Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah"

Transkripsi

1 Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114]

2 Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007 [MA 114]

3 Permukaan di Ruang (R 3 ) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunai bentuk umum : Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = z = a, a > 0 + = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran 7/6/007 [MA 114] 3

4 Gambar Bola Z 7/6/007 [MA 114] 4

5 Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunai bentuk umum a Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 z + + = 1, a, b, c > 0 b c a a z c b z c b = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips 7/6/007 [MA 114] 5

6 Gambar Ellipsoida Z 7/6/007 [MA 114] 6

7 Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun satu, mempunai bentuk umum: a z + = 1, a, b, c > 0 b c Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 a a b + b z c z c = 1, berupa Ellips = 1, berupa Hiperbolik = 1, berupa Hiperbolik 7/6/007 [MA 114] 7

8 Gambar Hiperbolik Berdaun Satu Z 7/6/007 [MA 114] 8

9 7/6/007 [MA 114] 9 Permukaan Permukaan di di R 3 Hiperboloida berdaun dua, mempunai bentuk umum: 1 c z b a =, a, b, c > 0 1 b a = Jejak di bidang XOY, z = 0, berupa Hiperbolik 1 c z a = Jejak di bidang XOZ, = 0, berupa Hiperbolik 1 c z b = Jejak di bidang YOZ, = 0, tidak ada jejak 1 a c z b = +, maka terdefinisi saat - a atau a Jejak di bidang, = k (konstanta), k > a atau k < - a, berupa ellips

10 Gambar Hiperbolik Berdaun Dua Z 7/6/007 [MA 114] 10

11 Permukaan di R 3 Paraboloida eliptik, mempunai bentuk umum: a z + =, a, b, c > 0 b c Paraboloida hiperbolik, mempunai bentuk umum: z =, a, b, c > 0 a b c Kerucut eliptik, mempunai bentuk umum: z + = 0 a b c Bidang, mempunai bentuk umum: A + B + Cz = D 7/6/007 [MA 114] 11

12 Gambar Z Z Paraboloida Eliptik z Paraboloida Hiperbolik z Kerucut Eliptik Bidang 7/6/007 [MA 114] 1

13 Latihan: Gambarkan 1. + = 4. = z = 8, di oktan z = z = z 4z = 3 7/6/007 [MA 114] 13

14 Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan ang mengaitkan setiap pasangan terurut (,) dengan tepat satu z =f(,) Notasi : f : A R ( A C R ) Contoh: (,) z = f(,) 1. f(,) = + 4. f(,) = 3. f(,) = ( ) 4 7/6/007 [MA 114] 14

15 Daerah Asal (D f ) dan Daerah Nilai (R f ) D f = { (, ) R f (, ) R} R = { f (, ) (, ) } f D f Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(,) = f (, ) = f (, ) = (1 ) 7/6/007 [MA 114] 15

16 1. Contoh (Jawab) D f ={(,) R + 4 R} = {(,) R }. 1 = (, ) R R 3 = {(,) R } D f = {(,) R } = (, ) R /6/007 [MA 114] 16

17 3. D f Contoh (Jawab) { } (, ) R (1 R = ) = {(,) R (1 ) 0} = {(,) R 0 dan (1 ) 0 atau 0 dan (1 ) 0} = {(,) R 0 dan 1 atau 0 dan 1} 7/6/007 [MA 114] 17

18 Latihan Tentukan dan Gambarkan D f dari 1. f(,) =. f(,) = + 1 ( ) 4. f(,) = 5. f(,) = 16 ln( + ) ln( + 1) f(,) = 7/6/007 [MA 114] 18

19 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafikna berupa permukaan di ruang z Z=f(,) D f Karena setiap pasangan terurut (,) dipasangkan dengan tepat satu z = f(,), maka setiap garis ang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 7/6/007 [MA 114] 19

20 Contoh Gambarkan Grafik 1. f(,) = + 3 Z z = + 3 z = Paraboloida eliptik Z 3. f(,) = 3 z = 3 3 7/6/007 [MA 114] 0

21 Contoh 3. f(,) = z = Z z = 36 z + + = 1 Elipsoida f(,) = 16 Z 4 z = z = 16 4 Bola 4 7/6/007 [MA 114] 1

22 Kurva Ketinggian z = f(,) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proeksi perpotongan grafik z = f(,) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4. f(,) =, k = -, 0,, 4 7/6/007 [MA 114]

23 Contoh (Jawab) 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4 Untuk k = 0 + = 0 = 0, = 0 Untuk k = 1 + = elips Untuk k = + = + = 1 elips Untuk k = 4 + = 4 + = 1 elips 4 = 1 titik (0, 0) k= k=4 k=1.k=0 7/6/007 [MA 114] 3

24 Contoh (Jawab). f(,) =, k = -, 0,, 4 Untuk k = - = - = Untuk k = 0 = 0 Untuk k = Untuk k = 4 = = = + = 4 = + 4 parabola parabola parabola parabola k=0 k= k=4 k=- 7/6/007 [MA 114] 4

25 Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = /, k = -4, -1, 0, 1, 4. f(,) = +, k = 0, 1, 4, 9 3. f(,) =, k = -4, -1, 0, 1, 4 4. f(,) =, k = 1,, 3, 4 7/6/007 [MA 114] 5

26 Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(,) mempunai limit L untuk (,) mendekati (a,b) ditulis lim (,) (a,b) Jika ε > 0 δ > 0 f (, ) L < ε f (, ) = L ( a) + ( ) < δ 0 < b L+ε L L ε z Z =f(,) berlaku δ (a,b) 7/6/007 [MA 114] 6

27 Catatan lim (,) (a,b) f (, ) = L ada jika lim (,) (a,b) f (, ) = L untuk sembarang kurva ang melalui (a,b). Artina: Jika terdapat paling sedikit kurva di R ang melalui (a,b) dengan nilai lim (,) (a,b) kurva, maka dikatakan lim f (, ) f (, ) berbeda untuk masing-masing (,) (a,b) tidak ada.. (a,b) 7/6/007 [MA 114] 7

28 Contoh Buktikan bahwa limit lim (, ) (0,0) + berikut tidak ada Jawab f (, ) = terdefinisi di D f = R {(0,0)} + Di sepanjang garis =0, kecuali =0, maka nilai f adalah.0 f (,0) = = Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = 0 adalah.0 lim f (,0) = lim = 0 (,0) (0,0) (,0) (0,0) + 0 7/6/007 [MA 114] 8

29 Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis =, maka nilai f adalah. 1 f (, ) = = + Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = adalah (,. lim f (, ) = lim ) (0,0) (, ) (0,0) + = 1 Karena lim f (,0) lim f (, ) lim (,0) (0,0) (, ) (0,0) + tidak ada (, ) (0,0) maka 7/6/007 [MA 114] 9

30 Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. lim (,) (0,0) +. lim (,) (0,0) lim (,) (0,0) 6 + 7/6/007 [MA 114] 30

31 Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(,) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (, ) ada iii. Teorema: (,) (a,b) lim (,) (a,b) f (, ) = f (a, b) 1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m. Fungsi rasional m peubah f(,) = p(,)/q(,) kontinu pada D f asal q(,) 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (,) = f(g(,)) 7/6/007 [MA 114] 31

32 Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(,) = + 3 ( 4) Kontinu dimana-mana (R ) kecualidiparobola =4. f(,) = cos( 4 + ) Misal g(,) = -4+ (Polinom) g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(,) = h(g(,)) kontinu di semua (,) di bidang 7/6/007 [MA 114] 3

33 Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(,) adalah fungsi dua peubah dan. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f ( + h, ) f (, ) h. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f (, + h) f (, ) h 7/6/007 [MA 114] 33

34 Contoh: Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = f (, ) = ln sin t dt Jawab Jawab f (,) = f (,)=0. ln(sin) 1. ln(sin) f f (,) = ln(sin) (,) = f (,)=1. ln(sin) 0. ln(sin). f (, ) = cos( + ) f (,) = ln(sin) Jawab f (,) = sin( + ) f (,) = cos( + ) sin( + ) 7/6/007 [MA 114] 34

35 Latihan Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = cos( + ) + sin cos. f (, ) e t dt = 3 3. f (, ) = sin( + ) + cos() Tentukan f, f dan f z 1. f (,, z) = + z + 3z. f (,, z) = cos( z) + 7/6/007 [MA 114] 35

36 7/6/007 [MA 114] 36 Turunan Turunan Parsial Parsial Kedua Kedua ), ( f f f = = ), ( f f f = = f f f = = ), ( f f f = = ), (

37 Contoh Tentukan f, f,f, f 1. f(,)= Jawab f (,) = f (,) = f (,) = 3 f (,) = f (,) = f (,) = /6/007 [MA 114] 37

38 Contoh. f(,) = sin( ++ 3 ) Jawab f (,) = sin( ++ 3 ) + (+) cos( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) f (,)=(+)cos( ++ 3 )+(4+ )cos( ++ 3 ) (+) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) +( +4)cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) f (,)=(+3 )sin( ++ 3 )+( +9 )sin( ++ 3 ) (+3 ) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+)cos( ++ 3 ) +(4+3 3 )cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) 7/6/007 [MA 114] 38

39 Latihan Tentukan f, f,f, f 1. f(,) = cos() + e +. f(,) = ln( ) 3. f(,) = tan -1 ( /) 4. f(,) =ln( ++ ) 5. f(,) = (-)/() 7/6/007 [MA 114] 39

40 Arti Geometri Turunan Parsial z (a, b) s Perpotongan bidang = b dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 40

41 Arti Geometri Turunan Pertama () s z (a, b) Perpotongan bidang = a dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 41

42 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= dengan = 3 di titik (3,,) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 1 f (, ) = = z Sehingga didapat f ( 3,) = = 1. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,,)aitu 1/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,,), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = 3, = + t, z = + t 7/6/007 [MA 114] 4

43 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan. z = ( ) dengan bidang =1 di titik (, 1,(3/)) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 18 9 f (, ) = = = z Sehingga didapat f (,1) = = 3. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (,1,(3/))aitu 3/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (,1,(3/)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = +t, = 1, z = 3/ + 3 t 7/6/007 [MA 114] 43

44 Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z = ( ) dengan bidang = 1 di titik (1,, (11/3)). 4z =5 (16- ) dengan bidang =3 di titik (, 3, 5 (3/)) 7/6/007 [MA 114] 44

45 Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(,) terdefinisi di D R Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(,) di (,) D, didefinisikan sebagai î, ĵ r f (, ) = f (, )î + f (, )ĵ adalah vektor satuan di arah sumbu, positif Notasi lain: grad f(,), del f(,) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(,,z) adalah r f (,, z) î, ĵ, kˆ = f (,, z)î + f (,, z)ĵ+ f z (,, z)kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu,,z positif 7/6/007 [MA 114] 45

46 Contoh Tentukan r f (, ) r dan f ( 1, 1) dari f (, ) = e Jawab f (, ) = e + f (, ) = e e Sehingga diperoleh: r f (, ) = e + e r f ( 1, 1) = e ˆi + ( ) ˆ i + e j e ˆj f ( 1, 1) = e + e = e f ( 1, 1) = e ˆ 7/6/007 [MA 114] 46

47 Latihan r I. Tentukan f dari 1. f (, ) = +. f = + (, ) ln f (, ) = 3 sin ( ) f (, ) = ln( + ) 5. f (,, z) = e z 6. f (,, z) = e sec z II. Tentukan r f di titik ang diberikan 1. f (, ) = di P (,3). 3 f (, ) = ln( ) di P ( 3, 3) 3. f (, ) = di P (, 1) 7/6/007 [MA 114] 47

48 Aturan Rantai Misalkan =(t) dan = (t) terdeferensialkan di t dan z = f(,) terderensialkan di ((t), (t)) Maka z = f((t), (t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz dt z = t z + t Misalkan = (s,t), =(s,t) dan z = f(,), maka () dz z z i = + ds s s ( ii) dz dt z = t z + t 7/6/007 [MA 114] 48

49 Contoh 1. Misalkan w = 3 dengan = t 3 dan = t, tentukan Jawab: dw dt dw dt = w t + w t = 3 (3t )+3 (t) = t 3 (t ) 3 (3t )+3 (t 3 ) (t ) (t) = t 3. t 6. 3t +3 t 6.t 4. t = 6t t 11 = 1 t 11 7/6/007 [MA 114] 49

50 Contoh. Misalkan z = 3 dengan = s+7 t dan = 5 s t, dz dz tentukan dan dt ds Jawab: dz z z = + dt t t dz ds = ( ) 5 s = 4 (s +7t) 50 s t = z s + z s = 6. + ( ) 5 t = 1 (s +7t) 50 s t 7/6/007 [MA 114] 50

51 Latihan 1. Tentukan dw (dalam t) dt a. w = ; = cos t, = sin t b. w = e sin e sin ; = 3t, = t c. w = sin(z ) ; = t 3, = t, z =t dw. Tentukan (dalam t dan s) dt a. w = ln ; = s/t, = s t e + b. w = ; = s sin t, = t sin s 7/6/007 [MA 114] 51

52 Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u1 î + u ĵ adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : f (p) D u = f (p) u atau D f(a, b) = f (a, b)u 1 + f (a, b)u u Perhatikan bahwa r r r r r f ( p) = f ( p) u = f ( p) u cosθ = f ( p) cosθ D u Sehingga, Turunan berarah akan r bernilai maksimum (θ=0)jika r f (p) u = r f (p) r r f (p) Sebalikna akan minimum jika u = r f (p) 7/6/007 [MA 114] 5

53 Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(,) = 4 3 pada titik r P(,1) dalam arah vektor a = 4 ˆi + 3 ˆj Jawab: Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r 4ˆi + 3ˆj 4 3 u = r = = ˆi + ˆj a f (,)= 1 f (, 1)= 1..1 =48 f (,)= 4 3 f (, 1)= 4. 3 =3 Sehingga Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) =48. (4/5) + 3. (3/5) = 88/5 7/6/007 [MA 114] 53

54 Contoh. Tentukan turunan berarah dari f(,,z) r = sinz pada titik P(1,, π/) dalam arah vektor a = ˆ i + ˆj + kˆ Jawab: π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r ˆi + ˆj + ˆ k 1 u = r = = ˆi + ˆj + kˆ a f (,,z)= sinz f (1,,π/)= sin(π/) = f (,,z)= sinz f (1,, π/)= 1.sin(π/) =1 f z (,,z)= cosz f z (1,, π/)= 1. cos(π/) =0 3 7/6/007 [MA 114] 54

55 Contoh (Lanjutan) Sehingga π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u =. (1/3) + 1. (/3) + 0. (/3) = 4/3 3 7/6/007 [MA 114] 55

56 Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P ang diberikan dalam vektor a a. f(,) = ln, P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(,) = e e, P(0, 0), a = 5 i j c. f(,) = e, P(1, 1), a = i + 3 j d. f(,) = /( ), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(,,z) = +z, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3). Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(,) = 3 5, P(, 1) d. f(,) = 1, P( 1,) b. f(,) = e sin, P(5π/6,0) c. f(,) = 4 3, P( 1,1) 7/6/007 [MA 114] 56

57 Latihan (lanjutan) 3. Misal f (, ) =.Tentukan u r sehingga D,3) 0 + u rf ( = 4. Jika r f (, ) ˆi ˆ 0 0 = j,tentukan u r sehingga D u rf ( 0, 0) = r 4 5. Diketahui D u 3 = ˆi u rf ( 1,) = 5 jika ˆj dan 5 5 r 3 D v 4 = ˆi + v rf ( 1,) = 10 jika ˆj 5 5 a. Tentukan f (1,) dan f (1,) b. Tentukanturunanberarahf di(1,) dalamarahke(0,0) 7/6/007 [MA 114] 57

58 Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunai persamaan F(,,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P o (a,b,c) adalah sebuah bidang ang melalui P o dan tegak lurus pada r f (a,b,c) Teorema: Untuk permukaan F(,, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F (a,b,c) ( a) + F (a,b,c) ( b) + F z (a,b,c) (z c) = 0 Jika permukaan z = f(, ) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z f(a,b) = f (a,b) ( a) + f (a,b) ( b) 7/6/007 [MA 114] 58

59 Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan + + z = 3 di titik (1,, 3) Jawab: Misalkan F(,,z) = + + z r f(,, z) = ˆi + ˆj + 4z kˆ r f( 1,,3) = ˆi + 4 ˆj + 1 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah ( 1) + 4( ) + 1 (z 3) = z = 46 7/6/007 [MA 114] 59

60 Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+t, = + 4t, z = t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 z 3 = = 4 1 7/6/007 [MA 114] 60

61 Contoh. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(,)= di titik (1,, -5) Jawab: f (, ) = + 3 f (, ) = 6 f ( 1,) = = 6 f ( 1,) = 1 = 10 Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah (z + 5) = 6( 1) 10( ) z = 1 7/6/007 [MA 114] 61

62 Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+6t, = + 10t, z = 5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 6 = 10 = z /6/007 [MA 114] 6

63 Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. + 3z = di titik (-1, -4, 6) b. = e cos z di titik (1, e, 0) c. 1/ + 1/ + z 1/ = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= e 3 cos di titik (π/3, 0, -1). Tentukan semua titik pada permukaan z= 8+4 dimana bidang singgungna mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan +4+z =0 dan + +z 6z+7 =0 saling meninggung di titik (0, -1,). aitu perlihatkan bidang singgungna sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan + +3z =1 di mana bidang singgungna tegak lurus garis dengan persamaan parameter: =1+t, =3+8t, z= 6t 7/6/007 [MA 114] 63

64 Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan ( 0, 0 ) D f, maka f( 0, 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi ang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hana memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar ( 0, 0 ). 7/6/007 [MA 114] 64

65 Di mana nilai ekstrim muncul? Titik di mana kemungkinan terjadina nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), aitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular 7/6/007 [MA 114] 65

66 Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, aitu: Misalkan f(,) mempunai turunan parsial kedua ang kontinu di sekitar ( 0, 0 ), r (, ) 0 dan maka D = D( f 0 0 = ( f (, ) 0, 0) = f (0, 0).f(0, 0) 0 0) 1. f( 0, 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 f 0 0 <. f( 0, 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 3. f( 0, 0 ) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan f 0 0 > 7/6/007 [MA 114] 66

67 Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisna, dari Jawab f(,) = 4 +3 f (,) = 8 3 f (,) = 6 f (,) = 4 f (,) = 6 f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu 8 3 =0 (4 1)=0 =0, =± ½ 6 =0 = 0 Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 7/6/007 [MA 114] 67

68 Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisna, bisa dilihat pada tabel berikut: f f f D Keterangan (0,0) Titik pelana (½, 0) Titik Minimum (-½, 0) Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 7/6/007 [MA 114] 68

69 Contoh. Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari f(,) = +1 pada S={(,) + 1} Jawab f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisna titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasna, misalkan =cos t dan =sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos t sin t+1 (untuk mencari maks/min dari f(,) pada S) 7/6/007 [MA 114] 69

70 Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, aitu: f (t)= cos t sint sint cost = 0 4 cos t sint= 0 sint= 0 t= 0, π, π, 3π t= 0, π/, π, 3π/ Untuk t = 0 = 1, = 0 f(1, 0) = Untuk t = π/ = 0, = 1 f(0, 1) = 0 Untuk t = π = -1, = 0 f(-1, 0) = Untuk t = 3π/ = 0, = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 70

71 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisna, dari a. f(,) = e. f(, ) = + + b. f(,) = 6 6 ( + f. f(, ) = e c. f(,) = d. f(,) = Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari a. f(,) = pada S={(,) + 1} b. f(,) =3+4 pada S={(,) 0 1, 1 1} 4 4) 7/6/007 [MA 114] 71

72 g (, ) = 0 Metode Lagrange Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(,) dengan kendala g(,) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (,) = 9 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(,) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (, ) = k dengan fungsi kendala g (, ) = 0 sehingga diperoleh k f (, ) untuk setiap, D f sepanjang g (, ) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling meninggung garis tegak lurusna sama karena kurva ketinggian r f dan kurva kendala r r maka f (, ) = λ g(, ) 7/6/007 [MA 114] 7

73 Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0, selesaikan r r (0, 0) = λ g(0, 0) dan g(0, ) = f 0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0 dan h( 0, 0 )=0, selesaikan r r r f ( 0, 0) = λ g( 0, 0) + µ h( 0, 0) 0, g( 0, 0 )=0, h( 0, 0 )=0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange 7/6/007 [MA 114] 73

74 Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(,)= + 1 pada lingkaran + =1 Jawab: r f (, ) = ˆi ˆj r g(, ) = ˆi + ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r f (, ) = λ g(, ) dan g(, ) = 0 aitu: = λ.(1) = λ.() + = 1..(3) 7/6/007 [MA 114] 74

75 Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai dan tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari () di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Untuk 0, dari () di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Titik-titik kritis aitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) =, untuk (-1,0) f(-1, 0) = Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 75

76 Contoh. f(,,z)= + +3z pada elips ang merupakan perpotongan + = dan bidang + z = 1 Jawab: r f (, ) = ˆi + ˆj + 3 kˆ r g(, ) = ˆi + ˆj r h(, ) = ˆj + Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r f (,, z) = λ g(,, z) + µ h(,, z), g(,, z) = 0 dan h(,, z) = 0 kˆ aitu: 1 = λ.(1) = λ + µ.() 3 = µ.(3) + =....(4) + z = 1....(5) 7/6/007 [MA 114] 76

77 Contoh (lanjutan) Dari (1), = 1/(λ), dari () dan (3), = -1/(λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½. Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, ). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 7/6/007 [MA 114] 77

78 Latihan (Gunakan Metode Lagrange) 1. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + pada kendala g(,)= 3 = 0. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = pada lingkaran + = 1 3. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = 4 4+ pada kendala + = 1 4. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + +z pada kendala + 3 z = 1 7/6/007 [MA 114] 78

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit. Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 21 Maret 2014

Hendra Gunawan. 21 Maret 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis Pogam Pekuliahan Dasa Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integal Gais [MA] Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a t b maka

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih ] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua

Lebih terperinci

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor . Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak

Lebih terperinci

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Geometri Analitik/ PMK 708 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use. Vektor

Open Source. Not For Commercial Use. Vektor Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping)

Lebih terperinci

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004 Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f c adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x untuk semua x di S;. f c adalah nilai minimum f

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 April 2014

Hendra Gunawan. 4 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI SIAP SBMPTN 2013 MATEMATIKA IPA

SOAL DAN SOLUSI SIAP SBMPTN 2013 MATEMATIKA IPA SOAL DAN SOLUSI SIAP SBMPTN 0 MATEMATIKA IPA. Jika 0 b a dan a b ab maka a+b = a - b (A) () (E) (B) (D) o o o o. cos 77 cos sin77 sin.... (A) cos 0 o (B) cos 70 o () sin 70 o (D) cos 0 o (E) sin 0 o. Dari

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

IRISAN KERUCUT: PARABOLA

IRISAN KERUCUT: PARABOLA K-3 matematika K e l a s XI IRISAN KERUCUT: ARABOLA Tujuan embelajaran Setelah memelajari materi ini, kamu diharakan memiliki kemamuan berikut.. Memahami definisi arabola dan unsur-unsurna.. Memahami konse

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Murdanu, M.Pd.

(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Murdanu, M.Pd. (Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Muru, M.Pd. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. Diberikan

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor

Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Univesitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Kompute Teknik Infomatika Integal Gais Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

KED PENGGUNAAN TURUNAN

KED PENGGUNAAN TURUNAN 6 PENGGUNAAN TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Menerapkan konsep dasar turunan fungsi dalam menentukan karakteristik grafik fungsi dan menggambarkan grafik Materi : 6.1

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-

MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari- MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata

Lebih terperinci

Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat

Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78. PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN

Lebih terperinci

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)

RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut

Lebih terperinci