unjuk Kerja. Besaran vektor. Vektor satuan Menggambar Vektor
DESKRIPSI KOMPETENSI MATA KULIAH Mata Kuliah : Matematika Kode Mata Kuliah : TKF 201 SKS : 2 Unit Kompetensi : Memecahkan persoalan matematika dasar. Kompetensi 1. Menguasai teori a) Menggambar Vektor
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya. 2.1 Matriks Sebuah matriks, biasanya dinotasikan dengan huruf kapital tebal seperti A,
Lebih terperinciBENTUK-BENTUK IRISAN BIDANG DATAR DENGAN TABUNG DALAM SISTEM KOORDINAT DIMENSI TIGA
BENTUK-BENTUK IRISAN BIDANG DATAR DENGAN TABUNG DALAM SISTEM KOORDINAT DIMENSI TIGA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana S1 Oleh Festi Dwijayanti 0901060007 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciterlatih dalam konsistensi dan keteraturan pola pikir dan prilaku terampil dalam membuat konstruksi ilmiah maupun konstruksi geometri.
Kata Pengantar Buku ini dirancang berdasarkan pengalaman penulis setelah mengajar matakuliah Geometri selama kurang lebih 23 tahun dan pengalaman menulis buku ajar matematika Dasar dan Logika Matematika.
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd
GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susanto, MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012 KATA PENGANTAR Puji
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015
KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 120 menit Kelas : XII IPA Penyusun Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi No Soal Menggunakan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI : Tadris Matematika MATAKULIAH : Geometri Analitik Bidang dan Ruang KODE MATAKULIAH : MTK 2424 SEMESTER : IV SKS : 3 MK PRASYARAT : Geometri dan Aljabar
Lebih terperinciBola dan bidang Rata
1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciHendra Gunawan. 19 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan
Lebih terperinciSISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.
1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciKISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN MATEMATIKA PEMINATAN TP 2015 / 2016
KISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN MATEMATIKA PEMINATAN TP 2015 / 2016 Nama Sekolah : SMA NEGERI 56 JAKARTA Mata Pelajaran : MATEMATIKA PEMINATAN Kurikulum : KUR 2013 MATERI KELAS X P1 P2 P3 mor 1. Menganalisis
Lebih terperinciMatematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)
Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinci3 4y = a. 3x + 5y 1 5 x + 5y 5. c. 5x 6y 30 x + 2y 2. e. 4x + 3y 16 2x 3y 10 y = x x + 9y x + y 100
Kunci Jawaban Bab I Program Linear Kuis 40 Daerah penelesaian 20 3 4 = 8 6 0 2 8 3 + 4 = 24 1. berbentuk segiempat Tes Pemahaman 1.1 1. a. 20 40 e. 7 + 5 = 35 7 5 4 3 d. f. 2 0 6 6 + 3 = 6 5 3. a. 3 +
Lebih terperinciMatematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004
Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU TM PS PI SUMBER BELAJAR KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.20 : 40 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil PEMAN KEGIATAN PEMAN Mengoperasikan
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciPendahuluan. 1.1 Latar Belakang
Pendahuluan 1.1 Latar elakang Geometri datar, merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. erbagai mekanisme peralatan dalam kehidupan
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Lebih terperinciJikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P I SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR. Kuis Tes lisan Tes tertulis Pengamatan Penugasan
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.1 : 57 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinci