Open Source. Not For Commercial Use. Vektor

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Open Source. Not For Commercial Use. Vektor"

Suparman Tanuwidjaja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping) dan namana menggunakan sebuah huruf kecil dengan anak panah di atasna ( u). Pangkal u Ujung Ilustrasi Perhatikan sebuah benda ang bergerak sepanjang sumbu- dengan laju 10 m/detik dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju ang sama. Apakah kedua benda tersebut mempunai kecepatan ang sama? Apakah kedua benda tersebut mempunai percepatan? Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor. Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut ang dibentuk oleh sumbu- positif dengan arah vektor tersebut. Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahna sama, sedangkan posisi pangkalna tidak perlu sama. Penjumlahan dua buah vektor Cara 1: Pangkal vektor v digeser ke ujung dari vektor u. Vektor u+v adalah vektor ang pangkalna sama dengan pangkal vektor u dan ujungna berada pada ujung vektor v. (lihat gambar sebelah kiri).

2 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Cara 2: Pangkal vektor v di geser ke pangkal vektor u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai dengan ujung-ujung vektor v dan u. Vektor u + v adalah diagonal jajaran genjang ang berpangkal di pangkal vektor u (lihat gambar sebelah kanan). Sifat komutatif: u + v = v + u Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan 1. u A m v B C Bila AB = 2 3 AC, Natakan vektor m dalam u dan v T 1 T N Sebuah benda digantung seperti pada gambar. Tentukan besarna gaa tegangan tali T 1 dan T 2

3 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Representasi Vektor secara Aljabar di R 2 (Bidang) dan di R 3 (Ruang) Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut: u u, u u u 1 z u u1, u2, u3 P = (7,5, 2) Q = (11, 2, 8) PQ = 11 7, 2 5, 8+2 PQ = 4, 7, 6 Sebuah vektor di bidang ang berpangkal di pusat koordinat dan ujungna pada titik (u 1,u 2 ) kita notasikan sebagai u 1,u 2. Notasi kurung lancip digunakan untuk membedakan dengan pengertian titik. Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Misalkan u = u 1,u 2 dan v = v 1,v 2. Untuk memperoleh rumus penjumlahan u + v, perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus: u+ v = u 1 +v 1,u 2 +v 2 Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Bila a = a 1,a 2,a 3 dan b = b 1,b 2,b 3, a+ b = a 1 +b 1,a 2 +b 2,a 3 +b 3 Misalkan c R, maka berlaku c u = cu 1,cu 2 u2+ v2 u 2 v 2 u v u 1 v v 1 u+ v u1+ v1 Sifat 2 : Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan a,b R, maka berlaku: 1. u+ v = v + u (komutatif) 2. ( u+ v)+ w = v +( u+ w) (asosiatif) 3. u+ 0 = u dengan 0 = 0,0 4. u+( u) = 0 5. a(b u) = (ab) u = u(ab)

4 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 4 6. a( u+ v) = a u+a v 7. (a+b) u = a u+b u 8. 1 u = u Vektor Basis Perhatikan : u = u 1,u 2 = u 1 1,0 +u 2 0,1. j i i j k 1 Vektor 2 î = 1,0 dan ĵ = 0,1 disebut vektor 2 basis di bidang. Dengan demikian, kita dapat menuliskan u = u 1,u 2 sebagai u = u 1 î+u 2 ĵ. i k z j Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisna adalah: î = 1, 0, 0, ĵ = 0,1,0, dan k = 0,0,1. Jadi u = u 1,u 2,u 3 = u 1 î+u 2 ĵ +u 3 k Panjang vektor: Panjangsebuahvektor u = u 1,u 2,ditulis u = u 2 1 +u2 2. Contoh: Diberikan u = 4, 3, tentukan u dan 2 u Hasil kali titik/dalam: Misalkan u = u 1,u 2, dan v = v 1,v 2 dua buah vektor. Hasil kali titik/dalam dari u dan v adalah u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 Perhatikan bahwa hasilna merupakan sebuah skalar. Sifat 2 Hasil Kali Titik: Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan c R, maka: 1. u v = v u (komutatif) 2. u ( v + w) = u v + u w distributif 3. c( u v) = (c u) v = u (c v) 4. 0 u = u u = u 2 6. u v = u v cos(θ), θ sudut antara u dan v. Akibat: u v u v = 0 u 2 u u u u 1

5 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 5 Vektor Proeksi u w v Perhatikan gambar di samping. Vektor u diproeksikan pada v dan hasilna adalah vektor w. Bagaimana menentukan vektor w? u v w = u cosθ = u u v w = w vektor satuan dari vektor v. w = u u v u v v = u v u v v = v v v v v 2 1. Tentukan b supaa 8,6 dan 3,b saling tegak lurus. 2. Bila A = (4,3), B = (1, 1) dan C = (6, 4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC. 3. Cari vektor proeksi u = 1,5 pada v = 3,3 4. Cari vektor proeksi u = 4,5,3 pada v = 2,2, 6 Persamaan Bidang di Ruang v z Q P n Perhatikan bidang v (warna pink). Titik P = ( 0, 0,z 0 ) terletak pada bidang v. Vektor n = A,B,C tegak lurus terhadap v. Akan ditentukan persamaan bidang v. Ambil sebarang titik Q = (,,z) pada bidang v. Jelas vektor PQ = 0, 0,z z 0 n. 0, 0,z z 0 A,B,C = 0 A( 0 )+B( 0 )+C(z z 0 ) = Misalkan P = (1,2,3) dan Q = (4,4, 2). Tentukan persamaan bidang ang melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor PQ. 2. Tentukan sudut antara bidang z = 5 dan bidang z = Buktikan jarak dari titik ( 0, 0,z 0 ) ke bidang A + B + Cz = D adalah A 0 +B 0 +Cz 0 D A2 +B 2 +C 2.

6 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 6 Persamaan Garis di Ruang Diberikan titik P = ( 0, 0,z 0 ) dan vektor v = a,b,c Akan ditentukan persamaan garis ang melalui titik P dan sejajar dengan vektor u. Misalkan Q = (,, z) sebuah titik sebarang pada garis tersebut. Vektor v sejajar dengan vektor P Q, sehingga PQ = t v, dengan t R. 0, 0,z z 0 = t a,b,c. Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, aitu: = 0 +ta = 0 +tb z = z 0 +tc disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis. Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut: 0 = 0 = z z 0 a b c disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas. z v P 1. Cari persamaan simetrik dari garis ang melalui titik (2, 5, 1) dan sejajar vektor < 4, 3,2 >. 2. Cari persaman garis ang merupakan perpotongan antara bidang 2 2 5z = 14 dan z = 28. Q

7 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 7 Hasil Kali Silang (Cross Product) Hasil kali silang hana didefinisikan pada vektor di ruang. Misalkan u = u 1,u 2,u 3 dan v = v 1,v 2,v 3 dua buah vektor. Hasil kali silang dari u dan v didefinisikan sebagai: u v = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 )î (u 1 v 3 u 3 v 1 )ĵ +(u 1 v 2 u 2 v 1 )ˆk î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Sifat 2 Hasil Kali Silang: Misalkan u, v tiga buah vektor maka: 1. ( u v) u dan ( u v) v, akibatna u ( u v) = 0 dan v ( u v) = 0 2. u, v, dan ( v v) membentuk right handed triple 3. u v = u v sinθ, dengan θ sudut antara u dan v. 1. Cari persamaan bidang ang melalui tiga titik (1, 2,3), (4,1, 2), dan ( 2, 3,0). 2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, aitu u v = v u. 3. Tunjukkan, secara geometri, u v adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah. 4. Tunjukkan, secara geometri, w ( u v) adalah volume parallelepiped seperti pada gambar di sebelah kanan bawah. u v w u v

8 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 8 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva z r(t) P Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri. Posisi titik P pada saat t dinatakan oleh vektor ang berpangkal di titik asal dan ujungna di titik P. Posisina tersebut dapat ditulis sebagai r(t) = f(t), g(t), h(t). Vektor r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilaina adalah sebuah vektor. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor. Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real: atau F(t) = f(t)î+g(t)ĵ = f(t),g(t) dengan t R F(t) = f(t)î+g(t)ĵ +h(t) k = f(t),g(t),h(t) dengan t R Untuk selanjutna hana akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturanna sama saja, hana komponenna dua buah. Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor sama dengan konsep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitunganna berlaku sifat berikut: Misalkan F(t) = f(t),g(t),h(t), maka lim t c F(t) = lim t c f(t),lim t c g(t),lim t c h(t) Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb: Misalkan F(t) = f(t),g(t), maka a. F (t) = f (t),g (t) b. F(t)dt = f(t)dt, g(t)dt

9 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 9 Sifat 2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor: Misalkan F(t), G(t) fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c R, maka: 1. D t [ F(t)+ G(t)] = F (t)+ G (t) 2. D t [cf(t)] = cf (t) 3. D t [h(t) F(t)] = h(t) F (t)+h (t) F(t) 4. D t [ F(t) G(t)] = F (t) G(t)+ F(t) G (t) 5. D t [ F(h(t))] = F (h(t))h (t) Contoh: Diberikan F(t) = (t 2 +t)î+e t ĵ. a. Tentukan F (t) dan F (t) dan sudut antara F (0) dan F (0). b. Tentukan D t [t 3 1 F(t)] dan 0 F(t)dt Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan v dan percepatanna a adalah: v(t) = r (t), dan a(t) = r (t) Arah dari vektor kecepatan v dapat dikaji dari definisi turunan r, aitu v(t) = lim. Dengan r(t+h) r(t) h 0 h demikian arah v sama dengan arah garis singgung terhadap r(t). r(t+h) r(t) r(t+h) - r(t) 1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalna di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatanna pada saat t = 0,5 dan gambarkan. 2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (,) = (3cost,2sint). a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahna. b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatanna. c. Tentukan saat kapan lajuna maksimum dan berapa nilaina. d. Tunjukkan vektor percepatanna selalu menuju titik asal. 3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan r(t) =< t, t2 2, t3 3 persamaan garis singgungna pada saat t = 2. >. Carilah

dokumen-dokumen yang mirip

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini