Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
|
|
- Leony Hartanti Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114]
2 Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007 [MA 114]
3 Permukaan di Ruang (R 3 ) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunai bentuk umum : Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = z = a, a > 0 + = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran 7/6/007 [MA 114] 3
4 Gambar Bola Z 7/6/007 [MA 114] 4
5 Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunai bentuk umum a Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 z + + = 1, a, b, c > 0 b c a a z c b z c b = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips 7/6/007 [MA 114] 5
6 Gambar Ellipsoida Z 7/6/007 [MA 114] 6
7 Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun satu, mempunai bentuk umum: a z + = 1, a, b, c > 0 b c Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 a a b + b z c z c = 1, berupa Ellips = 1, berupa Hiperbolik = 1, berupa Hiperbolik 7/6/007 [MA 114] 7
8 Gambar Hiperbolik Berdaun Satu Z 7/6/007 [MA 114] 8
9 7/6/007 [MA 114] 9 Permukaan Permukaan di di R 3 Hiperboloida berdaun dua, mempunai bentuk umum: 1 c z b a =, a, b, c > 0 1 b a = Jejak di bidang XOY, z = 0, berupa Hiperbolik 1 c z a = Jejak di bidang XOZ, = 0, berupa Hiperbolik 1 c z b = Jejak di bidang YOZ, = 0, tidak ada jejak 1 a c z b = +, maka terdefinisi saat - a atau a Jejak di bidang, = k (konstanta), k > a atau k < - a, berupa ellips
10 Gambar Hiperbolik Berdaun Dua Z 7/6/007 [MA 114] 10
11 Permukaan di R 3 Paraboloida eliptik, mempunai bentuk umum: a z + =, a, b, c > 0 b c Paraboloida hiperbolik, mempunai bentuk umum: z =, a, b, c > 0 a b c Kerucut eliptik, mempunai bentuk umum: z + = 0 a b c Bidang, mempunai bentuk umum: A + B + Cz = D 7/6/007 [MA 114] 11
12 Gambar Z Z Paraboloida Eliptik z Paraboloida Hiperbolik z Kerucut Eliptik Bidang 7/6/007 [MA 114] 1
13 Latihan: Gambarkan 1. + = 4. = z = 8, di oktan z = z = z 4z = 3 7/6/007 [MA 114] 13
14 Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan ang mengaitkan setiap pasangan terurut (,) dengan tepat satu z =f(,) Notasi : f : A R ( A C R ) Contoh: (,) z = f(,) 1. f(,) = + 4. f(,) = 3. f(,) = ( ) 4 7/6/007 [MA 114] 14
15 Daerah Asal (D f ) dan Daerah Nilai (R f ) D f = { (, ) R f (, ) R} R = { f (, ) (, ) } f D f Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(,) = f (, ) = f (, ) = (1 ) 7/6/007 [MA 114] 15
16 1. Contoh (Jawab) D f ={(,) R + 4 R} = {(,) R }. 1 = (, ) R R 3 = {(,) R } D f = {(,) R } = (, ) R /6/007 [MA 114] 16
17 3. D f Contoh (Jawab) { } (, ) R (1 R = ) = {(,) R (1 ) 0} = {(,) R 0 dan (1 ) 0 atau 0 dan (1 ) 0} = {(,) R 0 dan 1 atau 0 dan 1} 7/6/007 [MA 114] 17
18 Latihan Tentukan dan Gambarkan D f dari 1. f(,) =. f(,) = + 1 ( ) 4. f(,) = 5. f(,) = 16 ln( + ) ln( + 1) f(,) = 7/6/007 [MA 114] 18
19 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafikna berupa permukaan di ruang z Z=f(,) D f Karena setiap pasangan terurut (,) dipasangkan dengan tepat satu z = f(,), maka setiap garis ang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 7/6/007 [MA 114] 19
20 Contoh Gambarkan Grafik 1. f(,) = + 3 Z z = + 3 z = Paraboloida eliptik Z 3. f(,) = 3 z = 3 3 7/6/007 [MA 114] 0
21 Contoh 3. f(,) = z = Z z = 36 z + + = 1 Elipsoida f(,) = 16 Z 4 z = z = 16 4 Bola 4 7/6/007 [MA 114] 1
22 Kurva Ketinggian z = f(,) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proeksi perpotongan grafik z = f(,) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4. f(,) =, k = -, 0,, 4 7/6/007 [MA 114]
23 Contoh (Jawab) 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4 Untuk k = 0 + = 0 = 0, = 0 Untuk k = 1 + = elips Untuk k = + = + = 1 elips Untuk k = 4 + = 4 + = 1 elips 4 = 1 titik (0, 0) k= k=4 k=1.k=0 7/6/007 [MA 114] 3
24 Contoh (Jawab). f(,) =, k = -, 0,, 4 Untuk k = - = - = Untuk k = 0 = 0 Untuk k = Untuk k = 4 = = = + = 4 = + 4 parabola parabola parabola parabola k=0 k= k=4 k=- 7/6/007 [MA 114] 4
25 Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = /, k = -4, -1, 0, 1, 4. f(,) = +, k = 0, 1, 4, 9 3. f(,) =, k = -4, -1, 0, 1, 4 4. f(,) =, k = 1,, 3, 4 7/6/007 [MA 114] 5
26 Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(,) mempunai limit L untuk (,) mendekati (a,b) ditulis lim (,) (a,b) Jika ε > 0 δ > 0 f (, ) L < ε f (, ) = L ( a) + ( ) < δ 0 < b L+ε L L ε z Z =f(,) berlaku δ (a,b) 7/6/007 [MA 114] 6
27 Catatan lim (,) (a,b) f (, ) = L ada jika lim (,) (a,b) f (, ) = L untuk sembarang kurva ang melalui (a,b). Artina: Jika terdapat paling sedikit kurva di R ang melalui (a,b) dengan nilai lim (,) (a,b) kurva, maka dikatakan lim f (, ) f (, ) berbeda untuk masing-masing (,) (a,b) tidak ada.. (a,b) 7/6/007 [MA 114] 7
28 Contoh Buktikan bahwa limit lim (, ) (0,0) + berikut tidak ada Jawab f (, ) = terdefinisi di D f = R {(0,0)} + Di sepanjang garis =0, kecuali =0, maka nilai f adalah.0 f (,0) = = Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = 0 adalah.0 lim f (,0) = lim = 0 (,0) (0,0) (,0) (0,0) + 0 7/6/007 [MA 114] 8
29 Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis =, maka nilai f adalah. 1 f (, ) = = + Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = adalah (,. lim f (, ) = lim ) (0,0) (, ) (0,0) + = 1 Karena lim f (,0) lim f (, ) lim (,0) (0,0) (, ) (0,0) + tidak ada (, ) (0,0) maka 7/6/007 [MA 114] 9
30 Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. lim (,) (0,0) +. lim (,) (0,0) lim (,) (0,0) 6 + 7/6/007 [MA 114] 30
31 Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(,) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (, ) ada iii. Teorema: (,) (a,b) lim (,) (a,b) f (, ) = f (a, b) 1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m. Fungsi rasional m peubah f(,) = p(,)/q(,) kontinu pada D f asal q(,) 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (,) = f(g(,)) 7/6/007 [MA 114] 31
32 Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(,) = + 3 ( 4) Kontinu dimana-mana (R ) kecualidiparobola =4. f(,) = cos( 4 + ) Misal g(,) = -4+ (Polinom) g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(,) = h(g(,)) kontinu di semua (,) di bidang 7/6/007 [MA 114] 3
33 Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(,) adalah fungsi dua peubah dan. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f ( + h, ) f (, ) h. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f (, + h) f (, ) h 7/6/007 [MA 114] 33
34 Contoh: Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = f (, ) = ln sin t dt Jawab Jawab f (,) = f (,)=0. ln(sin) 1. ln(sin) f f (,) = ln(sin) (,) = f (,)=1. ln(sin) 0. ln(sin). f (, ) = cos( + ) f (,) = ln(sin) Jawab f (,) = sin( + ) f (,) = cos( + ) sin( + ) 7/6/007 [MA 114] 34
35 Latihan Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = cos( + ) + sin cos. f (, ) e t dt = 3 3. f (, ) = sin( + ) + cos() Tentukan f, f dan f z 1. f (,, z) = + z + 3z. f (,, z) = cos( z) + 7/6/007 [MA 114] 35
36 7/6/007 [MA 114] 36 Turunan Turunan Parsial Parsial Kedua Kedua ), ( f f f = = ), ( f f f = = f f f = = ), ( f f f = = ), (
37 Contoh Tentukan f, f,f, f 1. f(,)= Jawab f (,) = f (,) = f (,) = 3 f (,) = f (,) = f (,) = /6/007 [MA 114] 37
38 Contoh. f(,) = sin( ++ 3 ) Jawab f (,) = sin( ++ 3 ) + (+) cos( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) f (,)=(+)cos( ++ 3 )+(4+ )cos( ++ 3 ) (+) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) +( +4)cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) f (,)=(+3 )sin( ++ 3 )+( +9 )sin( ++ 3 ) (+3 ) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+)cos( ++ 3 ) +(4+3 3 )cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) 7/6/007 [MA 114] 38
39 Latihan Tentukan f, f,f, f 1. f(,) = cos() + e +. f(,) = ln( ) 3. f(,) = tan -1 ( /) 4. f(,) =ln( ++ ) 5. f(,) = (-)/() 7/6/007 [MA 114] 39
40 Arti Geometri Turunan Parsial z (a, b) s Perpotongan bidang = b dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 40
41 Arti Geometri Turunan Pertama () s z (a, b) Perpotongan bidang = a dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 41
42 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= dengan = 3 di titik (3,,) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 1 f (, ) = = z Sehingga didapat f ( 3,) = = 1. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,,)aitu 1/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,,), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = 3, = + t, z = + t 7/6/007 [MA 114] 4
43 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan. z = ( ) dengan bidang =1 di titik (, 1,(3/)) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 18 9 f (, ) = = = z Sehingga didapat f (,1) = = 3. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (,1,(3/))aitu 3/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (,1,(3/)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = +t, = 1, z = 3/ + 3 t 7/6/007 [MA 114] 43
44 Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z = ( ) dengan bidang = 1 di titik (1,, (11/3)). 4z =5 (16- ) dengan bidang =3 di titik (, 3, 5 (3/)) 7/6/007 [MA 114] 44
45 Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(,) terdefinisi di D R Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(,) di (,) D, didefinisikan sebagai î, ĵ r f (, ) = f (, )î + f (, )ĵ adalah vektor satuan di arah sumbu, positif Notasi lain: grad f(,), del f(,) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(,,z) adalah r f (,, z) î, ĵ, kˆ = f (,, z)î + f (,, z)ĵ+ f z (,, z)kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu,,z positif 7/6/007 [MA 114] 45
46 Contoh Tentukan r f (, ) r dan f ( 1, 1) dari f (, ) = e Jawab f (, ) = e + f (, ) = e e Sehingga diperoleh: r f (, ) = e + e r f ( 1, 1) = e ˆi + ( ) ˆ i + e j e ˆj f ( 1, 1) = e + e = e f ( 1, 1) = e ˆ 7/6/007 [MA 114] 46
47 Latihan r I. Tentukan f dari 1. f (, ) = +. f = + (, ) ln f (, ) = 3 sin ( ) f (, ) = ln( + ) 5. f (,, z) = e z 6. f (,, z) = e sec z II. Tentukan r f di titik ang diberikan 1. f (, ) = di P (,3). 3 f (, ) = ln( ) di P ( 3, 3) 3. f (, ) = di P (, 1) 7/6/007 [MA 114] 47
48 Aturan Rantai Misalkan =(t) dan = (t) terdeferensialkan di t dan z = f(,) terderensialkan di ((t), (t)) Maka z = f((t), (t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz dt z = t z + t Misalkan = (s,t), =(s,t) dan z = f(,), maka () dz z z i = + ds s s ( ii) dz dt z = t z + t 7/6/007 [MA 114] 48
49 Contoh 1. Misalkan w = 3 dengan = t 3 dan = t, tentukan Jawab: dw dt dw dt = w t + w t = 3 (3t )+3 (t) = t 3 (t ) 3 (3t )+3 (t 3 ) (t ) (t) = t 3. t 6. 3t +3 t 6.t 4. t = 6t t 11 = 1 t 11 7/6/007 [MA 114] 49
50 Contoh. Misalkan z = 3 dengan = s+7 t dan = 5 s t, dz dz tentukan dan dt ds Jawab: dz z z = + dt t t dz ds = ( ) 5 s = 4 (s +7t) 50 s t = z s + z s = 6. + ( ) 5 t = 1 (s +7t) 50 s t 7/6/007 [MA 114] 50
51 Latihan 1. Tentukan dw (dalam t) dt a. w = ; = cos t, = sin t b. w = e sin e sin ; = 3t, = t c. w = sin(z ) ; = t 3, = t, z =t dw. Tentukan (dalam t dan s) dt a. w = ln ; = s/t, = s t e + b. w = ; = s sin t, = t sin s 7/6/007 [MA 114] 51
52 Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u1 î + u ĵ adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : f (p) D u = f (p) u atau D f(a, b) = f (a, b)u 1 + f (a, b)u u Perhatikan bahwa r r r r r f ( p) = f ( p) u = f ( p) u cosθ = f ( p) cosθ D u Sehingga, Turunan berarah akan r bernilai maksimum (θ=0)jika r f (p) u = r f (p) r r f (p) Sebalikna akan minimum jika u = r f (p) 7/6/007 [MA 114] 5
53 Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(,) = 4 3 pada titik r P(,1) dalam arah vektor a = 4 ˆi + 3 ˆj Jawab: Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r 4ˆi + 3ˆj 4 3 u = r = = ˆi + ˆj a f (,)= 1 f (, 1)= 1..1 =48 f (,)= 4 3 f (, 1)= 4. 3 =3 Sehingga Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) =48. (4/5) + 3. (3/5) = 88/5 7/6/007 [MA 114] 53
54 Contoh. Tentukan turunan berarah dari f(,,z) r = sinz pada titik P(1,, π/) dalam arah vektor a = ˆ i + ˆj + kˆ Jawab: π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r ˆi + ˆj + ˆ k 1 u = r = = ˆi + ˆj + kˆ a f (,,z)= sinz f (1,,π/)= sin(π/) = f (,,z)= sinz f (1,, π/)= 1.sin(π/) =1 f z (,,z)= cosz f z (1,, π/)= 1. cos(π/) =0 3 7/6/007 [MA 114] 54
55 Contoh (Lanjutan) Sehingga π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u =. (1/3) + 1. (/3) + 0. (/3) = 4/3 3 7/6/007 [MA 114] 55
56 Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P ang diberikan dalam vektor a a. f(,) = ln, P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(,) = e e, P(0, 0), a = 5 i j c. f(,) = e, P(1, 1), a = i + 3 j d. f(,) = /( ), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(,,z) = +z, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3). Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(,) = 3 5, P(, 1) d. f(,) = 1, P( 1,) b. f(,) = e sin, P(5π/6,0) c. f(,) = 4 3, P( 1,1) 7/6/007 [MA 114] 56
57 Latihan (lanjutan) 3. Misal f (, ) =.Tentukan u r sehingga D,3) 0 + u rf ( = 4. Jika r f (, ) ˆi ˆ 0 0 = j,tentukan u r sehingga D u rf ( 0, 0) = r 4 5. Diketahui D u 3 = ˆi u rf ( 1,) = 5 jika ˆj dan 5 5 r 3 D v 4 = ˆi + v rf ( 1,) = 10 jika ˆj 5 5 a. Tentukan f (1,) dan f (1,) b. Tentukanturunanberarahf di(1,) dalamarahke(0,0) 7/6/007 [MA 114] 57
58 Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunai persamaan F(,,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P o (a,b,c) adalah sebuah bidang ang melalui P o dan tegak lurus pada r f (a,b,c) Teorema: Untuk permukaan F(,, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F (a,b,c) ( a) + F (a,b,c) ( b) + F z (a,b,c) (z c) = 0 Jika permukaan z = f(, ) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z f(a,b) = f (a,b) ( a) + f (a,b) ( b) 7/6/007 [MA 114] 58
59 Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan + + z = 3 di titik (1,, 3) Jawab: Misalkan F(,,z) = + + z r f(,, z) = ˆi + ˆj + 4z kˆ r f( 1,,3) = ˆi + 4 ˆj + 1 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah ( 1) + 4( ) + 1 (z 3) = z = 46 7/6/007 [MA 114] 59
60 Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+t, = + 4t, z = t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 z 3 = = 4 1 7/6/007 [MA 114] 60
61 Contoh. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(,)= di titik (1,, -5) Jawab: f (, ) = + 3 f (, ) = 6 f ( 1,) = = 6 f ( 1,) = 1 = 10 Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah (z + 5) = 6( 1) 10( ) z = 1 7/6/007 [MA 114] 61
62 Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+6t, = + 10t, z = 5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 6 = 10 = z /6/007 [MA 114] 6
63 Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. + 3z = di titik (-1, -4, 6) b. = e cos z di titik (1, e, 0) c. 1/ + 1/ + z 1/ = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= e 3 cos di titik (π/3, 0, -1). Tentukan semua titik pada permukaan z= 8+4 dimana bidang singgungna mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan +4+z =0 dan + +z 6z+7 =0 saling meninggung di titik (0, -1,). aitu perlihatkan bidang singgungna sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan + +3z =1 di mana bidang singgungna tegak lurus garis dengan persamaan parameter: =1+t, =3+8t, z= 6t 7/6/007 [MA 114] 63
64 Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan ( 0, 0 ) D f, maka f( 0, 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi ang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hana memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar ( 0, 0 ). 7/6/007 [MA 114] 64
65 Di mana nilai ekstrim muncul? Titik di mana kemungkinan terjadina nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), aitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular 7/6/007 [MA 114] 65
66 Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, aitu: Misalkan f(,) mempunai turunan parsial kedua ang kontinu di sekitar ( 0, 0 ), r (, ) 0 dan maka D = D( f 0 0 = ( f (, ) 0, 0) = f (0, 0).f(0, 0) 0 0) 1. f( 0, 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 f 0 0 <. f( 0, 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 3. f( 0, 0 ) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan f 0 0 > 7/6/007 [MA 114] 66
67 Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisna, dari Jawab f(,) = 4 +3 f (,) = 8 3 f (,) = 6 f (,) = 4 f (,) = 6 f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu 8 3 =0 (4 1)=0 =0, =± ½ 6 =0 = 0 Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 7/6/007 [MA 114] 67
68 Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisna, bisa dilihat pada tabel berikut: f f f D Keterangan (0,0) Titik pelana (½, 0) Titik Minimum (-½, 0) Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 7/6/007 [MA 114] 68
69 Contoh. Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari f(,) = +1 pada S={(,) + 1} Jawab f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisna titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasna, misalkan =cos t dan =sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos t sin t+1 (untuk mencari maks/min dari f(,) pada S) 7/6/007 [MA 114] 69
70 Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, aitu: f (t)= cos t sint sint cost = 0 4 cos t sint= 0 sint= 0 t= 0, π, π, 3π t= 0, π/, π, 3π/ Untuk t = 0 = 1, = 0 f(1, 0) = Untuk t = π/ = 0, = 1 f(0, 1) = 0 Untuk t = π = -1, = 0 f(-1, 0) = Untuk t = 3π/ = 0, = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 70
71 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisna, dari a. f(,) = e. f(, ) = + + b. f(,) = 6 6 ( + f. f(, ) = e c. f(,) = d. f(,) = Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari a. f(,) = pada S={(,) + 1} b. f(,) =3+4 pada S={(,) 0 1, 1 1} 4 4) 7/6/007 [MA 114] 71
72 g (, ) = 0 Metode Lagrange Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(,) dengan kendala g(,) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (,) = 9 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(,) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (, ) = k dengan fungsi kendala g (, ) = 0 sehingga diperoleh k f (, ) untuk setiap, D f sepanjang g (, ) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling meninggung garis tegak lurusna sama karena kurva ketinggian r f dan kurva kendala r r maka f (, ) = λ g(, ) 7/6/007 [MA 114] 7
73 Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0, selesaikan r r (0, 0) = λ g(0, 0) dan g(0, ) = f 0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0 dan h( 0, 0 )=0, selesaikan r r r f ( 0, 0) = λ g( 0, 0) + µ h( 0, 0) 0, g( 0, 0 )=0, h( 0, 0 )=0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange 7/6/007 [MA 114] 73
74 Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(,)= + 1 pada lingkaran + =1 Jawab: r f (, ) = ˆi ˆj r g(, ) = ˆi + ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r f (, ) = λ g(, ) dan g(, ) = 0 aitu: = λ.(1) = λ.() + = 1..(3) 7/6/007 [MA 114] 74
75 Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai dan tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari () di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Untuk 0, dari () di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Titik-titik kritis aitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) =, untuk (-1,0) f(-1, 0) = Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 75
76 Contoh. f(,,z)= + +3z pada elips ang merupakan perpotongan + = dan bidang + z = 1 Jawab: r f (, ) = ˆi + ˆj + 3 kˆ r g(, ) = ˆi + ˆj r h(, ) = ˆj + Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r f (,, z) = λ g(,, z) + µ h(,, z), g(,, z) = 0 dan h(,, z) = 0 kˆ aitu: 1 = λ.(1) = λ + µ.() 3 = µ.(3) + =....(4) + z = 1....(5) 7/6/007 [MA 114] 76
77 Contoh (lanjutan) Dari (1), = 1/(λ), dari () dan (3), = -1/(λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½. Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, ). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 7/6/007 [MA 114] 77
78 Latihan (Gunakan Metode Lagrange) 1. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + pada kendala g(,)= 3 = 0. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = pada lingkaran + = 1 3. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = 4 4+ pada kendala + = 1 4. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + +z pada kendala + 3 z = 1 7/6/007 [MA 114] 78
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciIlustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciBagian 2 Turunan Parsial
Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi
Lebih terperinciHendra Gunawan. 19 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciHendra Gunawan. 21 Maret 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis
Pogam Pekuliahan Dasa Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integal Gais [MA] Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a t b maka
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperincipanjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
Lebih terperinciGEOMETRI ANALIT DI R3
GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Geometri Analitik/ PMK 708 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciBAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciKalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan
PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor
Lebih terperinciUJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)
Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use. Vektor
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping)
Lebih terperinciMatematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004
Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke
Lebih terperinciAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:
PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f c adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x untuk semua x di S;. f c adalah nilai minimum f
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinci5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciSOAL DAN SOLUSI SIAP SBMPTN 2013 MATEMATIKA IPA
SOAL DAN SOLUSI SIAP SBMPTN 0 MATEMATIKA IPA. Jika 0 b a dan a b ab maka a+b = a - b (A) () (E) (B) (D) o o o o. cos 77 cos sin77 sin.... (A) cos 0 o (B) cos 70 o () sin 70 o (D) cos 0 o (E) sin 0 o. Dari
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinci(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada
f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT: PARABOLA
K-3 matematika K e l a s XI IRISAN KERUCUT: ARABOLA Tujuan embelajaran Setelah memelajari materi ini, kamu diharakan memiliki kemamuan berikut.. Memahami definisi arabola dan unsur-unsurna.. Memahami konse
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinci(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Murdanu, M.Pd.
(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Muru, M.Pd. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. Diberikan
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika
Univesitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Kompute Teknik Infomatika Integal Gais Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciKED PENGGUNAAN TURUNAN
6 PENGGUNAAN TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Menerapkan konsep dasar turunan fungsi dalam menentukan karakteristik grafik fungsi dan menggambarkan grafik Materi : 6.1
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Lebih terperinciDiferensial dan Integral
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciMATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata
Lebih terperinciMelukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan 1
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciAplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi
Lebih terperinci15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciBAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinci